Calcolo Parallelo e Distribuito. a.a
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1 Calcolo Parallelo e Distribuito a.a
2 Problema Progettare un algoritmo parallelo per l ordinamento di un vettore su un calcolatore MIMD a memoria distribuita con p processori Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 2
3 Esempio: input L= ( 25,7,1,9,81,3,28,12,6,20 ) output L= ( 1,3,6,7,9,12,20,25,28,81 ) (ordinamento crescente di 10 numeri interi) Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 3
4 Qual è l algoritmo sequenziale? selection sort insertion sort bubble sort. O(n) T(n) O(n 2 ) confronti Bitonic-merge sort Quick sort Merge sort Heap sort O(n log 2 n) confronti O(nlogn) T(n) O(n 2 ) confronti O(nlogn) confronti Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 4
5 Punti da analizzare: 1. algoritmo per l ordinamento di di un un vettore bitonico mediante i Bitonic il Bitonic Sort Sort 2. Algoritmo per l ordinamento un vettore qualsiasi mediante il General Bitonic Sort 3. Algoritmo Parallelo per l ordinamento di un vettore qualsiasi (Parallel General Bitonic Sort) Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 5
6 Cos è un vettore bitonico? S= 2, 4, 5, 7, 9, 8, 6, 3, 1, 0 Ordinati in senso crescente Ordinati in senso decrescente S è un vettore bitonico Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 6
7 Cos è un vettore bitonico? S= 8, 6, 3, 1, 0, 2, 4, 5, 7, 9 Ordinati in senso decrescente Ordinati in senso crescente S è un vettore bitonico Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 7
8 Cos è un vettore bitonico? S= s 1 s 2 s 3.s n èun vettore bitonico Definizione Esiste un indice k (1 k n) tale che S= s 1 s 2 s.s 3 s k n s 1 s 2 s 3. s k s k+1 s k+2 s k+3. s n (se k=n il vettore si dice MONOTONICO) Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 8
9 Cos è un vettore bitonico? S= s 1 s 2 s 3.s n èun vettore bitonico Definizione Esiste un indice k (1 k n) tale che S= s 1 s 2 s.s 3 s k n s 1 s 2 s 3. s k s k+1 s k+2 s k+3. s n (se k=n il vettore si dice MONOTONICO) Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 9
10 Come ordinare un vettore bitonico? BBS: IDEA Fase di SORT partizionare il vettore di lunghezza n= 2 q in un insieme di coppie bitoniche di lunghezza 2 Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 10
11 Come ordinare una sequenza bitonica? BBS: IDEA Fase di MERGE Ordinare le coppie bitoniche in modo da avere un vettore globalmente ordinato Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 11
12 BBS: Ordinamento crescente di un vettore bitonico Esempio: n=8= è un vettore bitonico Passo 1 si confrontano gli elementi a distanza d=n/2=8/2= e si spostano i più piccoli a sinistra e i più grandi a destra Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 12
13 BBS: Ordinamento di una lista bitonica ad ogni passo e per ogni coppia, si effettuano operazioni di compare-exchange compare: confronto per il calcolo del massimo o del minimo exchange: Scambio per la costruzione della coppia ordinata Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 13
14 BBS: Ordinamento di una lista bitonica due tipi di compare-exchange Compare Exchange Low (Co-Ex-Lo) si vuole ordinare la coppia in senso crescente Compare Exchange Hight (Co-Ex-Hi) si vuole ordinare la coppia in senso decrescente (min, max) (max, min) Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 14
15 BBS:Ordinamento crescente di una lista bitonica Applichiamo il Co-Ex-Lo passo min (2, 9 ) = 2 max ( 2, 9) = 9 min (4, 7 ) = 4 max ( 4, 7) = 7 min (6, 5 ) = 5 max ( 6, 5 ) = 6 min (8, 3 ) = 3 max ( 8, 3 ) = 8 Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 15
16 BBS: Ordinamento crescente di una lista bitonica Passo 2 Si considerano i 2 sottovettori bitonici costruiti al Passo 1 Su ciascuno si applica il procedimento precedente. confrontiamo Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 16
17 BBS:Ordinamento crescente di una lista bitonica Fine Passo min (2, 5 ) = 2 max ( 2, 5) = 5 min (9, 6) = 6 max ( 9, 6) = 9 min (4, 3 ) = 3 max ( 4, 3) = 4 min (7, 8) = 7 max ( 7, 8) = 8 Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 17
18 BBS:Ordinamento crescente di una lista bitonica Passo Si considerano i 4 sottovettori bitonici ottenuti dal passo 2 Su ciascuno si applica il procedimento precedente confrontiamo a 1 A 1 b 1 B 1 c 1 C 1 d 1 D 1 Co-Ex-Lo (a 1, A 1 ) (a 11, A 11 ) Co-Ex-Lo (b 1, B 1 ) (b 11, B 11 ) Co-Ex-Lo (c 1, C 1 ) (c 11, C 11 ) Co-Ex-Lo (d 1, D 1 ) (d 11, D 11 ) Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 18
19 BBS:Ordinamento crescente di una lista bitonica Fine III passo Lista ordinata min (2, 3 ) = 2 max ( 2, 3) = 3 min (5, 4 ) = 4 max ( 5, 4) = 5 min (6, 7 ) = 6 max ( 6, 7) = 7 min (9, 8 ) = 8 max ( 9, 8) = 9 Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 19
20 Qual è la complessità di tempo? L algoritmo è costituito da log 2 n passi Ad ogni passo si effettuano n/2 Co-Ex La complessità di tempo dell algoritmo BBS è O(n log 2 n) Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 20
21 Punti da analizzare: 1. Descrizione dello schema per l ordinamento Sequenziale di una vettore bitonico (Bitonic Sort) 2. Descrizione dello schema per l ordinamento Sequenziale di una vettore lista generica qualsiasi (General Bitonic Sort ) 3. Descrizione dello schema per l ordinamento Parallelo di un vettore qualsiasi (Parallel General Bitonic Sort) Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 21
22 Come ordinare un vettore qualsiasi? GBS: IDEA Trasformare il vettore assegnato in uno bitonico Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 22
23 Come ordinare un vettore qualsiasi? GBS: IDEA Ordinare il vettore bitonico con il BBS Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 23
24 GBS: Ordinamento di un vettore Per ordinare un vettore di lunghezza n=2 p utilizzando il GBS si distinguono due fasi: Fase a) Rendere bitonico il vettore primi p-1 passi Fase b) Ordinare il vettore costruito nella fase a). p-esimo passo log 2 n=p passi. Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 24
25 GBS: STEP 1 (fase a) Per trasformare il vettore in uno bitonico partizioniamolo il 4 coppie ovvero in 4 sottosequenze bitoniche di lungh = 2 e ordiniamole in modo da avere 2 sottosequenze bitoniche di lungh = 4 Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 25
26 GBS: STEP sotto sequenze di lunghezza Co-Ex-Lo Sequenza bitonica Sequenza bitonica Co-Ex-Hi Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 26
27 GBS: STEP Co-Ex-Lo Co-Ex-Hi Sequenza bitonica l=4 Sequenza bitonica l=4 Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 27
28 GBS: STEP 2 (fase a) Ordiniamo ciascuno dei 2 sottovettori (con il BBS) in modo da avere un unico vettore bitonico Il primo in ordine crescente il secondo in ordine decrescente. Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 28
29 GBS: STEP 2 Passo j=1 Co-Ex-Lo Passo i=2, j=1 Co-Ex-Hi Passo j= Passo i=2, j= Co-Ex-Lo Co-Ex-Hi Sotto sequenza ordinata in modo crescente Sotto sequenza ordinata in modo decrescente Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 29
30 GBS: STEP 3 (fase b) Passo j=1,2,3 Ordinamento di una sequenza bitonica di lunghezza l=8 Passo j=1 Co-Ex-Lo Passo j=2 Co-Ex-Lo Co-Ex-Lo Passo j= Lista globalmente ORDINATA Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 30
31 Qual è la complessità di tempo? L algoritmo è costituito da log 2 n passi Ad ogni passo si utilizza l algoritmo BBS su sequenze di lunghezza minore di n, la complessità di tempo è quindi O(n log 2 n) La complessità di tempo dell algoritmo GBS è O(n log 22 n) Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 31
32 Punti da analizzare: 1. Descrizione dello schema per l ordinamento Sequenziale di una lista bitonica (Bitonic Sort) 2. Descrizione dello schema per l ordinamento Sequenziale di una lista generica (General Bitonic Sort ) 3. Descrizione dello schema per l ordinamento Parallelo di una lista generica (Parallel General Bitonic Sort) Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 32
33 Esempio: p=2 Distribuiamo il vettore L= ( 25,7,1,9,81,3,28,12,6,20 ) P 0 P Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 33
34 Strategia generale FASE 1 (SORTING LOCALE) Ciascun processore ordina il proprio vettore utilizzando un algoritmo di ordinamento FASE 2 (MERGING) I vettori ordinati sono opportunamente combinati in modo da ottenere un vettore globalmente ordinato Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 34
35 PGBS: Ordinamento di un vettore FASE 1 (SORTING LOCALE) P 0 P Ogni processore ordina in modo crescente il proprio vettore Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 35
36 PGBS: Ordinamento di un vettore P 0 P Fine Fase SORTING LOCALE Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 36
37 PGBS:Ordinamento di un vettore FASE 2 (MERGING) l operazione di COMPARE EXCHANGE viene applicata alla sequenza distribuita tra 2 processori Processore basso Processore alto Il processore P 0 contiene gli elementi più piccoli Co-Ex-Lo Il processore P 1 contiene gli elementi più grandi Co-Ex-Hi Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 37
38 I PASSO: step 1.0 COMUNICAZIONE P 0 P Step 1.0: P 0 invia a P 1 il proprio max = 81, mentre P 1 invia a P 0 il proprio min = 3 Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 38
39 I PASSO : step 1.1 CONFRONTO P 0 P < 81? IN PARALLELO Step 1.1: P 0 confronta 3 con 81: se è minore lo inserisce; P 1 confronta 81 con 3:se è maggiore lo inserisce Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 39
40 I PASSO: step 1.2 INSERIMENTO P 0 P IN PARALLELO Step 1.2: Ciascun processore 1) inserisce il numero ricevuto, 2) elimina il numero inviato 3) riordina il vettore Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 40
41 II PASSO: step 2.0 COMUNICAZIONE P 0 P Step 1.0: P 0 invia a P 1 il proprio max = 25, mentre P 1 invia a P 0 il proprio min = 6 Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 41
42 II PASSO: step 2.1 CONFRONTO P 0 P < 25? IN PARALLELO Step 1.1: P 0 confronta 6 con 25: se è minore lo inserisce; P 1 confronta 25 con 6: se è maggiore lo inserisce Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 42
43 II PASSO: step 2.2 INSERIMENTO P 0 P IN PARALLELO Step 1.2: Ciascun processore 1) inserisce il numero ricevuto 2) Elimina il numero inviato 3) riordina il vettore Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 43
44 III PASSO: step 3.0 COMUNICAZIONE P 0 FASE 2 (MERGING) P Step 1.0: P 0 invia a P 1 il proprio max = 9, mentre P 1 invia a P 0 il proprio min = 12 Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 44
45 III PASSO: step 3.1 CONFRONTO P 0 P STOP 12 < 9? IN PARALLELO Step 1.1: P 0 confronta il numero 12 con 9: non è minore e termina l esecuzione. P 1 confronta il numero 9 con 12: non è maggiore e termina l esecuzione Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 45
46 PGBS:Ordinamento parallelo di un vettore P 0 P I 5 numeri più piccoli sono in P 0 mentre i 5 più grandi sono in P 1 Le due sottoliste iniziali sono globalmente ordinate secondo l ordine crescente dell identificativo dei processi Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 46
47 Finora abbiamo risolto il problema dell ordinamento nel caso p=2. Come fare nel caso p>2? Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 47
48 Esempio: p=4, n=20 Passo 1: distribuzione dati 2,19,34,4,29, 1,9,15,5,23, 6,11,38,18,8 3,22,20,7,17 P 0 P 1 P 2 P Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 48
49 Esempio: p=4, n=20 FASE 1 (SORTING LOCALE) P 0 P 1 P 2 P Ogni processore ordina in modo crescente la propria sottolista Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 49
50 Esempio: p=4, n=20 FASE 2 (MERGING) P 0 P 1 P 2 P Si applica l algoritmo GBS a tutto il vettore Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 50
51 Esempio: p=4, n=20 FASE 2 (MERGING) P 0 P 1 P 2 P Co-Ex-Lo Ordimanento Crescente Co-Ex-Hi Co-Ex-Hi Passo i=1 ( j=1 ) Co-Ex-Lo Ordimanento Decrescente Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 51
52 Esempio: p=4, n=20 FASE 2 (MERGING) P 0 P 1 P 2 P Fine passo i=1 e j=1 Il vettore è bitonico Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 52
53 Esempio: p=4, n=20 FASE 2 (MERGING) P 0 P 1 P 2 P Passo i=2 ordiniamo globalmente il vettore Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 53
54 Esempio: p=4, n=20 FASE 2 (MERGING) P 0 P 1 P 2 P Co-Ex-Lo Co-Ex-Lo Co-Ex-Hi Co-Ex-Hi Ordinamento Crescente Ordinamento Crescente Passo i=2 ( j=1 ) Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 54
55 Esempio: p=4, n=20 FASE 2 (MERGING) La lista è ora globalmente ordinata P 0 P 1 P 2 P Co-Ex-Lo Co-Ex-Hi Co-Ex-Lo Co-Ex-Hi Ordinamento Crescente Ordinamento Crescente Passo i=2 ( j=2 ) Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 55
56 Esempio: p=4, n=20 La lista è ora globalmente ordinata P 0 P 1 P 2 P Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 56
57 FINE LEZIONE Sorting Bitonico A. Murli Calcolo Parallelo e Distribuito 57
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