Definizioni. Soluzione ottima: migliore soluzione possibile Soluzione ottima localmente: soluzione ottima in un dominio contiguo. Il paradigma greedy

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1 Il paradigma greedy Paolo Camurati, Fulvio Corno, Matteo Sonza Reorda Dip. Automatica e Informatica Politecnico di Torino Definizioni Soluzione ottima: migliore soluzione possibile Soluzione ottima localmente: soluzione ottima in un dominio contiguo f(x) Soluzione ottima Soluzioni ottime localmente A.A. 22/23 2 x

2 Il paradigma greedy A ogni passo: per trovare una soluzione globalmente ottima si scelgono soluzioni localmente ottime Le scelte fatte ai singoli passi non vengono successivamente riconsiderate (no backtrack). Scelte localmente ottime sulla base di una funzione di appetibilità (costo). A.A. 22/23 3 Vantaggi algoritmo molto semplice tempo di elaborazione molto ridotto Svantaggi soluzione non necessariamente ottima. A.A. 22/23 4 2

3 Algoritmo Appetibilità note in partenza e non modificate: partenza: soluzione vuota ordina le scelte per appetibilità decrescenti esegui le scelte in ordine decrescente, aggiungendo, ove possibile, il risultato alla soluzione. Appetibilità modificabili: come prima con modifica delle appetibilità e coda a priorità. A.A. 22/23 5 Il cambiamonete Input: monetazione, resto da erogare Output: resto con numero minimo di monete Appetibilità: valore della moneta Approccio greedy: a ogni passo moneta di maggior valore inferiore al resto residuo. A.A. 22/23 6 3

4 Esempio Monetazione: 2,, 5, 2, Resto: 55 Passo Resto residuo Moneta scelta soluzione 2 5 ottima! A.A. 22/23 7 Esempio Monetazione: 6, 4, Resto: soluzione ottima: 4,4, 9 Passo Resto residuo Moneta scelta soluzione 2 2 non ottima! 3 4 A.A. 22/23 8 4

5 Il problema dello zaino (discreto) Dato un insieme di N oggetti ciascuno dotato di peso p j e di valore v j e dato un peso massimo P, determinare il sottoinsieme S di oggetti tali che: j S p j x j P j S v j x j = MAX x j {,} Ogni oggetto o è preso (x j =) o lasciato (x =). j A.A. 22/23 9 Appetibilità: valore specifico v j /p j decrescente. Approccio greedy: a ogni passo aggiungo l oggetto a massimo valore specifico compatibile con il peso disponibile. A.A. 22/23 5

6 Esempio P = 5 i= i=2 i=3 Valore v i 62 Peso p i 2 3 Val. spec. v i /p i Passo Peso disponibile Oggetto Valore A.A. 22/23 Oggetti: e 2 Valore 6: Oggetti: 2 e 3 Valore 22: soluzione non ottima! soluzione ottima! A.A. 22/23 2 6

7 Il problema dello zaino (continuo) Dato un insieme di N oggetti ciascuno dotato di peso p j e di valore v j e dato un peso massimo P, determinare il sottoinsieme S di oggetti tali che: j S p j x j P j S v j x j = MAX x j Ogni oggetto può essere preso per una frazione x. j A.A. 22/23 3 Appetibilità: valore specifico v j /p j decrescente. Approccio greedy: ad ogni passo aggiungo la frazione di oggetto a massimo valore specifico compatibile con il peso disponibile. A.A. 22/23 4 7

8 Esempio P = 5 i= i=2 i=3 Valore v i 62 Peso p i 2 3 Val. spec. v i /p i Passo Peso disponibile Oggetto Valore Frazione A.A. 22/23 5 Oggetti:, 2 e 2/3 di 3 Valore 24: soluzione ottima! A.A. 22/23 6 8

9 Codici di Huffman Codice: stringa di bit associata a un simbolo s S a lunghezza fissa a lunghezza variabile Codifica: da simbolo a codice Decodifica: da codice a simbolo A.A. 22/23 7 Codici a lunghezza fissa: numero di bit n = log 2 (card(s)) vantaggio: facilità di decodifica uso: simboli isofrequenti Codici a lunghezza variabile: svantaggio: difficoltà di decodifica vantaggio: risparmio di spazio di memoria uso: simboli con frequenze diverse. A.A. 22/23 8 9

10 Esempio a b c d e f frequenza codice fisso codice variabile file con. caratteri codice fisso: 3 x. = 3. bit codice variabile: (45x + 3x3 + 2x3 + 6x3 + 9x4 + 5x 4) x. = 224. bit A.A. 22/23 9 Codici prefissi Codice (libero da) prefisso: nessuna parola di codice valida è un prefisso di un altra parola di codice. Codifica: giustapposizione di stringhe Decodifica: percorrimento di albero binario. A.A. 22/23 2

11 a = b = c = a d = e = f = c b f e d A.A. 22/23 2 Esempio Codifica: a b f a a c a Decodifica: a c b f e d A.A. 22/23 22

12 Decodifica: a ab c b d f e A.A. 22/23 23 Decodifica: a abf c b d f e A.A. 22/

13 Decodifica: a abfa c b d f e A.A. 22/23 25 Decodifica: a abfaa c b d f e A.A. 22/

14 Decodifica: abfaac a c b f e d A.A. 22/23 27 Costruzione dell albero binario Struttura dati: coda a priorità (frequenze crescenti, proprietà greedy) Inizialmente: simbolo = foglia Passo i-esimo: estrazione dei 2 simboli (o aggregati) a minor frequenza costruzione dell albero binario (aggregato di simboli): foglie = simboli o aggregati, frequenza = somma delle frequenze inserimento nella coda a priorità Terminazione: coda vuota. A.A. 22/

15 estrazione c:2 4 b:3 d:6 a:45 passo creazione dell albero dell aggregato c:2 b:3 4 d:6 a:45 inserimento nella coda a priorità A.A. 22/23 29 estrazione c:2 b:3 4 d:6 a:45 25 c:2 b:3 creazione dell albero dell aggregato passo 4 d:6 25 a:45 c:2 b:3 inserimento nella coda a priorità A.A. 22/23 3 5

16 estrazione 4 d:6 25 a:45 c:2 b:3 passo d:6 creazione dell albero dell aggregato A.A. 22/23 3 inserimento nella coda a priorità 25 3 a:45 c:2 b:3 4 d:6 A.A. 22/

17 estrazione 25 3 a:45 c:2 b:3 4 d:6 55 passo 3 creazione dell albero dell aggregato 25 c:2 b:3 3 4 d:6 A.A. 22/23 33 inserimento nella coda a priorità a: c:2 b:3 3 4 d:6 A.A. 22/

18 estrazione a:45 25 c:2 b: d:6 creazione dell albero dell aggregato a:45 25 c:2 b:3 55 passo d:6 A.A. 22/23 35 Complessità Heap implementato come albero binario Operazioni di estrazione e inserzione in coda a priorità T(n) = O(n lg n). A.A. 22/