Capitolo 1. I vettori

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1 Capitolo 1 I ettori Prima di entrare nel cuore della meccanica e affrontarne i concetti di base, è importante acquisire padronanza con gli oggetti e gli strumenti che erranno utilizzati: i ettori e l algebra ettoriale. I ettori (ectors) furono introdotti da Steino nel XVI secolo per rispondere all esigenza di caratterizzare alcune grandezze come elocità, accelerazione, forza, non solo attraerso una quantità scalare ma utilizzando una nuoa entità capace di rappresentarne anche la direzione e il erso. Infatti, mentre una grandezza scalare è espressa da un numero massa m=2 kg, lunghezza l=1.5 m, tempo t=3 s, una grandezza ettoriale è caratterizzata da un numero -modulo o intensità (magnitude)-, una direzione ed un erso (direction). Una curiosità: nella lingua inglese si usano parole dierse per indicare il ettore elocità, elocity, ed il suo modulo, speed. La differenza tra scalari e ettori si sottolinea anche a liello tipografico: scalari: lettere generalmente minuscole in carattere corsio m, t, l, ettori: lettere generalmente minuscole in carattere corsio grassetto, a, F, o con altre tipologie più complesse, e.g. a, a. Per un ettore, lo scalare che ne rappresenta il modulo si indica con. Per completezza si cita un altra grandezza impiegata in meccanica: i tensori (tensors), usati per descriere entità più complesse, come le caratteristiche d inerzia di un corpo e lo stato di tensione in un punto, meglio chiariti più aanti. 1 Segmenti orientati, ettori applicati e ettori liberi Si fa distinzione tra tre tipi di ettori: quelli definiti da due punti (segmenti orientati), quelli che agiscono in un particolare punto (ettori applicati) e quelli che non hanno un tale punto di applicazione (ettori liberi). Dati due punti A e B si chiama segmento orientato AB il ettore aente origine in A 1 La distinzione tra grandezze dierse ossia scalari, ettori e tensori, iene spesso riferita al modo di ariazione di questi con il sistema di riferimento. 3

2 CAPITOLO 1. I VETTORI 4 ed estremo in B, quindi direzione della retta per A e per B, erso da A a B e modulo pari alla lunghezza del segmento AB. Alcuni ettori, come le forze, hanno una posizione ben precisa nello spazio definita dal loro punto di applicazione (point of application). Questa informazione si aggiunge alla notazione del ettore ad esempio, una forza F applicata nel punto A si indica con (A, F ). Risulta importante anche la retta su cui giace il ettore, per A parallela ad F, denominata retta di applicazione o di azione (line of action) del ettore. I ettori che hanno un punto di applicazione si chiamano applicati (fixed ectors) per distinguerli da quelli cosiddetti liberi (free ectors) come i momenti. 1.1 Operazioni tra ettori Somma ettoriale La somma (sum) fra due ettori (omogenei) si effettua secondo la nota regola del parallelogramma, richiamata in Fig. 1.1: dati due ettori u e, anche non applicati nello stesso punto, il ettore somma s definito come s = u + (1.1) si ottiene per ia grafica portando a coincidere le origini dei due ettori da sommare, costruendo su essi un parallelogramma e tracciandone la diagonale, partendo dall origine comune dei ettori e terminando all estremo opposto. u α u γ β s α Figura 1.1: Regola del parallelogramma per la somma ettoriale. Utilizzando il teorema di Carnot ed il teorema dei seni, si determinano il modulo del ettore somma s e gli angoli β e γ che esso forma con i ettori u e sin β = sin(π α) s s = u u cos(π α) (1.2) sin(π α) sin γ = u s (1.3) Alternatiamente, si può costruire sempre per ia grafica il ettore somma riportando in sequenza testa-coda i ettori, come mostrato in Fig Questo secondo metodo

3 CAPITOLO 1. I VETTORI 5 è più generale poiché può essere applicato per effettuare la somma di un numero n di ettori. In questo caso il ettore somma ha inizio doe inizia il primo e fine doe finisce l ultimo. Può essere utile sottolineare che questa costruzione ale sia nel piano che nello spazio. u s u s z w Figura 1.2: Somma di due o più ettori. Pur non riportandone la dimostrazione, si può facilmente erificare che la somma ettoriale gode della proprietà commutatia Decomposizione ettoriale In alcuni problemi della meccanica è utile applicare in modo inerso la costruzione del parallelogramma per la somma ettoriale, per quella che prende il nome di decomposizione ettoriale. In altri termini, dato il ettore s e assegnate soltanto le direzioni (non coincidenti) di due ettori u e ad esso complanari, è possibile, appunto ricostruendo il parallelogramma, determinare completamente i due ettori in modo che s = u +. Dopo aer costruito il parallelogramma, occorre fare attenzione ad assegnare correttamente i ersi dei ettori, ricordando che u, e s hanno origine comune, Fig I ettori u e si definiscono i componenti di s secondo le direzioni assegnate. Frequentemente si sceglie di decomporre un ettore secondo due direzioni ortogonali, ad esempio parallele agli assi di un riferimento cartesiano. È importante osserare che la decomposizione di un ettore secondo due direzioni (non coincidenti) ad esso complanari è unica, come pure è unica la decomposizione di un ettore secondo tre direzioni distinte non complanari. Un altra decomposizione utile è secondo una direzione ed un piano ad essa ortogonale; questa si ottiene proiettando ortogonalmente l estremo del ettore sul piano costruendo così un rettangolo, mostrato in Fig. 1.4, da cui si determinano il componente normale n e quello tangenziale t (nel piano ortogonale) del ettore, tali che = t + n (1.4)

4 CAPITOLO 1. I VETTORI 6 s u s Figura 1.3: Decomposizione ettoriale attraerso la costruzione del parallelogramma. n A t Figura 1.4: ortogonale. Decomposizione di un ettore secondo una retta ed un piano ad essa Prodotto tra uno scalare ed un ettore Il prodotto tra uno scalare c ed un ettore u( 2 ) = c u (1.5) ha come risultato un ettore parallelo al primo e concorde con esso se c > 0, discorde in caso contrario ( 3 ). Si ha inoltre che = c u (1.6) Risulta così definito anche il ettore opposto (negatie), corrispondente alla condizione c = 1, aente stesso modulo e stessa direzione del ettore dato ma erso opposto. La relazione 1.5 iene utilizzata molto frequentemente con ettori di modulo unitario, denominati ersori (unit ectors); ad esempio = λ 2 Un noto esempio di questa operazione è la seconda legge di Newton F = m a. 3 Ossera che non c è simbolo di prodotto tra c e u.

5 CAPITOLO 1. I VETTORI 7 doe λ = 1, cosicchè = ±. Dato un ettore, il ersore ad esso associato si indica come Differenza tra ettori ers = L introduzione del ettore opposto consente di definire la differenza (subtraction) tra due ettori u e, come la somma di uno con l opposto dell altro d = u = u + ( ) (1.7) In tal modo si possono ripetere le costruzioni mostrate nelle Figg. 1.1 e 1.2, ottenendo il ettore d rappresentato in Fig Si ossera che il ettore somma e quello differenza corrispondono alle due diagonali dello stesso parallelogramma. u α - u d Figura 1.5: Differenza tra ettori Prodotto scalare Il prodotto scalare( 4 ) tra due ettori u e ha come risultato uno scalare, che può essere positio, negatio o nullo u = u cos α (1.8) in base al alore del coseno dell angolo α compreso tra i due ettori, se non entrambi nulli. Il prodotto scalare gode della proprietà commutatia ossia u = u È importante inoltre osserare che l annullarsi del prodotto scalare esprime una condizione di ortogonalità tra due ettori (entrambi diersi dal ettore nullo). Il prodotto scalare ha anche un interessante significato geometrico: esso rappresenta la proiezione con segno di un ettore secondo una direzione orientata. Ad esempio, data una 4 si indica con il simbolo per cui in inglese si chiama scalar o dot product.

6 CAPITOLO 1. I VETTORI 8 direzione identificata da un ersore λ (Fig. 1.6), la componente di lungo λ è ottenibile dalla seguente relazione λ = λ Il ettore componente di lungo la direzione λ diiene pertanto λ = ( λ)λ u u. λ>0.λ<0 λ Figura 1.6: Significato geometrico del prodotto scalare ( λ = 1). Facendo riferimento alla decomposizione secondo una direzione ed un piano ortogonale introdotta in 1.1.2, si puòfar uso della notazione introdotta per definire i ettori componenti n = ( n)n t = n = ( n)n Angolo tra due ettori L equazione 1.8 può essere applicata per ricaare l angolo tra due ettori ( ) u α = arccos u (1.9) Prodotto ettoriale Il prodotto ettoriale( 5 ) è un operazione tra due ettori u e ed ha per risultato un ettore w w = u o w = u (1.10) caratterizzato da modulo w = u sin α, doe α è l angolo minore dell angolo piatto compreso tra u e, si ha quindi che sin α 0, per cui il modulo è positio; direzione ortogonale a u e ; erso (secondo la regola della mano destra) concorde con il pollice della mano destra in cui l indice è sorapposto ad u ed il medio a, Fig si indica anche con il simbolo per cui in inglese si chiama cross product.

7 CAPITOLO 1. I VETTORI 9 u α w α w u Figura 1.7: Prodotto ettoriale, direzione e erso. Diersamente dal prodotto scalare, quando si scrie un prodotto ettoriale, si dee fare attenzione all ordine dei ettori poiché esso è anticommutatio ossia u = u Dalla relazione per la determinazione del modulo del ettore w, segue che l annullarsi del prodotto ettoriale esprime una condizione di parallelismo tra due ettori (entrambi diersi dal ettore nullo). Il significato geometrico del prodotto ettoriale è legato al modulo del ettore risultato, che è pari all area del parallelogramma di cui u e sono lati Altri prodotti Prodotto misto Prende il nome di prodotto misto un operazione tra tre ettori, in cui si moltiplica scalarmente il risultato di un prodotto ettoriale ottenendo pertanto uno scalare a = u w (1.11) Si possono ricaare altre espressioni equialenti, ottenute scambiando i due prodotti o sfruttando la proprietà di circolarità u w = w u = w u = u w L annullamento del prodotto misto indica la complanarità dei tre ettori; in generale rappresenta il olume del parallelepipedo aente i ettori com e lati. Doppio prodotto ettoriale Infine possono risultare utili alcune semplificazioni legate al calcolo del doppio prodotto ettoriale, ossia u ( w) = (u w) (u )w (1.12) Malgrado tanti prodotti, si sottolinea che non risulta definita la diisione tra ettori in quanto il prodotto non è unioco, come mostrato negli esercizi.

8 CAPITOLO 1. I VETTORI Componenti cartesiane di un ettore L introduzione delle componenti cartesiane( 6 ) (rectangular scalar components) di un ettore è una utile premessa per poter trattare le relazioni tra ettori attraerso relazioni scalari. Si considera adesso un sistema di riferimento cartesiano {O, x, y, z} e si indicano con i, j e k i ersori degli assi x, y e z rispettiamente. Si ricorda che si utilizzano sistemi di riferimento leogiri (right-handed coordinate system), nei quali risulta erificato il prodotto ettoriale i j = k. Grazie a quanto premesso nei precedenti paragrafi, dato un ettore è possibile dapprima decomporlo in componenti paralleli agli assi e quindi esprimere ciascuno attraerso i relatii ersori, ossia = x + y + z = x i + y j + z k Utilizzando le componenti cartesiane, un ettore iene associato alla tripletta di numeri [] = che si indicano nel testo in forma trasposta tra parentesi tonde = ( x, y, z ) ( 7 ). Si fa osserare che le tre informazioni necessarie per caratterizzare un ettore (modulo, direzione e erso) possono essere ottenute dalle tre componenti cartesiane x y z modulo = 2 x + 2 y + 2 z direzione e erso concordi al segmento orientato che unisce l origine al punto di coordinate ( x, y, z ) Un ettore è quindi definito quando sono note le sue tre componenti scalari; questo può aiutare a comprendere come trattare le equazioni ettoriali. Infatti, indicato con a uno scalare noto, se l equazione = a corrisponde ad un equazione scalare in una incognita scalare (), l analoga relazione ettoriale = a 6 il cui nome deria proprio da colui che per primo li definì, Cartesio 7 Poiché, assegnato il ettore, la scelta del sistema di riferimento è arbitraria, cambiando sistema di riferimento cambiano le direzioni degli assi cartesiani e quindi anche le componenti = ( x, y, z )

9 CAPITOLO 1. I VETTORI 11 in cui il ettore a è noto corrisponde a tre equazioni scalari in tre incognite scalari x, y e z x = a x [] = [a] y = a y z = a z Operazioni con le componenti Utilizzando le componenti cartesiane, le operazioni tra ettori descritte nel precedente paragrafo possono essere eseguite ageolmente. Somma e differenza ettoriale La somma ettoriale s = u + espressa attraerso le componenti diiene s x = u x + x [s] = [u] + [] s y = u y + y s z = u z + z Analogamente la differenza d = u si scrie d x = u x x [d] = [u] [] d y = u y y d z = u z z Prodotto scalare In termini di componenti cartesiane il prodotto scalare corrisponde alla somma dei prodotti delle componenti omonime, cioè u = [u] T [] = u x x + u y y + u z z (1.13) che è facilmente ottenibile osserando che i j = i k = j k = 0 e i i = j j = k k = 1. Per quanto anticipato sul significato geometrico del prodotto scalare, si ha che le componenti cartesiane di un ettore corrispondono alle proiezioni di lungo gli assi coordinati, infatti Coseni direttori x = i, y = j, z = k (1.14) Come anticipato nella sezione precedente, il prodotto scalare può essere utilizzato per determinare l angolo tra due ettori e questo diiene particolarmente interessante quando si opera con le componenti cartesiane. Si consideri un ersore λ e siano (λ x, λ y, λ z ) le sue componenti cartesiane. Dalle eqq. 1.8 e 1.14 si ha che λ i = λ x = cos α x

10 CAPITOLO 1. I VETTORI 12 ossia la componente lungo x del ersore corrisponde al coseno dell angolo formato tra λ e i; analogamente per le altre componenti λ j = λ y = cos α y λ k = λ z = cos α z cos α x, cos α y e cos α z prendono il nome di coseni direttori (direction cosines); per essi ale la relazione essendo λ = 1. si ha cos 2 α x + cos 2 α y + cos 2 α z = 1 Se si considera un ettore anziché un ersore, ricordando la relazione = λ cos α x = x cos α y = y cos α z = z I coseni direttori sono utilizzati per descriere l inclinazione di una retta nello spazio, aente la stessa direzione del ersore λ. Prodotto ettoriale In termini di componenti cartesiane il prodotto ettoriale si aluta come il determinante della matrice la cui prima riga contiene i ersori degli assi del sistema di riferimento, la seconda le componenti del primo ettore, la terza le componenti del secondo ettore, cioè i j k u = u x u y u z = (u y z u z y )i + (u z x u x z )j + (u x y u y x )k (1.15) x y z Si sottolinea inoltre che i j = k, j k = i, k i = j e i i = j j = k k = 0. Prodotto misto Lo scalare risultato del prodotto misto si calcola anch esso come determinante di una matrice le cui righe corrispondono alle componenti cartesiane dei tre ettori, cioè u x u y u z u w = x y z (1.16) w x w y w z 1.3 Momento di un ettore La definizione di momento (moment) di un ettore si riferisce a ettori applicati e si fa distinzione tra momento rispetto ad un polo o momento rispetto ad un asse.

11 CAPITOLO 1. I VETTORI Momento polare Definizione Si definisce momento (polare) di un ettore applicato nel punto P rispetto al polo A il risultato del prodotto ettoriale( 8 ) M A = AP (1.17) Ne discende quindi che il momento è un ettore (libero) ortogonale sia al ettore dato che alla congiungente il polo ed il punto di applicazione, ossia al piano indiiduato da A, P e. M A M A A P' P A' A P Figura 1.8: Momento polare di un ettore. Proprietà Il momento polare si annulla se il polo giace sulla stessa retta del ettore applicato, in cui si erifica che AP è parallelo a. Si ha inoltre che il momento, ossia il risultato della 1.17, non aria se si considera applicato in un altro punto P della sua retta d azione, come mostrato in Fig. 1.8; infatti M A = AP = ( AP + P P ) = AP + P P = AP Questo iene a olte definito come trasmissibilità di un ettore lungo la sua retta d azione. Simmetricamente, il risultato non cambia se si sposta il polo in A giacente sulla retta per A parallela a (Fig. 1.9). Conoscendo il momento rispetto ad un polo A, il momento rispetto ad un altro polo B si può calcolare come M B = BP = ( BA + AP ) = BA + AP = BA + MA (1.18) che prende il nome di legge di trasporto del momento. 8 Si ricorda che occorre fare attenzione all ordine dei ettori poiché il prodotto ettoriale non è commutatio.

12 CAPITOLO 1. I VETTORI 14 M A. b. B A. b P M B x P Figura 1.9: Valutazione del momento di un ettore. Calcolo del momento polare Il momento di un ettore si calcola, secondo la definizione, come un prodotto ettoriale, e.g. attraerso la??. A olte è più semplice alutare il momento ricordandosi della sua più comune definizione di forza per braccio, che eidentemente si riferisce esclusiamente al modulo del ettore. Per braccio di un ettore si intende la distanza del polo dalla retta di azione del ettore, indicata con b in Fig Dienta abbastanza facile, dopo aer indiiduato il braccio b, determinare il momento rispetto al polo A come il ettore M A di modulo M A = b con direzione ortogonale al piano contente AP e, quindi ortogonale al foglio per il caso di Fig. 1.9 e erso entrante o uscente secondo che il ettore possa essere pensato come ruotante in senso orario o antiorario rispetto al polo (o secondo la regola della mano destra). In Fig. 1.9 il momento di rispetto al polo A è antiorario mentre è orario quello rispetto al polo B. Se il piano contente AP e coincide con il piano x y di un sistema di riferimento, allora il momento è diretto come l asse z, concorde o discorde con k come mostrato in Fig y momento di rispetto ad O w d O b x M O= b k momento di w rispetto ad O M O= -d w k Figura 1.10: Momento di un ettore in un riferimento cartesiano. Quando si introduce un piano cartesiano è generalmente coneniente decomporre prima il ettore nei suoi due componenti paralleli ad i e j

13 CAPITOLO 1. I VETTORI 15 M A = AP = AP ( x + y ) = AP x + AP y (1.19) poiché di queste è più semplice calcolare i relatii bracci, come mostrato in Fig y y momento di x rispetto ad A M A= -b x x k O b A. x b y P x x momento di y rispetto ad A M A = b y y k Figura 1.11: Momento di un ettore in un riferimento cartesiano Momento assiale Si definisce momento di un ettore applicato (P, ) rispetto ad un asse orientato r indiiduato da un suo punto A e dal ersore λ lo scalare M r = ( AP ) λ (1.20) ottenuto calcolando prima il momento polare rispetto ad un punto dell asse e poi si prende la componente del ettore ottenuto lungo la direzione del ersore dell asse 9. Chiaramente il momento assiale non dipende dal punto scelto sull asse r e si annulla se la retta ed il ettore sono complanari. λ n A b P t Figura 1.12: Momento assiale di un ettore. Per calcolare il momento assiale di un ettore può essere coneniente applicare la decomposizione di un ettore secondo una retta ed un piano ad essa ortogonale, descritta 9 Si ossera che la (1.20) corrisponde ad un prodotto misto.

14 CAPITOLO 1. I VETTORI 16 in precedenza. Si traccia dapprima il piano ortogonale all asse r passante per il punto P e si scompone il ettore nelle componenti parallele n ed ortogonale t all asse. Il momento assiale è determinato soltanto dal componente ortogonale, del quale si determina il braccio analogamente a quanto fatto in precedenza. Per problemi piani, come quelli mostrati in Fig e 1.11, il calcolo del momento rispetto ad un polo e quello assiale rispetto ad un asse passante per il polo stesso ed ortogonale al piano dei ettori sono coincidenti, differendo i due solo per il ersore dell asse (essendo il primo un ettore ed il secondo uno scalare). 1.4 Sistemi di ettori Risultante e momento risultante Si consideri adesso un sistema di ettori applicati S f composto da (P i, i ) con i = 1..n; si chiama risultante del sistema il ettore somma di tutti i ettori n R = i (1.21) e momento risultante rispetto ad un polo Ω la somma dei momenti dei ettori del sistema rispetto a tale polo M Ω = i=1 n ΩP i i (1.22) i=1 La relazione 1.18 sul cambiamento del polo può essere applicata conenientemente ad un sistema ottenendo la relazione seguente M O = M Ω + OΩ R (1.23) Casi particolari Può essere utile richiamare alcuni casi di sistemi che hanno proprietà importanti: sistemi piani, quando tutti i ettori (inclusi i loro punti di applicazione) giacciono sullo stesso piano( 10 ) e quindi il momento risultante rispetto ad un polo appartenente al piano ha direzione ortogonale al piano stesso; sistemi di ettori paralleli sia nel piano che nello spazio, in cui ogni ettore è esprimibile come prodotto tra un ettore λ e uno scalare opportuno, e.g. (P i, i ) = (P i, f i λ), ed in questo caso il momento risultante ha direzione ortogonale a λ. I sistemi di ettori piani e paralleli hanno in comune la condizione R M A = 0, essendo il momento ortogonale ai ettori. Si chiamano anche sistemi a trinomio inariante nullo, essendo appunto T = R M A (1.24) 10 Al più possono contenere ettori momento ortogonali al piano.

15 CAPITOLO 1. I VETTORI 17 il trinomio inariante così denominato perché, come prodotto scalare è la somma di tre termini, inariante perché è indipendente dal polo, cioè T = R M A = R M B come si può facilmente proare applicando la legge del trasporto. Questa proprietà significa anche che, pur ariando il polo, non cambia la componente parallela alla risultante del momento di un sistema, cioè corrispondente al ettore componente M \\ = (M A ersr) = T R M \\ = (M A ersr) ersr = T R 2 R (1.25) Il componente di momento non parallelo alla risultante è dato dalla differenza M A M \\, ariabile cambiando polo. Coppia Tra i sistemi di ettori paralleli un ruolo importante è giocato da un sistema fatto da due ettori uno opposto all altro S f = {(A 1, ), (A 2, )}, che prende il nome di coppia. La coppia ha pertanto risultante nulla e, per la eq. 1.23, momento indipendente dal polo Sistemi equialenti Si consideri un secondo sistema di ettori S f composto da (P j, j ) con j = 1..m; i due sistemi S f ed S f si dicono equialenti se hanno stessa risultante e stesso momento risultante R = R (1.26) M Ω = M Ω (1.27) Il concetto di sistema equialente è particolarmente utile in statica e dinamica, essendo spesso coneniente sostituire un dato sistema di ettori con uno equialente più semplice. Ad esempio è possibile, dato un qualsiasi sistema S f, sostituirlo con uno equialente fatto dal ettore risultante applicato in un punto scelto A, ossia (A, R), e da una coppia pari al momento risultante del sistema S f rispetto ad A, M = M A. Ci si potrebbe chiedere allora se si possa scegliere il punto A in modo coneniente, per aere il sistema equialente più semplice possibile, ad esempio fatto soltanto dalla risultante. In effetti ci sono punti di riduzione conenienti, ma la risposta dipende dal sistema di partenza; si fanno pertanto alcune distinzioni:

16 CAPITOLO 1. I VETTORI 18 sistemi a risultante nulla (R = 0), per i quali il sistema equialente più semplice è una coppia di momento pari al momento risultante rispetto ad un polo qualsiasi M sistemi a risultante non nulla (R 0), per quali si distingue ancora tra: 1. sistemi a trinomio inariante nullo (T = 0) (sistemi piani, sistemi di ettori paralleli anche nello spazio, sistemi di ettori concorrenti in un punto) che possono essere ridotti a un solo ettore pari alla risultante R, applicato in un punto qualsiasi di una retta chiamata asse centrale; 2. sistemi a trinomio inariante non nullo (T = 0) equialenti alla risultante R applicata in un punto dell asse centrale e ad una coppia di momento parallelo alla risultante M \\, dato dalla Determinazione dell asse centrale Dal paragrafo precedente, per i sistemi a risultante non nulla, il sistema equialente più semplice è fatto, oltre che da una eentuale coppia, dalla risultante applicata in un punto di una retta denominata asse centrale (parallela ad R). Essa è definita come il luogo dei punti rispetto ai quali il momento è nullo o parallelo alla risultante; pertanto se Ω è un punto dell asse centrale risulta soddisfatta la condizione M Ω R = 0 (1.28) Occorre ancora chiarire come si possa determinare la posizione di questa retta ossia, poiché è nota la sua direzione, indiiduare un suo punto. Nel caso di sistemi piani l asse centrale è il luogo dei punti rispetto ai quali il momento del sistema è nullo. Nel caso di due ettori non paralleli è immediata la costruzione riportata in Fig. 1.13, in cui un punto dell asse centrale Ω è indiiduato dall intersezione delle rette di azione dei ettori e w, essendo eidentemente nullo il momento del sistema di ettori rispetto al polo Ω. L asse centrale è pertanto la retta per Ω parallela alla risultante R. Questa costruzione grafica può essere ripetuta nel caso di un numero maggiore di ettori. w. B Ω R A a.c. determinazione della risultante R w Figura 1.13: Asse centrale di due ettori.

17 CAPITOLO 1. I VETTORI 19 Per ia analitica si cerca un punto Ω dell asse centrale, calcolando prima il momento del sistema rispetto ad un polo comodo A, e applicando il teorema del trasporto M Ω = M A + ΩA R che, per la proprietà dell asse centrale, moltiplicando ettorialmente per R, diiene M Ω R = M A R + ( ΩA R) R = M A R + ( ΩA R)R R 2 ΩA = 0 Questa relazione rappresenta un equazione ettoriale, pari a tre equazioni scalari, in tre incognite scalari, le componenti del ettore ΩA. Poiché esistono infiniti punti Ω soluzioni della precedente equazione, tutti quelli giacenti sull asse centrale, si erifica la condizione che il sistema di equazioni scalari ha caratteristica due, con una equazione linearmente dipendente dalle altre. Alternatiamente si aggiunge quindi la condizione di indiiduare un punto particolare dell asse centrale, corrispondente alla ΩA R = 0, per cui si ottiene Si eda per maggior chiarezza l esempio 1. AΩ = R M A R 2 (1.29) Sistemi equilibrati Un sistema di ettori S f si dice equilibrato se ha risultante nulla e momento risultante nullo rispetto ad un polo qualsiasi R = 0 (1.30) M Ω = 0 (1.31) L arbitrarietà del polo si dimostra facilmente dalla legge di trasporto del momento essendo nulla la risultante M A = AΩ R + M Ω = M Ω Alcuni casi particolari sono particolarmente importanti, soprattutto nel capitolo seguente sulla statica: sistemi equilibrati di due ettori deono essere costituiti da una coppia di braccio nullo, ossia da due ettori opposti giacenti sulla stessa retta d azione (equal, opposite collinear ectors); sistemi equilibrati di tre ettori deono aere necessariamente le rette di azione delle tre forze complanari e concorrenti in uno stesso punto per soddisfare la eqn La condizione è necessaria ma non sufficiente perché dee essere soddisfatta anche la relazione eqn

18 CAPITOLO 1. I VETTORI Esercizi solti Esempio 1 Dati i ettori u e, aenti modulo rispettiamente u = 4 e = 6, determinare: 1) le componenti di u e nei sistemi di riferimento S(x, y) e S (x, y ) di figura, essendo α = π/5, β = π/10 e φ = π/3; 2) le componenti dei ettori somma s = u +, differenza d = u e w = 5 2u; 3) modulo, ersore e angolo rispetto agli assi x e x dei ettori elencati al punto 2); 4) il ettore proiezione di sul ettore w. b f a Figura 1.14: Esempio 1. Soluzione Usando le nozioni trigonometriche si può intanto rispondere al punto 1): [ ] [ ] cos α 4.85 [] S = = sin α 3.53 [ ] [ sin β 1.24 [u] S = u = cos β 3.80 ] e nel sistema S [ ] [ ] cos(φ α) 5.48 [] S = = sin(φ α) 2.44 [ ] [ ] cos(π/2 φ + β) 2.67 [u] S = u = sin(π/2 φ + β) 2.77

19 CAPITOLO 1. I VETTORI 21 Passando al punto 2) [ ] 3.61 [s] S = [u] S + [] S = 7.33 [ ] 6.09 [d] S = [] S [u] S = 0.28 [ [w] S = 5[] S 2[u] S = ] oppure nel riferimento S [ ] 8.16 [s] S = [u] S + [] S = 0.53 [ ] 2.80 [d] S = [] S [u] S = 5.41 [ [w] S = 5[] S 2[u] S = ] Utilizzando le componenti così calcolate si può passare al punto 3) considerando prima il riferimento S [ ] s = 8.17 [erss] S = [ ] θ S = arccos(0.443) = d = 6.10 [ersd] S = [ ] θ S = arcsin( 0.046) = 2.6 w = [ersw] S = θ S = arccos(0.936) = 20.6 e poi il riferimento S (nota che il modulo dei ettori è lo stesso) e che gli angoli differiscono dell angolo tra gli assi x e x [ ] s = 8.17 [erss] S = [ ] θ S = arccos(0.443) = d = 6.10 [ersd] S = [ ] θ S = arcsin( 0.888) = 62.6 w = [ersw] S = θ S = arcsin( 0.635) = 39.4

20 CAPITOLO 1. I VETTORI 22 Infine per rispondere al punto 4 si ricorda che il ettore proiezione è dato dalla relazione w = ( ersw) ersw [ ] [ 5.41 [ w ] S = [ w ] S = 2.03 ] mentre la proiezione in senso di scalare è semplicemente il prodotto scalare ersw che dà lo stesso risultato utilizzando le componenti nei due riferimenti [] S [ersw] S = [] S [ersw] S = 5.78 Esempio 2 Dato il sistema di ettori applicati Σ {(P i, i ), M} P 1 = (1, 2, 3) 1 = (1, 1, 2) P 2 = ( 1, 0, 1) 2 = (3, 0, 2) M = (2, 1, 0) determinare il sistema equialente rispetto al punto A(0, 0, 2). Soluzione Si deono determinare la risultante del sistema Σ ed il suo momento risultante rispetto al punto A. La risultante è subito calcolabile utilizzando le componenti dei ettori: mentre per il momento, essendo R = R = (4, 1, 0) M A = M + AP AP 2 2 si deono premettere alcuni passaggi. Innanzitutto si scriono i ettori AP 1 e AP 2 : AP 1 = (1, 2, 1) AP 2 = ( 1, 0, 1) e quindi si possono solgere i prodotti ettoriali: i j k AP 1 1 = = (3, 1, 1) 1 1 2

21 CAPITOLO 1. I VETTORI 23 i j k AP 2 2 = = (0, 5, 0) Si può infine alutare il momento risultante: M A = M + AP AP 2 2 = (5, 5, 1) Il sistema Σ è quindi dato da {(A, R) + M A } Esempio 1 Dato il sistema di figura composto da quattro ettori (P i, F i ), tutti aenti lo stesso modulo F e con F 1 e F 4 complanari, troare il sistema più semplice equialente a quello dato. Soluzione Coniene innanzitutto classificare il tipo di sistema calcolandone prima la risultante e quindi il trinomio inariante; a tale scopo si introduce un sistema di riferimento cartesiano con origine coincidente con il punto P 4 (in figura l origine è diersa per chiarezza del disegno, ma sono corrette le direzioni) R = F 1 + F 2 + F 3 + F 4 = (F sin(30) F )k + F cos(30)j M P4 = P 4 P 1 F 1 + P 4 P 2 F 2 + P 4 P 3 F 3 = 2F bi M P4 R = 0 Il sistema ha risultante non nulla ma trinomio inariante nullo ed è pertanto equialente al ettore risultante applicato in un punto dell asse centrale che dee però essere indiiduato. Seguendo la 1.29, sia Ω un punto dell asse centrale, si ha P 4 Ω = R M P 4 R 2 x z F 2 F3 F 1 b l h 30 y F 4 Esempio 1.

22 CAPITOLO 1. I VETTORI 24 da cui essendo R M P4 = e i j k 0 F cos(30) F (sin(30) 1) = 2F 2 b[(sin(30) 1)j cos(30)k] 2F b 0 0 R 2 = F 2 [(cos(30)) 2 + (sin(30) 1) 2 ] si ha P 4 Ω = R M P 4 R 2 = 2F 2 b[(sin(30) 1)j cos(30)k] F 2 [(cos(30)) 2 + (sin(30) 1) 2 ] Se il sistema cartesiano adottato ha origine coincidente con il punto P 4, le componenti del ettore P 4 Ω corrispondono anche alle coordinate del punto Ω. Si ossera che l asse centrale è complanare con F 1 e F 4 ; infatti, malgrado i suoi ettori siano distribuiti nello spazio, il sistema è equialente ad un sistema piano, dato dai ettori F 1, F 4 ed una coppia ortogonale ad essi, equialente a F 2 e F 3. Esempio 2 Determinare l asse centrale del sistema di ettori applicati: P 1 = (1, 2, 3) 1 = (1, 1, 2) P 2 = ( 1, 0, 1) 2 = (3, 0, 2) Soluzione P 3 = (0, 0, 2) 3 = (1, 2, 0) M = (3, 0, 0) In base alla definizione 1.28, l asse centrale è il luogo dei punti rispetto ai quali il momento del sistema di ettori (aente R 0) è nullo o parallelo alla risultante. Innanzitutto si dee erificare se ha senso la ricerca dell asse centrale, ossia se R 0; facendo la somma delle componenti omonime dei ettori del sistema si ottiene: R = R = (5, 1, 0) Ne consegue quindi che l asse centrale esiste e per determinarlo, sapendo che esso è una retta parallela alla risultante, è coneniente indiiduarne prima un punto e poi costruire il luogo cercato di conseguenza essendo nota la direzione di R. Indicando con A un punto qualsiasi rispetto al quale calcolare il momento del sistema di ettori, il punto P 0 dell asse centrale giacente sul piano per A ortogonale alla risultante è indiiduato dalla: AP 0 = R M A R 2

23 CAPITOLO 1. I VETTORI 25 Scegliendo A P 3 il momento rispetto a P 3 è: M P3 = P 3 P P 3 P M doe P 3 P 1 = (1, 2, 5) P 3 P 2 = ( 1, 0, 3) Si passa a solgere i prodotti ettoriali: i j k P 3 P 1 1 = = ( 1, 3, 1) Quindi: i j k P 3 P 2 2 = = (0, 7, 0) M P3 = (2, 10, 1) Indicando con P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) il punto dell asse centrale appartenente al piano per P 3 ortogonale a R, si ha P 3 P 0 = (x 0, y 0, z 0 + 2) = R M P 3 = 1 i j k = 1 (1, 5, 52) R Uguagliando componente per componente, si ha: x 0 = 1 26 y 0 = 5 26 z 0 = = 0 L asse centrale in forma parametrica è pertanto dato dalle x = x 0 + R x t = t y = y 0 + R y t = 5 26 t < t < z = z 0 + R z t = 0 Completare calcolando il trinomio inariante.

24 CAPITOLO 1. I VETTORI 26 Esercizio 1 Date le rette a e b ed il ettore u, troare i due ettori a e w b tali che: 1) u + = w 2) + w = u 3) u = w 4) w = u 5) u + w + bs = 0 a u a u a u b b b Esercizio 1

25 CAPITOLO 1. I VETTORI Esercizi proposti