Sistemi Interconnessi

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1 Corso di Fondamenti di Atomatica Università di Roma La Sapienza Sistemi Interconnessi L. Lanari Dipartimento di Informatica e Sistemistica Università di Roma La Sapienza Roma, Ital Ultima modifica Ma 29, 2008

2 Considerazioni generali Si consideri n sistema S ottento come interconnessione di m sottosistemi S i (i =,..., m) ognno dei qali caratterizzato dalla rappresentazione con lo spazio di stato (A i, B i, C i, D i ) e vettore di stato x i IR n i di dimensione n i, ingresso i e scita i S i : { ẋi (t) = A i x i (t) B i i (t) i (t) = C i x i (t) D i i (t) Lo stato x(t) del sistema interconnesso pò essere scelto pari a x(t) = x (t). x m (t) ed ha dimensione n = m i= n i. Le diverse interconnessioni sono individate dalle relazioni di interconnessione tra le variabili di ingresso e scita dei vari sottosistemi. L ordine dei sottovettori xi (t) nel vettore di stato x(t) è arbitrario; ovviamente cambia la rappresentazione nello spazio di stato del sistema interconnesso se si altera l ordine dei vettori x i (t) in x(t). Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi

3 Atovalori nascosti Un atovalore λ i della matrice dinamica A di n sistema S si definisce atovalore nascosto se la sa molteplicità come polo della fnzione di trasferimento di S è strettamente inferiore a qella che tale atovalore ha come radice del polinomio caratteristico di A (molteplicità algebrica). La presenza di n atovalore nascosto nasce dall esistenza di na dinamica non raggingibile e/o inosservabile (dinamica nascosta) caratterizzata dall atovalore stesso. Vale il segente risltato (Test di Hats) Un atovalore λ i non è n atovalore nascosto se e solo se rango ( (A λ i I) B ) = n Test di controllabilità rango ( (A λi I) C ) e = n Test di osservabilità Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 2

4 Interconnessione in Serie (o Cascata) = = 2 2 = S : { ẋ (t) = A x (t) B (t) (t) = C x (t) D (t) stato: x(t) = S S 2 S ( x (t) x 2 (t) ) S 2 : { ẋ2 (t) = A 2 x 2 (t) B 2 2 (t) 2 (t) = C 2 x 2 (t) D 2 2 (t) relazioni di interconnessione: = 2, =, = 2 Per ottenere la rappresentazione con lo spazio di stato del sistema interconnesso si calcola ẋ(t) e si sano le relazioni di interconnessione ( ) ( ) ( ) ( ) ẋ A x ẋ = = B A x = B A = x B ẋ 2 A 2 x 2 B 2 2 A 2 x 2 B 2 A 2 x 2 B 2 (C x D ) ( ) ( ) ( ) A 0 x B = = Ax B B 2 C A 2 x 2 B 2 D = 2 = C 2 x 2 D 2 2 = C 2 x 2 D 2 (C x D ) = ( ) ( ) x D 2 C C 2 D x 2 D 2 = Cx D Sistema interconnesso caratterizzato da ( ) ( ) A 0 B A =, B =, C = ( ) D B 2 C A 2 B 2 D 2 C C 2, D = D D 2 Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 3

5 Interconnessione in Serie (o Cascata) Dall espressione della matrice A (triangolare inferiore a blocchi) del sistema interconnesso si ha l importante relazione at{a} = at{a } at{a 2 } In generale si ha Il sistema interconnesso in serie S ha come atovalori l nione degli atovalori dei sottosistemi S i che lo compongono Con at{a} si indica l insieme degli atovalori della matrice A. Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 4

6 Interconnessione in Serie (o Cascata) Fnzione di trasferimento = = 2 2 = 2 S : F (s) = (s) (s) S 2 : F 2 (s) = 2(s) 2 (s) = (s) (s) = 2(s) 2 (s) (s) 2 (s) = 2(s) (s) (s) 2 (s) = 2(s) (s) 2 (s) (s) = F 2(s)F (s) = F (s)f 2 (s) La fnzione di trasferimento del sistema interconnesso in serie S è data dal prodotto delle fnzioni di trasferimento F i (s) dei singoli sottosistemi S i che lo compongono Attenzione: nella fnzione di trasferimento finale ci possono essere delle cancellazioni tra poli e zeri. In tal caso si ha sicramente na perdita di raggingibilità e/o osservabilità per il sistema interconnesso. I poli del sistema interconnesso, in presenza di tali cancellazioni, non comprenderanno ttti i poli (atovalori) dei singoli sottosistemi e qindi ci saranno atovalori nascosti. Si parte dal prespposto che i singoli sottosistemi siano, presi singolarmente, completamente osservabili e raggingibili e qindi i poli e gli atovalori di ogni singolo sottosistema coincidono. Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 5

7 Interconnessione in Serie Esempio = = 2 2 = S : F (s) = s s = 2 s 2 S 2 : F 2 (s) = s = F (s)f 2 (s) = (s ) (s ) (s ) = s Un solo polo mentre il sistema deve avere 2 atovalori n atovalore nascosto = perdita di raggingibilità e/o osservabilità Si deve individare la rappresentazione nello spazio di stato del sistema interconnesso a partire dalle singole rappresentazioni dei de sottosistemi S e S 2. A= Realizzazioni ( ) ( A 0 0 = B 2 C A 2 2 S : A =, B =, C = 2, D = S 2 : A 2 =, B 2 =, C 2 =, D 2 = 0 ) ( ) ( ) B, B = =, C = ( 0 B 2 D ) ( C 2 = 0 ), D =0 Test di Hats per λ 2 = rg ( A λ 2 I B ) ( ) 2 0 = rg = < n = 2, λ non raggingibile ( ) A λ2 I rg = rg = 2 = n, λ C 2 osservabile 0 Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 6

8 Interconnessione in Serie Esempio 2 = = 2 2 = 2 Att. ordine diverso rispetto all esempio S : F (s) = s s = 2 s S 2 : F 2 (s) = s = F 2 (s)f (s) = F (s)f 2 (s) = (s ) (s ) (s ) = s n solo polo Stesse realizzazioni dei singoli sottosistemi dell esempio ( ) ( ) ( ) ( ) A B A = C =, B = =, 0 A 2 0 B 2 C = ( C ) ( D C 2 = 2 ) Test di Hats per λ 2 = rg ( A λ 2 I B ) ( ) 2 0 = rg = 2 = n, λ raggingibile ( ) A λ2 I rg = rg = < n = 2, λ C 2 inosservabile 2 l ordine di interconnessione in caso di cancellazione è importante Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 7

9 Interconnessione in Serie Proprietà strttrali = = 2 2 = 2 Se nell interconnessione in serie di F (s) = N (s)/d (s) e F 2 (s) = N 2 (s)/d 2 (s) si verificano cancellazioni che coinvolgono fattori comni tra N (s) e D 2 (s) (cancellazione nell ordine zero/polo) oppre tra D (s) e N 2 (s) (cancellazione polo/zero) si generano dinamiche nascoste. Rispetto allo schema di figra: se no zero di F (s) cancella n polo di F 2 (s) si genera na dinamica non raggingibile caratterizzata dall atovalore nascosto coincidente con il polo di F 2 (s) cancellato; se n polo di F (s) cancella no zero di F 2 (s) si genera na dinamica inosservabile caratterizzata dall atovalore nascosto coincidente con il polo di F (s) cancellato. Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 8

10 Interconnessione in Parallelo S S : { ẋ (t) = A x (t) B (t) (t) = C x (t) D (t) 2 S 2 2 S S 2 : { ẋ2 (t) = A 2 x 2 (t) B 2 2 (t) 2 (t) = C 2 x 2 (t) D 2 2 (t) Procedimento analogo ( ) ẋ ẋ = = ẋ 2 = relazioni di interconnessione: = 2, = = 2 ( ) A x B A 2 x 2 B 2 2 ( A 0 0 A 2 ) ( x x 2 ) ( A x = B A 2 x 2 B 2 ) = Ax B B 2 ( B = 2 = C x D x C 2 x 2 D 2 x 2 = ( C C 2 ) ( x x 2 ) (D D 2 ) = Cx D Sistema interconnesso caratterizzato da ( ) ( ) A 0 B A =, B =, C = ( ) C 0 A 2 B C 2, D = D D 2 2 ) Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 9

11 Interconnessione in Parallelo Dall espressione della matrice A (diagonale a blocchi) del sistema interconnesso si ha l importante relazione at{a} = at{a } at{a 2 } In generale si ha Il sistema interconnesso in parallelo S ha come atovalori l nione degli atovalori dei sottosistemi S i che lo compongono Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 0

12 Interconnessione in Parallelo Fnzione di trasferimento S : F (s) = (s) (s) S 2 : F 2 (s) = 2(s) 2 (s) = (s) (s) = (s) 2 (s) (s) = (s) (s) 2(s) (s) = (s) (s) 2(s) 2 (s) = F (s) F 2 (s) La fnzione di trasferimento del sistema interconnesso in parallelo S è data dalla somma delle fnzioni di trasferimento F i (s) dei singoli sottosistemi S i che lo compongono Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi

13 Interconnessione in Parallelo Esempio S : F (s) = s s = 2 s S 2 : F 2 (s) = s Realizzazioni S : A =, B =, C = 2, D = S 2 : A 2 =, B 2 =, C 2 =, D 2 = 0 = F (s) F 2 (s) = s s s = ( ) ( ) 0 A =, B = 0 s s = s n solo polo, C = ( 2 ), D = D = Test di Hats per λ = rg ( A λi B ) ( ) 0 0 = rg = < n = 2, λ non raggingibile 0 0 ( ) A λi rg = rg = < n = 2, λ inosservabile C 2 Dinamica di ordine (dimensione del sottosistema) non raggingibile e inosservabile caratterizzata da n atovalore in Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 2

14 Interconnessione in Parallelo Proprietà strttrali S S 2 2 S Se F (s) e F 2 (s) hanno n polo p i in comne, allora, mettendo in evidenza tale polo F (s) = N (s) D (s) = N (s) (s p i )D (s), F 2(s) = N 2(s) D 2 (s) = N 2 (s) (s p i )D 2 (s) = F (s) F 2 (s) = N (s) (s p i )D (s) N 2 (s) (s p i )D 2 (s) = N (s)d 2 (s) N 2(s)D (s) (s p i )D (s)d 2 (s) con il nmero di poli finale minore di no rispetto alla somma del nmero dei poli di S e S 2. In generale si pò dimostrare che o, eqivalentemente, Se F (s) e F 2 (s) hanno poli in comne allora si genera na dinamica contemporaneamente non raggingibile e inosservabile Se S e S 2 hanno atovalori in comne allora si genera na dinamica contemporaneamente non raggingibile e inosservabile Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 3

15 Interconnessione in Retroazione S S : { ẋ (t) = A x (t) B (t) (t) = C x (t) 2 2 S 2 Retroazione negativa S S 2 : (caso D = D 2 = 0) { ẋ2 (t) = A 2 x 2 (t) B 2 2 (t) 2 (t) = C 2 x 2 (t) Scegliendo relazioni di interconnessione: = 2, = = 2 stato: x(t) = ( x (t) x 2 (t) e calcolando ẋ(t), si ottiene la rappresentazione con lo spazio di stato di S ( ) ( ) ( ) ẋ A x ẋ = = B ( 2 ) A x = B C 2 x 2 B ẋ 2 A 2 x 2 B 2 A 2 x 2 B 2 C x ( ) ( ) ( ) A B = C 2 x B = Ax B B 2 C A 2 x 2 0 = = C x = ( C 0 ) ( ) x = Cx x 2 ) Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 4

16 Interconnessione in Retroazione Sistema interconnesso caratterizzato da ( ) A B A = C 2, B = B 2 C A 2 ( B 0 ), C = ( C 0 ), D = 0 In generale si ha at{a} = at{a } at{a 2 } e qindi il sistema interconnesso avrà, in generale, atovalori diversi dagli atovalori dei singoli sottosistemi. Come illstrato di segito, se vi sono cancellazioni nella fnzione d anello F (s)f 2 (s), la dinamica non necessariamente nascosta, corrispondente a tali cancellazioni, rimane inalterata per il sistema ad anello chiso. Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 5

17 Interconnessione in Retroazione Fnzione di trasferimento S : F (s) = (s) (s) S 2 : F 2 (s) = 2(s) 2 (s) (s) = (s) = F (s)[(s) 2 (s)] = F (s)[(s) F 2 (s) 2 (s)] = F (s)[(s) F 2 (s)(s)] [ F (s)f 2 (s)](s) = F (s)(s) = (s) (s) = F (s) F (s)f 2 (s) Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 6

18 Interconnessione in Retroazione Unitaria S S Retroazione nitaria negativa S: sistema ad anello chiso S : sistema ad anello aperto { ẋ (t) = A S : x (t) B (t) (t) = C x (t) (caso D = 0) relazioni di interconnessione: =, = Lo stato del sistema interconnesso coincide con qello del sistema ad anello aperto S. ẋ = ẋ = A x B ( ) = A x B C x B = (A B C )x B = Ax B = = C x = Cx Sistema interconnesso caratterizzato da con, in generale, A = A B C, B = B, C = C at{a} = at{a } Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 7

19 Interconnessione in Retroazione Unitaria Fnzione di trasferimento S : F (s) = (s) (s) = (s) (s) = F (s) F (s) Caso reazione positiva = (s) (s) = F (s) F (s) Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 8

20 Interconnessione in Retroazione Unitaria Esempio S instabile, ad esempio F (s) = 2 s S stabile asintoticamente = F (s) F (s) = 2/(s ) 2/(s ) = 2 s 2 = 2 s S stabile asintoticamente, ad esempio F (s) = K(s ) (s ) 2 = F (s) F (s) = K(s ) s 2 s(2 K) K S è stabile asintoticamente se 2 < K < ; S è stabile semplicemente se K = o K = 2; S è instabile negli altri casi. Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 9

21 Interconnessione in Retroazione Proprietà strttrali Se no zero di F (s) coincide con n polo di F 2 (s) si genera na dinamica nascosta non raggingibile e inosservabile. F (s) = (s a)n (s), F 2 (s) = D (s) N 2 (s) (s a)d 2 (s) = (s a) 2 N (s)d 2 (s) (s a)[d (s)d 2 (s) N (s)n 2(s)] cancellazione = (s a)n (s)d 2 (s) D (s)d 2 (s) N (s)n 2(s) L atovalore nascosto (corrispondente al polo cancellato ) non viene alterato dalla retroazione. Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 20

22 Interconnessione in Retroazione Proprietà strttrali Att.: Se n polo di F (s) coincide con no zero di F 2 (s) nell interconnessione a retroazione riportata in figra non si genera na dinamica nascosta ma il corrispondente polo non viene alterato dalla retroazione. F (s) = N (s) (s a)d (s), F 2(s) = (s a)n 2 (s) D 2 (s) = N (s)d 2 (s) (s a)[d (s)d 2(s) N (s)n 2 (s)] Non ci sono cancellazioni: il grado del denominatore di è gale alla somma dei gradi dei denominatori di F (s) e F 2 (s) (e gale al nmero di atovalori del sistema interconnesso). Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 2

23 Interconnessione in Retroazione Unitaria Proprietà strttrali S S Il sistema retroazionato S ha atovalori nascosti se e solo se li ha il sistema S F (s) = = cancellazione = (s a)n (s) (s a)d (s) (s a)n (s) (s a)n (s) (s a)d (s) = (s a)n (s) (s a)[n (s) D (s)] N (s) N (s) D (s) Gli atovalori nascosti di S non vengono spostati dalla retroazione Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 22

24 Alcne regole per la semplificazione di sistemi interconnessi L eqivalenza è facilmente dimostrata confrontanto i vari segnali. Att.: l eqivalenza è solo di tipo algebrico, le cancellazioni introdotte servono solo a sbrogliare le interconnessioni. Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 23

25 Esempio r K(s) G(s) z d Calcolare la fnzione di trasferimento W dz (s) tra le variabili d(t) e z(t) Principio di sovrapposizione degli effetti r = 0. Il sistema interconnesso complessivo ha de ingressi (r(t) e d(t)); entrambi, in generale, inflenzeranno l andamento delle diverse variabili del sistema e qindi anche z(t). Definendo con W rz (s) la fnzione di trasferimento tra r e z (ottenta ponendo d a zero), la risposta forzata complessiva sarà z(s) = W dz (s)d(s) W rz (s)r(s) Volendo solo individare l effetto di d(t) s z(t) si pò porre l altro ingresso a zero. Semplice manipolazione dello schema a blocchi K(s) G(s) z d d K(s) G(s) z W dz (s) = K(s)G(s) [ K(s)G(s)] = K(s)G(s) K(s)G(s) Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 24

26 Esempio 2 r C(s) d 2 Individare le fnzioni di trasferimento W d (s) e W r (s) Opportne trasformazioni dello schema a blocchi = 0 r C(s) d 2 C(s) d 2 d d C(s) C(s) 2 C(s) a 2 b C(s) Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 25

27 Esempio 2 C(s) d d C(s) 2 2 C(s) C(s) Lo schema finale permette di applicare le formle note per il calcolo della fnzione di trasferimento di n sistema interconnesso In modo analogo si ottiene W d (s) = W r (s) = F (s) [F (s) F 2 (s)] C(s) [F (s) F 2 (s)] C(s) [F (s) F 2 (s)] C(s) Esiste n procedimento algoritmico di tipo algebrico formla di Mason che permette di calcolare in generale la fnzione di trasferimento di n sistema interconnesso complesso. Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 26

28 Esempio 2 In alternativa si pò procedere in modo algebrico: individare ttti i segnali che appaiono nel sistema interconnesso scrivere le relazioni in s che legano i vari segnali risolvere le eqazioni algebriche. relazioni algebriche: (s) = b(s) c(s), b(s) = F (s)a(s), c(s) = F 2 (s)(s), a(s) = (s) d(s), (s) = C(s)(s) r = 0 C(s) d a b 2 c = b c = F 2 F ( d) = F d (F F 2 )C Si ricorda che si sta considerando la sola risposta forzata e pertanto se n segnale a(s) agisce in ingresso a n sistema con fnzione di trasferimento G(s), la trasformata dell scita forzata b(s) è data dal semplice prodotto b(s) = G(s)a(s) Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 27

29 Esempio 3 T i (t) f i f a T ai (t) A k f (s) a B f a T a (t) T(t) f T ai (t), T a (t) temperatra in ingresso e in scita jacket, C ρ a densità acqa raffreddamento nel jacket, kg/m 3 V a volme acqa nella camicia di raffreddamento H ai, H a entalpie acqa in ingresso/scita jacket, J/kg f i, f flsso volmetrico in ingresso/scita reattore m 3 /s C Ai concentrazione del componente A in ingresso T (s) i f(s) C A (s) i K 8 K 2 K K 5 K 4 T a (s) i K 9 3 s T a (s) K 7 T(s) s s K 3 2 C A (s) K 6 K 0 Fondamenti di Atomatica Sistemi Interconnessi 28