Esercizi commentati sugli schemi a blocchi

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1 Esercizi commentati sgli schemi a blocchi rno Picasso 1 Notazione e preliminari 1.1 Notazione on T 2 1 (s) iene indicata la fnzione di trasferimento dalla ariabile 1 alla ariabile 2. Se in n nodo della rappresentazione di no schema a blocchi non è indicato alcn segno, allora si intende che si tratta di n segno +. Si assme che ogni singolo blocco rappresenti n sistema lineare SISO. 1.2 Preliminari Spponiamo che n sistema sia descritto da no schema a blocchi e che esso abbia de ariabili di ingresso 1, 2 ed na ariabile di scita (come, ad esempio, lo schema in Figra 2). La matrice di trasferimento G(s) di tale sistema è qindi n ettore di dimensione 1 2: G(s) = [ T 1 (s) T 2 (s) ]. La relazione ingresso/scita Y F (s) = G(s)U(s) si riscrie qindi nella forma Y F (s) = T 1 (s)u 1 (s) + T 2 (s)u 2 (s) (1) (tale espressione è na riscrittra in freqenza della proprietà di linearità dell scita forzata rispetto al segnale d ingresso principio di sorapposizione degli effetti ). Dnqe, indipendentemente dalla forma dello schema a blocchi dato per descriere il sistema (che eentalmente pò essere anche molto articolato), dal pnto di ista della relazione ingresso/scita, tale sistema pò essere eqialentemente rappresentato dallo schema in Figra 1-1. Natralmente, le fnzioni di trasferimento T 1 (s) e T 2 (s) dipendono dallo schema assegnato ed in generale aranno na strttra tanto più complessa qanto maggiore è la complessità dello schema. Dall eqazione (1), sege che T 1 (s) = Y F(s) U 1 (s), doe Y F (s) è la trasformata di Laplace dell scita forzata corrispondente al segnale d ingresso [ ] 1 (t) (t) = 0 ( n discorso analogo ale per T2 (s) ). Qesto significa che, per determinare T i (s), è sfficiente porre l ingresso j (t), j i, gale a 0. D ora in aanti, con liee abso di notazione, l espressione (1) errà più sinteticamente indicata con = T T 2 2.

2 1 1 T 1 T 1 T2 T Figra 1: Forma generale di n sistema lineare con de ingressi ed n scita (-1-) e di n sistema lineare con n ingresso e de scite (-2-). Se inece il sistema è descritto da no schema a blocchi aente na ariabile di ingresso e de ariabili di scita 1 e 2 (come, ad esempio, lo schema in basso a destra nella Figra 13), allora la matrice di trasferimento G(s) di tale sistema è n ettore di dimensione 2 1: G(s) = [ T1(s) T 2(s) La relazione Y F (s) = G(s)U(s) si riscrie qindi nella forma Y F (s) = [ T1(s) T 2(s) ]. ] [ T1(s)U(s) U(s) = T 2(s)U(s) e, dal pnto di ista ingresso/scita, na rappresentazione eqialente dello schema dato è qella riportata in Figra 1-2. Qanto detto si generalizza in modo natrale al caso di sistemi MIMO con n nmero arbitrario di ariabili di ingresso e di scita. ]

3 d H + - G G 3 G 2 G 4 Figra 2: Schema a blocchi relatio all Esercizio 1 Figra 3: Schema a blocchi relatio all Esercizio 2 2 Esercizi Premessa: si sppone che ttte le fnzioni che appaiono nei singoli blocchi riportati nelle Figre 2, 3 e 4, siano le fnzioni di trasferimento di n sistema lineare SISO e senza parti nascoste. ESERIZIO 1. Si consideri il sistema lineare descritto mediante lo schema a blocchi in Figra ) alcolare le fnzioni di trasferimento T (s) e T d (s). 1.2) Nel caso in ci G 1 (s) = 2 s+1, G 2(s) = 1 s+2, G 3(s) = 1 s+3, G 4(s) = k e H(s) = 1 s+5, determinare l insieme dei alori di k R tali che il sistema è asintoticamente stabile. 1.3) Se H(s) = 1 s 2, cosa si pò dire circa la stabilità del sistema complessio? ESERIZIO 2. Si consideri il sistema lineare descritto mediante lo schema a blocchi in Figra ) alcolare la fnzione di trasferimento T (s). 2.2) Nel caso in ci (s) = 1 1+Ts, (s) = µ 1+5s e (s) = 2 1+τs, determinare l insieme dei parametri T R, µ R e τ R tali che il sistema complessio sia asintoticamente stabile. ESERIZIO 3. Si calcoli la fnzione di trasferimento T (s) del sistema descritto mediante lo schema a blocchi in Figra 4.

4 e D Figra 4: Schema a blocchi relatio all Esercizio 3 d H + - G G 4 Figra 5: Rielaborazione dello schema a blocchi di Figra 2. 3 Solzioni SOLUZIONE ESERIZIO ) Per la linearità del sistema ( principio di sorapposizione degli effetti ), si ha = T + T d d, dnqe T si determina ponendo d = 0 e T d si determina ponendo = 0. Lo schema dato è eqialente a qello di Figra 5, con Ĝ = (G 1 G 2 )G 3. Si ha qindi T = Ĝ 1 + ĜG 4 = (G 1 G 2 )G (G 1 G 2 )G 3 G 4. (2) Per ciò che rigarda T d, si osseri che, posto = 0, lo schema dato è eqialente a qello di Figra 6. Qindi, 1 T d = H 1 Ĝ( G 4) = H. 1 + (G 1 G 2 )G 3 G 4 d H + + G G 4 Figra 6: Rielaborazione dello schema a blocchi di Figra 2 qando (t) 0.

5 1.2) Il sistema complessio è asintoticamente stabile se e solo se: { ttti i sottosistemi in anello aperto sono asintoticamente stabili ttti gli anelli chisi che compaiono nel sistema sono asintoticamente stabili. Il sistema complessio è composto da n blocco in anello aperto, ossia H(s), e dall anello chiso che coinolge le fnzioni G i (s), i = 1,..., 4. Il blocco H(s) è la fnzione di trasferimento di n sistema asintoticamente stabile in qanto esso ha n polo in 5 (e, per ipotesi, non ci sono parti nascoste ). nalizziamo l anello chiso: sostitendo nell espressione di Ĝ le espressioni delle fnzioni di trasferimento date, si ottiene ( 2 Ĝ(s) = s ) 1 s + 2 s + 3 = s + 3 (s + 1)(s + 2) 1 s + 3 = 1 (s + 1)(s + 2). Si ossera qindi che 3 è n atoalore del sottosistema la ci fnzione di trasferimento è Ĝ ma non è n polo di tale sottosistema (è qindi na parte nascosta del sistema). Tttaia, trattandosi di n atoalore a parte Reale negatia, tale cancellazione non inficia l asintotica stabilità del sistema. La fnzione di anello associata è qindi L(s) = Ĝ(s) G 4(s) = k (s + 1)(s + 2) = N L(s) D L (s) cosicché l asintotica stabiltà dell anello chiso si ottiene imponendo che le radici di p cl (s) = D L (s) + N L (s) = s 2 + 3s k siano a parte Reale minore di 0. Si ha qindi l asintotica stabilità dell anello chiso se e solo se k > 2. Osserazione: nonostante ttti i sottosistemi G i (s) che compongono l anello chiso siano asintoticamente stabili, non necessariamente rislta asintoticamente stabile il corrispondente sistema retroazionato (lo è solo per k > 2). Dnqe, anche qesto esempio mostra esplicitamente come l asintotica stabilità di n sistema retroazionato non possa essere dedotta dall asintotica stabilità dei sottosistemi che lo compongono. In alternatia, l analisi di asintotica stabilità del sottosistema retroazionato pò essere condotta anche nel modo segente: sostitendo le fnzioni di trasferimento date nell espressione di T (s) data nell eqazione (2), se no non si accorge della cancellazione del fattore s + 3, si ottiene T (s) = s + 3 s 3 + 6s 2 + (11 + k)s k. Sebbene qest ltima non sia l espressione corretta di T (s) (in qanto nmeratore e denominatore hanno n fattore in comne), l analisi del denominatore di T (s) permette comnqe di portare a termine l analisi di stabilità. Infatti, poiché il grado del denominatore di T (s) è 3 e coincide con l ordine del sistema (che è dato da ord(g 1 ) + ord(g 2 ) + ord(g 3 ) + ord(g 4 ) = ), tale denominatore è il polinomio caratteristico del sottosistema la ci fnzione di trasferimento è T (s) e dnqe si ha l asintotica stabilità se e solo se il polinomio s 3 + 6s 2 + (11 + k)s k ha ttte le radici con parte Reale negatia. pplicando

6 2 1 Figra 7: Modifica dello schema a blocchi di Figra 3 con dplicazione della ariabile di ingresso. il criterio di Roth-Hritz si ottiene la segente tabella: k k 20+k k da ci sege che ttte le radici di s 3 + 6s 2 + (11 + k)s k hanno parte Reale negatia se e solo se ossia k > 2. { 20 + k > k > 0, 1.3) Poiché H(s) è in anello aperto e ha n polo instabile posto in +2, il sistema complessio rislta instabile indipendentemente da G 1 (s), G 2 (s), G 3 (s) e G 4 (s). SOLUZIONE ESERIZIO ) La fnzione richiesta è T = + 1. tale risltato si pò perenire in ari modi. d esempio: Modo 1 (ia algebrica)- on la notazione della Figra 3, si ha: { = + ( + ) =. qesto pnto si risole il sistema eliminando la ariabile e ricaando in fnzione di : sostitendo la seconda eqazione nella prima si ottiene = + ( + ), ossia (1 ) = ( + ), da ci = + 1. Modo 2 (ia dplicazione dell ingresso)- Si consideri lo schema a blocchi modificato rappresentato in Figra 7 e si osseri che, se fosse 1 = 2, esso sarebbe eqialente allo schema dato. Qindi, essendo = T T 2 2,

7 Figra 8: on riferimento al Modo 3 di risolzione, rappresentazione dello schema a blocchi di Figra 3 come interconnessione di sottosistemi. si pò determinare T da tale espressione imponendo 1 = 2 =. osì facendo si ottiene = T 1 +T 2, per ci T = T 1 + T 2. Si ha e T 1 = T 2 = 1 1 (i de sottosistemi e sono posti in retroazione positia) dnqe, T = T 1 + T 2 = + 1. Modo 3 (ia scomposizione in sottosistemi interconnessi [I])- Si consideri il sistema complessio come l interconnessione di de sottosistemi così come descritto in Figra 8. onsideriamo il sottosistema nella parte in basso del lato destro della Figra 8: esso ha de ariabili di ingresso, e, ed na ariabile di scita, cioè. Si ha dnqe 1 = T + T, doe T = + e T =. Il corrispondente schema a blocchi, in termini delle fnzioni T e T, è rappresentato in Figra 9-1. onsideriamo adesso il sottosistema nella parte in alto del lato destro della Figra 8: esso ha inece na ariabile di ingresso, cioè, e de ariabili di scita, stessa e. Le relatie fnzioni di trasferimento sono date da T = 1 e T = e il corrispondente schema a blocchi è rappresentato in Figra 9-2. Lo schema a blocchi del sistema complessio è dato dall interconnessione fra gli schemi dei de sottosistemi così come descritti in Figra 9-1 e 9-2 ed è dnqe qello rappresentato in Figra 9-3. qesto pnto si calcola facilmente la fnzione di trasferimento T che è qindi data da T = T 1 1 T T = La fnzione di trasferimento da a del sottosistema è indicata con T al fine di non confonderla con la fnzione di trasferimento T da a del sistema complessio.

8 ~ T T T ~ T T T Figra 9: on riferimento al Modo 3 di risolzione, schemi a blocchi eqialenti a: sottosistema in basso a destra della Figra 8 (-1-); sottosistema in alto a destra della Figra 8 (-2-); sistema complessio di Figra 3 (ossia, del lato sinistro della Figra 8) come interconnessione dei de sottosistemi in -1- e -2- (-3-). z z z Figra 10: on riferimento al Modo 4 di risolzione, altra rappresentazione dello schema a blocchi di Figra 3 come interconnessione di sottosistemi. Modo 4 (ia scomposizione in sottosistemi interconnessi [II])- lternatiamente, si consideri il sistema complessio come l interconnessione di de sottosistemi così come descritto in Figra 10. onsideriamo il sottosistema nella parte in basso del lato destro della Figra 10: esso ha na ariabile di ingresso,, e de ariabili di scita, stessa e z. Le relatie fnzioni di trasferimento sono date da T = 1 e T z =. onsideriamo adesso il sottosistema nella parte in alto del lato destro della Figra 10: esso ha inece de ariabili di ingresso, e z, ed na ariabile di scita, cioè. Si ha dnqe (edi la nota 1 a piè pagina) = T + T z z, doe T = 1 e T z = 1 1. Lo schema a blocchi del sistema complessio è dnqe qello rappresentato in Figra 11 da ci si calcola facilmente che la fnzione di trasferimento T è data da T = T + T z T z = = + 1.

9 ~ T Tz z Tz Figra 11: on riferimento al Modo 4 di risolzione, schema a blocchi eqialente al sistema complessio di Figra 3 (ossia, del lato sinistro della Figra 10) come interconnessione dei de sottosistemi nel lato destro della Figra 10. e e Figra 12: on riferimento al Modo 5 di risolzione, rielaborazione dello schema a blocchi in sccessie rappresentazioni eqialenti. Modo 5 (ia aritmetica - rielaborazione dello schema a blocchi)- Si pò modificare lo schema a blocchi dato in modo da ottenerne n altro più semplice da stdiare ed aente la stessa fnzione di trasferimento. on riferimento alla Figra 12-1, si osseri che e = ( + ). pplicando la proprietà distribtia, si ha e = +. Dnqe, il segnale e pò essere eqialentemente rappresentato come la somma + : a tale rappresentazione, corrisponde lo schema in Figra Si ossera adesso che, in Figra 12-2, = ( + ) +. pplicando la proprietà associatia, si ha = + ( + ) ci corrisponde lo schema in Figra Infine, dallo schema in Figra 12-3 si calcola facilmente la fnzione di trasferimento T che è qindi data da 1 T = ( + ) 1 = + 1.

10 Osserazione 2 : è bene notare che gli schemi in Figra 12-2 e 12-3 sono eqialenti a qello in Figra 12-1 solo dal pnto di ista della relazione ingresso/scita (ossia, della fnzione di trasferimento). Essi, inece, non sono eqialenti dal pnto di ista della stabilità dei sistemi che rappresentano. Per rendersi conto di qesto fatto, si noti che, nel sistema in Figra 12-2 (e 12-3), compare n blocco (s) in anello aperto: ciò significa che, per l asintotica stabilità del sistema in Figra 12-2, è necessario che (s) sia asintoticamente stabile. l contrario, l asintotica stabilità di (s) non è affatto necessaria ai fini dell asintotica stabilità del sistema in Figra D altra parte, il sistema in Figra 12-2 è di ordine speriore a qello in Figra 12-1 (infatti, l ordine del sistema in Figra 12-2 è ord() + 2 ord () + ord()): poiché qesti de sistemi hanno la stessa fnzione di trasferimento, ne consege che il sistema in Figra 12-2 presenta delle parti nascoste. lla lce di qanto detto, è facile rendersi conto che tali parti nascoste incldono certamente i poli del sottosistema (s) in anello aperto: del resto, esplicitando l espressione della fnzione di trasferimento T (s), si ottiene 3 T(s) = D (s) ( N (s)d (s) + D (s)n (s) ) e non i è traccia dei poli di (s). D (s) ( D (s)d (s) N (s)n (s) ) Esempio: nel caso in ci (s) = 19 s+10, (s) = 5 s 2 e (s) = 2 s+4, si ha Qindi: T (s) = (s + 4)(24s + 12) (s + 10)(s 2 + 2s + 2). il sistema in Figra 12-1 (cioè qello originale) è di ordine 3 ed è asintoticamente stabile; il sistema in Figra 12-2, inece, è di ordine 4 ed è instabile in qanto il blocco (s) in anello aperto è instabile; qesto sistema ha la stessa fnzione di trasferimento T (s) del sistema in Figra 12-1 ed ha na parte nascosta data dall atoalore λ = +2 associato al blocco in anello aperto (s). 2.2) Sostitendo nell espressione di T le espressioni delle fnzioni di trasferimento date, si ottiene T (s) = (1 + τs)( µ(1 + Ts) (1 + 5s) ) (1 + Ts) ( ). (3) 5τs 2 + (τ + 5)s + 1 2µ Il grado del denominatore di T (s) è 3 e coincide con l ordine del sistema complessio (che è dato da ord() + ord() + ord() = ), qindi il denominatore di T (s) è il polinomio caratteristico 4 del sistema e si ha l asintotica stabilità se e solo se il polinomio (1 + Ts) ( 5τs 2 + (τ + 5)s + 1 2µ ) ha ttte le radici con parte Reale negatia, ossia se e solo se { T > 0 5τ, τ + 5 e 1 2µ hanno lo stesso segno. 2 Si confronti il contento di qesta osserazione con qanto discsso nel Paragrafo del libro di testo adottato nel corso: P. olzern, R. Scattolini e N. Schiaoni, Fondamenti di controlli atomatici 3 a edizione McGra-Hill. 3 Natralmente, N X (s) sta per nmeratore e D X (s) sta per denominatore della fnzione di trasferimento X(s) 4 Più precisamente, poiché tale denominatore è della forma 5τTs (ossia il coefficiente del monomio di grado massimo è dierso da 1), si tratta di 5τT moltiplicato per il polinomio caratterstico del sistema. iò è ininflente in qanto la moltiplicazione per na costante non nlla non altera le radici di n polinomio.

11 Da ci sege che la condizione di asintotica stabilità è T > 0 τ > 0 µ < 1/2 oppre T > 0 τ < 5 µ > 1/2. Osserazione: in modo del ttto analogo a qanto fatto nella risolzione dell Esercizio 1.2, aremmo potto anche procedere imponendo l asintotica stabilità dei sistemi in anello aperto ( in qesto caso (s) ) e dei sistemi retroazionati ( in qesto caso l anello chiso in retroazione positia la ci fnzione di anello è L(s) = (s)(s) ). Natralmente, qesto modo di procedere è eqialente a qello impiegato nella solzione proposta e basato sl calcolo della fnzione di trasferimento del sistema complessio: in effetti, con riferimento all eqazione (3), si noti che il fattore (1 + Ts) al denominatore di T (s) è associato al polo del sottosistema (s) in anello aperto; l altro fattore, cioè ( 5τs 2 +(τ +5)s+1 2µ ), non è altro che il polinomio caratteristico 5 del sottosistema in anello chiso con fnzione di anello L(s) = (s)(s). SOLUZIONE ESERIZIO 3. La fnzione richiesta è T = 1 (1 + D). tale risltato si pò perenire in ari modi. d esempio: Modo 1 (ia algebrica)- on la notazione della Figra 4, si ha: = e e = + = D + e. qesto pnto si risole il sistema eliminando le ariabili e, e ricaando in fnzione di : sostitendo la terza eqazione nella seconda si ottiene e = + D + e da ci si ricaa e = +D 1 ; sostitendo qesta espressione di e nella prima eqazione rislta = +D 1, ossia = 1 + D 1. Ricaando da qesta eqazione si ottiene infine (1 D 1 ) = 1 e dnqe = 1 1 D 1, cioè = 1 D. Modo 2 (ia scomposizione in sottosistemi interconnessi [I])- Si consideri il sistema complessio così come l interconnessione di de sottosistemi come descritto in Figra 13. onsideriamo il sottosistema nella parte in basso a sinistra della Figra 13: esso ha de ariabili di ingresso, e, ed na ariabile di scita, cioè. Si ha dnqe = T + T, doe T = e T =. Il corrispondente schema a blocchi, in termini delle fnzioni T e T, è rappresentato in Figra onsideriamo adesso il sottosistema nella parte in basso a destra della Figra 13: esso ha inece na ariabile di ingresso, cioè, e de ariabili di scita, e. Le relatie fnzioni di trasferimento sono date da T = e T = 1 + D e il corrispondente schema a blocchi è rappresentato in Figra Più precisamente, si tratta di 5τ moltiplicato per il polinomio caratterstico del sottosistema retroazionato.

12 D D Figra 13: on riferimento al Modo 2 di risolzione, rappresentazione dello schema a blocchi di Figra 4 come interconnessione di sottosistemi. T T T T T T T T T Figra 14: on riferimento al Modo 2 di risolzione, schemi a blocchi eqialenti a: sottosistema in basso a sinistra della Figra 13 (-1-); sottosistema in basso a destra della Figra 13 (-2-); sistema complessio di Figra 4 (ossia, della parte alta della Figra 13) come interconnessione dei de sottosistemi in -1- e -2- (-3-).

13 z D z z D Figra 15: on riferimento al Modo 3 di risolzione, altra rappresentazione dello schema a blocchi di Figra 4 come interconnessione di sottosistemi. Lo schema a blocchi del sistema complessio è dnqe qello rappresentato in Figra qesto pnto si calcola facilmente la fnzione di trasferimento T che è qindi data da T = T T = 1 T T 1 (1 + D). Modo 3 (ia scomposizione in sottosistemi interconnessi [II])- lternatiamente, si consideri il sistema complessio come l interconnessione di de sottosistemi come descritto in Figra 15. In tal caso si ottengono le fnzioni di trasferimento T = 1, T z = 1 (per il sottosistema nella parte in basso a sinistra della figra) e T =, T z = D (per il sottosistema nella parte in basso a destra della figra). Lo schema a blocchi del sistema complessio è dnqe analogo a qello rappresentato in Figra 14-3 (con T z e T z al posto di T e T, rispettiamente) e qindi la fnzione di trasferimento T è data da T = T T 1 T z T z = D = 1 (1 + D).