Nozioni base di teoria dei grafi

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1 Capitolo 2 Nozioni base di teoria dei grafi 2.1 Prime definizioni La teoria dei grafi stdia le proprietà metriche e topologiche delle relazioni binarie. L oggetto della teoria è il cosddetto grafo, oero na coppia di insiemi (N,A), oe N = {,..., n } è n insieme finito di elementi detti nodi mentre A = {e 1,...,e m } N N è n sottoinsieme di coppie ordinate di nodi dette archi. La rappresentazione grafica di n grafo orientato è data in Fig. 2.1, oe N = {,..., }, mentre A = {e 1,...,e 9 }. I nodi sono rappresentati con cerchi mentre gli archi sono frecce che partono dal primo nodo della coppia e terminano nel secondo nodo. e 1 e 5 e 2 e 2 4 e 6 e 7 e 3 e 9 e 8 Figra 2.1: Grafo orientato Di segito considerermo solo grafi semplici oero grafi prii di loop (archi di tipo (, ) per qalche N), e di archi paralleli (coppie di archi gali), come illstrato in Fig Qindi, i grafi considerati conterranno al più n arco per ogni coppia di nodi e i nodi dell arco deono essere distinti. I grafi fin qi introdotti sono i cosiddetti grafi orientati. Un altra famiglia rileante è qella dei grafi non orientati, oe l insieme di archi A è n insieme di coppie non ordinate. Per ogni arco orientato ( i, k ) i k e diremo i coda di e, i precede k, e esce da i. k testa di e, k sege i, e entra in k. Per ogni arco orientato o non orientato ( i, k ) e diremo i adiacente a k. e incidente s k e i 5

2 archi paralleli loop Figra 2.2: Loop e archi paralleli Coppia ordinata: ( i, k ) ( k, i ) Coppia non-ordinata: ( i, k )=( k, i ) i i e h e h k k Figra 2.3: Arco orientanto e arco non orientato e 1 e 2 1 e 5 e 4 e 6 e 7 e 9 e 3 e 8 Figra 2.4: Esempio di grafo orientato 6

3 i e k estremi di e. In figra e 1, ècodadie 1, è testa di e 1, precede, sege, e 2 esce da, e 3 entra in, è adiacente a, e 3 è incidente s. Diremo grafo orientato n grafo in ci ogni arco è orientato (grafo di Fig. 2.4), grafo non orientato n grafo in ci ogni arco è non orientato, altrimenti il grafo è detto grafo misto. Grafo non-orientato e 1 e 5 e 6 e 7 e 2 e 4 e 3 Grafo misto Figra 2.5: Grafo non orientato e grafo misto Diremo stella di in G, l insieme δ G () ={e A : e = o e = }, oero l insieme degli archi di G incidenti in. In Figra 2.4, δ G ( )={e 5,e 6,e 7 }, mentre in Figra 2.5, δ G ( )={e 1,e 2,e 5 }. La cardinalità δ G () della stella di è detta grado di ; il grado di in G è indicato con d G (). Chiameremo infine intorno di l insieme N G () ={ N : A o A} dei nodi adiacenti a in G. Qeste ltime definizioni si applicano a grafi di ogni tipo; se il grafo è n grafo orientato, possiamo estendere le definizioni nel modo segente. Diremo stella scente da l insieme δ + G () ={e : ècodadie} (e diremo δ + G () èilgrado scente di ). In Figra 2.4, δ+ G ()={e 5,e 7 }. Analogamente, diremo stella entrante in l insieme δ G () ={e : è testa di e} (e diremo δ G () il grado entrante di ). In Figra 2.4, δ G ()={e 6 }. Infine chiameremo intorno positio di l insieme N + G () ={ N : A} ossia l insieme dei nodi che sono teste di archi cla ci coda è. Chiameremo intorno negatio di l insieme N G () ={ N : A}, ossia l insieme dei nodi che sono code di archi che la ci testa è. Sia dato n insieme di nodi S N. Chiameremo taglio in G(N,A) definito da S, l insieme di archi δ G (S) ={ : S, N S}, oero l insieme di archi con n estremo in S e l altro estremo in N S. S e1 e 2 e 5 e 2 4 e 6e9 e 7 e 3 e 8 Figra 2.6: Taglio In Figra 2.6, si ha S = {,,, } mentre δ G (S) ={e 2,e 7,e 8,e 9 }. Dati S, T N de insiemi di nodi disginti (S T = ), indicheremeno con δ G (S, T ) l insieme degli archi con n estremo in S e 7

4 l altro estremo in T,ecioè l insieme δ G (S) δ G (T ). In Figra 2.7 si ha S = {, }, T = {, }, δ G (S, T )={e 3,e 4,e 5 }. e 1 e 2 e 5 4 e 2 4 S e 7 e 3 e 6 e 9 T e 8 Figra 2.7: δ(s, T ) Sia G(N,A) n grafo orientato e sia S N. Chiameremo taglio scente da S in G(N,A), l insieme di archi δ + G (S) ={ : S, N S}, oero l insieme di archi orientati con coda in S e testa in N S. Chiameremo taglio entrante in S in G(N,A), l insieme di archi δ G (S) ={ : N S, S}, oero l insieme di archi orientati con coda in N S e testa in S. Un grafo H(N,A )è detto sottografo di n grafo G(N,A) sen N e A A. 3 G(V,A) H(N,A ) Sottografo Figra 2.8: Un grafo G e n so sottografo H è detto ricoprente se N = N (H ricopre i nodi di G), mentre è detto indotto se A = { : {, } N, A}: più precisamente, H è detto indotto in G dall insieme di nodi N (e si indica con H = G[N ]), in qanto N definisce completamente il sottografo H. 2.2 Cammini, Walk, trail, cicli. Un walk in G(N,A)è na seqenza alternante di nodi e archi W =( i0,e i1, i1,e i2, i2,..., ip 1,e ip, ip ), oe, per j =1,...,p, l arco e ij è incidente nei nodi ij 1 e ij (oero e ij =( ij 1, ij ) oppre e ij = ( ij, ij 1 )). Indicheremo con V (W ) = { i0,..., ip } l insieme dei nodi di W, mentre con A(W ) = {e i1,...,e ip } l insieme degli archi di W. I nodi i0 e ip sono detti nodi estremi del walk W mentre gli altri nodi { i1,..., ip 1 } sono detti nodi intermedi. Si noti che nodi e archi possono essere ripetti. Se i0 = ip (cioè i de estremi coincidono) il walk è detto chiso, altrimenti è detto aperto. Un walk senza archi ripetti è detto trail. 8

5 ricoprente H(N,A ) G[{,,, }] indotto Figra 2.9: Sottografo ricoprente e indotto del grafo G di Fig. 2.8 Figra 2.10: Trail Cammino Ciclo Figra 2.11: Cammino e Ciclo 9

6 Un walk senza nodi interni ripetti è detto cammino. In sostanza, se n nodo appare de olte in n cammino, tale nodo pò solo coincidere con i nodi estremi del cammino stesso che è qindi n cammino chiso. Un cammino chiso è detto ciclo. Dati de cammini W 1 =( i0,..., ip )ew 2 =( j0,..., jq tali che ip = j0 )(cioè W 1 e W 2 hanno n estremo comne), definiamo concatenazione di W 1 e W 2 il cammino W 1 W 2 =( i0,..., ip,..., jq ). Un cammino orientato è n cammino W =( i0, ( i0, i1 ), i1, ( i1, i2 ),...,( ip 1, ip ), ip ) in ci ogni arco è n arco orientato: qindi per ogni coppia di nodi consectii sl cammino ik 1 e ik, k {1,...,p}, si ha che il corrispondente arco è orientato da ik 1 a ik. Un cammino orientato chiso è detto ciclo orientato. Figra 2.12: Cammino orientato e Ciclo orientato 2.3 Connessione. Un nodo N è detto connesso annodo N in G se esiste n cammino di estremi e. Figra 2.13: Esempi di connessione Nel grafo di Figra 2.13, in ci N = {,..., },sihache è connesso a, è connesso a, è connesso a, non è connesso a. Se indichiamo con R la relazione essere connesso a, si ede facilmente che R è na relazione di eqialenza. Infatti, gode della proprietà transitia (se R e Rt allora Rt) (edi figra 2.14 oe i tratti di cra tra i nodi rappresentano cammini), della proprietà riflessia (R) e della proprietà simmetrica (se R allora R). La relazione di eqialenza essere connesso a partiziona l insieme dei nodi N in n certo nmero di classi d eqialenza C 1,...,C t (partizione: C 1 C 2..., C t = N, C i C j = per ogni 1 i<j t). Coppie di nodi sono connesse se e solo se appartengono alla stessa classe d eqialenza. Si consideri il grafo di Figra In qesto esempio, si hanno le de classi d eqialenza C 1 = {,,, } e C 2 = {, }. Il sottografo G[C] indotto dalla classe C è detto componente connessa di G. Il nmero di 10

7 transitiità: R Rt Rt t Figra 2.14: Proprietà transitia componenti connesse di n grafo G è indicato con c(g). Il grafo di Figra 2.13 si compone qindi di de componenti connesse: G[C 1 ] G[C 2 ] 6 5 Figra 2.15: Componenti Connesse del grafo di Figra 2.13 Se c(g) = 1ilgrafoè detto connesso. Altrimenti (c(g) > 1) è detto non-connesso Connessione forte Il concetto di connessione pò essere opportnamente esteso al caso di grafi orientati. Specificamente, n nodo è connesso a n nodo (e scrieremo R) se esiste n cammino orientato da a. Tttaia, qesta definizione non è particolarmente tile a casa della mancanza di simmetria: l esistenza di n cammino orientato da a non assicra l esistenza di n cammino orientato da a. Per qesto motio si introdce na definizione più forte: n nodo N è detto fortemente connesso annodo N in G (indicato con R F ) se esiste n cammino orientato che a da a e n cammino orientato che a da a. t Figra 2.16: Proprietà della relazione di connessione forte E facile edere che la relazione di connessione forte è na relazione d eqialenza. Oiamente la 11

8 relazione è riflessia; la transitiità e la simmetria sono illstrate in G[C 3 ] G[C 2 ] G[C 1 ] Figra 2.17: Componenti Fortemente Connesse del grafo di Figra 2.13 Anche in qesto caso, la relazione definisce na partizione dell insieme dei nodi in classi di eqialenza C 1,...,C t. I sottografi indotti dalle classi d eqialenza G[C 1 ],...,G[C t ] sono detti componenti fortemente connesse di G. In Figra 2.17 sono mostrate le classi d eqialenza associate al grafo di Figra Foreste, alberi. Un grafo senza cicli (grafo aciclico) è detto foresta. In Figra 2.18 è mostrata na foresta con tre Figra 2.18: Foresta componenti connesse, indotte dagli insiemi di nodi C 1 = { }, C 2 = {,,,, } e C 3 = { 7, 8, 9 }. Un foresta connessa (oero con na singola componente connessa) è detta albero. Qindi, n albero è n grafo aciclico e connesso. Verranno ora discsse alcne proprietà fondamentali degli alberi e delle foreste. Teorema (Teorema del cammino singolo) Se G(N,A) è n albero allora per ogni coppia di nodi, N esiste no e n solo cammino che connette a. Dim. L esistenza di almeno n cammino fra ogni coppia di nodi sege direttamente dalla definizione di albero, che è n grafo connesso. Spponiamo per assrdo che esistono de cammini distinti in G, rispettiamente P 1 e P 2, che connettono de nodi distinti N e N. Siaty il primo arco di P 1 che non appartiene a P 2 (tale arco dee esistere perché P 1 P 2 ). Chiaramente t P 2. Se y P 2 allora, chiamando con P ty 2 il sottocammino di P 2 che connette t ad y, sihachep ty 2 concatenato all arco ty forma n ciclo, contraddizione. Se y / P 2 allora sia w in primo nodo di P 1 sccessio a t appartenente a P 2 (tale nodo esiste perché P 1 P 2 ). Sia P tw 1 il sottocammino di P 1 che a da t a w. Analogamente, 12

9 Figra 2.19: Albero sia P tw 2 il sottocammino di P 2 che a da t a w. E facile edere che P tw 1 e P tw 2 hanno in comne solo gli estremi t e w e la loro nione forma n ciclo contento in G, contraddizione. P 1 P 1 tw P 1 P 2 t t y t y w ty P 2 y P 2 tw P 2 Figra 2.20: Albero e ciclo generato da de cammini distinti nella dimostrazione del teorema Dato n albero, diremo foglia n nodo di grado nitario. Teorema (Teorema delle de foglie) Ogni albero H(N,T), con N 2, contiene almeno de foglie. Inoltre, se H contiene esattamente de foglie, allora H è n cammino. Dim. Come si è isto, ogni coppia di nodi x, y N è connessa in T da n nico cammino. Si prenda na coppia, per ci il cammino P che connette and sia il cammino più lngo, cioè n cammino di H che contiene il massimo nmero di archi possibile. z P Figra 2.21: Il cammino P nella dimostrazione del Teorema

10 Allora and sono foglie di H. Infatti, spponiamo per assrdo che non sia na foglia; qindi d H () 2ein incidono almeno de archi distinti. Essendo estremo di P, i inciderà n solo arco di P,siaz. Essendo d() 2, esiste almeno n arco w incidente in tale che w / P. Se w P, il sottocammino di P che connette e w concatenato all arco w formano n ciclo, contraddizione. Se w/ P, il cammino P (, w) che connette w e y è n cammino che contiene più archi di P, contraddizione. Abbiamo qindi dimostrato che ogni albero con almeno de nodi contiene almeno de foglie. w z P z w Figra 2.22: Contraddizione nel Teorema Mostriamo ora la seconda parte del teorema. Spponiamo qindi che l albero H contenga esattamente 2 foglie x e y esiap il cammino che le connette in H. Mostriamo che H P. Spponiamo qindi per assrdo che esista almeno n nodo di H che non appartiene a P. Fra ttti i nodi di H che non appartengono a P si scelga n nodo w tale che il cammino P wx che lo connette a x in H sia il più lngo possibile. Usando lo stesso argomento della prima parte della dimostrazione, si dimostra che w è na foglia. Ma w non appartiene a P e H contiene (almeno) tre foglie, contraddizione. Teorema (Teorema del nmero di archi di n albero) Il nmero di archi T di n albero H(N,T) è pari a N 1. Dim. Per indzione. Se l albero contiene n solo nodo, allora non contiene archi e qindi T =0= 1 1= N 1. Spponiamo ora che il teorema ale per N = k, per qalche k 1; mostriamo che ale ancora per N = k + 1. Sia qindi H(T,N) n albero con N = k +1 e sia na foglia di H. Costriamo n noo grafo, H (N,T ), ottento da H rimoendo la foglia e l nico arco incidente in. Qindi, N = N 1e T = T 1. Mostriamo che H è n albero. Infatti, H è aciclico perché ottento rimoendo n nodo e n arco da n grafo aciclico. Mostriamo ora che H è connesso. Spponiamo di no: esistono qindi de nodi w e z di H, connessi in H da n cammino P (nico) ma non connessi in H. Qesto ol dire che il nodo appartiene a P. Tttaia w, z implica che non è estremo del cammino P, e qindi in incidono de archi distinti di P, contraddicendo l ipotesi che sia na foglia. Qindi H è n grafo connesso e aciclico, e cioè n albero. Per l ipotesi indttia, T = N 1. Ma allora T = T +1= N = N 1 e l ennciato è dimostrato. Corollario (Corollario del nmero di archi di na foresta) Il nmero di archi T di na foresta H(N,T) con k componenti connesse (k 1) è pari a N k. Dim. Siano N 1,...,N k gli insiemi di nodi disginti che indcono le k componenti connesse, che indichiamo con H 1 (N 1,T 1 ),...,H k (N k,t k ). Chiaramente si ha N N k = N. Ogni componente connessa di H è n albero. Qindi, applicando il teorema si ha T i = N i 1peri =1,...,k e qindi T 1 + T T k = N 1 1+ N N k 1= N N k k = N k. La prossima figra (2.23) illstra n esempio del teorema, mostrando na foresta con 10 nodi, 3 componenti connesse e 10-3=7 archi. 14

11 Figra 2.23: Una foresta con 10 nodi, 3 componenti connesse e 10-3=7 archi. Teorema (Teorema della foresta ricoprente) Sia G(N,A) n grafo e sia H(S, T ) n sottografo aciclico di G tale che T = N 1. AlloraS = N (la foresta è ricoprente) e H ènalbero. Dim. Spponiamo che H contenga k componenti connesse, e siano S 1,...,S k gli insiemi di nodi disginti che indcono le k componenti connesse, che indichiamo con H 1 (S 1,T 1 ),...,H k (S k,t k ). Per il Corollario si ha T = S k. Ora, per ipotesi T = N 1 e qindi S k = N 1. Affinchè alga qest ltima relazione dee necessariamente essere S = N e k = 1. Infatti, se S < N oppre k>1 la qantità S k arà n alore strettamente inferiore a N 1. Qindi S = N e la foresta è ricoprente; inoltre k = 1 e la foresta contiene na sola componente connessa e qindi H è n albero. Un grafo prio di cicli orientati è detto DAG (dall inglese directed acyclic sbgraph) Figra 2.24: Directed Acyclic Graph Si osseri che n DAG pr non contenendo cicli orientati, pò contentere cicli. 2.5 Esercizi di atoaltazione Esercizio Vero o Falso? Rimoendo n taglio da n grafo connesso si ottiene n grafo con de componenti connesse. Il motio? Solz. Il teorema è falso. Si consideri l esempio in Figra Se S = {,, } gli archi del taglio saranno δ G (S) ={,,, } oero ttti gli archi del grafo. Il grafo ottento rimoendo gli archi del taglio non contiene archi oero contiene ttti nodi isolati (senza archi incidenti) e qindi le componenti connesse sono 5. 15

12 S Figra 2.25: Esercizio Qanti archi pò possedere, al massimo, n grafo con 5 nodi. Solz. Consideriamo n grafo orientato con n nodi. Da ogni nodo pò scire n arco erso ogni altro nodo, qindi la stella scente di n nodo ha cardinalità (al massimo) pari a n 1. Qindi, in ttto gli archi saranno n(n 1). Se il grafo è non orientato, l arco e l arco coincidono, e qindi abbiamo esattamente la metà del massimo nmero di archi di n grafo orientato, oero n(n 1)/2. In Figra 2.26 è mostrato n grafo completo con 5 nodi, orientato e non orientato. In base al risltato sopra esposto, il grafo orientato contiene 5 4 = 20 archi mentre qello non orientato ne contiene 10. Un grafo completo è detto cliqe. Figra 2.26: Cliqe con cinqe nodi Esercizio Completare la definizione segente: Albero Ricoprente di G(N,A): G(N,A)... n sottografo di Esercizio Dimostrare che ogni DAG G(N,A) contiene n nodo con stella scente ota (detto pozzo). Solz. Sia P = { = j1, ( j1, j2 ), j2,...,( jp 1, jp ), jp = z} il cammino orientato più lngo in G, di estremi e z. Mostriamo che z è n pozzo. Altrimenti esiste n arco zw A. Sew ènonè n nodo di P, allora il cammino P = P {z,(zw),w)}, ottento concantendando P e l arco zw èn cammino orientato più lngo di P, contraddizione. Altrimenti w P. Sia w = jk. Ma allora, il cammino P = P {z,(zw),w)} = { jk, ( jk, jk+1 ), jk+1,...,( jp 1, jp ), jp = z,(zw),w = jk } èn ciclo orientato, contraddicendo l ipotesi che G sia n DAG. Si osseri che in modo del ttto analogo di pò dimostrare che non ha archi entranti, oero è na sorgente. 16

13 Esercizio Dimostrare che in n grafo G(N,A) la somma dei gradi dei nodi nmero degli archi pari al doppio del Solz. Dimostriamo per indzione. Il teorema è ero se N = 1. Infatti d G () =0=2 A. Spponiamo cheilteoremasiaeroper N = k. Mostriamo che è ero per N = k + 1. Sia qindi G(N,A) ngrafo con k+1 nodi. Scegliamo n nodo qalsiasi e costriamo il grafo H(N,A )=G[N {}], cioè ottento eliminando da G e ttti gli archi incidenti in. Il teorema ale per H e qindi N d H() =2 A. Si osseri che per ogni nodo N adiacente a in G si ha che d H () =d G () 1, mentre per i nodi z non adiacenti a in G si ha d H (z) =d G (z). Qindi N d H() = N d G() d G (). Si osseri inoltre che A = A δ G () e A = A d G (). Sostitendo in N d H() =2 A otteniamo N d G() d G () =2( A d G ()) oero N d G()+d G () =2 A e qindi N d G() =2 A. 17