Lezione 2 Teoria dei vettori Sistemi di forze

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1 1 Facoltà di Ingegneria di Messina Corso di Scienza delle Costrzioni 1 Lezione 2 Teoria dei ettori Sistemi di forze Prof. Ing.. Giseppe Ricciardi A.A

2 2 Teoria dei ettori

3 3 Teoria dei ettori Il problema dell eqilibrio e del moto dei corpi richiede di rappresentare in modo coneniente e sintetico le case che prodcono lo stato di qiete o il moimento di n corpo (ed i fenomeni ad esso connessi) o la descrizione della configrazione di n sistema Un adegata rappresentazione di grandezze fisiche dotate di intensità, direzione e erso (spostamenti, forze) si ottiene mediante enti geometrici denominati ettori Il ettore è n ente geometrico caratterizzato da n intensità (nmero reale non negatio detto modlo ), da na direzione e da n erso (e eentalmente da n pnto di applicazione) P AP Vettore applicato (spostamenti, forze) A pnto di applicazione A P modlo Vettore libero (rotazioni, momenti) A

4 4 Vettore opposto Dato il ettore, il ettore, che ha lo stesso modlo, la stessa direzione, ma erso opposto, dicesi ettore opposto di V : De ettori applicati opposti, che abbiano la stessa retta di applicazione, si dicono direttamente opposti: Vettori nitari (ersori) Il ersore è n ettore nitario, cioè con modlo gale ad 1, introdotto con l obiettio di definire l orientamento di na retta o di n ettore. I ersori corrispondenti agli assi cartesiani spesso sono indicati come i, j, k Un ersore pò essere tilizzato anche per indiidare la giacitra di n piano, per esempio in figra n è il ersore caratterizzante la direzione ortogonale al piano π con erso scente dal piano stesso.

5 5 Retta di applicazione o retta di azione Dato n ettore applicato in P1, si chiama retta di azione, la retta r (orientata) alla qale il ettore appartiene. iamente non ha senso parlare di retta di applicazione di n ettore libero r Componente di n ettore secondo na retta orientata In generale retta e ettore possono essere sghembi, cioè non aere alcn pnto in comne (proprio o improprio) Il componente (ettore): r AP ( r) r ( cos ) r r La componente (scalare con segno): r r AP r cos r ersore della retta orientata

6 6 Componenti cartesiane di n ettore I ettori componenti del ettore secondo x,, z: ( i) i ( cos ) i ( ) i x x x ( j) j ( cos ) i ( ) i ( k) k ( cos ) k ( ) k z z z k z Le componenti (scalari con segno): i x j i cos x x x x j cos k cos z z z z s cos s coseni direttori del ettore Qadrando e sommando: x z x z ( ) x z s s,,, s s x z x z

7 7 Rappresentazione di n ettore Il ettore indiidato dalle tre componenti cartesiane si indica: x z ettore n nx cosx x n cos n z cos z z ersore Nel caso in ci si conoscano le coordinate dell estremo P del ettore e dell origine A, non coincidente con l origine della terna cartesiana di riferimento, si ha: z A P x P x x P A x x x P A P A z z z P A x x A ( x x ) ( ) ( z z ) P A P A P A x x z z x,, z x P A P A z P A

8 8 Algebra dei ettori. perazioni tra ettori liberi L elenco delle operazioni tra ettori pò essere così sintetizzato:

9 9 Somma di de ettori La somma di de ettori e è l operazione che associa ai de ettori dati n terzo ettore w ottento nel modo segente: scelto n pnto qalsiasi A nello spazio si spostano i ettori mantenendoli paralleli a sé stessi e si fa coincidere l origine di con A e l origine di V con l estremità P di, il ettore w rislta definito dal segmento orientato con origine in A ed estremità in B. x z w A P w B La somma di de ettori si pò ottenere anche con la regola del parallelogramma, trasportando i de ettori parallelamente a sé stessi e facendo coincidere l origine di ciascno con n pnto A prefissato. A w B La somma o risltante di de ettori iene indiidata dalla diagonale orientata, che ha per lati i de ettori che si sommano. La somma di de ettori gode della proprietà commtatia w A w B w

10 10 Somma di de ettori Come consegenza della proprietà commtatia, le componenti di w secondo gli assi cartesiani, nel riferimento spaziale xz, sono la somma delle componenti di e : w x x x w In forma matriciale: w P z z z w w B wx x x x x w w w z z z z z x w x x x

11 11 Differenza di de ettori La differenza di de ettori w si ottiene sommando al primo il secondo cambiato di erso, e ripetendo, qindi, qanto precedentemente fatto per la somma di de ettori: Si potrebbe arriare allo stesso risltato w ( ) applicando la regola del parallelogramma, si ede così che la differenza dei de ettori è data dalla seconda diagonale del parallelogramma determinato dai ettori U e V, mentre la prima come già isto w rappresenta la somma: w w

12 12 Somma di più ettori Proprietà commtatia 4 R i Vettore risltante i1 Pò sccedere che la poligonale dei ettori sia chisa, in tal caso il risltante è nllo. R 0

13 13 Prodotto di n ettore per no scalare w k w w k k r i j k x z x z

14 14 Prodotto scalare Si definisce prodotto scalare fra de ettori e, e lo si indica con il simbolo, l operazione che associa ai de ettori n nmero reale w ottento dal prodotto del modlo di per il modlo di per il coseno dell angolo compreso fra le de direzioni: w cos 0 Proprietà commtatia w Inoltre: w ( cos ) ( cos ) cos cos

15 15 Prodotto ettoriale Si definisce prodotto ettoriale fra de ettori e, e lo si indica con il simbolo, l operazione che associa ai de ettori n terzo ettore w così definito: w sin r r sin area parallelogramma r è n ersore normale al piano indiidato dai ettori e, il erso di r è tale che na ite che rota descriendo l angolo ( 0 ) aanza nel erso di r, con 0, è l angolo compreso tra i ersi positii di e w sin r

16 16 Prodotto ettoriale Il prodotto ettoriale non gode della proprietà commtatia. Infatti, cambiando l ordine dei fattori cambia il erso del ettore prodotto: w z w w

17 17 Prodotto ettoriale Proprietà distribtia del prodotto ettoriale (ettori complanari) ( w) w s w s ( w) s w s w

18 18 Prodotto ettoriale tra ersori cartesiani Dalla definizione di prodotto ettoriale: i i 0 j j 0 k k 0 i j k jk i k i j j i k k j i i k j k i j i jk j k i

19 19 Prodotto ettoriale tramite il determinante simbolico Dati de ettori e definiti mediante le loro componenti e indicando con i, j, k i ersori diretti come gli assi x,, z di na terna cartesiana, essi si possono esprimere nella segente forma: x z x z i j k x z i j k x z Il prodotto ettoriale di e è: w ( i j k) ( i j k) x z x z ( i i) ( i j) ( ik) x x x x z ( ji) ( j j) ( jk) x z ( k i) ( k j) ( k k) z x z z z k j k i j i x x z x z z x z ( ) i ( ) j ( ) k z z z x x z x x

20 20 Prodotto ettoriale tramite il determinante simbolico Il prodotto ettoriale di e come determinante della segente matrice: i j k z x z x w x z i j k z x z x x z ( ) i ( ) j ( ) k z z z x x z x x Le componenti del ettore prima riga della matrice: w sono rappresentati dai cofattori degli elementi della wx z z w w zx xz w z x x x z w x, w, wz z x z x z x

21 21 Espressione matriciale del prodotto ettoriale w w i w j w k x z w x z z w z x x z w z x x Si associa al primo ettore la matrice di segito definita: U U 0 z 0 x z 0 x Il prodotto ettore si esprime come prodotto matriciale: 0 z x z z wx w U z 0 x x zx x z w x x 0 x x x w x

22 22 Sistemi di forze

23 23 Momento polare Sia dato n ettore applicato in n pnto P di na retta r e si consideri n altro pnto non appartenente ad r. Il momento polare di rispetto ad è dato dal segente prodotto ettoriale: M P d d d sin M d P r Il modlo del momento polare rispetto ad sarà: M ( d sin ) d M d d sin d P r d P

24 24 Espressione matriciale del momento polare x x z z M (, d) z r dx xp 0 xp P d d P 0 P d z zp 0 z P x P d z P P x P P ( xp, p, z p ) M 0 zp P x P z 0 x P xp 0 z P P 0 zp P x ( z P zp ) zp 0 x P ( xzp zxp ) P xp 0 z ( xp x P ) M ( z ) x z P P M ( z x ) x P z P M ( x ) z P x P

25 25 Proprietà del momento polare 1. Il momento polare non cambia se si sposta il pnto di applicazione della forza (del ettore) lngo la propria retta d azione r. Cioè se si fa scorrere lngo la sa retta d azione il momento polare rispetto ad n polo non aria. Infatti, il braccio di rispetto ad, che rappresenta la distanza di dalla retta r, non cambia. M P d M P d d 1 1 d d sin d sin M d sin d d 2 d P 1 M d sin d P 2 M d r 2

26 26 Esempio

27 27 Esempio M P 1 1 M P 2 2 Il modlo del momento pò anche essere calcolato come prodotto del modlo di V per il so braccio rispetto ad :

28 28 Proprietà del momento polare 2. Il momento polare non cambia se si sposta il polo lngo na retta parallela a qella d azione della forza. Anche in qesto caso il braccio se i ettori posizione e l angolo momento polare non cambia M P d M P d M P d 2 2 d d d sin d sin d sin rimane inariato (anche ariano), pertanto il 2 d 2 1 d d 1 P 1 2 M d sin d M d sin d M d sin d 2 2 r r r d M d

29 29 Proprietà del momento polare 3. Il momento polare di na forza (ettore) rispetto ad n pnto della sa retta d azione è nllo 0 sin 0 M d sin 0 r d P 4. Cambio del polo: il momento polare di na forza rispetto ad n pnto è anche gale al momento di rispetto al polo amentato del momento di spposto applicato in rispetto a M P d ( P ) ( P ) ( ) M ( ) d d r P P

30 30 Trasporto di na forza Una forza pò essere trasportata parallelamente a se stessa e fatta passare per n pnto qalnqe, prché si agginga il momento che nasce da qesto trasporto. In tal modo non cambia il campo di momento generato dalla forza. M M P P P Data na forza, applicata in P, è possibile spostare il pnto di applicazione in prché al momento polare rispetto ad n qalsiasi polo si agginga il momento di trasporto M P

31 31 Esempio Si consideri n pilastro soggetto ad na forza erticale applicata all estremo P, è possibile applicare tale forza nel baricentro prché enga agginto il momento di trasporto

32 32 Momento assiale di na forza Dati n asse a e na forza V (non parallela né incidente ad a ) si definisce momento assiale di V rispetto ad a il momento polare della proiezione di V s n piano normale all asse a rispetto al pnto dato dall intersezione di a con il piano. Ma P Qindi il momento di na forza rispetto ad n asse è il prodotto della proiezione della forza s n piano normale all asse, per la sa minima distanza dall asse. Il momento assiale è nllo se la forza incontra l asse o se è parallela ad esso, qindi se la forza ha in comne con l asse n pnto, sia proprio sia improprio.

33 33 Momento risltante Dati de ettori, applicato nel pnto P1, e, applicato nel pnto P2, si dice momento risltante M R rispetto ad. rispetto al polo la somma ettoriale dei momenti dei singoli ettori M M I de ettori e possono essere sommati ettorialmente dando logo al momento risltante: 1 2 P P M1 M 2 M M M R 1 2 Nel caso di n ettori il momento risltante rispetto al polo sarà dato dalla somma (ettoriale) dei momenti dei singoli ettori rispetto al polo : n M M P R i i i i1 i1 n

34 34 Coppie De ettori applicati in de pnti distinti formano na coppia se hanno la stessa intensità, linee d azione parallele e ersi opposti. Cioè 1,. E chiaro che il Risltante 2 di tale sistema è nllo. M P1 P2 ( ) ( P P ) P P P2 P In tale espressione non compare il polo, pertanto il momento di na coppia non dipende dal polo scelto.

35 35 Coppie Se il pnto appartiene al piano definito dai ettori e si ha na rappresentazione piana M P P 2 1 Il momento risltante rispetto ad n altro pnto appartenente allo stesso piano ale M P P ( ) P P M cioè il momento non cambia qalsiasi sia il pnto rispetto al qale si ricerca il momento risltante.

36 36 Coppie M Il modlo di ale M P2 P1 sin b doe ϕ è l angolo tra i ettori P2 P1 e mentre b P P sin 2 1 è il braccio della coppia Qindi il modlo del momento della coppia è sempre dato dal prodotto del modlo di no dei de ettori per il braccio della coppia, per qalsiasi pnto rispetto al qale si calcola il momento. La direzione del momento della coppia è perpendicolare al piano indiidato dai de ettori della coppia. Il erso del momento della coppia è antiorario (positio) se la coppia tende ad imprimere al corpo na rotazione antioraria, ed è orario (negatio) se la coppia tende ad imprimere al corpo na rotazione oraria.

37 37 Proprietà delle coppie 1. La coppia pò essere rappresentata dal so ettore momento. 2. I de ettori che compongono la coppia possono essere rotati intorno al loro pnto di applicazione prché si cambi il modlo dei ettori che la compongono in modo che il modlo del momento che rappresenta la coppia rimanga costante: b b 3. Una coppia pò essere trasportata s n piano parallelo a qello s ci giace, senza modifica al campo di momento che essa indce. 4. Una coppia pò essere trasportata comnqe nel piano in ci giace, senza modificazioni al campo di momento che essa indce. 5. Le coppie possono essere sommate mediante la somma dei loro ettori momento.

38 38 Esercizio Dati i ettori e, applicati nei pnti P1 e P2, rispettiamente, definiti attraerso le 1 2 loro componenti cartesiane, erificare che costitiscono coppia Affinché i de ettori formino coppia deono costitire n sistema con risltante nlla, cioè deono aere lo stesso modlo ed essere paralleli ma con erso opposto. Inoltre le componenti sono proporzionali a meno del segno, qindi i de ettori sono paralleli ma con erso opposto.

39 39 Esercizio Calcolo del momento risltante rispetto all origine del sistema di riferimento:

40 40 Esercizio Il momento di na coppia è anche dato dalla segente espressione: M P P PP Dalla prima, applicando ad esempio, il metodo del determinante simbolico, si ottiene: P2 P1 Il modlo del momento della coppia ale:

41 41 Trasporto di na forza Una forza pò essere traslata dal so pnto di applicazione P fino ad n qalnqe pnto prché gli si agginga na coppia di momento di alore M P Nel pnto è possibile applicare de forze, na gale a e l altra gale a. Il sistema costitito da qeste de forze ha risltante e momento risltante nlli, pertanto non modifica l azione della forza originale sl corpo rigido. Si pò notare che la forza originale applicata in P e la forza applicata in costitiscono na coppia M detta coppia di trasporto.

42 42 Ridzione di n sistema di forze al risltante più il momento risltante Scelto n polo, n sistema di forze applicate nei pnti si ridce ad n insieme di forze concorrenti in e di coppie M i trasportata nel pnto con la relatia coppia di trasporto. i. Qesto perché ogni forza del sistema pò essere Le forze concorrenti in possono essere sommate, originando il risltante R applicato in. Anche le coppie M posso essere sommate dando logo al momento risltante M : i P i R

43 43 Ridzione di n sistema di forze al risltante più il momento risltante Pertanto, n sistema qalnqe di forze applicate ad n corpo rigido si pò sempre ridrre ad na forza risltante R, passante per n pnto arbitrariamente scelto, e ad na coppia M R risltante. R n i1 n i M M P R i i i i1 i1 n Il risltante R ha intensità, direzione e erso perfettamente determinati, indipendentemente M R dalla scelta del polo di ridzione adottato. Inece la coppia dipende dalla posizione del polo, perché è la somma dei ettori M P, che dipendono da. i i i

44 44 Eqialenza statica di sistemi di forze applicate Qando n sistema di forze applicate ad n corpo rigido pò essere sostitito da n altro sistema di forze applicate allo stesso corpo senza proocare alcn cambiamento negli effetti meccanici (tendenza alla traslazione e alla rotazione) i de sistemi di forze si definiscono staticamente eqialenti. Ad esempio la forza R applicata in P è staticamente eqialente al sistema di forze concorrenti V ed H applicate nello stesso pnto P.

45 45 Eqialenza statica di sistemi di forze applicate Dee cioè risltare: il risltante del primo sistema dee essere gale al risltante del secondo (gale tendenza alla traslazione) il momento risltante del primo sistema dee essere gale al momento risltante del secondo (gale tendenza alla rotazione) R V H M I R M II R Più in generale dati de sistemi S e S* di forze applicate ad n corpo rigido che hanno come risltanti R e R*, e come momenti risltanti rispetto ad n polo qalsiasi, MR e MR*, tali sistemi si definiscono eqialenti se e solo se hanno il medesimo risltante (forza) e lo stesso momento risltante (coppia) rispetto ad n qalsiasi polo. Qindi si pò affermare che de sistemi di forze applicate sono eqialenti se entrambi possono essere ridotti allo stesso sistema Forza-Coppia (Risltante e Momento Risltante) in n generico pnto.

46 46 Eqialenza statica di sistemi di forze applicate

47 47 Eqialenza statica di sistemi di forze applicate

48 48 perazioni inariantie Sono qelle operazioni che non modificano il campo dei momenti stabilito dal sistema di forze applicate. Qindi qeste operazioni non cambiano gli effetti meccanici delle forze applicate ad n corpo rigido. Le segenti operazioni sono inariantie: 1. Spostare il pnto di applicazione di na forza lngo la propria retta d azione. 2. Aggingere o togliere de forze gali ed opposte agenti slla stessa retta d azione (tali forze costitiscono na coppia di momento nllo). 3. Rimpiazzare più forze agenti s rette d azione concorrenti in n pnto con il loro risltante applicato in tale pnto. Viceersa si pò decomporre na forza secondo più direzioni. 4. Spostare n forza in direzione perpendicolare alla sa retta d azione aggingendo la corrispondente coppia di trasporto. 5. Sostitire più coppie con na sola coppia che ha come momento il momento risltante dei ettori momento di ciascna delle coppie date. 6. Trasportare na coppia s n piano parallelo a qello s ci giace.

49 49 Sistemi di forze applicate. Sistema eqilibrante Dato n sistema SA di forze applicate aente risltante R A e momento risltante M R, A rispetto ad n polo qalsiasi, si da il nome di sistema eqilibrante (del sistema dato) al sistema SR di risltante e momento risltante rispetto allo stesso polo tale che si erifichi: R R M R, R R R 0 A R R A R R Forze opposte M M 0 R, A R, R M R, A M R, R Momenti opposti Si pò dire che il sistema SR è eqilibrante di SA se il sistema formato da ttte le forze appartenenti a SA e a SR costitisce n sistema nllo. Qindi il sistema eqilibrante sommato al sistema dato prodce n sistema eqilibrato. In genere, dato n corpo rigido incolato, sono note le forze attie applicate in diersi pnti del corpo, mentre sono incognite le forze reattie ai incoli. Se l insieme è in eqilibrio, le reazioni incolari deono costitire n sistema eqilibrante il sistema delle forze attie. Pertanto, la determinazione delle reazioni incolari si ridce alla ricerca del sistema eqilibrante delle forze attie.

50 50 Sistemi di forze applicate. Sistema eqilibrante

51 51 Sistema di forze nllo o eqilibrato R M R Qando il risltante e il momento risltante di n dato sistema di forze applicate sono gali a zero si dice che il sistema dato è nllo o eqilibrato. Qesta sitazione rappresenta n caso particolare di noteole importanza rigardante la ridzione dei sistemi. Dal pnto di ista meccanico, n sistema nllo non prooca nessn effetto sl corpo rigido s ci agisce. Infatti non è presente alcna tendenza alla traslazione o alla rotazione, qindi il corpo rigido rimane in stato di qiete o di eqilibrio.