Antiwind-up. (Complementi di Controlli Automatici: prof. Giuseppe Fusco)

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1 Antiwind-up (Complementi di Controlli Automatici: prof. Giuseppe Fusco) Il progetto dei sistemi di controllo viene spesso effettuato utilizzando la teoria del controllo lineare che fornisce buone prestazioni quando il modello dell impianto da controllare può essere descritto da un modello lineare. Alcune volte è però necessario considerare anche la presenza di elementi non lineari nell anello di controllo, il principale dei quali è rappresentato dalla saturazione degli attuatori. La saturazione difatti modella i limiti imposti sull ampiezza della variabile di controllo che non può nella pratica assumere valori arbitrari. Il blocco rappresentativo della saturazione è u sat u u sat (t) Figura : Saturazione. Fenomeni di saturazione possono portare all instabilità il sistema ad anello chiuso se per esempio il processo non è asintoticamente stabile; infatti in presenza di una saturazione l anello di regolazione viene interrotto in quanto u sat (t). La funzione saturazione è definita come U min se U min u sat (t) = sat(u) = se U min < < U max U max se U max La presenza contemporanea della saturazione e di un azione integrale del controllore, quest ultima necessaria per rendere il sistema di tipo uno, determina un fenomeno di tipo non lineare, denominato wind-up o carica integrale che deteriora le prestazioni del sistema di controllo. Per illustrare qualitativamente tale fenomeno si faccia riferimento agli andamenti dell errore, e delle variabili ed u sat (t) riportati in Figura 2 relativi allo schema di Figura 3.

2 Antiwind-up. Prof. Giuseppe Fusco Figura 2: Segnali: (blu), (rosso) ed u sat (t) (verde). r(t) u sat (t) C(s) SAT Figura 3: Schema di controllo con saturazione. Quando l errore si mantiene dello stesso segno (positivo nell esempio) per un certo periodo di tempo, l azione integrale del controllore continua ad integrare l errore anche se la variabile in ingresso al processo è saturata. Quando l errore cambia di segno, bisogna aspettare che l uscita del controllore torni ad assumere valori compresi fra i limiti (scarica dell azione integrale) in modo tale che u sat (t) =, e quindi la saturazione operi in linearità. Gli andamenti di nel caso lineare e nel caso con saturazione sono riportati in Figura 4. Il fenomeno del wind-up è quindi dovuto al fatto che la dinamica del controllore non è influenzata dalla presenza delle limitazioni imposte sulla variabile. Esistono diverse tecniche per gestire la presenza della saturazione, le principali delle quali sono denominate tecniche di antiwind-up. Tali tecniche si basano sul principio di alimentare il controllore anche con il segnale u sat (t), prelevato a valle della saturazione. In tal modo l uscita del controllore può evolvere coerentemente con l andamento della variabile che effettivamente agisce sul processo. Per realizzare quest obiettivo la variabile di controllo deve abbondonare il valore di saturazione non appena l errore cambia segno.

3 Antiwind-up. Prof. Giuseppe Fusco Figura 4: Andamento di : lineare (blu), in presenza di saturazione (rosso). Una possibile soluzione prevede che si trovino le funzioni di trasferimento M(s) ed H(s) dello schema a blocchi di Figura 5 in modo tale che la funzione di trasferimento tra ed sia uguale a C(s) = N c (s)/d c (s) con D c (0) = 0 per la presenza dell azione integrale. M(s) H(s) Figura 5: Schema a blocchi equivalente al controllore C(s) Deve quindi risultare C(s) = M(s) H(s). La soluzione si può ottenere scegliendo un polinomio tale che C(s) = N c(s) D c (s) = N c(s) D c (s)

4 Antiwind-up. Prof. Giuseppe Fusco 4 da cui e dove H(s) = D c (s) M(s) = N c(s) H(0) = ϕ(0) D c(0) ϕ(0) Il polinomio da scegliere deve: avere tutte le radici a parte reale negativa; avere grado non inferiore a N c (s); = H(s) = D c(s). = ϕ(0) ϕ(0) =. rendere H(s) strettamente propria in modo da evitare anelli algebrici; rendere positivo il rapporto N c (0)/ϕ(0). Lo schema antiwind-up risultante è mostrato nella Figura seguente relativa al caso in cui la variabile u sat (t) non è disponibile per la misura. In questo caso quindi è necessario replicare all interno del controllore la saturazione. r(t) N c (s) q(t) g(t) u sat (t) φ(s) p(t) φ(s)d c (s) φ(s) Figura 6: Schema antiwind-up. Quando si opera in zona lineare della saturazione, la funzione di trasferimento fra ed coincide con C(s). Se la variabile di errore si mantiene di segno costante, per esempio positivo, per un certo periodo di tempo, la variabile g(t) eccede il suo limite massimo, è saturata al valore U max, e poichè H(0) =, anche la variabile p(t) tenderà ad U max con una dinamica

5 Antiwind-up. Prof. Giuseppe Fusco 5 che dipenderà dalle radici di. Quando cambia segno, anche q(t) cambia segno e di conseguenza la variabile g(t) = q(t) p(t) diventa inferiore al valore di saturazione U max. Il sistema ritorna quindi a funzionare in linearità. Da quanto esposto, si comprende che la rapidità con cui il segnale g(t) lascia il valore di saturazione dipende dalle radici di. Se il segnale u sat (t) è accessibile per la misura non è necessario replicare la saturazione all interno del controllore. Un altra tecnica che consente di gestire la presenza della saturazione prende il nome di back-calculation. Lo schema che implementa tale tecnica è riportato in Figura 7. C (s) r(t) k i s u sat (t) T t w(t) Figura 7: Back-calculation. In questo caso è necessario evidenziare nello schema l azione integrale del controllore in quanto tale tecnica consiste nel generare un segnale w(t) = u sat (t) che viene retroazionato a monte dell integratore attraverso un guadagno positivo /T t. In presenza di saturazione, il segnale w(t) è negativo mentre in linearità è nullo. Per la presenza dell anello interno di retroazione, l uscita dell integratore viene portata ad un valore tale per cui l ingresso all integratore diviene nullo. Il valore di T t determina quanto velocemente l azione integrale viene resettata. In particolare piccoli valori di T t resettano rapidamente l integratore.