Corso di Fisica. Lezione 3 Scalari e vettori Parte 2
|
|
- Isabella Patti
- 5 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Corso di Fisica Lezione 3 Scalari e vettori Parte 2
2 Algebra vettoriale Negli anni trascorsi si sono studiate le regole dell algebra applicate agli scalari Ora occorre definire le regole algebriche per queste nuove grandezze Le linee guida da seguire sono due: 1) L algebra dei vettori deve essere una estensione dell algebra degli scalari 2) L algebra dei vettori deve corrispondere a ciò che in natura accade Procederemo ora a definire le operazioni di somma e di prodotto con i vettori utilizzando appunto queste due linee guida. Corso di Fisica 2
3 Somma di scalari Per definire l operazione di somma tra vettori ricordiamo come, alle elementari, si è definita l operazione di somma tra scalari. Per sommare due numeri si fa uso di due righelli Ad esempio prendiamo un primo righello lungo 4 Ed un secondo righello lungo 6 Prendiamo ora il primo righello e dove esso finisce facciamo partire il secondo Otteniamo un righello complessivamente lungo 10 e quindi scriviamo = 10 Corso di Fisica 3
4 Somma di vettori Ripetiamo ora lo stesso procedimento ma applichiamolo ai vettori Prendiamo un vettore a = (a x, a y, a z ) a ed un secondo vettore b = (b x, b y, b z ) b Disegniamo ora il primo vettore e da dove finisce facciamo partire il secondo a b c Il vettore che parte dall inizio di a e termina alla fine di b è il vettore somma c Corso di Fisica 4
5 Costruzione geometrica Consideriamo la figura che ci ha portato a definire il vettore somma c = a + b Dal punto A, inizio del vettore a, facciamo partire una retta parallela al vettore b. Successivamente, dal punto C, fine del vettore b, facciamo partire una retta parallela al vettore a. A a D c B b C Queste due rette si incontreranno in un punto D. Il quadrilatero ABCD è, per costruzione, un parallelogramma i cui lati coincidono, due a due, con i due vettori da sommare Il vettore somma c è costituito dalla diagonale del parallelogramma con origine in A Corso di Fisica 5
6 Regola del parallelogramma In conclusione siamo giunti a definire una regola geometrica per costruire il vettore somma la regola del parallelogramma Siano dati due vettori a e b. Trasliamoli parallelamente a se stessi in modo che abbiamo entrambi origine in un punto O. Dall estremo di ognuno dei due vettori tracciamo due rette parallele all altro vettore. Viene così ad individuarsi un parallelogramma OACB La diagonale di tale parallelogramma che ha origine in O è il vettore somma O c = a + b b a B c A C Corso di Fisica 6
7 Vettori equipollenti Nel definire la regola del parallelogramma abbiamo dovuto traslare i vettori parallelamente a se stessi. Ovviamente questa operazione di traslazione non deve modificare i vettori e di conseguenza possiamo applicarla solo a vettori che godono di questa proprietà. Definiamo pertanto quei vettori che vettori equipollenti possono essere traslati parallelamente a se stessi senza cambiarne le caratteristiche Per quanto detto prima abbiamo che La regola del parallelogramma può essere applicata solo a vettori equipollenti Corso di Fisica 7
8 Somma di molti vettori Possiamo generalizzare l operazione di somma non limitandoci più a due soli vettori ma considerarne molti z = a + b + c + + n A tale scopo accodiamo i vettori uno dopo l altro, in modo che il punto di termine di uno di essi coincida con il punto di inizio del successivo a b c Si ottiene una poligonale che inizia col punto d inizio del primo addendo e termina col punto di fine dell ultimo addendo. z d Il vettore somma è il vettore che chiude la poligonale, ovvero che inizia nel punto iniziale del primo addendo e termina col punto finale dell ultimo addendo Corso di Fisica 8
9 Somma analitica di vettori Determiniamo ora la formula analitica della somma di vettori, partendo dalla regola del parallelogramma. Disegniamo pertanto un sistema di riferimento ed i due vettori da sommare A c C Applichiamo poi la regola del parallelogramma e costruiamo il vettore somma Vediamo ora cosa accade per le componenti. Ad esempio per la componente dei vettori lungo l asse x O a b B Corso di Fisica 9
10 Somma analitica di vettori Studiamo, ad esempio per la componente dei vettori lungo l asse x Il segmento orientato OA rappresenta il vettore a e pertanto la sua proiezione sull asse x è la componente del vettore lungo l asse x: a x. Il segmento orientato OB rappresenta il vettore b e pertanto la sua proiezione sull asse x è la componente del vettore lungo l asse x: b x Per costruzione il segmento AC è parallelo al segmento OB ed ha uguale lunghezza. Di conseguenza la sua proiezione sull asse delle x ha lunghezza uguale a quella del segmento OB. O a a x A Corso di Fisica 10 bx b c B C
11 Somma analitica di vettori Il segmento orientato Oc rappresenta il vettore c e pertanto la sua proiezione sull asse x è la componente del vettore lungo l asse x: c x. Dal disegno appare chiaro che tale proiezione è pari alla somma della proiezione del segmento OA e del segmento AC per cui A c C c x = a x + b x Un analogo risultato si ottiene per l asse y Di conseguenza l operazione di somma tra vettori, analiticamente si esprime con la formula O a a x b b x B c x = a x + b x c y = a y + b y c x Corso di Fisica 11
12 Somma di vettori A seguito di quanto abbiamo detto sinora possiamo affermare che Si definisce vettore somma c = a + b Il vettore che ha per componenti la somma delle componenti omologhe c x = a x + b x c y = a y + b y c z = a z + b z Corso di Fisica 12
13 Fattore di scala Se dobbiamo disegnare una pianta di un locale su di un foglio di carta ovviamente non riportiamo le misure reali ma utilizziamo una scala. Ad esempio se utilizziamo una scala 1:100 intendiamo che ad 1 cm riportato sulla carta corrisponde una distanza reale di 100 cm. Questo tipo di rappresentazione non cambia le forme degli oggetti ma solo le loro dimensioni. Per individuare la posizione reale di un punto P posto sulla cartina in posizione (x, y) occorre applicare la proporzione X = k x Y = k y y ove k è il fattore di scala x Corso di Fisica 13
14 Prodotto di un vettore per uno scalare L operazione che abbiamo appena compiuto corrisponde al prodotto di un vettore per uno scalare. L operazione che abbiamo appena compiuto corrisponde al prodotto di un vettore per uno scalare. Si definisce vettore prodotto di uno scalare per un vettore b = k a Il vettore che ha componenti pari alla componente del vettore per lo scalare b x = k a x b y = k a y b z = k a z Corso di Fisica 14
15 Prodotto di un vettore per uno scalare Determiniamo ora la relazione che lega i due vettori in coordinate polari e a 2 = a x2 + a y 2 θ a = arcsin (a y / a ) b 2 = b x2 + b y2 = k 2 a x2 + k 2 a y 2 = k 2 a 2 θ b = arcsin (b y / b ) = arcsin (k a y / k a = ± θ a ove il segno ± dipende dal segno di k In parole possiamo dire che il prodotto di uno scalare per un vettore fornisce un vettore che ha intensità pari al prodotto della intensità del vettore originario per lo scalare, la stessa direzione e verso uguale se lo scalare è positivo ed opposto se lo scalare è negativo Corso di Fisica 15
16 Prodotto tra vettori Passiamo ora a definire il prodotto tra due vettori poiché esiste sia il campo degli scalari che quello dei vettori possiamo ipotizzare che esista sia un tipo di prodotto tra vettori che ha per risultato uno scalare che un tipo di prodotto tra vettori che ha per risultato un vettore Per distinguerli chiameremo il primo col nome di mentre al secondo daremo il nome di prodotto scalare prodotto vettoriale Corso di Fisica 16
17 Prodotto scalare Consideriamo due vettori: a = (a x, a y, a z ) b = (b x, b y, b z ) e definiamo il loro prodotto scalare k = a b come la somma dei prodotti delle componenti omologhe ovvero, in formula k = a b = a x b x + a y b y + a z b z Corso di Fisica 17
18 Prodotto scalare in coordinate polari Per capire meglio il significato del prodotto scalare tra due vettori esprimiamolo in termini delle coordinate polari Rappresentiamo i due vettori in un sistema di coordinate rettangolari in cui l asse delle x si sovrapponga al vettore a. Risulta allora che: a = ( a, 0) b = ( b cos θ b, b sin θ b ) b ove con θ b abbiamo indicato l angolo al polo del vettore b Calcoliamo ora il prodotto scalare O θ b a k = a b = a x b x + a y b y = a b cos θ b + 0 b sin θ b = a b cos θ b Corso di Fisica 18
19 Prodotto scalare in coordinate polari Osserviamo ora la formula precedente k = a b = a b cos θ b e notiamo che θ b non è soltanto l angolo al polo del vettore b ma anche l angolo tra i due vettori Possiamo allora affermare che Il prodotto scalare è pari al prodotto dei moduli dei due vettori per il coseno dell angolo compreso in formula k = a b = a b cos θ Corso di Fisica 19
20 Significato del prodotto scalare Osservando questa formula k = a b = a b cos θ ed il disegno che mostra i due vettori, possiamo notare che b cos θ è la componente del secondo vettore rispetto al primo. Possiamo allora affermare che moltiplicare scalarmente due vettori significa moltiplicare il modulo del primo per la componente del secondo che si appoggia sul primo b θ a Corso di Fisica 20
21 Commutatività del prodotto scalare Torniamo ora alla definizione del prodotto scalare k = a b = a x b x + a y b y + a z b z ed osserviamo cosa accade se invertiamo l ordine dei fattori h = b a = b x a x + b y a y + b z a z ma il prodotto di due scalari gode della proprietà commutativa e quindi e di conseguenza h = b x a x + b y a y + b z a z = a x b x + a y b y + a z b z = k il prodotto scalare gode della proprietà commutativa Corso di Fisica 21
22 Prodotto vettoriale Passiamo ora a definire il prodotto vettoriale tra due vettori c = a ^ b Dobbiamo notare, per prima cosa, che questo prodotto si può definire esclusivamente per spazi a 3 dimensioni. La definizione analitica del prodotto vettoriale ha una forma piuttosto complessa e la sua memorizzazione è, in questa fase, inutile. Provvederemo pertanto a darne una definizione semi quantitativa, basata cioè sulla determinazione della intensità, direzione e verso del vettore risultato Corso di Fisica 22
23 Modulo del prodotto vettoriale Definiamo le proprietà del prodotto vettoriale tra due vettori c = a ^ b ovvero il suo modulo, la direzione ed il verso. b Dati due vettori a e b, il loro prodotto vettoriale c ha modulo pari a ovvero è pari al c = a b sin θ θ a prodotto dei moduli dei vettori per il seno dell angolo compreso Corso di Fisica 23
24 Direzione del prodotto vettoriale Per quanto riguarda la direzione del prodotto vettoriale tra due vettori c = a ^ b possiamo notare che i due vettori individuano univocamente un piano che li contiene entrambi. A sua volta questo piano individua univocamente una retta ad esso perpendicolare. Diremo allora che il Vettore prodotto di due vettori ha la direzione della retta perpendicolare al piano che contiene i due vettori b θ a Corso di Fisica 24
25 Verso del prodotto vettoriale Più complessa è la definizione del verso del prodotto vettoriale tra due vettori c = a ^ b Tra tutte le regole possibili mostriamo qui la cosiddetta regola del cavaturaccioli Prendiamo cioè in considerazione quello strumento che viene comunemente utilizzato per estrarre i tappi di sughero dalle bottiglie. Se facciamo ruotare il cavaturaccioli nel verso in cui il primo vettore deve ruotare per sovrapporsi al secondo dal lato più corto il cavaturaccioli avanzerà in un verso che è proprio il verso del vettore prodotto vettoriale Corso di Fisica 25
26 Anticommutatività del prodotto vettoriale Abbiamo visto che il prodotto scalare gode della proprietà commutativa ed ora mostreremo che il prodotto vettoriale gode della proprietà opposta. Studiamo pertanto la relazione che esiste tra i due vettori c = a ^ b d = b ^ a Per le definizioni che abbiamo dato i due vettori hanno uguale modulo ed uguale direzione ma verso opposto. Infatti la definizione del verso impone di individuare il verso di rotazione per cui il primo vettore si sovrappone al secondo. Invertire l ordine dei vettori pertanto inverte il verso di rotazione e quindi il verso del vettore risultato. Si ha pertanto c = a ^ b = - d = b ^ a e quindi il prodotto vettoriale gode della proprietà anticommutativa. Corso di Fisica 26
27 Doppio prodotto vettoriale Poiché il risultato di un prodotto vettoriale è un vettore esso può essere ancora moltiplicato vettorialmente per un altro vettore ottenendo il doppio prodotto vettoriale d = a ^ (b ^ c) Riportiamo qui il risultato di tale prodotto, senza dimostrarlo d = a ^ (b ^ c) = b ( a c ) c ( a b ) Corso di Fisica 27
Algebra dei vettori OPERAZIONI FRA VETTORI SOMMA DI VETTORI
Algebra dei vettori Il vettore è un oggetto matematico che è caratterizzato da modulo, direzione e verso. Si indica graficamente con una freccia. Un vettore è individuato da una lettera minuscola con sopra
DettagliVETTORI E SCALARI DEFINIZIONI. Si definisce scalare una grandezza definita interamente da un solo numero, affiancato dalla sua unità di misura.
VETTORI E SCALARI DEFINIZIONI Si definisce scalare una grandezza definita interamente da un solo numero, affiancato dalla sua unità di misura. Un vettore è invece una grandezza caratterizzata da 3 entità:
DettagliCorso di Fisica. Lezione 2 Scalari e vettori Parte 1
Corso di Fisica Lezione 2 Scalari e vettori Parte 1 Scalari e vettori Consideriamo una libreria. Per determinare quanti libri ci sono su uno scaffale basta individuare lo scaffale in questione e contare
Dettaglix 1 Fig.1 Il punto P = P =
Geometria di R 2 In questo paragrafo discutiamo le proprietà geometriche elementari del piano Per avere a disposizione delle coordinate nel piano, fissiamo un punto, che chiamiamo l origine Scegliamo poi
DettagliLa matematica del CAD. Vettori e Matrici
La matematica del CAD Vettori e Matrici IUAV Disegno Digitale Camillo Trevisan I programmi CAD riducono tutti i problemi geometrici in problemi analitici: la proiezione di un punto su un piano viene, ad
DettagliProf. Luigi De Biasi VETTORI
VETTORI 1 Grandezze Scalari e vettoriali.1 Le grandezze fisiche (ciò che misurabile e per cui è definita una unità di misura) si dividono due categorie, grandezze scalari e grandezza vettoriali. Si definisce
DettagliVettori e geometria analitica in R 3 1 / 25
Vettori e geometria analitica in R 3 1 / 25 Sistemi di riferimento in R 3 e vettori 2 / 25 In fisica, grandezze fondamentali come forze, velocità, campi elettrici e magnetici vengono convenientemente descritte
DettagliV il segmento orientato. V con VETTORI. Costruzione di un vettore bidimensionale
VETTORI Costruzione di un vettore bidimensionale Nel piano con un righello si traccia una retta r tratteggiata Su r si disegna un segmento di lunghezza l d una delle estremità si disegni la punta di una
DettagliProdotto scalare e prodotto vettoriale. Elisabetta Colombo
Corso di Approfondimenti di Matematica Biotecnologie, Anno Accademico 2010-2011, http://users.mat.unimi.it/users/colombo/programmabio.html Vettori Vettori 1 2 3 4 di di Ricordiamo il in R n Dati a = (a
DettagliDue vettori si dicono opposti se hanno stessa direzione, stesso modulo ma direzione opposte, e si indica con.
Vettori. Il vettore è un ente geometrico rappresentato da un segmento orientato, che è caratterizzato da una direzione, da un verso e da un modulo. Il punto di partenza si chiama coda (o punto di applicazione),
Dettaglie la lunghezza della proiezione del vettore B sul vettore A. s = A B =A b
8) Prodotto scalare o prodotto interno Si definisce prodotto scalare s di due vettori A e B, l area del rettangolo che ha per lati il modulo del vettore A e la lunghezza della proiezione del vettore B
DettagliSpazi vettoriali. Vettori geometrici. Spazi vettoriali R n. Spazi vettoriali.
Spazi vettoriali Vettori geometrici. Spazi vettoriali R n. Spazi vettoriali. Piano vettoriale geometrico G 2 Il contesto del discorso che svolgiamo in questa parte e il piano della geometria elementare,
DettagliCORSO DI BIOFISICA IL MATERIALE CONTENUTO IN QUESTE DIAPOSITIVE E AD ESCLUSIVO USO DIDATTICO PER L UNIVERSITA DI TERAMO
CORSO DI BIOFISICA IL MATERIALE CONTENUTO IN QUESTE DIAPOSITIVE E AD ESCLUSIVO USO DIDATTICO PER L UNIVERSITA DI TERAMO LE IMMAGINE CONTENUTE SONO STATE TRATTE DAL LIBRO FONDAMENTI DI FISICA DI D. HALLIDAY,
DettagliVettori paralleli e complanari
Vettori paralleli e complanari Lezione n 9 1 (Composizione di vettori paralleli e complanari) Continuando lo studio delle grandezze vettoriali in questa lezione ci interesseremo ancora di vettori. In particolare
DettagliI vettori. I vettori sono gli oggetti matematici che costituiscono la base di tutte le teorie fisiche.
Vettori I vettori I vettori sono gli oggetti matematici che costituiscono la base di tutte le teorie fisiche. Le grandezze fisiche si distinguono essenzialmente in due grandi classi. Quelle che risultano
DettagliVETTORI. OPERAZIONI CON I VETTORI. RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA DEI VETTORI. APPLICAZIONI.
VETTORI. OPERAZIONI CON I VETTORI. RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA DEI VETTORI. APPLICAZIONI. Sia AB un segmento orientato. Ad esso è possibile associare: 1) la direzione, cioè la direzione della retta su
DettagliProdotto scalare e ortogonalità
Prodotto scalare e ortogonalità 12 Novembre 1 Il prodotto scalare 1.1 Definizione Possiamo estendere la definizione di prodotto scalare, già data per i vettori del piano, ai vettori dello spazio. Siano
Dettaglimisura. Adesso, ad un arbitrario punto P dello spazio associamo una terna di numeri reali x
4. Geometria di R 3. Questo paragrafo è molto simile al paragrafo : tratta infatti delle proprietà geometriche elementari dello spazio R 3. Per assegnare delle coordinate nello spazio, fissiamo innanzitutto
Dettaglimisura. Adesso, ad un arbitrario punto P dello spazio associamo una terna di numeri reali x
4. Geometria di R 3. Questo paragrafo è molto simile al paragrafo : tratta infatti delle proprietà geometriche elementari dello spazio R 3. Per assegnare delle coordinate nello spazio, fissiamo innanzitutto
DettagliVettori e Calcolo vettoriale
Vettori e Calcolo vettoriale Ci poniamo nello spazio ordinario S, in cui valgono gli assiomi della geometria euclidea. I vettori vengono rappresentati mediante frecce, con un punto iniziale e un punto
Dettaglia) Parallela a y = x + 2 b) Perpendicolare a y = x +2. Soluzioni
Svolgimento Esercizi Esercizi: 1) Una particella arriva nel punto (-2,2) dopo che le sue coordinate hanno subito gli incrementi x=-5, y=1. Da dove è partita? 2) Disegnare il grafico di C = 5/9 (F -32)
DettagliGrandezze scalari e vettoriali-esempi
Grandezze scalari e vettoriali-esempi Massa Tempo Temperatura Pressione Posizione lungo un asse (linea) Volume Lavoro Energia Posizione nel piano Posizione nello spazio Velocità Accelerazione Forza Quantità
Dettaglia) Perché posso affermare che sono complanari? b) Determina l equazione del piano che li contiene
Esercizi svolti Esercizio 1. Dati i punti: A(1, 1, 0), B( 1, 1, 4), C(1, 1, 3), D(2, 2, 8) dello spazio R 3 a) Perché posso affermare che sono complanari? b) Determina l equazione del piano che li contiene
DettagliCorso di Idraulica ed Idrologia Forestale
Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale Docente: Prof. Santo Marcello Zimbone Collaboratori: Dott. Giuseppe Bombino - Ing. Demetrio Zema Lezione n. 1: Cenni al calcolo vettoriale Anno Accademico 2008-2009
DettagliAppunti di Matematica 2 - Il piano cartesiano - Il piano cartesiano. Sistema di riferimento cartesiano ortogonale
Il piano cartesiano Sistema di riferimento cartesiano ortogonale Fissare nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale significa fissare due rette perpendicolari orientate chiamate asse e asse
DettagliCORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA FOGLIO DI ESERCIZI 1 GEOMETRIA 2009/10 Esercizio 1.1 (2.2). Determinare l equazione parametrica e Cartesiana della retta dello spazio (a) Passante per i
DettagliFISICA. I Vettori. Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica
ISICA I Vettori Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e isica GRANDEZE ISICHE SCALARI E VETTORIALI Le grandezze fisiche possono essere suddivise in due grandi categorie: definizione GRANDEZZE
DettagliPiano cartesiano e Retta
Piano cartesiano e Retta 1 Piano cartesiano e Retta 1. Richiami sul piano cartesiano 2. Richiami sulla distanza tra due punti 3. Richiami punto medio di un segmento 4. La Retta (funzione lineare) 5. L
Dettagli1 La traslazione. 2 La composizione di traslazioni. 3 La rotazione
1 La traslazione Per poter applicare una traslazione ad una generica figura geometrica si deve: ± creare il vettore di traslazione AB mediante il comando Vettore tra due punti; ± cliccare con il mouse
DettagliVETTORI GEOMETRICI / RICHIAMI
M.GUIDA, S.ROLANDO, 2016 1 VETTORI GEOMETRICI / RICHIAMI Chiamiamo vettore un qualsiasi segmento orientato del piano o dello spazio. Orientare un segmento significa scegliere un verso per percorrerlo,
DettagliLE GRANDEZZE FISICHE. Capitolo Introduzione. 2.2 Grandezze dimensionali ed adimensionali
Capitolo 2 LE GRANDEZZE FISICHE 2.1 Introduzione La fisica si occupa della spiegazione dei fenomeni naturali. Essa cerca di determinare quali sono le cause prime di tali fenomeni e, da queste, di ricavare
DettagliGeometria Analitica nello Spazio
Geometria Analitica nello Spazio Andrea Damiani 4 marzo 2015 Equazione della retta - forma parametrica Se sono dati il punto A(x 0, y 0, z 0 ) e il vettore v (v x, v y, v z ), il generico punto P (x, y,
DettagliLezione 2 Richiami sui sistemi di riferimento Richiami di trigonometria Vettori Calcolo vettoriale
Corsi di Laurea dei Tronchi Comuni 2 e 4 Dr. Andrea Malizia 1 Richiami sui sistemi di riferimento Richiami di trigonometria Vettori Calcolo vettoriale 2 Sistemi di riferimento e spostamento 3 Sistemi di
DettagliParte 9. Geometria del piano
Parte 9. Geometria del piano A. Savo Appunti del Corso di Geometria 2013-14 Indice delle sezioni 1 Vettori geometrici del piano, 1 2 Lo spazio vettoriale VO 2, 3 3 Sistemi di riferimento, 8 4 Equazioni
DettagliLezione 2 Richiami sui sistemi di riferimento Richiami di trigonometria Vettori Calcolo vettoriale
Dr. Andrea Malizia Prof. Maria Guerrisi 1 Richiami sui sistemi di riferimento Richiami di trigonometria Vettori Calcolo vettoriale Sistemi di riferimento e spostamento 2 Sistemi di riferimento e spostamento
DettagliCALCOLO VETTORIALE ELEMENTI DI ANALISI MATEMATICA
ELEMENTI DI ANALISI MATEMATICA CALCOLO VETTORIALE - DEFINIZIONE DI VETTORE - COMPONENTI DI UN VETTORE - SOMMA E DIFFERENZA - PRODOTTO SCALARE - PRODOTTO VETTORIALE - VETTORE GRADIENTE - FLUSSO DI UN VETTORE
DettagliGEOMETRIA ANALITICA. Il Piano cartesiano
GEOMETRIA ANALITICA La geometria analitica consente di studiare e rappresentare per via algebrica informazioni di tipo geometrico. Lo studio favorisce una più immediata visualizzazione di informazioni,
DettagliCORPO RIGIDO MOMENTO DI UNA FORZA EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO CENTRO DI MASSA BARICENTRO
LEZIONE statica-1 CORPO RIGIDO MOMENTO DI UNA FORZA EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO CENTRO DI MASSA BARICENTRO GRANDEZZE SCALARI E VETTORIALI: RICHIAMI DUE SONO LE TIPOLOGIE DI GRANDEZZE ESISTENTI IN FISICA
DettagliAlgebra vettoriale. Capitolo 5. 5.1 Grandezze scalari. 5.2 Grandezze vettoriali
Capitolo 5 5.1 Grandezze scalari Si definiscono scalari quelle grandezze fisiche che sono descritte in modo completo da un numero accompagnato dalla sua unità di misura. La temperatura dell aria in una
DettagliGrandezze scalari e vettoriali
Grandezze scalari e vettoriali Per caratterizzare completamente una grandezza fisica, a volte è sufficiente dare soltanto un numero (scalare), mentre altre volte questo non è sufficiente. Massa, lunghezza,
DettagliSCALARI E VETTORI SOMMA DI VETTORI
SLRI E VETTORI lcune grandee fisiche per esempio, la massa di un oggetto, la posiione di un punto possono essere caratteriate matematicamente mediante un numero. Tali grandee o osservabili sono dette scalari.
Dettaglivettori V Sia inoltre l angolo che il primo vettore deve percorrere per sovrapporsi al secondo. * **
Prodotto scalare di vettori. Consideriasmo due vettori u e v e siano O e O due rappresentanti applicati in O. Indichiamo come al solito con u = O la norma (cioè l intensità) del vettore u Sia inoltre l
DettagliAnalisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette
Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci amadori@uniparthenope.it pellacci@uniparthenope.it Università di Napoli Parthenope Contenuti Nel Piano
DettagliDEFINIZIONE Un vettore (libero) è un ente geometrico rappresentato da un segmento orientato caratterizzato da tre parametri:
DEFINIZIONE Un vettore (libero) è un ente geometrico rappresentato da un segmento orientato caratterizzato da tre parametri: 1. modulo: la lunghezza del segmento 2. direzione: coincidente con la direzione
DettagliMETODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMETO DELLA MATEMATICA. LEZIONE n 13
METODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMETO DELLA MATEMATICA LEZIONE n 13 Parte terza TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE Dalle indicazioni nazionali: Descrivere, denominare e classificare figure geometriche, identificando
Dettaglifigura. A figura. B Il modulo è la lunghezza o intensità del vettore. Il punto di applicazione è l origine del vettore detto anche coda.
Martinelli Sara 1A Lab. Di fisica del Liceo Scopo: verificare la regola del parallelogramma. Materiale utilizzato: Telaio 5 morse Asta orizzontale Base metallica 2 piantane verticali Pesi Goniometro stampato
DettagliEsercizi Riepilogativi Svolti
Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA Edile-Architettura e dell Edilizia SPAZI EUCLIDEI. TRASFORMAZIONI. ORIENTAZIONI. FORMULE DI GEOMETRIA IN R. Docente:
DettagliCORSO DI PROGETTAZIONE COSTRUZIONI ED IMPIANTI
CORSO DI PROGETTAZIONE COSTRUZIONI ED IMPIANTI A.S. 2012-2013 Casi particolari di sistemi di forze Nel caso di un sistema composto da n forze tutte parallele tra loro, la ricerca del risultante R del sistema
DettagliCap. 11 I Quadrilateri
Cap. 11 I Quadrilateri Definizione di quadrilatero Si definisce quadrilatero un poligono di 4 lati Definizione di poligono Definiamo poligono una porzione di piano delimitata da una spezzata chiusa Gli
Dettagli( 1 ) AB:A B =BC:B C =CA:C A
Goniometria II parte Funzioni goniometriche: seno, coseno tangente Ricordiamo che: Due triangoli si dicono simili se hanno gli angoli ordinatamente uguali e i lati omologhi (nel caso dei triangoli i lati
DettagliCapitolo 1 Vettori applicati e geometria dello spazio
Capitolo 1 Vettori applicati e geometria dello spazio Marco Robutti Facoltà di ingegneria Università degli studi di Pavia Tutorato di geometria e algebra lineare Anno accademico 2014-2015 Definizione (Vettore
DettagliIllustrazione 1: Telaio. Piantanida Simone 1 G Scopo dell'esperienza: Misura di grandezze vettoriali
Piantanida Simone 1 G Scopo dell'esperienza: Misura di grandezze vettoriali Materiale utilizzato: Telaio (carrucole,supporto,filo), pesi, goniometro o foglio con goniometro stampato, righello Premessa
DettagliI numeri complessi. Capitolo 7
Capitolo 7 I numeri complessi Come abbiamo fatto per i numeri reali possiamo definire assiomaticamente anche i numeri complessi. Diciamo che l insieme C dei numeri complessi è un insieme su cui sono definite
DettagliCorso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 8: soluzioni
Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 8: soluzioni Esercizio 1. a) Disegnare la retta r di equazione cartesiana x 2y 4 = 0. b) Determinare l equazione cartesiana della retta r 1 passante per P
DettagliLavoro individuale: leggi attentamente il testo e completa il testo che trovi al termine del stesso. (10 )
Testo 1: Lavoro individuale: leggi attentamente il testo e completa il testo che trovi al termine del stesso. (10 ) Lavoro di gruppo T1: discuti assieme ai tuoi compagni il significato di quanto hai letto
Dettaglisen ; e sul teorema del coseno. 2
Esercizi sul grafico di funzioni: Lunghezza di una corda ( ) sen e sul teorema del coseno Esercizi sulla equazione della circonferenza centrata in un generico punto (, ) R Il prodotto di una funzione pari
DettagliIstituzioni di Matematica per Scienze Ambientali
per Scienze Ambientali GEOMETRIA ANALITICA - Appunti 1 1 Dipartimento di Matematica Sapienza, Università di Roma Roma, 5 - Novembre 2012 Coordinate La corrispondenza tra numeri reali e punti di una retta
DettagliAppunti ed esercizi di geometria analitica PRIMA PARTE
Appunti ed esercizi di geometria analitica PRIMA PARTE Per la teoria studiare su il libro di testo La retta e i sistemi lineari, modulo E, da pagina 594 a pagina 597. Esercizi da pagina 617 a pagina 623.
DettagliI.T.I.S «G. MARCONI» - PADOVA Via Manzoni, 80 Tel.: Fax
I.T.I.S «G. MARCONI» - PADOVA Via Manzoni, 80 Tel.: 049.80.40.211 Fax 049.80.40.277 marconi@provincia.padova.it www.itismarconipadova.it Settore tecnologico Indirizzo meccanica meccatronica ed energia
DettagliFUNZIONI GONIOMETRICHE
FUNZIONI GONIOMETRICHE ANGOLI Col termine angolo indichiamo la parte di piano limitata da due semirette aventi la stessa origine, chiamata vertice. Possiamo definire anche l angolo come la parte di piano
DettagliArgomenti Capitolo 1 Richiami
Argomenti Capitolo 1 Richiami L insieme dei numeri reali R si rappresenta geometricamente con l insieme dei punti di una retta orientata su cui sia stato fissato un punto 0 e un segmento unitario. L insieme
Dettagliax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x = 0.
. Rette in R ; circonferenze. In questo paragrafo studiamo le rette e le circonferenze in R. Ci sono due modi per descrivere una retta in R : mediante una equazione cartesiana oppure mediante una equazione
DettagliCapitolo 6. I poligoni. (Ob. 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 14, 15)
(Ob. 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 14, 15) (vertici, lati, diagonali, convessità, angoli, perimetro) 6.2 I triangoli 6.3 I quadrilateri 6.4 I poligoni regolari 6.5 Le altezze 6.6 Le aree Un poligono è la parte
DettagliRAPPRESENTAZIONE VETTORIALE
RAPPRESENTAZIONE VETTORIALE Le grandezze fisiche elettriche variabili nel tempo con legge sinusoidale che si incontreranno nello studio delle correnti alternate, come ad esempio le tensioni e le correnti,
DettagliMatematica Lezione 4
Università di Cagliari Corso di Laurea in Farmacia Matematica Lezione 4 Sonia Cannas 18/10/2018 Proporzioni Esempio Da un rubinetto di una vasca fuoriescono 60 litri di acqua in 4 minuti. Quanti litri
DettagliRette e piani in R 3
Rette e piani in R 3 In questa dispensa vogliamo introdurre in modo elementare rette e piani nello spazio R 3 (si faccia riferimento anche al testo Algebra Lineare di S. Lang). 1 Rette in R 3 Vogliamo
DettagliElementi di calcolo vettoriale
Mathit Elementi di calcolo ettoriale Nozione di ettore Grandezze ettoriali e grandezze scalari Segmenti orientati e ettori Definizioni Operazioni con i ettori Somma e differenza di ettori Moltiplicazione
DettagliLezione I Vettori geometrici e spazi vettoriali
.. Lezione I Vettori geometrici e spazi vettoriali A. Bertapelle 2 ottobre 2012 Vettori geometrici Definizione naïf di vettore Un vettore geometrico è un ente dotato di direzione, lunghezza e verso. Si
Dettagli1 Distanza di un punto da una retta (nel piano)
Esercizi 26/10/2007 1 Distanza di un punto da una retta (nel piano) Sia r = {ax + by + c = 0} una retta. Sia P = (p 1, p 2 ) R 2 un punto che non sta sulla retta r. Vogliamo vedere se si può parlare di
DettagliLA DISTANZA DA CENTRO RAPPRESENTA IL RAGGIO CISCUNA DELLE DUE PARTI IN CUI E DIVISA UNA CIRCONFERENZA SI CHIAMA ARCO
LA CIRCONFERENZA LA CIRCONFERENZA E IL LUOGO DEI PUNTI EQUIDISTANTI DA UN PUNTO FISSO DETTO CENTRO LA DISTANZA DA CENTRO RAPPRESENTA IL RAGGIO UN SEGMENTO CHE CONGIUNGE DUE PUNTI DELLA CIRCONFERENZA SI
DettagliAppunti di Elementi di Meccanica. Vettori nel piano. v 1.0
Appunti di Elementi di Meccanica Vettori nel piano v 1.0 1 Vettori Figura 1: Rappresentazione di un vettore Il vettore è un ente geometrico che, nella meccanica, consente di rappresentare efficacemente
DettagliCorso di Fisica I per Matematica
Corso di Fisica I per Matematica DOCENTE: Marina COBAL: marina.cobal@cern.ch Tel. 339-2326287 TESTO di RIFERIMENTO: Mazzoldi, Nigro, Voci: Elementi d fisica,meccanica e Termodinamica Ed. EdiSES FONDAMENTI
DettagliDisequazioni di secondo grado
Disequazioni di secondo grado Una disequazione di secondo grado è una disequazione del tipo (oppure a b c o a b c ) a b c oppure a b c I) Cominciamo considerando disequazioni in cui a Esempio Consideriamo
Dettagliˆ b, si usa la convenzione di prendere. come verso positivo quello antiorario e come verso negativo quello orario.
Capitolo 4 Le rotazioni 4.1 Richiami di teoria E' opportuno ricordare che, dato un angolo orientato ao ˆ b, si usa la convenzione di prendere come verso positivo quello antiorario e come verso negativo
DettagliChe cos è una forza? 2ª lezione (21 ottobre 2006): Idea intuitiva: forza legata al concetto di sforzo muscolare.
2ª lezione (21 ottobre 2006): Che cos è una forza? Idea intuitiva: forza legata al concetto di sforzo muscolare. L idea intuitiva è corretta, ma limitata ; le forze non sono esercitate solo dai muscoli!
DettagliLa lunghezza dei vettori e legata alle operazioni sui vettori nel modo seguente: Consideriamo due vettori v, w e il vettore v + w loro somma.
Matematica II, 20.2.. Lunghezza di un vettore nel piano Consideriamo il piano vettoriale geometrico P O. Scelto un segmento come unita, possiamo parlare di lunghezza di un vettore v P O rispetto a tale
DettagliAppunti di Matematica 2 - Il piano cartesiano. La retta nel piano cartesiano - Il piano cartesiano. Sistema di riferimento cartesiano ortogonale
ppunti di Matematica Il piano cartesiano Sistema di riferimento cartesiano ortogonale Fissare nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale significa fissare due rette perpendicolari orientate
DettagliEQUAZIONE DELLA RETTA
EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DEGLI ASSI L equazione dell asse x è 0. L equazione dell asse y è 0. EQUAZIONE DELLE RETTE PARALLELE AGLI ASSI L equazione di una retta r parallela all asse x è cioè è uguale
DettagliBivettori. Determinanti. Prodotto vettoriale.
Bivettori. Determinanti. Prodotto vettoriale. 10 Dicembre 2018 Per approfondimenti: bibliografia e siti web sull algebra geometrica (Geometric Algebra): http://geometry.mrao.cam.ac.uk/ https://assets.cambridge.org/052148/0221/sample/0521480221ws.pdf
DettagliLezione 6 Richiami di Geometria Analitica
1 Piano cartesiano Lezione 6 Richiami di Geometria Analitica Consideriamo nel piano due rette perpendicolari che si intersecano in un punto O Consideriamo ciascuna di queste rette come retta orientata
DettagliLezione 1
Lezione 1 Ordini di grandezza Dimensioni fisiche Grandezze scalari e vettoriali Algebra dei vettori Coordinate Cartesiane e rappresentazioni grafiche Verifica Cenno sulle dimensioni delle grandezze fisiche
DettagliMatematica Lezione 6
Università di Cagliari Corso di Laurea in Farmacia Matematica Lezione 6 Sonia Cannas 25/10/2018 Retta passante per un punto e direzione assegnata Data l equazione di una retta in forma esplicita y = mx
DettagliCOMPOSIZIONE DELLE FORZE
Andrea Ferrari e Stefano Mazzotta 1 G Sabato 5-02-2011, Laboratorio di fisica del liceo scientifico Leonardo da Vinci. Viale dei tigli. Gallarate. COMPOSIZIONE DELLE FORZE Materiale utilizzato: Telaio,
DettagliGeometria Analitica Piana.
8 novembre 201 Geometria Analitica Piana 1 Geometria Analitica Piana. Applicazione: problema sul Parallelogramma. Quesito sulla costruzione della figura. Testo: Sono date le equazioni 3x y + = 0 e 4x +
DettagliALGEBRA VETTORIALE Corso di Fisica per la Facoltà di Farmacia, Università Gabriele D Annunzio, Chieti-Pescara, Cosimo Del Gratta 2008
LGER VETTORILE DEFINIZIONE DI VETTORE (1) Sia E lo spazio tridimensionale della geometria euclidea. Consideriamo due punti e appartenenti a E Si chiama segmento orientato, e si indica con (,) il segmento
DettagliAngoli e loro misure
Angoli e loro misure R s Unità di misura: gradi, minuti, secondi 1 o =60' 1'=60'' Es: 35 o 41'1'' radianti α(rad) s R Angolo giro = 360 o = R/R = rad R=1 arco rad Es.: angolo retto R Arco 4 : se R=1 π
Dettagliax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0.
. Rette in R ; circonferenze. In questo paragrafo studiamo le rette e le circonferenze in R. Ci sono due modi per descrivere una retta in R : mediante una equazione cartesiana oppure mediante una equazione
Dettagli1 Congruenza diretta e inversa
1 Congruenza diretta e inversa PROPRIETÀ. La congruenza tra due figure piane mantiene inalterata la lunghezza dei segmenti e l ampiezza degli angoli; ciò che cambia è la posizione delle figure nel piano.
Dettagli- Fondamenti di calcolo vettoriale - VETTORI
VETTORI Definizione: Il vettore è un segmento orientato ovvero un segmento su cui è fissato un verso di percorrenza. Graficamente il verso del vettore è rappresentato da una freccia. A A A Segmento orientato
DettagliSPAZI EUCLIDEI, APPLICAZIONI SIMMETRICHE, FORME QUADRATICHE
SPAZI EUCLIDEI, APPLICAZIONI SIMMETRICHE, FORME QUADRATICHE. Esercizi Esercizio. In R calcolare il modulo dei vettori,, ),,, ) ed il loro angolo. Esercizio. Calcolare una base ortonormale del sottospazio
DettagliEsercitazione di Analisi Matematica II
Esercitazione di Analisi Matematica II Barbara Balossi 06/04/2017 Esercizi di ripasso Esercizio 1 Sia data l applicazione lineare f : R 3 R 3 definita come f(x, y, z) = ( 2x + y z, x 2y + z, x y). a) Calcolare
Dettaglila somma delle distanze dai due fuochi assume il valore costante 2a.
Appendice A Le coniche A.1 L ellisse Rappresentazione implicita L ellisse di semiassi a e b (0 < b a) è una curva del piano dotata di due assi di simmetria ortogonali che, nel riferimento individuato da
DettagliCapitolo 2. Cenni di geometria analitica nel piano
Capitolo Cenni di geometria analitica nel piano 1 Il piano cartesiano Il piano cartesiano è una rappresentazione grafica del prodotto cartesiano R = R R La rappresentazione grafica è possibile se si crea
DettagliSpazi vettoriali Esercizi teorici 1
Capitolo 1: Fare 23 Spazi vettoriali Esercizi teorici 1 Argomenti: consolidamento della teoria, ragionamento astratto Difficoltà: Prerequisiti: definizione di campo 1. (Questo esercizio serve per familiarizzare
DettagliINSIEMI DI NUMERI COMPLESSI E LORO RAPPRESENTAZIONE SUL PIANO COMPLESSO. di Francesco Camia
INSIEMI DI NUMERI COMPLESSI E LORO RAPPRESENTAZIONE SUL PIANO COMPLESSO di Francesco Camia 1)Rappresentare nel piano complesso gli insiemi: A = { 2, 3 }, B = { : =+1+2, }. Siccome nel piano complesso e
Dettagli- Fondamenti di calcolo vettoriale - VETTORI
VETTORI Definizione: Il vettore è un segmento orientato ovvero un segmento su cui è fissato un verso di percorrenza. Graficamente il verso del vettore è rappresentato da una freccia. A A A Segmento orientato
DettagliIstituzioni di Matematiche II Recupero seconda prova intermedia (6 giugno 2003)
Istituzioni di Matematiche II Recupero seconda prova intermedia (6 giugno 2003) Nome Cognome 1. Considerando gli oggetti in figura, costruire: (a) il poligono ottenuto dal poligono A per riflessione rispetto
DettagliGeometria analitica: rette e piani
Geometria analitica: rette e piani parametriche Allineamento nel piano nello spazio Angoli tra rette e distanza 2 2006 Politecnico di Torino 1 Esempio 2 Sia A = (1, 2). Per l interpretazione geometrica
Dettagli