Casi di prova. Il problema dell ordinamento. Casi di prova. Casi di prova. Casi di prova

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1 Casi di prova Casi di prova Quando si vuole testare un algoritmo si devono costruire vari casi di prova. Invece di eseguire il programma più volte si può costruire un file di dati contenente tutti i casi che si vogliono provare. Esempio. Supponiamo di voler provare un algoritmo di ricerca: l array sarà uno solo e i casi di prova saranno costituiti da diversi valori di b (esterno, presente, presente più volte, ecc.) Casi di prova Lo schema del programma sarà perciò del tipo: //acquisire e stampare l array //acquisire la quantità dei casi di prova // numprove for(int k = 1; k <= numprove; k++){ //acquisire l elemento b da cercare //chiamare il metodo di ricerca //stampa risultati System.out.println( prova numero + k + elemento cercato = + b); } Casi di prova Il file dei dati avrà pertanto la seguente organizzazione: elementi per l array valore di numprove elementi da cercare (tanti quanto è il valore di numprove) Il programma viene eseguito una sola volta: produce i risultati dell esecuzione dell algoritmo con i diversi valori da cercare. Il problema dell Il problema dell Dati n elementi sui quali si possa considerare un relazione d ordine totale (ogni coppia di elementi è confrontabile) costruire la permutazione ordinata, vale a dire trovare una disposizione degli elementi in modo tale che si abbia: a 1 < a 2 < a 3 <. < a n Analogamente possiamo considerare gli elementi ordinati in ordine decrescente. 1

2 Il problema dell Vedremo metodi diversi e ne calcoleremo la complessità. I metodi di saranno: - scansione (o selezione diretta) - bubblesort - per inserimento - ordinamenti ricorsivi - quicksort - mergesort La complessità varia da O(n 2 ) a O(n log 2 n) Analisi. Se vogliamo mettere in ordine gli elementi osserviamo che: a 1 è il minimo tra gli elementi {a 1, a 2, a n }, a 2 è il minimo tra gli elementi {a 2, a 3, a n }, ecc., a n-1 è il minimo tra gli elementi {a n-1, a n }, e a n è al suo posto. Progetto. Avremo una struttura iterativa per mettere a posto a 1, a 2,, a n-1 cercando il minimo. mentre ci sono elementi da ordinare eseguire mettere all i-esimo posto il minimo degli elementi {a i, a i+1,., a n } //finementre Per trovare il minimo abbiamo due strategie: I. considerare gli elementi a i e a k con k = i+1,, n e scambiarli se non sono nell ordine II. calcolare il valore e la posizione del minimo ed eseguire un solo scambio tra a i e il minimo trovato. Come si effettua lo scambio? Abbiamo due variabili x e y e vogliamo scambiare il loro contenuto: prima dopo x y x y Non possiamo fare subito l assegnazione x=y altrimenti x e y avrebbero lo stesso valore. Dobbiamo utilizzare una variabile di supporto, s dello stesso tipo di x e y, per depositare temporaneamente uno dei due valori: 1) s=x; x 7 5 y 2) x=y; 3) y=s; s 7 Uno scambio si fa con 3 assegnazioni 5 7 // per scansione con scambio per i da 1 a n-1 eseguire //mettere in a i il minimo tra a i, a i+1,, a n per k da i+1 a n eseguire se a[i] > a[k] allora //scambiare a i con a k s a[i] a[i] a[k] a[k] s 2

3 Calcoliamo la complessità dell algoritmo per scansione. L operazione fondamentale eseguita nella struttura iterativa è il confronto: questo viene eseguito sempre, mentre lo scambio viene eseguito solo nel caso vero. Quanti confronti vengono eseguiti? Il ciclo esterno varia da 1 a n-1, il ciclo interno varia da i a n: i non è fisso e quindi il calcolo esatto è un po più laborioso. n iterazione elementi n confronti i=1 (a 1, a 2 ) (a 1, a 3 ) (a 1, a n ) n-1 i=2 (a 2, a 3 ) (a 2, a n ) n-2. i=n-1 (a n-1, a n ) 1 Sommiamo i confronti: n-2 + n-1= n (n-1)/2 Un modo facile per ricordare la somma (intero: n o n-1 è pari) è: (il primo + l ultimo) (metà del numero di elementi) si può dimostrare la formula per induzione. Caso peggiore. Si fanno tutti i confronti e tutti gli scambi; dati: vettore ordinato in ordine inverso: n(n-1)/2 confronti + 3n(n-1)/2 assegnazioni Quindi O(n 2 / 2). Caso favorevole. Si fanno tutti i confronti e nessuno scambio; dati: vettore ordinato: n(n-1)/2 confronti + 0 assegnazioni Quindi Ω(n 2 /2) Si ha pertanto: O(n 2 /2) come limitazione superiore Ω(n 2 /2) come limitazione inferiore Θ(n 2 / 2). // per scansione con minimo per i da 1 a n-1 eseguire //mettere in a i il minimo tra a i, a i+1,, a n imin i per k da i+1 a n eseguire se a[imin] > a[k] allora imin k s a[i] //scambiare a i con a imin a[i] a[imin] a[imin] s Caso peggiore. confronti: n (n-1) / 2 assegnazioni: sono (al più) 4(n-1) (ciclo esterno) + n(n-1)/2 (ciclo interno) Caso favorevole. confronti: n (n-1) / 2 assegnazioni: 4(n-1) (ciclo esterno) 3

4 Confrontiamo le due versioni: il numero di confronti è sempre: n(n-1) / 2 varia il numero di assegnazioni: nel caso favorevole si ha: 0 (scambio) 4(n-1) (minimo) nel caso peggiore si ha: 3(n-1)n /2 (scambio) (n-1)n / 2 + 4(n-1) (minimo) Verificare che per n>4 3(n-1)n /2 > (n-1)n / 2 + 4(n-1) Ordinamento bubblesort Si eseguono confronti tra elementi successivi: (a 1, a 2 ) (a 2, a 3 ) (a 3, a 4 ) (a n-1, a n ) e se gli elementi non sono nell ordine allora si scambiano. Con questa tecnica la componente con valore più grande va in fondo (al posto di a n ). Si ricomincia dell inizio e si mette a posto a n-1, poi a n-2,, infine a 2. Si può partire dal fondo iniziando il confronto dalla coppia (a n-1, a n ) e andare indietro: in tale modo la prima componente che si mette a posto è a 1. Progetto. Ordinamento bubblesort per i da 1 a n-1 eseguire per k da 1 a n-i eseguire se a[k] > a[k+1] allora //scambiare a k con a k+1 s a[k] a[k] a[k+1] a[k+1] s Ordinamento bubblesort Quanti confronti? n iterazione elementi n confronti i=1 (a 1, a 2 ) (a 2, a 3 ) (a n-1, a n ) n-1 i=2 (a 1, a 2 ) (a n-2, a n-1 ) n-2. i=n-1 (a 1, a 2 ) 1 Sommiamo i confronti: sempre n-2 + n-1= n (n-1)/2 O(n 2 /2) Ordinamento bubblesort Quante assegnazioni? Caso favorevole. 0 assegnazioni (già ordinato) Caso peggiore. 3 n (n-1)/2 (ordine inverso) Pertanto anche il bubblesort è Θ(n 2 / 2). Consideriamo il seguente array e vediamo come si muovono gli elementi (alla prima iterazione). a = ( 40, 20, 1, 7, 10, 0) n=6 1) lineare con scambio scambio 40, scambio 20, scambio 1,

5 2) lineare con minimo imin scambio 40, ) bubblesort scambio 40, scambio 40, scambio 40, scambio 40, scambio 40, Se nel bubblesort si mette il minimo in testa si ottiene: Osserviamo che, dal momento che nel bubblesort si confronta a k con a k+1, se non ci sono scambi allora significa che l array è ordinato. Esercizio1. Costruire una variante di bubblesort che tenga conto che se non si fanno scambi l array è ordinato. Suggerimento. Utilizzare una variabile logica ordinato da inizializzare a falso e da inserire nel predicato del ciclo esterno (se non ci sono scambi ordinato deve essere vero). Esercizio2. Costruire una variante che tenga conto della posizione dell ultimo scambio. Esempio. a = ( 3, 1, 2, 5, 7, 8, 9, 12, 34, 35) n=10 dalla quarta posizione in poi non si fanno scambi. Suggerimento. Chiamare inizio e fine gli estremi degli indici, ed sc una variabile che tiene conto della posizione dell ultimo scambio; assegnare a fine il valore di sc. Quando inizio == fine significa che l array è ordinato. Per entrambe queste varianti la complessità nel caso favorevole è inferiore a quella del caso senza la variante: infatti, se si fornisce un array già ordinato, dopo la prima iterazione il ciclo termina: ordinato=vero, oppure inizio=fine. Pertanto il caso favorevole è Ω(n). dell informazione numerica Esistono vari tipi di numerazione: primitiva: sequenza di simboli tutti uguali; numerazione nei dadi, carte da gioco, additiva: ogni simbolo ha un valore fisso; si esegue una somma dei valori per determinare il numero; numerazione dei romani, greci, egiziani, posizionale: le cifre che compongono la sequenza di simboli che rappresentano il numero hanno un valore che varia con la posizione, si esegue poi la somma; numerazione attuale. 5

6 Nella rappresentazione posizionale il numero viene scritto con una notazione del tipo seguente: N = c n c n-1 c 0. c -1 c -2 c -m Il valore di ogni cifra è: cifra b p dove b è la base del sistema di numerazione (b 0,1) e p è la posizione della cifra. Esempio unità centinaia centesimi Il valore del numero viene dalla somma: N = c n b n + c n-1 b n c 0 b c -1 b c -m b -m con c k = 0, 1, 2,, b-1 N si ottiene quindi sommando i valori c k b k. Formula di rappresentazione dei numeri (per i numeri con infinite cifre dopo la virgola, si ha una serie) (Appendice H). Si possono considerare varie basi. b=10 sistema decimale c k = 0, 1, 2,.., 9 b=2 sistema binario c k = 0, 1 b=8 sistema ottale c k = 0, 1, 2,.., 7 b=16 sistema esadecimale c k = 0, 1, 2,.., 9, A, B, C, D, E, F b=60 sistema sessagesimale: si usa per misurare il tempo, non si usano 60 simboli diversi, ma simboli sono scritti in decimale con due cifre: 00, 01, 02, 57, 58, 59. Cifre delle basi 2, 10, 8, 16 b=2 b=10 b=8 b=16 4 bit b=2 b=10 b=8 b=16 4bit (10) A 1010 (11) B 1011 (12) C 1100 (13) D 1101 (14) E 1110 (15) F 1111 Per scrivere in base 2 i numeri della base 16 = 2 4 occorrono 4 bit. Passaggio da base b a base 10. Il numero è scritto con le cifre della base b: si rappresentano le cifre nella base 10 e si fanno i calcoli in base 10. Esempio. b=2 a) = = = 6 10 b) 11 2 = = = 3 10 c) = = = =

7 Le regole per la base 10 valgono anche nelle altre basi: - spostare la virgola a destra o aggiungere uno zero destra vuole dire moltiplicare per la base: b) a) e a) c) - spostare la virgola a sinistra o togliere uno zero sinistra vuole dire dividere per la base: a) b) e c) a). Esempio. b= = = = = Esempio. b= = = /8 = = Esempio. b=16 30B.A 16 = = = /16 = = = Passaggio da base 10 a base b. Se sapessimo fare con disinvoltura i conti nella base b potremmo scrivere le cifre in base b ed eseguire i conti in base b in maniera analoga. Per poter fare sempre i conti in base 10 usiamo la seguente regola: consideriamo il numero suddiviso nella sua parte intera e parte frazionaria PI. PF = c n c n-1 c 0. c -1 c -2 c -m PI : si divide PI e i successivi quozienti per la base e si prendono i resti PF : si moltiplica PF e le successive parti frazionarie per la base si prendono le parti intere. Sia N 10 = c 3 c 2 c 1 c 0. c -1 c -2 c -3 in base b ; noi volgiamo trovare le cifre c k. PI = c 3 b 3 + c 2 b 2 + c 1 b 1 + c 0 b 0 = = b (c 3 b 2 + c 2 b 1 + c 1 b 0 ) + c 0 // b 0 =1 dividendo per b si ottiene: c 3 b 2 + c 2 b 1 + c 1 quoziente e c 0 è il resto si prosegue con il quoziente trovato: c 3 b 2 + c 2 b 1 + c 1 = b (c 3 b 1 + c 2 ) + c 1 dividendo per b c 1 è il resto c 3 b + c 2 = b (c 3 ) + c 2 c 2 è il resto c 3 = b 0 + c 3 c 3 è il resto (quoziente = 0 perché c 3 < b) Abbiamo estratto nell ordine c 0, c 1, c 2, c 3 andranno scritti: c 3 c 2 c 1 c 0. che PF = c -1 b -1 + c -2 b -2 + c -3 b -3 = (finita) = b -1 (c -1 + c -2 b -1 + c -3 b -2 ) moltiplicando per b si ottiene: b b -1 (c -1 + c -2 b -1 + c -3 b -2 ) = = c -1 + c -2 b -1 + c -3 b -2 c -1 è la parte intera c -2 b -1 + c -3 b -2 la parte frazionaria 7

8 si prosegue con la parte frazionaria trovata: c -2 b -1 + c -3 b -2 = b -1 (c -2 + c -3 b -1 ) c -2 è la parte intera moltiplicando per b b c -3 b -1 = c -3 c -3 è la parte intera Abbiamo estratto nell ordine c -1, c -2, c -3 che andranno scritti:. c -1 c -2 c =? resti Verifica: = = = = =? resti Verifica: = = = =? parte intera 1.5 : la parte frazionaria è 0 Verifica: 1 /2 + 1 /4 = 3 / 4 = = =? =? parte intera 0.8 : Verifica: 1.6 : / /8 + 1 / 64 + = 1.2 : =? 0.4 : il numero è approssimato 0.8. le parti frazionarie si ripetono: c è un periodo: parte intera 0.2 : : : : : periodo è è periodico in base 2 8

9 Esercizio Si calcoli la complessità dell algoritmo seguente, considerando i casi a>b, a=b, a<b; specificando anche il numero di assegnazioni e di confronti nei tre casi. Si supponga n>0. Quale sarebbe il valore di a e b se si stampassero a e b alla fine della struttura iterativa mentre? Algoritmo definizione variabili a, b, n, i, k intero continua logico acquisire valori per a, b, n Esercizio continua vero ; i 0 mentre i n e continua eseguire i i+1 se a < b allora a a-1 altrimenti se a == b allora per k da 1 a n eseguire a a+1 ; b b+1; altrimenti continua falso //finementre 9