Il paradigma divide et impera. Paolo Camurati Dip. Automatica e Informatica Politecnico di Torino

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1 Il paradigma divide et impera Paolo Camurati Dip. Automatica e Informatica Politecnico di Torino

2 Paradigmi per il Problem Solving: Divide et Impera Divide da problema di dimensione n in a problemi indipendenti di dimensione n/b. Impera Risoluzione di problema elementare. Combina Ricostruzione di soluzione complessiva combinando le soluzioni parziali. Implementazione ricorsiva. A.A. 2005/ Il paradigma divide et impera 2

3 A.A. 2005/ Il paradigma divide et impera 3 Risolvi(Problema): Se il problema è elementare: Soluzione = Risolvi_banale(Problema) Altrimenti: Condizione di terminazione Sottoproblema 1,2,3,,a = Dividi(Problema) ; Per ciascun Sottoproblema i : Sottosoluzione i = Risolvi(Sottoproblema i ) ; Return Soluzione = Combina(Sottosoluzione 1,2,3,,a ) ; a sottoproblemi, ciascuno b volte più piccolo del problema chiamata ricorsiva

4 Complessità Equazione alle Ricorrenze: T(n) in termini del tempo di esecuzione per input più piccoli. A.A. 2005/ Il paradigma divide et impera 4

5 A.A. 2005/ Il paradigma divide et impera 5 T(n) = D(n) + a T(n/b) + C(n) T(n) = Θ(1) D(n): costo della divisione n > c n c a: numero di sottoproblemi che risulta dalla fase di Divide n/b: dimensione di ciascun sottoproblema C(n): costo della ricombinazione Θ(1): costo della soluzione elementare.

6 Risolvi(Problema): Se il problema è elementare: Soluzione = Risolvi_banale(Problema) Altrimenti: T(n) Sottoproblema 1,2,3,,a = Dividi(Problema) ; Per ciascun Sottoproblema i : Sottosoluzione i = Risolvi(Sottoproblema i ) ; Return Soluzione Combina(Sottosoluzione 1,2,3,,a ) ; D(n) T(n/b) Θ(1) a sottoproblemi C(n) A.A. 2005/ Il paradigma divide et impera 6

7 Esempio: Ricerca Binaria D(n) = Θ(1), C(n) = Θ(1) a = 1, b = 2 T(n) = T(n/2) + 1 n > 1 T(n) = 1 n = 1 A.A. 2005/ Il paradigma divide et impera 7

8 Analisi di complessità: approccio intuitivo A ogni passo la dimensione si dimezza All i-esimo passo è n/2 i Numero di passi: n/2 i =1 i= log 2 n ciascuno di costo costante T(n) = O(lg n) A.A. 2005/ Il paradigma divide et impera 8

9 Analisi di complessità: approccio formale T(n) = T(n/2) + 1 n > 1 T(n) = 1 n = 1 terminazione n/2 i =1 i= log 2 n i = numero di passi A.A. 2005/ Il paradigma divide et impera 9

10 unfolding T(n/2) = T(n/4) + 1 T(n/4) = T(n/8) + 1 sostituzione T(n) = T(n/8) T(n) = Σ 0 i log2 n 1 = 1 + log 2n = O(log n) A.A. 2005/ Il paradigma divide et impera 10

11 A.A. 2005/ Il paradigma divide et impera 11 Esempio progr. 5-6 Calcolo ricorsivo del massimo di un vettore di interi: se la dimensione è N=1, trovo il massimo esplicitamente per N>1 divido il vettore in due sottovettori metà applico ricorsivamente la ricerca del massimo a ciascun sottovettore confronto i risultati e restituisco il più grande

12 Analisi di complessità: approccio formale T(n) = 2T(n/2) + 1 n > 1 T(n) = 1 n = 1 terminazione n/2 i =1 i= log 2 n i = numero di passi A.A. 2005/ Il paradigma divide et impera 12

13 A.A. 2005/ Il paradigma divide et impera 13 unfolding T(n/2) = 2T(n/4) + 1 T(n/4) = 2T(n/8) + 1 sostituzione T(n) = T(n/8) T(n) = Σ 0 i log2 n 2i = 2 log 2 n+1-1 = O(n)

14 Limiti del divide et impera Ipotesi di indipendenza dei sottoproblemi Memoria occupata FIB 5 FIB 5 FIB 3 FIB 4 FIB 4 FIB 1 FIB 2 FIB 3 FIB 2 FIB 3 FIB 0 FIB 1 FIB 1 FIB 2 FIB 0 FIB 1 FIB 2 FIB 0 FIB 1 FIB 1 FIB 0 A.A. 2005/ Il paradigma divide et impera 14

15 Le Torri di Hanoi Configurazione iniziale: vi sono 3 pioli, 3 dischi di diametro decrescente sul primo piolo Configurazione finale: 3 dischi sul terzo piolo Regole: accesso solo al disco in cima sopra ogni disco solo dischi più piccoli Generalizzabile a n dischi e k pioli. A.A. 2005/ Il paradigma divide et impera 15

16 A.A. 2005/ Il paradigma divide et impera 16 Esempio di soluzione

17 Strategia divide et impera Problema iniziale: spostare n dischi da 0 a 2 Riduzione a sottoproblemi: n-1 dischi da 0 a 1, 2 deposito l ultimo disco da 0 a 2 n-1 dischi da 1 a 2, 0 deposito Condizione di terminazione: si muove 1 solo disco. A.A. 2005/ Il paradigma divide et impera 17

18 0, 1, 2: piolo 0, 1, 2 g disco grande g disco medio g disco piccolo 0 significa disco piccolo su piolo 0, 2 significa disco grande su piolo 2, etc. stato 011 transizione di stato A.A. 2005/ Il paradigma divide et impera 18

19 A.A. 2005/ Il paradigma divide et impera 19 Problema da decomposto in 3 sottoproblemi: 1. dischi medio e piccolo da 0 a 1 2. disco grande da 0 a dischi medio e piccolo da 1 a

20 A.A. 2005/ Il paradigma divide et impera 20 Albero della ricorsione

21 A.A. 2005/ Il paradigma divide et impera 21 Implementazione C void Hanoi(int *mossa,int n,int src, int dest) { int aux; if (n > 0) { deposito piolo di partenza numero di dischi piolo di arrivo aux = 3 - (src + dest); Hanoi(mossa, n-1, src, aux); fprintf (stdout,"(%d) src %d -> dest %d \n", *mossa, src, dest); *mossa = *mossa + 1; Hanoi(mossa, n-1, aux, dest); } return; }

22 A.A. 2005/ Il paradigma divide et impera 22 Complessità Dividi: considera n-1 dischi D(n)=Θ(1) Risolvi: risolve 2 sottoproblemi di dimensione n-1 ciascuno 2T(n-1) Terminazione: spostamento di 1 disco Θ(1) Combina: nessuna azione C(n) = Θ(1)

23 Equazione alle ricorrenze: T(n) = 2T(n-1) + 1 n>1 T(1) = 1 T(n) = Σ 0 i n-1 2 i = ( ) = 2 n-1+1 1/(2-1) =2 n 1 A.A. 2005/ Il paradigma divide et impera 23

24 Il righello Tracciare una tacca in ogni punto tra 0 e 2 n estremi esclusi, dove: la tacca centrale è alta n unità, le due tacche al centro delle due metà di destra e sinistra sono alte n-1 etc. mark(x, h) traccia una tacca alta h unità in posizione x A.A. 2005/ Il paradigma divide et impera 24

25 Strategia divide et impera Dividiamo l intervallo in due metà Disegniamo ricorsivamente le tacche (più corte) nella metà di SX Disegniamo la tacca (più lunga) al centro Disegniamo ricorsivamente le tacche (più corte) nella metà di DX Condizione di terminazione: tacche di altezza 0 A.A. 2005/ Il paradigma divide et impera 25

26 A.A. 2005/ Il paradigma divide et impera 26 Esempio (0,8,3) (0,4,2) (4,8,2) (0,2,1) (2,4,1) (4,6,1) (6,8,1) (0,1,0) (1,2,0) (2,3,0) (3,4,0) (4,5,0) (5,6,0) (6,7,0) (7,8,0)

27 A.A. 2005/ Il paradigma divide et impera 27 Implementazione C void rule(int l, int r, int h) { int m = (l + r)/2; terminazione if (h > 0) { rule(l, m, h-1); mark(m, h); rule(m, r, h-1); } } soluzione elementare chiamata ricorsiva chiamata ricorsiva

28 Backtracking Esplorazione esaustiva dello spazio delle soluzioni: Partenza: soluzione parziale A ogni passo: esecuzione di una scelta, esplorazione recursiva dell albero che ne deriva ritorno sulla scelta (backtracking) ed esecuzione di scelta alternativa, esplorazione recursiva dell albero che ne deriva terminazione: esplorate tutte le scelte. A.A. 2005/ Il paradigma divide et impera 28

29 Le 8 regine Scacchiera vuota 8x8, 8 regine Trovare una disposizione delle 8 regine in modo tale che nessuna possa essere messa sotto scacco dalle altre Soluzione A.A. 2005/ Il paradigma divide et impera 29

30 A.A. 2005/ Il paradigma divide et impera 30 Strutture dati concettuali 15 diagonali: somma degli indici delle sue celle (i+j)

31 15 antidiagonali: differenza degli indici delle sue celle con offset (i-j+7) A.A. 2005/ Il paradigma divide et impera 31

32 Strutture dati colonna n-esima solo n-esima regina queen[n] = indice della riga dove si trova la n-esima regina n-esima regina mette sotto scacco: i-esima riga row[i] diagonale n+i diag[n+i] antidiagonale revdiag[n-i+7]. A.A. 2005/ Il paradigma divide et impera 32

33 A.A. 2005/ Il paradigma divide et impera 33 Funzioni 8 regine set(n, i): piazza la n-esima regina su riga i (implicitamente su colonna n), mette sotto scacco la riga i, la diagonale n+i e l antidiagonale n-i+7 remove(n, i): n-esima regina tolta da riga i (implicitamente da colonna n), non più sotto scacco riga i, diagonale n+i e antidiagonale n-i+7 move(n): piazza ricorsivamente n-esima regina. Termina: piazzate 8 regine.