Implementazione Algoritmo Esponenziale per Vertex Cover

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1 Implementazione Algoritmo Esponenziale per Vertex Cover Laboratorio per Algo II Magistrale Informatica Giuseppe Persiano Dipartimento di Informatica ed Appl. Renato M. Capocelli Università di Salerno

2 L algoritmo Definizione di G \ {u} G \ {u} è il grafo che si ottiene rimuovendo da G il vertice u e tutti gli archi che hanno u come estremo. Algoritmo fastvc(g, k) G ha n vertici e m archi. 1 if m = return ; 2 if m > k n return 0; 3 scegli un arco e = (u, v) di G; 4 se fastvc(g \ {u}, k 1) calcola un vertex cover V restituisci {u} V ; 5 se fastvc(g \ {v}, k 1) calcola un vertex cover V restituisci {v} V ; 6 restituisci 0

3 i sorgenti Makefile il file per costruire il programma; fast.c il file contente il main; graph.c definizioni di funzioni riguardanti i grafi; graph.h dichiarazioni di strutture dati e funzioni riguardanti i grafi; vc.c definizioni di funzioni riguardanti i vertex cover; vc.h dichiarazioni di strutture dati e funzioni riguardanti i vertex cover;

4 Come rappresentare il grafo Osservazione Matrice di adiacenza: difficile rimuove vertici ed archi; difficile scegliere un arco; Lista di archi: rimozione vertici: implicita; rimozione vertici: rimozione da lista a puntatori (roba da Programmazione I); scelta arco e: primo arco della lista;

5 Dal file graph.h Strutture per liste di archi typedef struct _la { int u; int v; struct _la *n; struct _la *p; } AdjList; typedef struct _gla{ int noe; /* number of edges */ int nov; /* number of vertices */ AdjList *edges; } GraphAdj;

6 Dal file vc.c Un vertex cover è una stringa di caratteri 0 e 1 stampare un vertex cover void printvc(char *vc){ printf("%s\n",vc);} costruzione di un vertex cover vuoto char * makevc(int nov) { char *vc; vc=malloc(nov+1); vc[nov]=0; memset(vc,noedge,nov); return vc; }

7 Dal file graph.c Inizializzare un grafo con nov vertici GraphAdj * initgrapha(int nov) { GraphAdj *graph; } graph=malloc(sizeof(graphadj)); graph->nov=nov; graph->noe=0; graph->edges=(adjlist *) NULL;

8 Dal file graph.c Lettura di un grafo con m archi void readgrapha(graphadj *graph, int m) { int i,u,v; AdjList *tmp; } graph->noe=m; for(i=0;i<graph->noe;i++){ scanf("%d %d",&u,&v); tmp=(adjlist *) malloc(sizeof(adjlist)); tmp->u=u; tmp->v=v; tmp->n=graph->edges; tmp->p=(adjlist *)NULL; if (graph->edges) graph->edges->p=tmp; graph->edges=tmp; }

9 Dal file vc.c fastervc(graphadj *graph, int k, char *vc, int noue, int cnov) graph è il grafo; k la cardinalità del vertex cover desiderato; vc è il corrente vertex cover parziale; inizialmente vc è vuoto; noue è il numero di archi non coperti; inizialmente tutti gli archi sono non coperti; cnov è il numero di vertici per cui non è stato ancora deciso se appartengono al vertex cover; inizialmente tutti i vertici sono indecisi; se fastervc restituisce 1, vc contiene il vertex cover trovato.

10 Funzione fastervc fastervc(graphadj *graph, int k, char *vc, int noue, int cnov) 1 if noue==0 return 1; 2 if noue>k*cnov return 0; 3 sia (u, v) il primo arco di graph->edges; 4 rimuovi da graph->edges tutti gli archi che sono incidenti a u; aggiorna noue; 5 aggiungi u al vertex cover corrente; 6 ricorsione su graph, k-1,vc,noue,cnov-1 7 aggiungi a graph->edges gli archi rimossi al passo 4; aggiorna noue; 8 se la chiamata ricorsiva ha avuto successo restituisci 1;

11 Funzione fastervc fastervc(graphadj *graph, int k, char *vc, int noue, int cnov) 9 rimuovi u dal vertex cover; 10 rimuovi da graph->edges tutti gli archi che sono incidenti a v; aggiorna noue; 11 aggiungi v al vertex cover corrente; 12 ricorsione su graph, k-1,vc,noue,cnov-1 13 aggiungi a graph->edges gli archi rimossi al passo 10; aggiorna noue; 14 se la chiamata ricorsiva ha avuto successo restituisci 1; 15 rimuovi v dal vertex cover e restituisci 0.

12 Implementazione passo 4 (e 10) dal file vc.c rimuovi tutti gli archi incidenti a u removed = (AdjList *) NULL; for(curr=graph->edges; curr; curr=tmp){ tmp=curr->n; if ((curr->u!=u)&&(curr->v!=u)) continue; if (curr->p) curr->p->n=curr->n; else graph->edges=curr->n; if (curr->n) curr->n->p=curr->p; curr->n=removed; curr->p=(adjlist *) NULL; if (removed) removed->p=curr; removed=curr; noue--; }

13 Implementazione passo 7 (e 13) dal file vc.c aggiungi gli archi incidenti a u for(curr=removed; curr; curr=tmp){ tmp=curr->n; curr->n=graph->edges; if (graph->edges) graph->edges->p=curr; curr->p=(adjlist *) NULL; graph->edges=curr; noue++; }

14 I file di input Istanze YES su grafi completi C20Yes.txt grafo completo con 20 vertici, 90 archi, e k = 19. Tempo di esecuzione 0.000s. C30Yes.txt grafo completo con 30 vertici, 435 archi, e k = 29. Tempo di esecuzione 0.00s. C39Yes.txt grafo completo con 39 vertici, 741 archi, e k = 38. Tempo di esecuzione: 0.00s.

15 I file di input Istanze NO su grafi completi C20No.txt grafo completo con 20 vertici, 90 archi, e k = 18. Tempo di esecuzione 0.000s. C30No.txt grafo completo con 30 vertici, 435 archi, e k = 22. Tempo di esecuzione 0.18s. C32No.txt grafo completo con 32 vertici, 496 archi, e k = 25. Tempo di esecuzione 2.08s. C35No.txt grafo completo con 35 vertici, 595 archi, e k = 28. Tempo di esecuzione s C39No.txt grafo completo con 39 vertici, 741 archi, e k = 37. Tempo di esecuzione: interrotto dopo 10 minuti.

16 I file di input MxNo.txt perfect matching su x vertici. minimum vertex cover ha cardinalità x/2. Ho i file con x = 20, 30, 40, 50, 54, 58, 60. Con x = 54 impiega 7.7s e x = 58 impiega 30.5s. Con x = 60 non ho avuto la pazienza di aspettare.