In questa lezione. Heap binario heapsort. [CLRS10] cap. 6, par Prof. E. Fachini - Intr. Alg.

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1 In questa lezione Heap binario heapsort [CLRS10] cap. 6, par !1

2 Heap binari Un heap binario è una struttura dati consistente di un array visto come un albero binario. A= Nel livello 0 mettiamo l elemento di indice 1. Proseguiamo riempiendo i livelli successivi da sinistra verso destra con gli elementi dell array, nell ordine in cui compaiono nell array.!2

3 Heap binari e alberi quasi completi A= Chiamiamo quasi completi gli alberi di questa forma: completi fino al penultimo livello, con le foglie al più su due livelli consecutivi e quelle del livello massimo tutte spostate a sinistra. Nel livello 0 mettiamo l elemento di indice 1. Nel livello i 1 disponiamo nell ordine gli elementi di indice compreso tra 2 i e 2 i+1-1. Se 2 k < n < 2 k+1, l albero ha k+1 livelli, altezza k e le foglie nei livelli k-1 e k, con quelle del livello k tutte di seguito a sinistra. Se n = 2 k+1-1 l albero ha k+1 livelli, ed è un albero completo di altezza k.!3

4 Heap binari A= In un albero è fondamentale poter risalire da figlio a padre o da padre a figlio. Supponiamo che nel livello i abbiamo gli elementi di indice m, m+1,m+2, nel livello successivo avremo gli indici 2m, 2m+1,2m+2,.. In generale A[2i] e A[2i+1] sono i figli di A[i] e A[i/2] è il padre di A[i].!4

5 Alberi binari qualunque in un arrays? Abbiamo detto che un heap binario è una struttura dati consistente di un array visto come un albero binario. Ma è anche vero che un qualsiasi albero può essere memorizzato in un array? Ricordiamo che memorizzare gli elementi di un albero significa poter risalire da padre a figlio e viceversa. A= ? ??? !5

6 Calcolo di figli e padri b a c 11 2 parent (i) return i/ d e f g 2 p i j m q left(i) return 2i right(i) return (2i+1) i/2 = scorrimento di una posizione a destra dei bit di i 2i = scorrimento a sinistra di una posizione e aggiunta di uno 0 a destra di i 2i +1 = scorrimento a sinistra di una posizione e aggiunta di un 1 a destra di i!6

7 A[parent(i)] A[i] Definizione di MaxHeap Diciamo che un heap binario A[1..n] è un max-heap se ogni elemento A[i] soddisfa la proprietà del maxheap, cioè se ogni elemento (tranne la radice) è minore o uguale a suo padre. In altri termini A[1..n] è un max-heap se ogni elemento A[i], diverso dalla radice, soddisfa la proprietà del max-heap: !7

8 Max-Heap A= Due attributi: A.length = 13 A.heapsize = 10 A.heapsize A.length Il massimo è contenuto nella radice Un array ordinato in ordine descrescente è un max-heap?!8

9 Definizione di MinHeap Diciamo che un heap binario A[1..n] è un min-heap se ogni elemento A[i] soddisfa la proprietà del minheap, cioè se ogni elemento (tranne la radice) è maggiore o uguale a suo padre. In altri termini A[1..n] è un min-heap se ogni elemento A[i], diverso dalla radice, soddisfa la proprietà del min-heap: A[parent(i)] A[i] !9

10 heap binario: altezza Sappiamo che l altezza h di un albero binario con n nodi é almeno la parte intera inferiore di lg n. Dimostriamo che h è anche al più la parte intera inferiore di lg n. Prendiamo l albero T, completo e di altezza h-1 e aggiungiamo una foglia: h T = T h-1 numnodi(t) = h-1 Σ i=0 2 i = 2 h - 1 T è l albero quasi completo di altezza h con il minimo numero di nodi e numnodi(t ) = 2 h. Quindi per ogni albero quasi completo con n nodi e di altezza h vale che n 2 h lg n h!10

11 Determinare il massimo in un maxheap è immediato A= Heap-Maximum (A) 16 return A[1] Θ(1) x =!11

12 L operazione di estrazione del massimo A= x = 14?? Dopo l operazione bisogna avere un MaxHeap con un elemento in meno !12

13 estrazione del massimo A= x = 16?? Se mettessi alla radice il più grande tra i figli? Non va perchè non ritrovo un albero della forma voluta! !13

14 A= Estrazione Massimo Proprietà MaxHeap violata alla radice max = A= !14

15 ripristino proprietà del Max-heap !15

16 Max-Heapify Max-Heapify (A,i) Input: A è un array e i è un indice Prec: i figli o il figlio di A[i] sono radici di un max-heap, mentre A[i] può essere più piccolo dei suoi figli o di suo figlio Output: A[i] è radice di un max-heap se A[i] ha due figli prendiamo il figlio con valore massimo se ha un figlio prendiamo quell'unico figlio confrontiamo il valore di A[i] con quello del figlio selezionato se il valore del figlio è maggiore di quello del padre, li scambiamo e proseguiamo nello stesso modo sul figlio fino a quando la proprietà è ristabilita.!16

17 Max-Heapify (A,i) Input: A è un array e i è un indice Prec: A[left(i)] e A[right(i)] sono radici di max-heap mentre A[i] può essere più piccolo dei suoi figli Postc: A[i] è radice di un max-heap max = i while max == i do if (2i +1 A.heap.size) then if (A[2i+1] > A[2i]) then max = 2i+1 else max = 2i (tra i due figli, se ci sono, si prende l indice del massimo) elseif (2i A.heap-size) then max = 2i (max è l indice del figlio sinistro se c è) if (A[max] > A[i]) then scambia A[i] e A[max] i = max else max = i+1 (max i per uscire dal ciclo nel caso che i sia una foglia)!17

18 Max-Heapify: esempio di esecuzione i= i= i= max = i = 2, A[4] = 7 e A[5] = 8 quindi max = 5 A[max] > A[2] quindi si scambiano e i = max = 5, si ripete, ora max = 10, ma A[10] > A[5], si scambiano e i = max = 10, ora però i due if danno falso e A[i] = A[max], perché i=max, e max diventa i+1 per uscire dal ciclo!18

19 Max-Heapify: complessità Max-Heapify (A,i) max = i while max == i do if (2i +1 A.heap.size) then if (A[2i+1] > A[2i]) then max = 2i+1 else max = 2i (tra i due figli, se ci sono, si prende l indice del massimo) else if (2i A.heap-size) then max = 2i (al più c è il figlio sinistro) if (A[max] > A[i]) then scambia A[i] e A[max] i = max else max = i+1 (se A[max] <= A[i] si esce dal ciclo) Ad ogni esecuzione del ciclo si scende di padre in figlio, quindi al più si va dalla radice alla foglia più lontana. Caso peggiore: T(n) = Θ(log n)!19

20 Rimozione del massimo(a) Heap-Extract-Max (A) Input: A è un array Prec: A è un max-heap Postc: dà in output il massimo, che viene rimosso da A rispristinando la proprietà del max-heap if A.heap.size < 1 then error l heap è vuoto max = A[1] A[1] = A[A.heap.size] A.heap.size = A.heap.size - 1 O(lg n), Max-Heapify (A,1) return max n = heap-size(a)!20

21 Esercizio 3 più grande Sia dato un max-heap H di n interi. Dove può trovarsi il terzo intero più grande? Si progetti un algoritmo per trovare il terzo intero più grande in tempo costante. Discutere la correttezza dell'algoritmo proposto.

22 Esercizio 3 più grande Sia dato un max-heap H di n interi. Dove può trovarsi il terzo intero più grande? Si progetti un algoritmo per trovare il terzo intero più grande in tempo costante. Discutere la correttezza dell'algoritmo proposto. Soluzione: il terzo intero più grande può trovarsi nel primo o nel secondo livello. Infatti un elemento del terzo livello ha almeno 3 elementi più grandi, quelli che determinano un cammino dall elemento alla radice

23 Esercizio il minimo Dato un max-heap dove può trovarsi il minimo tra le chiavi memorizzate? Si scriva un algoritmo iterativo per calcolare il minimo in un max-heap.

24 Esercizio il minimo Dato un max-heap dove può trovarsi il minimo tra le chiavi memorizzate? Si scriva un algoritmo iterativo per calcolare il minimo in un max-heap. Soluzione: il minimo può trovarsi solo tra le foglie. Infatti i figli di ogni elemento sono più piccoli di lui

25 Pseudocodice per il minimo Soluzione: il minimo può trovarsi solo tra le foglie. Infatti i figli di ogni elemento sono più piccoli di lui MinimoInMax-Heap (A) input: un max-heap A output: il minimo in A n= A.heapsize minind = n/2+1 for i = n/2+2 to n do if A[minInd] > A[i] then minind = i return minind

26 Esercizio estrazione massimo Dato un MaxHeap di n > 2 elementi diversi, qual è il minimo numero di scambi padre-figlio necessari nella rimozione del massimo, indipendentemente dal valore di n? Si dia un esempio di MaxHeap con n = 7 elementi in cui si realizza tale minimo.

27 Esercizio Heap Soluzione: basterà un solo scambio padre figlio se la foglia più a destra è nel sotto albero destro, la radice del sotto albero sinistro ha un valore maggiore di tutti gli elementi nel sotto albero destro mentre quelli nel sotto albero sinistro diversi dalla sua radice sono minori dell elemento nell ultima foglia. Esempio, estrazione del massimo:

28 Heapsort A n maxheap A n ordinati A n Prof. E. Fachini - Intr.Alg. %28

29 Heapsort: l idea maxheap A n In un maxheap, il massimo si trova nella prima posizione mentre in un array ordinato in ordine crescente dovrebbe stare nell ultima. Se si scambiassero i due elementi avrei sistemato un elemento, e considerando come maxheap gli elementi di A da 1 a n-1, otterrei una situazione che la maxheapify può risolvere: solo il primo elemento in A[1:n-1] viola la proprietà del max-heap. Prof. E. Fachini - Intr.Alg. %29

30 maxheap A n maxheap ordinati A 1... i... n In un passo intermedio gli elementi da 1 a i sono un maxheap, mentre i rimanenti da i+1 a n sono ordinati e sono più grandi di quelli nel maxheap. Come posso espandere la zona degli ordinati? Prof. E. Fachini - Intr.Alg. %30

31 In un passo intermedio gli elementi da 1 a i sono un maxheap, mentre i rimanenti da i+1 a n sono ordinati e sono più grandi di quelli nel maxheap. maxheap ordinati A 1... i... n Per espandere la zona degli ordinati, basta osservare che mettendo il primo elemento nel maxheap nella posizione i, abbiamo esteso di uno la porzione degli ordinati, visto che è il massimo tra i più piccoli di quelli già sistemati. L elemento di indice i va quindi al primo posto. Ma dopo questo scambio, occorre ripristinare la proprietà di essere MaxHeap sui primi i-1 elementi, perché può essere violata nella prima posizione. Prof. E. Fachini - Intr.Alg. %31

32 L algoritmo heapsort 1. trasforma l array dato in un max-heap 2. scambia il primo (è il massimo!) e l ultimo elemento del maxheap 3. riduci la dimensione del maxheap 4. ripristina la proprietà del maxheap sugli elementi iniziali, 5. ripeti i passi 2-4 fino a che tutto l array è ordinato!32

33 Heapsort: più dettaglio Heapsort(A) A.length= n Trasforma A in un MaxHeap for i = A.length downto 2 do In ogni passo gli elementi A[1.. i] costituiscono un maxheap su i elementi di A, gli elementi A[i+1.. n] sono più grandi di quelli in A[1.. i] e sono ordinati in ordine crescente scambia A[1] e A[i] A.heap-size = A.heap-size - 1 Max-Heapify (A,1)!33

34 Heapsort: esempio trasformato in un maxheap scambio Max-Heapify!34

35 Heapsort: esempio Max-Heapify scambio Max-Heapify!35

36 Heapsort: esempio Max-Heapify scambio Max-Heapify!36

37 Heapsort: esempio Max-Heapify !37

38 Heapsort: analisi Heapsort(A) n = A.length trasforma A in un Maxheap for i = n downto 2 do scambia A[1] e A[i] A.heap-size = A.heap-size - 1 Max-Heapify (A,1) n = A.length O(n) Θ(1) Θ(1) O(n log n) O(log n) In tutti i casi, per l Heapsort T(n) = O(n log n) Inoltre l Heapsort ordina in loco, cioè non usa memoria aggiuntiva più che costante. Faremo vedere in seguito come trasformare un array qualunque in un maxheap in tempo lineare.!38