Efficienza: esempi. Nella lezione precedente. Fondamenti di Informatica. Ferdinando Cicalese. ! Qualche problema computazionale

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1 Efficienza: esempi Fondamenti di Informatica Ferdinando Cicalese Nella lezione precedente! Qualche problema computazionale " Trova min " Selection sort! Pseudocodice per descrivere algoritmi " Variabili " Assegnamento di un valore ad una variabile 1

2 Algoritmo! Una procedura precisa e priva di ambiguita per ottenere un risultato computazionale! Algoritmo discende da Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-khwarizmi " Il suo libro "Al-Jabr wa-al-muqabilah" e il progenitore dei moderni libri di algebra.! Esempi: ricette, divisioni a piu cifre, selection sort. Computazione efficiente Un buon programma deve essere corretto e veloce Il nostro modello di computazione : pseudocodice istruzioni aritmetiche assegnamenti di variabili cicli istruzioni condizionali 2

3 Pseudocodice! Istruzioni semplici: basate su +, -,!,! Istruzioni Composte " Istr. Condizionali " Loop! Senza sintassi rigida (a meno di introdurre ambiguita ) Algoritmo: nuova definizione Pseudocodice per trasformare input in output, in un tempo finito Parte I: " Quali classi di problemi possono essere risolte da un algoritmo? " Se/Quanto tale classe risulta essere dipendente dalla definizione di pseudocodice? 3

4 Domanda di oggi: Come misurare l efficienza/ velocita di un algoritmo? Scegli il migliore? AMD Phenom II quad-core processor 840T; 6GB DDR3 memory; 1TB hard drive;! In linea di principio, la misura dovrebbe essere indipendente da " computer " tecnologia Running time di un algoritmo! Definizione: il numero di operazioni elementari eseguite dall algoritmo! Operazioni elementari: +, -, *, /, assegnamenti, valutazione di istruzioni condizionali Velocita di un computer: numero di op. elementari che puo eseguire al secondo (definizione semplificata) " n usato nella definizione di running time di algoritmi; dipendente dalla tecnologia 4

5 Esempio: Trova Min! n elementi, memorizzati in un array A! Variabili: i, best! best! 1! Do for i = 2 to n if (A[ i ] < A[best]) then best! i Esempio: Trova Min! n elementi, memorizzati in un array A! Variabili usate: n, A[1..n], i, best! best! 1! Do for i = 2 to n if (A[ i ] < A[best]) then best! i! Quante operazioni vengono eseguite prima del loop? " A: 0 B: 1 C: 2 D: 3 5

6 Esempio: Trova Min! n elementi, memorizzati in un array A! Variabili: i, best! best! 1! Do for i = 2 to n if (A[ i ] < A[best]) then best! i! Quante operazioni in ogni iterazione del loop? " A: 0 B: 1 C: 2 D: 3 Esempio: Trova Min! n elementi, memorizzati in un array A! Variabili: i, best! best! 1! Do for i = 2 to n if (A[ i ] < A[best]) then best! i! Quante volte viene eseguito il loop? " A: n B: n+1 C: n-1 D: 2n iterazioni 6

7 Esempio: Trova Min! n elementi, memorizzati in un array A! Variabili: i, best! best! 1! Do for i = 2 to n if (A[ i ] < A[best]) then best! i 1 confronto e forse 1 assegnamento = al massimo 2 operazioni per iterazione Usa al massimo 2(n 1) + 1 operazioni Numero di iterazioni Inizializzazione (totale " 2n - 1) Efficienza di Selection Sort Do for i = 1 to n 1 Trova Min tra A[i], A[i+1],, A[n] Scambia con A[i]! Per l i-esima iterazione, impiega al piu 2(n i ) + 4! Per calcolare il running time, bisogna trovare il modo di sommare (n 1)+(n-2)+(n-3)++1 e quindi raddoppiare il risultato. 7

8 Efficienza di Selection Sort Do for i = 1 to n 1 best! i Do for j=i to n if(a[j] < A[best]) then best! j 2(n i ) + 1 passi x!a[i] A[i]!A[best] A[best]! x 3 passi! Per l i-esima iterazione, impiega al piu 2(n i ) + 4! Per calcolare il running time, bisogna trovare il modo di sommare (n i) for i = 1 to n 1 Il Trucco di Gauss: Somma di (n i) for i = 1 to n 1 S = (n 2) + (n 1) + S = (n 1) + (n 2) S = n + n + + n + n n 1 times 2S = n(n 1)! Quindi selection sort impiega in tutto " n(n 1) + 2(n-1) 8

9 Discussion Time 20 Domande : Penso un numero tra 1 e un milione. Indovinatelo facendo il minor numero possibile di domande a risposta si/no. Domanda 1: E il numero maggiore di mezzo milione? Domanda 2: E il numero maggiore di un quarto di milione? Strategia: Ogni domanda dimezza il numero di possibili soluzioni Pseudocodice: indovina un numero in [1,n] Variabili: n, Inf, Sup, Candidato Inf! 1 Sup! n Do while (Inf < Sup) Candidato! (Inf + Sup)/2 Ricerca Binaria Domanda : E Candidato > Numero? If (Candidato > Numero-scelto) Sup! Candidato else Inf! Candidato Stampa(Inf) Quante volte devo eseguire il ciclo per essere sicuro di indovinare il numero?? 9

10 Intermezzo: Logaritmi (prospettiva informatica)! log 2 n = K significa 2 K-1 < n " 2 K! In parole: K e il numero di volte che bisogna dividere n per 2 per ottenere un numero " 1 n log 2 n John Napier Running time incontrati in questa lezione n= 8 n= 1024 n= n= log 2 n n n ta: per n grande, n 2 /10 e enormemente piu grande di 10n 10

11 Prossimo argomento. Esistono solo 10 tipi di persone al mondo: quelli che conoscono i numeri binari e quelli che non li conoscono Ricerca Binaria e rappresentazione binaria dei numeri! Supponiamo di sapere che 0 " numero < 2 K 0 2 K E 2 K / 2 " numero < 2 K? Si E 2 K / 4 " numero < 2 K / 2? Si E 2 K! 3/8 " numero < 2 K / 2? Si 11

12 Rappresentazione Binaria! In generale, ogni numero da 0 a n puo essere univocamente identificato da una sequenza di risposte si/no a queste domande. (Es. n =32; etichette per 21 = si, no, si, no, si)! Corrisponde ai cammini in questo albero : E 2 K / 2 " numero < 2 K? si E 2 K / 4 " numero < 2 K / 2? E 2 K / 8 " numero < 2 K / 4? si E 2 K! 3/8 " numero < 2 K / 2? si si Rappresentazione Binaria di n (la definizione piu classica prox lezione) n = 2 k b k + 2 k-1 b k b 2 + b 1 dove ogni b i vale 0 o 1) La rappresentazione binaria di n e : (n) 2 = b k b k 1 b 2 b 1 Esempio: 21 = = Rappresentazione Binaria =