Esercizi di Matematica Finanziaria
|
|
- Aurelio Costantino
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Università degli Stdi di Siena Facoltà di Economia Esercizi di Matematica Finanziaria relativi ai capitoli XI-XIII del testo Cladio Pacati a.a
2 c Cladio Pacati ttti i diritti riservati. Il presente testo non pò essere riprodotto, neppre in parte, senza l atorizzazione scritta dell atore.
3 . Si consideri n individo I dotato di na fnzione tilità (x) = 50( e x/50 ) e di n capitale certo c = 50. Date de operazioni rischiose e, caratterizzate da n gadagno aleatorio G = {35, 35} e G = {90, } rispettivamente, si determini qale delle de è preferita se l individo massimizza l tilità attesa e se attribisce probabilità 7/ all evento (G = 35) e probabilità 5/ all evento (G = 90). = m () = posizione preferita:. Si considerino de titoli rischiosi con tasso di rendimento aleatorio I e I. Spponiamo che il rendimento atteso e la varianza dei de titoli siano rispettivamente E(I ) = 0.55, E(I ) = 0.3, V (I ) = 0.0, V (I ) = e che il coefficiente di correlazione sia pari a Considerando n portafoglio con rendimento I = αi + ( α)i, si calcoli la composizione α del portafoglio a varianza minima ed i corrispondenti valori di rendimento atteso E (I) e di varianza V (I), (a) nel caso in ci siano consentite vendite allo scoperto: α = E (I) = V (I) = (b) nel caso in ci non siano consentite vendite allo scoperto: α = 0 E (I) = 0. 3 V (I) = Un individo I dotato di na fnzione tilità (x) = log x e di n capitale certo c = 500, deve decidere se effettare na operazione rischiosa con gadagno aleatorio G che pò assmere il valore 300 con probabilità /5, il valore 50 con probabilità /5 ed il valore 00 con probabilità /5. Si calcoli l avversione al rischio (assolta) r(c) dell individo e si determinino l tilità attesa E[(X)] e l eqivalente certo m della posizione finanziaria X = c + G assnta da I nell eventalità che egli effetti l operazione rischiosa descritta. r(c) = E[(X)] = m = Si considerino de titoli rischiosi con tasso di rendimento aleatorio I e I. Spponiamo che il rendimento atteso e la varianza dei de titoli siano rispettivamente E(I ) = 0.76, E(I ) = 0.3, V (I ) = 0.03, V (I ) = e che il coefficiente di correlazione sia pari a 0.7. Considerando n portafoglio con rendimento I = ( α)i + αi, si calcoli la composizione α del portafoglio a varianza minima ed i corrispondenti valori di rendimento atteso E (I) e di varianza V (I), (a) nel caso in ci siano consentite vendite allo scoperto: α = E (I) = V (I) = (b) nel caso in ci non siano consentite vendite allo scoperto: α = E (I) = 0. 3 V (I) = Un individo I dotato di na fnzione tilità (x) = x 000 x e di n capitale certo c = 500, deve decidere se effettare na operazione rischiosa con gadagno aleatorio G che pò assmere il valore 00 con probabilità /5, il valore 50 con probabilità /5 ed il valore 00 con probabilità /5. Si calcoli l avversione al rischio (assolta) r(c) dell individo e si determinino l tilità attesa E[(X)] e l eqivalente certo m della posizione finanziaria X = c + G assnta da I nell eventalità che egli effetti l operazione rischiosa descritta. r(c) = E[(X)] = m = Si considerino de titoli rischiosi con tasso di rendimento aleatorio I e I. Spponiamo che il rendimento atteso e la varianza dei de titoli siano rispettivamente E(I ) = 0.65, E(I ) = 0.5, V (I ) = 0.0, V (I ) = e che il coefficiente di correlazione sia pari a 0.7. Considerando n portafoglio con rendimento I = ( α)i + αi, si calcoli la composizione α del portafoglio a varianza minima ed i corrispondenti valori di rendimento atteso E (I) e di varianza V (I), (a) nel caso in ci siano consentite vendite allo scoperto: α = E (I) = 0. 7 V (I) = (b) nel caso in ci non siano consentite vendite allo scoperto: α = 0. 5 E (I) = 0. 5 V (I) =
4 7. Un individo I dotato di na fnzione tilità (x) = x 300 x e di n capitale certo c = 00, deve decidere se effettare na operazione rischiosa con gadagno aleatorio G che pò assmere il valore 5 con probabilità /7, il valore 5 con probabilità 3/7 ed il valore 0 con probabilità 3/7. Si calcoli l avversione al rischio (assolta) r(c) dell individo e si determinino l tilità attesa E[(X)] e l eqivalente certo m della posizione finanziaria X = c + G assnta da I nell eventalità che egli effetti l operazione rischiosa descritta. r(c) = 0. 0 E[(X)] = m = Si considerino de titoli rischiosi con tasso di rendimento aleatorio I e I. Spponiamo che il rendimento atteso e la varianza dei de titoli siano rispettivamente E(I ) = 0.7, E(I ) = 0., V (I ) = 0.03, V (I ) = e che il coefficiente di correlazione sia pari a 0.5. Considerando n portafoglio con rendimento I = λi + ( λ)i, si calcoli la composizione λ del portafoglio a varianza minima ed i corrispondenti valori di rendimento atteso E (I) e di varianza V (I), (a) nel caso in ci siano consentite vendite allo scoperto: λ = E (I) = V (I) = (b) nel caso in ci non siano consentite vendite allo scoperto: λ = 0 E (I) = 0. V (I) = Un individo I, con tolleranza del rischio pari a B = 0, è impegnato ad effettare na operazione finanziaria, che dà n risltato aleatorio X che pò assmere i valori 5 e 5 con probabilità / e 3/ rispettivamente. Si determini il premio pro k di n contratto di assicrazione che garantisce ad I il valore massimo di X. Spponiamo inoltre che l individo proponga il contratto ad n compagnia con tolleranza del rischio B = 000. Determinare, trascrando le spese ed accettando na approssimazione qadratica per le fnzioni tilità, i valori minimo e massimo del coefficiente di caricamento η che rende la polizza accettabile per entrambi. k = 5 η min = η max = Un individo I, caratterizzato da na fnzione di tilità (x) = 7 log(x + ) e da n capitale certo c = 00, deve scegliere fra de operazioni rischiose G e G con gadagno aleatorio rispettivamente: G = {5, 5, 5} con probabilità P = {,, } G = {35, 35} con probabilità P = {, } a) Determinare gli eqivalenti certi e m () delle posizioni finanziarie X = c + G e X = c + G rispettivamente. = m () = b) Determinare l operazione preferita dall individo: in base al criterio della speranza matematica: in base al criterio dell tilità attesa:. Consideriamo n mercato costitito da n certo nmero di titoli rischiosi e da n titolo non rischioso N di rendimento i = 0.0. Sia P il portafoglio, a varianza minima composto da soli titoli rischiosi, caratterizzato da n rendimento atteso E = 0. e da na deviazione standard σ = Spponendo che il prezzo di mercato del rischio sia q =, determinare: a) il massimo incremento di rendimento atteso E ottenibile con n portafoglio comprendente anche N e che abbia rischiosità non speriore a qella di P ; b) il massimo decremento di deviazione standard σ ottenibile con n portafoglio comprendente anche N e che abbia rendimento atteso non inferiore a qello di P. E = σ =
5 . Consideriamo n mercato costitito da n certo nmero di titoli rischiosi e da n titolo non rischioso N di rendimento i = Sia P il portafoglio, a varianza minima composto da soli titoli rischiosi, caratterizzato da n rendimento atteso E = 0.3 e da na deviazione standard σ = Spponendo che il prezzo di mercato del rischio sia q =., determinare: a) il massimo incremento di rendimento atteso E ottenibile con n portafoglio comprendente anche N e che abbia rischiosità non speriore a qella di P ; b) il massimo decremento di deviazione standard σ ottenibile con n portafoglio comprendente anche N e che abbia rendimento atteso non inferiore a qello di P. E = σ = Un individo I, caratterizzato da na fnzione di tilità (x) = x 00 x e da n capitale certo c = 00, deve effettare na scelta fra tre operazioni finanziarie. Le prime de sono operazioni rischiose con gadagno aleatorio rispettivamente: G = {0, 7, 6} con probabilità P = {,, } G = {0, 35} con probabilità P = {, } mentre la terza è na operazione finanziaria non rischiosa caratterizzata da n gadagno (certo) G 3 =.5. a) Determinare gli eqivalenti certi e m () X 3 = c + G 3, rispettivamente. delle posizioni finanziarie X = c + G, X = c + G e = 0. m () = m (3) = 0. 5 b) Determinare l operazione preferita (i) in base al criterio della speranza matematica: (ii) in base al criterio dell tilità attesa: 3. Un individo I, caratterizzato da na fnzione di tilità (x) = 7 log(x) + e da n capitale certo c = 00, deve effettare na scelta fra tre operazioni finanziarie. Le prime de sono operazioni rischiose con gadagno aleatorio rispettivamente: G = {5, 7, 5} con probabilità P = {,, } G = {0, 5} con probabilità P = {, } mentre la terza è na operazione finanziaria non rischiosa caratterizzata da n gadagno (certo) G 3 =. a) Determinare gli eqivalenti certi e m () X 3 = c + G 3, rispettivamente. delle posizioni finanziarie X = c + G, X = c + G e = m () = m (3) = 0 b) Determinare l operazione preferita (i) in base al criterio della speranza matematica: (ii) in base al criterio dell tilità attesa: 3 5. Un individo I ha n capitale a rischio X, che pò assmere i valori 0 lire e 5 lire, con probabilità / e 3/ rispettivamente, e vole stiplare n contratto di assicrazione a copertra integrale del rischio. Spponendo che I sia disposto a pagare n caricamento sl premio pro non speriore a l = 0.75 lire, determinare, trascrando le spese ed accettando na approssimazione qadratica per le fnzioni tilità, qale deve essere la tolleranza del rischio minima B di na compagnia di assicrazione che accetti il contratto di assicrazione a tale condizione. B =
6 6. Consideriamo n mercato con n certo nmero di titoli rischiosi ed n titolo non rischioso N di rendimento i = 0.. Sia P il portafoglio composto di soli titoli rischiosi avente varianza minima, caratterizzato da na deviazione standard σ = 0.03 e da n rendimento atteso E = 0.5. Spponiamo che il portafoglio di mercato M abbia deviazione standard σ M = 0.09 e rendimento atteso E M = Determinare le qote percentali di capitale α N, α M da investire rispettivamente nel titolo non rischioso N e nel portafoglio di mercato M, per ottenere n portafoglio P che ha rendimento atteso non inferiore a qello del portafoglio P e varianza minima. Calcolare inoltre il decremento di varianza σ ottento rispetto a P. α M = α N = σ = ( ) 7. Un individo I dotato di na fnzione tilità (x) = 00 e 00 x e di n capitale certo c = 00, deve decidere se effettare na operazione rischiosa con gadagno aleatorio G che pò assmere il valore 30 con probabilità /7, il valore 5 con probabilità 3/7 ed il valore 0 con probabilità 3/7. Si calcoli la tolleranza del rischio B(c) dell individo e si determinino l tilità attesa E[(X)] e l eqivalente certo m della posizione finanziaria X = c + G assnta da I nell eventalità che egli effetti l operazione rischiosa descritta. B(c) = 0 0 E[(X)] = m = Si considerino de titoli rischiosi con tasso di rendimento aleatorio I e I. Spponiamo che il rendimento atteso e la varianza dei de titoli siano rispettivamente E(I ) = 0.55, E(I ) = 0.5, V (I ) = 0.05, V (I ) = 0.00 e che il coefficiente di correlazione sia pari a 0.7. Considerando n portafoglio con rendimento I = ( α)i + αi, si calcoli la composizione α del portafoglio a varianza minima ed i corrispondenti valori di rendimento atteso E (I) e di varianza V (I), (a) nel caso in ci siano consentite vendite allo scoperto: α = E (I) = V (I) = (b) nel caso in ci non siano consentite vendite allo scoperto: α = E (I) = 0. 5 V (I) = Un individo I, caratterizzato da na fnzione di tilità (x) = 5 log x e da n capitale certo c = 00, deve effettare na scelta fra tre operazioni finanziarie. Le prime de sono operazioni rischiose con gadagno aleatorio rispettivamente: G = {0, 8, 6} con probabilità P = {,, } G = {30,.5} con probabilità P = {, } mentre la terza è na operazione finanziaria non rischiosa caratterizzata da n gadagno (certo) G 3 =.5. a) Determinare gli eqivalenti certi e m () X 3 = c + G 3, rispettivamente. delle posizioni finanziarie X = c + G, X = c + G e = m () = m (3) = 0. 5 b) Determinare l operazione preferita (i) in base al criterio della speranza matematica: (ii) in base al criterio dell tilità attesa: 3 0. Un individo I ha n capitale a rischio X, che pò assmere i valori 30 lire e 8 lire, con probabilità 3/0 e 7/0 rispettivamente, e vole stiplare n contratto di assicrazione a copertra integrale del rischio. Determinare il premio pro di tale contratto. Spponendo inoltre che na compagnia di assicrazione proponga all individo na polizza con n coefficiente di caricamento η = 5%, determinare il premio caricato π e, trascrando le spese ed accettando na approssimazione qadratica per le fnzioni di tilità, qale deve essere la tolleranza del rischio massima B dell individo I, affinché egli accetti il contratto di assicrazione a tale condizione. k = 6. 6 π = B =. 8 6
7 . Un individo I, caratterizzato da na fnzione di tilità (x) e da n capitale certo c = 00 lire, deve valtare na operazione finanziaria di gadagno aleatorio G. Sapendo che l eqivalente certo della posizione finanziaria X = c + G percepito dall individo è m = 0 lire, determinare l avversione al rischio r(c) e l tilità attesa della posizione X nell ipotesi che: (a) la fnzione di tilità di I sia (x) = 0 log(x + ) : r(c) = 0. 0 E[(x)] = (b) la fnzione di tilità di I sia (x) = 500 ( e x/500) : (c) la fnzione di tilità di I sia (x) = x 00 x : r(c) = E[(x)] = 9. 7 r(c) = 0. 0 E[(x)] = Consideriamo n mercato costitito da n certo nmero di titoli rischiosi e da n titolo non rischioso N di rendimento i = Sia P il portafoglio a varianza minima composto da soli titoli rischiosi, caratterizzato da n rendimento atteso E = 0.0 e da na deviazione standard σ = 0.0. Spponendo che il prezzo di mercato del rischio sia q =.5, determinare: a) il massimo incremento di rendimento atteso E ottenibile con n portafoglio comprendente anche N e che abbia rischiosità non speriore a qella di P ; b) il massimo decremento di deviazione standard σ ottenibile con n portafoglio comprendente anche N e che abbia rendimento atteso non inferiore a qello di P. E = 0. 0 σ = Un individo I, caratterizzato da na fnzione di tilità (x) e da n capitale certo c = 00 lire, deve valtare na operazione finanziaria di gadagno aleatorio G. Sapendo che l eqivalente certo della posizione finanziaria X = c + G percepito dall individo è m = 0 lire, determinare l avversione al rischio r(c) e l tilità attesa della posizione X nell ipotesi che: (a) la fnzione di tilità di I sia (x) = 8 log(x + ) : r(c) = E[(x)] = (b) la fnzione di tilità di I sia (x) = 600 ( e x/600) : r(c) = E[(x)] = (c) la fnzione di tilità di I sia (x) = x 500 x : r(c) = E[(x)] = Un individo I, con tolleranza del rischio pari a B = 35, è impegnato ad effettare na operazione finanziaria, che dà n risltato aleatorio X che pò assmere i valori 0 e 5 con probabilità /5 e /5 rispettivamente. Si determini il premio pro k di n contratto di assicrazione che garantisce ad I il valore massimo di X. Spponiamo inoltre che l individo proponga il contratto ad n compagnia con tolleranza del rischio B = 000. Determinare, trascrando le spese ed accettando na approssimazione qadratica per le fnzioni tilità, i valori minimo e massimo del coefficiente di caricamento η che rende la polizza accettabile per entrambi. k = 0 η min = η max =
8 5. Un individo I, con tolleranza del rischio pari a B = 35, è impegnato ad effettare na operazione finanziaria, che dà n risltato aleatorio X che pò assmere i valori 0 e 5 con probabilità /5 e 3/5 rispettivamente. Si determini il premio pro k di n contratto di assicrazione che garantisce ad I il valore massimo di X. Spponiamo inoltre che l individo proponga il contratto ad n compagnia con tolleranza del rischio B = 000. Ipotizzando che le spese s siano pari al 5% del premio pro, determinare, accettando na approssimazione qadratica per le fnzioni di tilità, i valori minimo e massimo del premio caricato π che rende la polizza accettabile per entrambi. k = 9 π min = π max = Si consideri n mercato con de titoli rischiosi T e T, con tassi di rendimento aleatori I e I, rispettivamente. Si spponga che il rendimento atteso e la varianza dei de titoli siano rispettivamente E(I ) = 0.9, E(I ) = 0.5, V (I ) = 0.06, V (I ) = e che il coefficiente di correlazione sia pari a 0.5. Considerando n portafoglio composto da x qote di T e da x qote di T, si calcoli la composizione x del portafoglio a varianza minima ed i corrispondenti valori di rendimento atteso E e di varianza V, nell ipotesi in ci non siano consentite vendite allo scoperto. x = E = V = Un individo I, caratterizzato da na fnzione di tilità (x) = 8 log(x+)+ e da n capitale certo c = 00, deve effettare na scelta fra le segenti de operazioni finanziarie che prevedono n gadagno (aleatorio): G = {65, 0, 0} con probabilità P = {,, } G = {0, 0} con probabilità P = { 5, } 3 5 a) Determinare l avversione al rischio r(c) percepita dall individo e gli eqivalenti certi e m () posizioni finanziarie X = c + G, X = c + G, rispettivamente. r(c) = = m () = delle b) Determinare l operazione preferita (i) in base al criterio della speranza matematica: (ii) in base al criterio dell tilità attesa: 8. Un individo I è impegnato ad effettare na operazione finanziaria, che dà n risltato aleatorio X che pò assmere i valori 80 e 0 con probabilità / e 3/ rispettivamente. Si determini il premio pro k di n contratto di assicrazione che garantisca ad I il valore massimo di X. Spponiamo inoltre che l individo proponga il contratto ad n compagnia con tolleranza del rischio B = Spponendo accettabile na approssimazione qadratica per le fnzioni di tilità, calcolare: a) nell ipotesi che le spese della compagnia s siano di lira, il caricamento minimo accettabile l da parte della compagnia; b) nell ipotesi che la compagnia proponga il contratto con premio π = 77 lire, il valore massimo B della tolleranza del rischio di I affinché egli sottoscriva la polizza. k = 7 5 l = B =
9 9. Un individo I, caratterizzato da na fnzione di tilità (x) = 00 ( exp( x/00) ) e da n capitale certo c = 00, deve effettare na scelta fra le segenti de operazioni finanziarie che prevedono n gadagno (aleatorio): G = {5, 5} con probabilità P = {, } 3 G = {5, 0, 5} con probabilità P = {,, } a) Determinare l avversione al rischio r(c) percepita dall individo e gli eqivalenti certi e m () posizioni finanziarie X = c + G, X = c + G, rispettivamente. r(c) = = m () = delle b) Determinare l operazione preferita (i) in base al criterio della speranza matematica: (ii) in base al criterio dell tilità attesa: 30. Un individo I è impegnato ad effettare na operazione finanziaria, che dà n risltato aleatorio X che pò assmere i valori 00 e 5 con probabilità / e 3/ rispettivamente. Si determini il premio pro k di n contratto di assicrazione che garantisca ad I il valore massimo di X. Spponiamo inoltre che l individo proponga il contratto ad n compagnia con tolleranza del rischio B = Spponendo accettabile na approssimazione qadratica per le fnzioni di tilità, calcolare: a) nell ipotesi che le spese della compagnia s siano di lira, il premio minimo accettabile π da parte della compagnia; b) nell ipotesi che la compagnia proponga il contratto con caricamento sl premio pro l =.5 lire, il valore massimo B della tolleranza del rischio di I affinché egli sottoscriva la polizza. k = π = B = Un individo I, caratterizzato da na fnzione di tilità (x) = 7 log(x/)+ e da n capitale certo c = 00, deve effettare na scelta fra tre operazioni finanziarie. Le prime de sono operazioni rischiose con gadagno aleatorio: G = {60, 0, 0} con probabilità P = {,, } G = {50, 50} con probabilità P = { 3 5, } 5 mentre la terza è caratterizzata da n gadagno certo G 3 =.5. a) Determinare l avversione al rischio r(c) percepita dall individo e gli eqivalenti certi, m () e m (3) delle posizioni finanziarie X = c + G, X = c + G e X 3 = c + G 3, rispettivamente. r(c) = 0. 0 = m () = m (3) = 0. 5 b) Determinare l operazione preferita (i) in base al criterio della speranza matematica: (ii) in base al criterio dell tilità attesa: 3 3. Consideriamo n mercato costitito da n certo nmero di titoli rischiosi e da n titolo non rischioso N di rendimento i = Sia P il portafoglio a varianza minima composto da soli titoli rischiosi, caratterizzato da n rendimento atteso E = 0.0 e da na deviazione standard σ = Spponendo che il prezzo di mercato del rischio sia q =, determinare: a) il massimo incremento di rendimento atteso E ottenibile con n portafoglio comprendente anche N e che abbia rischiosità non speriore a qella di P ; b) il massimo decremento di deviazione standard σ ottenibile con n portafoglio comprendente anche N e che abbia rendimento atteso non inferiore a qello di P. E = 0. 0 σ =
10 33. Un individo I, caratterizzato da na fnzione di tilità (x) = 500( e x/500 ) e da n capitale certo c = 00, deve effettare na scelta fra tre operazioni finanziarie. Le prime de sono operazioni rischiose con gadagno aleatorio: G = {0, 5} con probabilità P = {, } 3 G = {50, 0, 5} con probabilità P = {,, } mentre la terza è caratterizzata da n gadagno certo G 3 =. a) Determinare l avversione al rischio r(c) percepita dall individo e gli eqivalenti certi, m () e m (3) delle posizioni finanziarie X = c + G, X = c + G e X 3 = c + G 3, rispettivamente. r(c) = = 0. 3 m () = m (3) = 0 b) Determinare l operazione preferita (i) in base al criterio della speranza matematica: (ii) in base al criterio dell tilità attesa: 3 3. Consideriamo n mercato costitito da n certo nmero di titoli rischiosi e da n titolo non rischioso N di rendimento i = Sia P il portafoglio a varianza minima composto da soli titoli rischiosi, caratterizzato da n rendimento atteso E = 0. e da na deviazione standard σ = 0.0. Spponendo che il prezzo di mercato del rischio sia q =.5, determinare: a) il massimo incremento di rendimento atteso E ottenibile con n portafoglio comprendente anche N e che abbia rischiosità non speriore a qella di P ; b) il massimo decremento di deviazione standard σ ottenibile con n portafoglio comprendente anche N e che abbia rendimento atteso non inferiore a qello di P. E = σ = Un individo I, caratterizzato da na fnzione di tilità (x) = 0 + x (/000)x e da n capitale certo c = 00, deve effettare na scelta fra tre operazioni finanziarie. Le prime de sono operazioni rischiose con gadagno aleatorio: G = {5, 5} con probabilità P = {, } 3 G = {5, 0, 5} con probabilità P = {,, } mentre la terza è caratterizzata da n gadagno certo G 3 =. a) Determinare l avversione al rischio r(c) percepita dall individo e gli eqivalenti certi, m () e m (3) delle posizioni finanziarie X = c + G, X = c + G e X 3 = c + G 3, rispettivamente. r(c) = = m () = m (3) = 0 b) Determinare l operazione preferita (i) in base al criterio della speranza matematica: 3 (ii) in base al criterio dell tilità attesa: Consideriamo n mercato costitito da n certo nmero di titoli rischiosi e da n titolo non rischioso N di rendimento i = Sia P il portafoglio a varianza minima composto da soli titoli rischiosi, caratterizzato da n rendimento atteso E = 0.09 e da na deviazione standard σ = 0.0. Spponendo che il prezzo di mercato del rischio sia q = 3, determinare: a) il massimo incremento di rendimento atteso E ottenibile con n portafoglio comprendente anche N e che abbia rischiosità non speriore a qella di P ; b) il massimo decremento di deviazione standard σ ottenibile con n portafoglio comprendente anche N e che abbia rendimento atteso non inferiore a qello di P. E = 0. 0 σ =
11 37. Un individo I, caratterizzato da n capitale certo c = 50 lire e da na fnzione di tilità (x) = log x, è impegnato in n operazione rischiosa di gadagno aleatorio G, che pò assmere i valori 5, 5 e 0 lire, con probabilità rispettivamente 6, e 3. Calcolare il premio pro k di n contratto assicrativo che garantisca ad I il valore massimo di G. Se l individo propone il contratto ad na compagnia con tolleranza del rischio B (c) = 0000, calcolare, accettando l approssimazione qadratica delle fnzioni di tilità ed in presenza di spese pari a s = 0. lire, i valori minimo e massimo del coefficiente di caricamento η che rende il contratto accettabile per entrambi, esprimendo i coefficienti in forma percentale. k = η min =. 5 5 % η max = % 38. Consideriamo n mercato con n certo nmero di titoli rischiosi ed n titolo non rischioso N di rendimento i = Sia P il portafoglio composto di soli titoli rischiosi avente varianza minima e sia caratterizzato da na deviazione standard σ = 0.03 e da n rendimento atteso E = 0.. Spponiamo inoltre che il portafoglio di mercato M abbia deviazione standard σ M = 0.07 e rendimento atteso E M = 0.. Determinare le qote percentali di capitale α N, α M da investire rispettivamente nel titolo non rischioso N e nel portafoglio di mercato M, per ottenere n portafoglio P che, tra ttti i portafogli che hanno deviazione standard non speriore a σ, realizza il massimo rendimento atteso. Indicare inoltre l incremento di rendimento atteso E ottento rispetto a qello di P. α M =. 8 6 % α N = 5 7. % E = Un individo I, caratterizzato da n capitale certo c = 00 lire e da na tolleranza del rischio B(c) = 300, deve decidere se effettare n operazione finanziaria rischiosa di gadagno aleatorio G, che pò assmere i valori 5, 0 e -5 lire, con probabilità rispettivamente 5, 5 e 3 5. Accettando l approssimazione qadratica delle fnzioni di tilità e trascrando eventali spese, calcolare l eqivalente certo della posizione finanziaria di I in ognno dei segenti casi: (a) I effetta l operazione finanziaria rischiosa: = (b) I effetta l operazione finanziaria rischiosa e sottoscrive na polizza assicrativa che gli garantisce il valore massimo di G, con il caricamento sl premio pro fissato al livello massimo accettabile: m () = (c) I effetta l operazione finanziaria rischiosa e sottoscrive na polizza assicrativa che gli garantisce il valore massimo di G, con il caricamento sl premio pro fissato al livello minimo accettabile da na compagnia con tolleranza del rischio B = 0000: m (3) = Un individo I, caratterizzato da na fnzione di tilità (x) = 8 log x e da n capitale certo c = 00, deve effettare na scelta fra tre operazioni finanziarie. Le prime de sono operazioni rischiose con gadagno aleatorio rispettivamente: G = {3, 5} con probabilità P = {, } G = {0, 5, 5} con probabilità P = {,, } mentre la terza è na operazione finanziaria non rischiosa caratterizzata da n gadagno (certo) G 3 =.5. a) Determinare gli eqivalenti certi, m () e m (3) delle posizioni finanziarie X = c + G, X = c + G e X 3 = c + G 3, rispettivamente. = 9 9. m () = 0. 9 m (3) = 0. 5 b) Determinare l operazione preferita (i) in base al criterio della speranza matematica: (ii) in base al criterio dell tilità attesa:
12 . Consideriamo n mercato con n certo nmero di titoli rischiosi ed n titolo non rischioso N di rendimento i = Sia P il portafoglio composto di soli titoli rischiosi avente varianza minima e sia caratterizzato da na deviazione standard σ = 0.03 e da n rendimento atteso E = 0.. Spponiamo inoltre che il portafoglio di mercato M abbia deviazione standard σ M = 0.07 e rendimento atteso E M = 0.. Determinare le qote percentali di capitale α N, α M da investire rispettivamente nel titolo non rischioso N e nel portafoglio di mercato M, per ottenere n portafoglio P che, tra ttti i portafogli che hanno rendimento atteso non inferiore ad E, ha la minima rischiosità (deviazione standard). Indicare inoltre il decremento di rischiosità σ ottento rispetto a qella di P. α M = % α N = 6. 9 % σ = Un individo I ha n capitale a rischio X, che pò assmere i valori 3 lire e lire, con probabilità 6/0 e /0 rispettivamente, e vole stiplare n contratto di assicrazione a copertra integrale del rischio. Determinare il premio pro di tale contratto. Spponendo inoltre che na compagnia di assicrazione proponga all individo na polizza con n coefficiente di caricamento η = 5%, determinare il premio caricato π e, trascrando le spese ed accettando na approssimazione qadratica per le fnzioni di tilità, qale deve essere la tolleranza del rischio massima B dell individo I, affinché egli accetti il contratto di assicrazione a tale condizione. k = 9 π = 9. 5 B = Si consideri n mercato con de titoli rischiosi X ed X, di rendimento aleatorio I e I rispettivamente. Spponiamo che il rendimento atteso e la varianza dei de titoli siano E(I ) = 0.5, V (I ) = 0.05, E(I ) = 0.5, V (I ) = e che il coefficiente di correlazione sia pari a 0.. Si spponga di volere costrire n portafoglio X dei de titoli, in modo che la varianza sia la minima possibile. Detto I il tasso di rendimento di X, calcolarne la qota di composizione percentale α relativa a X e la qota di composizione percentale α relativa a X, determinando anche il rendimento atteso E(I) e la varianza V (I) del portafoglio ottento. α = % α = 9 6. % E(I) = V (I) = Un individo I, con tolleranza del rischio pari a B = 35, è impegnato ad effettare na operazione finanziaria, che dà n risltato aleatorio di X lire. Si spponga che X sia normalmente distribita, con media E(X) = 0 lire, varianza V (X) = 00 e valore massimo x max = 0 lire. Si determini il premio pro k di n contratto di assicrazione che garantisce ad I il valore massimo di X. Spponiamo inoltre che l individo proponga il contratto ad n compagnia con tolleranza del rischio B = 00. Determinare, accettando l approssimazione qadratica per le fnzioni tilità ed in presenza di spese pari a s = 0.5 lire, i valori minimo e massimo del coefficiente di caricamento η che rende la polizza accettabile per entrambi. k = 0 η min = η max = Consideriamo n mercato con n certo nmero di titoli rischiosi ed n titolo non rischioso N di rendimento i = 6%. Spponiamo che il portafoglio di mercato M abbia deviazione standard σ M = 0.07 e rendimento atteso E M = 0%. Un investitore vole costrire n portafoglio efficiente P che abbia rendimento atteso pari al 0%. Determinare la composizione percentale α M di attività rischiose di tale portafoglio e calcolarne la rischiosità σ P. α M = % σ P = 0. 0
13 6. Un individo I, caratterizzato da na fnzione di tilità (x) = x / e da n capitale certo c = 00, deve effettare na scelta fra tre operazioni finanziarie. Le prime de sono operazioni rischiose con gadagno aleatorio: G = {5, 5} con probabilità P = { 3 0, 7 0 G = {60, 30} con probabilità P = { 5, } 3 5 mentre la terza è caratterizzata da n gadagno certo G 3 = 3. a) Determinare l avversione al rischio r(c) percepita dall individo e gli eqivalenti certi, m () e m (3) delle posizioni finanziarie X = c + G, X = c + G e X 3 = c + G 3, rispettivamente. r(c) = = m () = m (3) = 0 3 b) Determinare l operazione preferita (i) in base al criterio della speranza matematica: (ii) in base al criterio dell tilità attesa: } 7. Consideriamo n mercato con n certo nmero di titoli rischiosi ed n titolo non rischioso N di rendimento i = %. Spponiamo che il portafoglio di mercato M abbia deviazione standard σ M = 0.09 e rendimento atteso E M = 7%. Un investitore vole costrire n portafoglio efficiente P che abbia deviazione standard pari a Determinare la composizione percentale α M di attività rischiose di tale portafoglio e calcolarne il rendimento atteso E P. α M = % E P = % 8. Si consideri n individo I, dotato n capitale certo c = 00 lire, che deve scegliere fra de operazioni finanziarie rischiose caratterizzate da n gadagno aleatorio G e G rispettivamente, ove { G = {0, 9}, con probabilità, } ; { G = {5, 6}, con probabilità, 3 }. Sapendo che I è dotato di na fnzione di tilità del tipo (x) = x a x con a > 0 e che percepisce na tolleranza del rischio relativa alla posizione iniziale B(c) = 500, determinare gli eqivalenti certi ed m () delle de posizioni X = c + G e X = c + G, rispettivamente, e scegliere l operazione preferita = 0 0. m () = a) in base al criterio della speranza matematica: b) in base al criterio dell tilità attesa: 9. Consideriamo n individo I mnito di n capitale certo c lire e di n capitale a rischio X, che pò assmere i valori 0 o 5 lire. Spponendo che I attribisce probabilità /3 all evento (X = 0), determinare il premio pro di n contratto di assicrazione che garantisce ad I il valore massimo di X. Accettando inoltre l approssimazione qadratica della fnzione di tilità dell individo, determinare la sa avversione al rischio r(c), nell ipotesi che egli gidichi indifferente pagare il premio π = 3.33 lire per stiplare la polizza. Determinare infine la rischiosità della sitazione finanziaria c + X percepita dall individo. k = r(c) = Φ c (X) =
14 50. Si consideri n individo I, dotato n capitale certo c = 00 lire, che deve scegliere fra de operazioni finanziarie rischiose caratterizzate da n gadagno aleatorio G e G rispettivamente, ove { G = {5, 50}, con probabilità, } ; { G = {33, 0}, con probabilità, 3 }. Sapendo che I è dotato di na fnzione di tilità del tipo ( (x) = a e x) a con a > 0 e che percepisce na tolleranza del rischio relativa alla posizione iniziale B(c) = 300, determinare gli eqivalenti certi ed m () delle de posizioni X = c + G e X = c + G, rispettivamente, e scegliere l operazione preferita = m () = a) in base al criterio della speranza matematica: b) in base al criterio dell tilità attesa: 5. Consideriamo n individo I mnito di n capitale certo c lire e di n capitale a rischio X, che pò assmere i valori 5 o lire. Spponendo che I attribisce probabilità / all evento (X = 5), determinare il premio pro di n contratto di assicrazione che garantisce ad I il valore massimo di X. Accettando inoltre l approssimazione qadratica della fnzione di tilità dell individo, determinare la sa avversione al rischio r(c), nell ipotesi che egli gidichi indifferente pagare il premio π =.505 lire per stiplare la polizza. Determinare infine la rischiosità della sitazione finanziaria c + X percepita dall individo. k =. 5 r(c) = Φ c (X) = Si consideri n individo I, caratterizzato da na tolleranza del rischio B = 500, al qale viene proposto di partecipare ad na scommessa, consistente nel lancio di na moneta (na sola volta): se esce testa l individo vince la somma che ha pntato moltiplicata per.0; se invece esce croce, l individo perde la somma che ha pntato. Accettando l approssimazione qadratica della fnzione di tilità di I e spponendo che gli importi in gioco siano piccoli rispetto a B, calcolare la rischiosità Φ percepita dall individo nel caso di na pntata di y = 5 lire e dire se I accetta di pntare tale somma. Determinare infine la somma massima y che egli è disposto a scommettere. Φ = 0. sì accetta di pntare y lire: y = no 53. Si consideri n individo I, dotato n capitale certo c = 00 lire, che deve scegliere fra de operazioni finanziarie rischiose caratterizzate da n gadagno aleatorio G e G rispettivamente, ove { G = {0, 9}, con probabilità, } { ; G = {5, 6}, con probabilità, 3 }. Sapendo che I è dotato di na fnzione di tilità del tipo (x) = x α, con 0 < α <, e che percepisce na tolleranza del rischio relativa alla posizione iniziale B(c) = 00, determinare gli eqivalenti certi ed m () delle de posizioni X = c + G e X = c + G, rispettivamente, e scegliere l operazione preferita = m () = a) in base al criterio della speranza matematica: b) in base al criterio dell tilità attesa:
15 5. Un individo I è dotato di na fnzione di tilità Esercizi di Matematica Finanziaria (cap. XI XIII) a.a (x) = log x +, di n capitale certo c = 00 lire e di n capitale a rischio X, che pò assmere i valori 30 e 0, con probabilità 0. e 0.6, rispettivamente. Spponendo che I voglia stipare n contratto assicrativo che gli garantisca il valore massimo del capitale X, determinarne il premio pro k ed il caricamento massimo l che egli è disposto ad accettare. Si calcoli inoltre l eqivalente certo m della posizione finanziaria di I nel caso stipli il contratto con tale caricamento. k = l = m = Si consideri n mercato con n titoli rischiosi ed n titolo non rischioso N, di rendimento i = 0.3%. Si spponga che la deviazione standard del portafoglio di mercato M sia σ M = 0.08 e che la frontiera delle opportnità del solo comparto rischioso del mercato abbia eqazione nel piano (σ, E) σ = a + b(e c) (σ 0), con a = 0.00, b = 0. e c = 0.5. Determinare il rendimento atteso E M di M, il rendimento atteso E e la deviazione standard σ del portafoglio a varianza minima dei soli titoli rischiosi e il prezzo di mercato del rischio q. (Approfondimento: L esercizio pò essere svolto anche senza conoscere il valore di i, in qanto qesto pò essere ricavato dagli altri dati del testo.) E M = % E = 5 % σ = q = Si consideri n individo I, dotato n capitale certo c = 00 lire, che deve scegliere fra de operazioni finanziarie rischiose caratterizzate da n gadagno aleatorio G e G rispettivamente, ove { G = {5, 50}, con probabilità, } { ; G = {33, 0}, con probabilità, 3 }. Sapendo che I è dotato di na fnzione di tilità del tipo (x) = x α, con 0 < α <, e che percepisce na tolleranza del rischio relativa alla posizione iniziale B(c) = 300, determinare gli eqivalenti certi ed m () delle de posizioni X = c + G e X = c + G, rispettivamente, e scegliere l operazione preferita = m () = 0 0. a) in base al criterio della speranza matematica: b) in base al criterio dell tilità attesa: 57. Un individo I è dotato di na fnzione di tilità (x) = 3 log x + 5, di n capitale certo c = 00 lire e di n capitale a rischio X, che pò assmere i valori 30 e 5, con probabilità 0. e 0.6, rispettivamente. Spponendo che I voglia stipare n contratto assicrativo che gli garantisca il valore massimo del capitale X, determinarne il premio pro k ed il caricamento massimo l che egli è disposto ad accettare. Si calcoli inoltre l eqivalente certo m della posizione finanziaria di I nel caso stipli il contratto con tale caricamento. k = 5 l = m =
16 58. Si consideri n mercato con n titoli rischiosi ed n titolo non rischioso N, di rendimento i = 0.305%. Si spponga che la deviazione standard del portafoglio di mercato M sia σ M = 0.07 e che la frontiera delle opportnità del solo comparto rischioso del mercato abbia eqazione nel piano (σ, E) σ = a + b(e c) (σ 0), con a = 0.00, b = 0. e c = 0.6. Determinare il rendimento atteso E M di M, il rendimento atteso E e la deviazione standard σ del portafoglio a varianza minima dei soli titoli rischiosi e il prezzo di mercato del rischio q. (Approfondimento: L esercizio pò essere svolto anche senza conoscere il valore di i, in qanto qesto pò essere ricavato dagli altri dati del testo.) E M = % E = 6 % σ = q = Si consideri n individo I, dotato n capitale certo c = 0 lire, che deve scegliere fra de operazioni finanziarie rischiose caratterizzate da n gadagno aleatorio G e G rispettivamente, ove { G = {5, 5}, con probabilità 5, 3 } { ; G = {5, 5}, con probabilità 5, 3 }. Sapendo che I è dotato di na fnzione di tilità del tipo (x) = x α, con 0 < α <, e che percepisce na tolleranza del rischio relativa alla posizione iniziale B(c) = 00, determinare gli eqivalenti certi ed m () delle de posizioni X = c + G e X = c + G, rispettivamente, e scegliere l operazione preferita = m () = a) in base al criterio della speranza matematica: b) in base al criterio dell tilità attesa: 60. Un individo I è dotato di na fnzione di tilità (x) = log x 3 +, di n capitale certo c = 300 lire e di n capitale a rischio X, che pò assmere i valori 30 e 3, con probabilità 0. e 0.6, rispettivamente. Spponendo che I voglia stipare n contratto assicrativo che gli garantisca il valore massimo del capitale X, determinarne il premio pro k ed il caricamento massimo l che egli è disposto ad accettare. Si calcoli inoltre l eqivalente certo m della posizione finanziaria di I nel caso stipli il contratto con tale caricamento. k = 6. l = m = Si consideri n mercato con n titoli rischiosi ed n titolo non rischioso N, di rendimento i = %. Si spponga che la deviazione standard del portafoglio di mercato M sia σ M = 0.07 e che la frontiera delle opportnità del solo comparto rischioso del mercato abbia eqazione nel piano (σ, E) σ = a + b(e c) (σ 0), con a = 0.003, b = 0.3 e c = 0.5. Determinare il rendimento atteso E M di M, il rendimento atteso E e la deviazione standard σ del portafoglio a varianza minima dei soli titoli rischiosi e il prezzo di mercato del rischio q. (Approfondimento: L esercizio pò essere svolto anche senza conoscere il valore di i, in qanto qesto pò essere ricavato dagli altri dati del testo.) E M = 3. 6 % E = 5 % σ = q =
17 6. Si consideri n individo I, dotato n capitale certo c = 50 lire, che deve scegliere fra de operazioni finanziarie rischiose caratterizzate da n gadagno aleatorio G e G rispettivamente, ove { 3 G = {30, 0}, con probabilità 0, 7 } { ; G = {, 0}, con probabilità 0 5, }. 5 Sapendo che I è dotato di na fnzione di tilità del tipo (x) = x α, con 0 < α <, e che percepisce na tolleranza del rischio relativa alla posizione iniziale B(c) = 50, determinare gli eqivalenti certi ed m () delle de posizioni X = c + G e X = c + G, rispettivamente, e scegliere l operazione preferita = m () =. 9 6 a) in base al criterio della speranza matematica: b) in base al criterio dell tilità attesa: 63. Un individo I è dotato di na fnzione di tilità (x) = 3 log x + 5, di n capitale certo c = 00 lire e di n capitale a rischio X, che pò assmere i valori 30 e 7, con probabilità 0. e 0.6, rispettivamente. Spponendo che I voglia stipare n contratto assicrativo che gli garantisca il valore massimo del capitale X, determinarne il premio pro k ed il caricamento massimo l che egli è disposto ad accettare. Si calcoli inoltre l eqivalente certo m della posizione finanziaria di I nel caso stipli il contratto con tale caricamento. k = 3. 8 l = 0. 5 m = Si consideri n mercato con n titoli rischiosi ed n titolo non rischioso N, di rendimento i = %. Si spponga che la deviazione standard del portafoglio di mercato M sia σ M = 0.08 e che la frontiera delle opportnità del solo comparto rischioso del mercato abbia eqazione nel piano (σ, E) σ = a + b(e c) (σ 0), con a = 0.00, b = 0. e c = 0.6. Determinare il rendimento atteso E M di M, il rendimento atteso E e la deviazione standard σ del portafoglio a varianza minima dei soli titoli rischiosi e il prezzo di mercato del rischio q. (Approfondimento: L esercizio pò essere svolto anche senza conoscere il valore di i, in qanto qesto pò essere ricavato dagli altri dati del testo.) E M = 3. 9 % E = 6 % σ = q = Consideriamo n mercato di titoli azionari in ci siano qotati i titoli di de società: abc e xyz. Si spponga che i rendimenti dei de titoli siano normalmente distribiti e che il rendimento atteso del titolo abc sia del 5%, qello del titolo xyz del 0% e che le varianze dei rendimenti siano pari a 0.0 e 0.08, rispettivamente. Spponiamo che in qesto mercato siano consentite vendite allo scoperto e che il portafoglio a varianza minima abbia na composizione in ci la qota relativa al titolo xyz sia pari a 0.7. Si determini il coefficiente di correlazione ρ dei rendimenti dei de titoli e il rendimento atteso E e la varianza V del portafoglio a varianza minima. Si individi infine, nel caso non si vogliano effettare vendite allo scoperto, il rendimento atteso Ê e la varianza ˆV del portafoglio a varianza minima ottenbile. ρ = E =. 5 % V = Ê = 5 % ˆV =
18 66. Un individo I, con tolleranza del rischio pari a B = 00, è impegnato ad effettare na operazione finanziaria, che dà n risltato aleatorio di X lire. Si spponga che X sia normalmente distribita, con media E(X) = lira, varianza V (X) = 500 e valore massimo x max = 5 lire. Si determini il premio pro k di n contratto di assicrazione che garantisce ad I il valore massimo di X. Spponiamo inoltre che l individo proponga il contratto ad n compagnia con tolleranza del rischio B = 000. Determinare, accettando l approssimazione qadratica per le fnzioni tilità ed in presenza di spese pari a lira, i valori minimo e massimo del premio caricato π che rende la polizza accettabile per entrambe le parti. k = 6 lire π min = 7. 5 lire π max = 8. 5 lire 67. Un individo I, con n capitale certo c = 00 lire e caratterizzato da na fnzione di tilità (x) = a log(x) + b, con a = 0 e b =, deve decidere se effettare na operazione finanziaria, che dà n risltato aleatorio di X lire. Si spponga che X possa assmere le determinazioni 0, 5 e 5 lire, con probabilità, rispettivamente, /, / e /. Si indichi con: Y la posizione finanziaria di I nel caso in ci non effetti l operazione finanziaria; Z la posizione finanziaria di I nel caso in ci effetti l operazione finanziaria e, contemporaneamente, stipli n contratto di assicrazione che gli garantisce il valore massimo di X, con il caricamento sl premio pro fissato al livello massimo accettabile da I; Determinare il premio pro k del contratto di assicrazione, il caricamento massimo accettabile l e le avversioni al rischio r(y ) e r(z) percepite dall individo nel caso in ci si trovi, rispettivamente, nella posizione Y e nella posizione Z. k = lire r(y ) = l = lire r(z) = Un individo I, con n capitale certo c = 300 lire e caratterizzato da na fnzione di tilità ( (x) = a e x) a + b, con a = 500 e b =, deve decidere se effettare na operazione finanziaria, che dà n risltato aleatorio di X lire. Si spponga che X possa assmere le determinazioni 0, 5 e 5 lire, con probabilità, rispettivamente, /5, 3/0 e /. Si indichi con: Y la posizione finanziaria di I nel caso in ci non effetti l operazione finanziaria; Z la posizione finanziaria di I nel caso in ci effetti l operazione finanziaria e, contemporaneamente, stipli n contratto di assicrazione che gli garantisce il valore massimo di X, con il caricamento sl premio pro fissato al livello massimo accettabile da I; Determinare il premio pro k del contratto di assicrazione, il caricamento massimo accettabile l e le avversioni al rischio r(y ) e r(z) percepite dall individo nel caso in ci si trovi, rispettivamente, nella posizione Y e nella posizione Z. k = 9 lire r(y ) = l = lire r(z) = Un individo I, con n capitale certo c = 00 lire e caratterizzato da na fnzione di tilità (x) = x a x + b, con a = e b = 3, 500 deve decidere se effettare na operazione finanziaria, che dà n risltato aleatorio di X lire. Si spponga che X possa assmere le determinazioni 5, 5 e 0 lire, con probabilità, rispettivamente, /5, /5 e 3/5. Si indichi con: Y la posizione finanziaria di I nel caso in ci non effetti l operazione finanziaria; Z la posizione finanziaria di I nel caso in ci effetti l operazione finanziaria e, contemporaneamente, stipli n contratto di assicrazione che gli garantisce il valore massimo di X, con il caricamento sl premio pro fissato al livello massimo accettabile da I; Determinare il premio pro k del contratto di assicrazione, il caricamento massimo accettabile l e le avversioni al rischio r(y ) e r(z) percepite dall individo nel caso in ci si trovi, rispettivamente, nella posizione Y e nella posizione Z. k = 7 lire r(y ) = l = lire r(z) =
19 70. Un individo I, con n capitale certo c = 300 lire e caratterizzato da na fnzione di tilità (x) = x a + b, con a = e b =, deve decidere se effettare na operazione finanziaria, che dà n risltato aleatorio di X lire. Si spponga che X possa assmere le determinazioni 5, 5 e 0 lire, con probabilità, rispettivamente, /5, /5 e 3/5. Si indichi con: Y la posizione finanziaria di I nel caso in ci non effetti l operazione finanziaria; Z la posizione finanziaria di I nel caso in ci effetti l operazione finanziaria e, contemporaneamente, stipli n contratto di assicrazione che gli garantisce il valore massimo di X, con il caricamento sl premio pro fissato al livello massimo accettabile da I; Determinare il premio pro k del contratto di assicrazione, il caricamento massimo accettabile l e le avversioni al rischio r(y ) e r(z) percepite dall individo nel caso in ci si trovi, rispettivamente, nella posizione Y e nella posizione Z. k = 7 lire r(y ) = l = lire r(z) = Consideriamo n mercato di titoli azionari in ci siano qotati de titoli. Indicati con A e B i rendimenti dei de titoli, si spponga che qesti siano normalmente distribiti e che il rendimento atteso del titolo A sia E(A) = 5%, mentre qello del titolo B sia E(B) = 0%. Si spponga inoltre che, nel piano (V, E), la frontiera delle opportnità del mercato abbia eqazione (E a) = V b, con a = 0.08 e b = 0.0. Si determini la media E e la varianza V del rendimento del portafoglio a varianza minima e le varianze V (A) e V (B) dei rendimenti dei de titoli. E = 8 % V = 0. 0 V (A) = V (B) = Parte Facoltativa: Si determini il coefficiente di correlazione ρ fra i rendimenti dei de titoli. ρ = Consideriamo n mercato con n certo nmero di titoli rischiosi ed n titolo non rischioso N di rendimento i = 8%. Spponiamo che il portafoglio di mercato M abbia deviazione standard σ M = 0. e rendimento atteso E M = 6%. Un investitore è in possesso di n portafoglio P che ha rendimento atteso E P = % e deviazione standard σ P = Verificare se si tratta di n portafoglio efficiente o meno. Determinare inoltre il massimo rendimento atteso E max di n portafoglio efficiente con deviazione standard pari a σ P e la minima deviazione standard σ P di n portafoglio efficiente con rendimento atteso pari a E P. P è efficiente: { sì no E max =. 8 % σ min = Consideriamo n mercato con n certo nmero di titoli rischiosi ed n titolo non rischioso N di rendimento i = 9%. Spponiamo che il portafoglio di mercato M abbia deviazione standard σ M = 0. e rendimento atteso E M = 8%. Un investitore vole costrire n portafoglio P di attività rischiose e non rischiose che abbia rendimento atteso E P = 6% e deviazione standard σ P = Verificare se è possibile costrire n tale portafoglio, se cioè P è compreso nell insieme delle opportnità o meno. Determinare inoltre il massimo rendimento atteso E max di n portafoglio efficiente con deviazione standard pari a σ P e la minima deviazione standard σ P di n portafoglio efficiente con rendimento atteso pari a E P. si pò costrire P : { sì no E max = 5. 3 % σ min =
20 7. Si consideri n individo I, mnito di n capitale certo c, di n capitale a rischio X e di na fnzione di tilità (x), e n secondo individo I, mnito di n capitale certo c, di n capitale a rischio X e di na fnzione di tilità (x). Siano c = 00 lire, c = 00 lire, (x) = log(x ) + 3,, (x) = 500 ( e x/500) e si spponga che possano verificarsi solamente i segenti eventi: X = 5 e X = 0, con probabilità 3/, oppre X = 0 e X = 35, con probabilità /. Si determinino le tilità attese delle posizioni finanziarie di entrambi gli individi. Si spponga inoltre che I abbia l opportnità di cedere il proprio capitale a rischio ad I, senza ricevere o pagare nlla in cambio. Stabilire se i de individi accettano o meno la cessione. E[ (c + X )] =. 3 I accetta: sì no gli è indifferente E[ (c + X )] = I accetta: sì no gli è indifferente 75. Si consideri n individo I, mnito di n capitale certo c, di n capitale a rischio X e di na fnzione di tilità (x), e n secondo individo I, mnito di n capitale certo c, di n capitale a rischio X e di na fnzione di tilità (x). Siano c = 00 lire, c = 00 lire, (x) = 000 ( e x/000),, (x) = log(x )+3 e si spponga che possano verificarsi solamente i segenti eventi: X = 60 e X = 0, con probabilità /3, oppre X = 9 e X = 0, con probabilità /3. Si determinino le tilità attese delle posizioni finanziarie di entrambi gli individi. Si spponga inoltre che I abbia l opportnità di cedere il proprio capitale a rischio ad I, senza ricevere o pagare nlla in cambio. Stabilire se i de individi accettano o meno la cessione. E[ (c + X )] = 8. 0 I accetta: sì no gli è indifferente E[ (c + X )] = I accetta: sì no gli è indifferente 76. Si considerino de individi I e I, mniti entrambi di n captale certo, c e c rispettiavamente, e di n capitale a rischio, X e X rispettivamente. Si spponga che E(X ) = 50, E(X ) = 55, V (X ) = 00, V (X ) = 00 e che B(c ) = 000, B(c ) = 000. Accettando l approssimazione qadratica delle fnzioni di tilità degli individi e ipotizzando che gli importi in gioco siano sfficientemente piccoli rispetto alle tolleranze del rischio, determinare se i de individi gidicano vantaggioso scambiarsi fra di loro i rispettivi capitali a rischio. Nel caso no dei de gidichi lo scambio svantaggioso, determinare il prezzo massimo p max che l altro è disposto a corrispondergli in agginta affinché egli accetti lo scambio. Dire qindi se tale nova proposta di scambio verrà accettata. I gidica lo scambio vantaggioso svantaggioso indifferente vantaggioso I gidica lo scambio svantaggioso indifferente sì I è disposto a pagare in agginta p max =. 9 5 ; l altro accetta no gli è indifferente 77. Si consideri n individo I, mnito di n capitale certo c, di n capitale a rischio X e di na fnzione di tilità (x), e n secondo individo I, con n capitale certo c, privo di capitale a rischio e mnito di na fnzione di tilità (x). Siano c = 00 lire, c = 0 lire, (x) = x /, (x) = x /3 e sia X = {5, 0}, con probabilità {3/, /}. Si determini il prezzo massimo p max che I è disposto a pagare a I, affinché qest ltimo accetti di accollarsi il capitale a rischio X. Si determini l eqivalente certo m della posizione finanziaria di I nel caso qesti decida di accollarsi X in cambio di p max e stabilire se I accetta la transazione. p max = m = I accetta: sì no gli è indifferente 0
MATEMATICA FINANZIARIA A.A. 2007 2008 Prova del 4 luglio 2008. Esercizio 1 (6 punti)
MATEMATICA FINANZIARIA A.A. 2007 2008 Prova del 4 luglio 2008 Nome Cognome Matricola Esercizio 1 (6 punti) Dato un debito di 20 000, lo si voglia rimborsare mediante il pagamento di 12 rate mensili posticipate
DettagliIl rischio di un portafoglio
Come si combinano in un portafoglio i rischi di 2 titoli? dipende dai pesi e dal valore delle covarianze covarianza a a ρ a b ρ a b ρ b b ρ coefficiente di correlazione = cov / ² p = a² ² + b² ² + 2 a
DettagliEdited by Foxit PDF Editor Copyright (c) by Foxit Software Company, 2004 For Evaluation Only.
In un mercato del lavoro competitivo esistono due tipi di lavoratori, quelli con alta produttività L A, che producono per 30 $ l'ora, e quelli con bassa produttività, L B, che producono per 5 $ l'ora.
Dettagli23 Giugno 2003 Teoria Matematica del Portafoglio Finanziario e Modelli Matematici per i Mercati Finanziari ESERCIZIO 1
23 Giugno 2003 Teoria Matematica del Portafoglio Finanziario e Modelli Matematici per i Mercati Finanziari In uno schema uniperiodale e in un contesto di analisi media-varianza, si consideri un mercato
DettagliUn modello matematico di investimento ottimale
Un modello matematico di investimento ottimale Tiziano Vargiolu 1 1 Università degli Studi di Padova Liceo Scientifico Benedetti Venezia, giovedì 30 marzo 2011 Outline 1 Investimento per un singolo agente
DettagliEsercitazione 23 maggio 2016
Esercitazione 5 maggio 016 Esercitazione 3 maggio 016 In questa esercitazione, nei primi tre esercizi, analizzeremo il problema del moral hazard nel mercato. In questo caso prenderemo in considerazione
DettagliTempo e rischio Tempo Rischio
Il Valore Attuale Tempo e rischio Tempo: i 100 euro di oggi valgono di meno dei 100 euro di domani perché i primi possono essere investiti nel mercato dei capitali e fruttare un tasso di interesse r. Rischio:
DettagliEsercizi di Matematica Finanziaria
Università degli Studi di Siena Facoltà di Economia Esercizi di Matematica Finanziaria relativi ai capitoli I-IV del testo Claudio Pacati a.a. 1998 99 c Claudio Pacati tutti i diritti riservati. Il presente
DettagliTeoria normativa della politica economica
Teoria normativa della politica economica La teoria normativa si occpa di indicare il metodo e, di consegenza, le scelte che n atorità pbblica (policy maker) razionale dovrebbe assmere per persegire il
DettagliUn modello matematico di investimento ottimale
Un modello matematico di investimento ottimale Tiziano Vargiolu 1 1 Università degli Studi di Padova Liceo Scientifico Benedetti Venezia, giovedì 30 marzo 2011 Outline 1 Preliminari di calcolo delle probabilità
DettagliMATEMATICA FINANZIARIA Appello del 23 giugno 2003 studenti nuovo ordinamento
MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 23 giugno 2003 studenti nuovo ordinamento Cognome e Nome................................................................... C.d.L....................... Matricola n................................................
DettagliUniversità di Milano Bicocca. Esercitazione 6 di Matematica per la Finanza. 14 Maggio 2015
Università di Milano Bicocca Esercitazione 6 di Matematica per la Finanza 14 Maggio 2015 Esercizio 1 Un agente presenta una funzione di utilitá u(x) = ln(1 + 6x). Egli dispone di un progetto incerto che
DettagliEsercizi svolti in aula
Esercizi svolti in aula 23 maggio 2012 Esercizio 1 (Esercizio 1 del compito di matematica finanziaria 1 (CdL EA) del 16-02-10) Un individuo vuole accumulare su un conto corrente la somma di 10.000 Euro
DettagliEsercizi sulle variabili aleatorie Corso di Probabilità e Inferenza Statistica, anno 2007-2008, Prof. Mortera
Esercizi sulle variabili aleatorie Corso di Probabilità e Inferenza Statistica, anno 2007-2008, Prof. Mortera 1. Avete risparmiato 10 dollari che volete investire per un anno in azioni e/o buoni del tesoro
DettagliMATEMATICA FINANZIARIA Appello dell 8 ottobre 2010 programma a.a. precedenti
MATEMATICA FINANZIARIA Appello dell 8 ottobre 2010 programma a.a. precedenti Cognome e Nome........................................................................... C.d.L....................... Matricola
DettagliEsercitazione relativa al cap. 10 INVESTIMENTI
Esercitazione relativa al cap. 10 INVESTIMENTI GLI INVESTIMENTI FINANZIARI SONO ACQUISTI DI ATTIVITA FINANZIARIE EFFETTUATE NELL ASPETTATIVA DI RICEVERNE UN RENDIMENTO. I PIU IMPORTANTI SONO: - I DEPOSITI
DettagliMatematica Finanziaria A - corso part time prova d esame del 21 Aprile 2010 modalità A
prova d esame del 21 Aprile 2010 modalità A 1. Un tizio ha bisogno di 600 euro che può chiedere, in alternativa, a due banche: A e B. La banca A propone un rimborso a quote capitale costanti mediante tre
DettagliCapitolo 25: Lo scambio nel mercato delle assicurazioni
Capitolo 25: Lo scambio nel mercato delle assicurazioni 25.1: Introduzione In questo capitolo la teoria economica discussa nei capitoli 23 e 24 viene applicata all analisi dello scambio del rischio nel
DettagliIl Capital asset pricing model è un modello di equilibrio dei mercati, individua una relazione tra rischio e rendimento, si fonda sulle seguenti
Il Capital asset pricing model è un modello di equilibrio dei mercati, individua una relazione tra rischio e rendimento, si fonda sulle seguenti ipotesi: Gli investitori sono avversi al rischio; Gli investitori
DettagliEpoca k Rata Rk Capitale Ck interessi Ik residuo Dk Ek 0 S 0 1 C1 Ik=i*S Dk=S-C1. n 0 S
L AMMORTAMENTO Gli ammortamenti sono un altra apllicazione delle rendite. Il prestito è un operazione finanziaria caratterizzata da un flusso di cassa positivo (mi prendo i soldi in prestito) seguito da
DettagliMATEMATICA FINANZIARIA Appello del 2 marzo 2010 programma vecchio ordinamento
MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 2 marzo 2010 programma vecchio ordinamento Cognome e Nome........................................................................... C.d.L....................... Matricola
DettagliSistemi Interconnessi
Corso di Fondamenti di Atomatica Università di Roma La Sapienza Sistemi Interconnessi L. Lanari Dipartimento di Informatica e Sistemistica Università di Roma La Sapienza Roma, Ital Ultima modifica Ma 29,
DettagliCapitolo 25: Lo scambio nel mercato delle assicurazioni
Capitolo 25: Lo scambio nel mercato delle assicurazioni 25.1: Introduzione In questo capitolo la teoria economica discussa nei capitoli 23 e 24 viene applicata all analisi dello scambio del rischio nel
DettagliCP110 Probabilità: Esame del 3 giugno 2010. Testo e soluzione
Dipartimento di Matematica, Roma Tre Pietro Caputo 2009-2010, II semestre 8 luglio, 2010 CP110 Probabilità: Esame del 3 giugno 2010 Testo e soluzione 1. (6 pts 12 monete da 1 euro vengono distribuite tra
DettagliFINANZA AZIENDALE AVANZATO
FINANZA AZIENDALE AVANZATO La diversificazione di portafoglio e il CAPM Lezione 3 e 4 1 Scopo della lezione Illustrare il modello logico-teorico più utilizzato nella pratica per stimare il rendimento equo
DettagliMATEMATICA FINANZIARIA Appello del 10 luglio 2000
MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 10 luglio 2000 Cognome e Nome................................................................... C.d.L....................... Matricola n................................................
DettagliIl modello media-varianza con N titoli rischiosi. Una derivazione formale. Enrico Saltari
Il modello media-varianza con N titoli rischiosi. Una derivazione formale Enrico Saltari La frontiera efficiente con N titoli rischiosi Nel caso esistano N titoli rischiosi, con N 2, il problema della
DettagliMATEMATICA 5 PERIODI
BAC EUROPEO 2008 MATEMATICA 5 PERIODI DATA 5 giugno 2008 DURATA DELL ESAME : 4 ore (240 minuti) MATERIALE AUTORIZZATO Formulario delle scuole europee Calcolatrice non grafica e non programmabile AVVERTENZE
DettagliLe obbligazioni: misure di rendimento Tassi d interesse, elementi di valutazione e rischio delle attività finanziarie
Le obbligazioni: misure di rendimento Tassi d interesse, elementi di valutazione e rischio delle attività finanziarie Economia degli Intermediari Finanziari 29 aprile 2009 A.A. 2008-2009 Agenda 1. Il calcolo
DettagliESERCITAZIONE 1. 15 novembre 2012
ESERCITAZIONE 1 Economia dell Informazione e dei Mercati Finanziari C.d.L. in Economia degli Intermediari e dei Mercati Finanziari (8 C.F.U.) C.d.L. in Statistica per le decisioni finanziarie ed attuariali
DettagliCapitolo Terzo Valore attuale e costo opportunità del capitale
Capitolo Terzo Valore attuale e costo opportunità del capitale 1. IL VALORE ATTUALE La logica di investimento aziendale è assolutamente identica a quella adottata per gli strumenti finanziari. Per poter
DettagliMATEMATICA FINANZIARIA Appello del 22 gennaio 2015
MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 22 gennaio 2015 Cognome e Nome................................................................... C.d.L....................... Matricola n................................................
DettagliStatistical Process Control
Statistical Process Control ESERCIZI Esercizio 1. Per la caratteristica di un processo distribuita gaussianamente sono note media e deviazione standard: µ = 100, σ = 0.2. 1a. Calcolare la linea centrale
DettagliMatrice Excel Calcolo rata con DURATA DEL FINANZIAMENTO determinata dall'utente
Matrice Excel Calcolo rata con DURATA DEL FINANZIAMENTO determinata dall'utente L'acquisto di un immobile comporta un impegno finanziario notevole e non sempre è possibile disporre della somma di denaro
DettagliEsercizi di Calcolo delle Probabilità con Elementi di Statistica Matematica
Esercizi di Calcolo delle Probabilità con Elementi di Statistica Matematica Lucio Demeio Dipartimento di Scienze Matematiche Università Politecnica delle Marche 1. Esercizio. Siano X ed Y due variabili
DettagliTest d ipotesi. Statistica e biometria. D. Bertacchi. Test d ipotesi
In molte situazioni una raccolta di dati (=esiti di esperimenti aleatori) viene fatta per prendere delle decisioni sulla base di quei dati. Ad esempio sperimentazioni su un nuovo farmaco per decidere se
DettagliNella prima parte del corso l attenzione è venuta appuntandosi sui problemi inerenti la valutazione di investimenti aziendali e di strumenti
Nella prima parte del corso l attenzione è venuta appuntandosi sui problemi inerenti la valutazione di investimenti aziendali e di strumenti finanziari in un contesto di flussi finanziari certi, tuttavia
DettagliMatrice Excel Calcolo rata con TASSO DI INTERESSE determinato dall'utente
Matrice Excel Calcolo rata con TASSO DI INTERESSE determinato dall'utente L'acquisto di un immobile comporta un impegno finanziario notevole e non sempre è possibile disporre della somma di denaro sufficiente
DettagliLe operazioni di assicurazione
Le operazioni di assicurazione Giovanni Zambruno e Asmerilda Hitaj Bicocca, 2014 Outline 1 Lezione 1: Le operazioni di assicurazione Condizione di indifferenza Condizione di equità 2 Premio equo, premio
DettagliTemi di Esame a.a. 2012-2013. Statistica - CLEF
Temi di Esame a.a. 2012-2013 Statistica - CLEF I Prova Parziale di Statistica (CLEF) 11 aprile 2013 Esercizio 1 Un computer è collegato a due stampanti, A e B. La stampante A è difettosa ed il 25% dei
DettagliIl criterio media-varianza e il modello CAPM
Il criterio media-varianza e il modello CAPM 1 Il criterio media-varianza Se α 1 è la quota della ricchezza destinata all acquisto del titolo 1 e α 2 èlaquota impiegata nell acquisto del titolo 2, il valore
DettagliLa Programmazione Lineare
4 La Programmazione Lineare 4.1 INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DI UN PROBLEMA DI PROGRAMMAZIONE LINEARE Esercizio 4.1.1 Fornire una rappresentazione geometrica e risolvere graficamente i seguenti problemi
Dettaglistudi e analisi finanziarie LA PUT-CALL PARITY
LA PUT-CALL PARITY Questa relazione chiarisce se sia possibile effettuare degli arbitraggi e, quindi, guadagnare senza rischi. La put call parity è una relazione che lega tra loro: il prezzo del call,
DettagliIndice. Le curve di indifferenza sulla frontiera di Markowitz UNIVERSITA DI PARMA FACOLTA DI ECONOMIA
UNIVERSITA DI PARMA FACOLTA DI ECONOMIA Corso di pianificazione finanziaria A.a. 2003/2004 1 Indice La Capital Market Theory di Markowitz Il Teorema della separazione di Tobin e la Capital Market Line
DettagliLe passività senza attività corrispondenti. Franco Moriconi Membro del Consiglio dei Garanti Università di Perugia
Le passività senza attività corrispondenti Franco Moriconi Membro del Consiglio dei Garanti Università di Perugia Avversione al rischio e remunerazione del rischio Price of time e Price of risk Valutazione
DettagliScelta di portafoglio
Scelta di portafoglio Appunti per il corso di conomia dei mercati monetari e finanziari A.A. 2002/2003 duardo Rossi Università di Pavia 1 Scelta di portafoglio Individuo avverso al rischio con funzione
DettagliScelte in condizioni di rischio e incertezza
CAPITOLO 5 Scelte in condizioni di rischio e incertezza Esercizio 5.1. Tizio ha risparmiato nel corso dell anno 500 euro; può investirli in obbligazioni che rendono, in modo certo, il 10% oppure in azioni
DettagliE naturale chiedersi alcune cose sulla media campionaria x n
Supponiamo che un fabbricante stia introducendo un nuovo tipo di batteria per un automobile elettrica. La durata osservata x i delle i-esima batteria è la realizzazione (valore assunto) di una variabile
DettagliLa condivisione del rischio e la sua ripartizione su ampia scala
La condivisione del rischio e la sua ripartizione su ampia scala 1 ARGOMENTI DI QUESTA LEZIONE Questa lezione propone esplora due problemi fondamentali: Se esiste un rischio in una transazione chi lo deve
DettagliLe scelte del consumatore in condizione di incertezza (cap.5)
Le scelte del consumatore in condizione di incertezza (cap.5) Che cos è il rischio? Come possiamo indicare le preferenze del consumatore riguardo al rischio? C è chi acquista assicurazione (non ama il
DettagliGli strumenti di base della Finanza
27 Gli strumenti di base della Finanza ECONOMIA FINANZIARIA L Economia Finanziaria studia le decisioni degli individui sulla allocazione delle risorse e la gestione del rischio VALORE ATTUALE Con il termine
DettagliELEMENTI DI STATISTICA
Dipartimento di Ingegneria Meccanica Chimica e dei Materiali PROGETTAZIONE E GESTIONE DEGLI IMPIANTI INDUSTRIALI Esercitazione 6 ORE ELEMENTI DI STATISTICA Prof. Ing. Maria Teresa Pilloni Anno Accademico
DettagliPrestazioni CPU Corso di Calcolatori Elettronici A 2007/2008 Sito Web:http://prometeo.ing.unibs.it/quarella Prof. G. Quarella prof@quarella.
Prestazioni CPU Corso di Calcolatori Elettronici A 2007/2008 Sito Web:http://prometeo.ing.unibs.it/quarella Prof. G. Quarella prof@quarella.net Prestazioni Si valutano in maniera diversa a seconda dell
DettagliMATEMATICA FINANZIARIA Appello del 18 marzo 2013. Cattedra: prof. Pacati (SI) prof. Renò (SI) dott. Quaranta (GR) dott. Riccarelli (AR).
MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 18 marzo 2013 Cognome e Nome.......................................................................... C.d.L....................... Matricola n...................................................
DettagliCapitolo 6 Economia dell informazione e scelta in condizioni di incertezza
Capitolo 6 Economia dell informazione e scelta in condizioni di incertezza ECONOMIA DELL INFORMAZIONE L informazione è un fattore importante nel processo decisionale di consumatori e imprese Nella realtà,
DettagliLA VALUTAZIONE DI PORTAFOGLIO. Giuseppe G. Santorsola 1
LA VALUTAZIONE DI PORTAFOGLIO Giuseppe G. Santorsola 1 Rendimento e rischio Rendimento e rischio di un singolo titolo Rendimento e rischio di un portafoglio Rendimento ex post Media aritmetica dei rendimenti
DettagliPROVE D'ESAME DI CPS A.A. 2009/2010. 0 altrimenti.
PROVE D'ESAME DI CPS A.A. 009/00 0/06/00 () (4pt) Olimpiadi, nale dei 00m maschili, 8 nalisti. Si sa che i 4 atleti nelle corsie centrali hanno probabilità di correre in meno di 0 secondi. I 4 atleti delle
DettagliTecniche di analisi multivariata
Tecniche di analisi multivariata Metodi che fanno riferimento ad un modello distributivo assunto per le osservazioni e alla base degli sviluppi inferenziali - tecniche collegate allo studio della dipendenza
Dettagli2 + (σ2 - ρσ 1 ) 2 > 0 [da -1 ρ 1] b = (σ 2. 2 - ρσ1 σ 2 ) = (σ 1
1 PORTAFOGLIO Portafoglio Markowitz (2 titoli) (rischiosi) due titoli rendimento/varianza ( μ 1, σ 1 ), ( μ 2, σ 2 ) Si suppone μ 1 > μ 2, σ 1 > σ 2 portafoglio con pesi w 1, w 2 w 1 = w, w 2 = 1- w 1
DettagliMATEMATICA FINANZIARIA Appello del 13 06 2008. Cattedra: prof. Pacati prof. Renò dott. Quaranta dott. Falini dott. Riccarelli
MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 13 06 2008 Cognome e Nome................................................................... C.d.L....................... Matricola n................................................
DettagliProblemi sul parallelogramma con le incognite
Problemi sl parallelogramma con le incognite Qante altezze ha n parallelogramma Il concetto di altezza rimanda direttamente a qello della distanza di in pnto da na retta La distanza di n pnto da na retta
DettagliTassi di cambio e mercati valutari: un approccio di portafoglio
Tassi di cambio e mercati valutari: un approccio di portafoglio Tassi di cambio e transazioni internazionali La domanda di attività denominate in valuta estera L equilibrio nel mercato valutario Tassi
DettagliA = { escono 2 teste e due croci (indipendentemente dall ordine) } B = { al primo tiro esce testa }.
ESERCIZI ELEMENTARI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Teorema della somma 1) Giocando alla roulette, calcolare la probabilità che su una estrazione esca: a) Un numero compreso tra 6 e 12 (compresi) oppure maggiore
DettagliMATEMATICA FINANZIARIA Appello del 26 febbraio 2009. Cognome e Nome... C.d.L... Matricola n... Firma...
MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 26 febbraio 2009 Cognome e Nome... C.d.L.... Matricola n.... Firma... Cattedra: prof. Pacati prof. Renò dott. Quaranta dott. Falini dott. Riccarelli Fornire le risposte
DettagliStrategie di Copertura mediante Futures
Strategie di Copertura mediante Futures Lezione 6 3.1 Coperture Lunghe e Corte Una copertura lunga mediante futures è appropriata quando si sa di dover acquistare un attività in futuro e si vuole bloccare
Dettagli1 Serie di Taylor di una funzione
Analisi Matematica 2 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 7 SERIE E POLINOMI DI TAYLOR Serie di Taylor di una funzione. Definizione di serie di Taylor Sia f(x) una funzione definita
DettagliMatrice Excel Calcolo rata con IMPORTO DEL FINANZIAMENTO determinato dall'utente
Matrice Excel Calcolo rata con IMPORTO DEL FINANZIAMENTO determinato dall'utente L'acquisto di un immobile comporta un impegno finanziario notevole e non sempre è possibile disporre della somma di denaro
DettagliSi considerino gli eventi A = nessuno studente ha superato l esame e B = nessuno studente maschio ha superato l esame. Allora A c B è uguale a:
TEST DI AUTOVALUTAZIONE - SETTIMANA 2 I diritti d autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Metodi statistici per la biologia 1 Parte A 1.1 Si considerino gli
DettagliQUESITO 1 A FISICA. Il candidato illustri il primo principio della termodinamica. Consideri poi la seguente
QUESITO 1 A Il candidato illustri il primo principio della termodinamica. Consideri poi la seguente circostanza: nel cilindro di un motore avviene una rapida espansione di un gas contro il pistone. Il
Dettaglii criteri di valutazione
La fattibilità economica dei progetti: i criteri di valutazione 14.XII.2011 I criteri di fattibilità del progetto La convenienza di un investimento t immobiliare per il promotore può avvenire attraverso
DettagliPer poter affrontare il problema abbiamo bisogno di parlare di probabilità (almeno in maniera intuitiva). Analizziamo alcune situazioni concrete.
Parliamo di probabilità. Supponiamo di avere un sacchetto con dentro una pallina rossa; posso aggiungere tante palline bianche quante voglio, per ogni pallina bianca che aggiungo devo pagare però un prezzo
DettagliIndice. 1 La disoccupazione ---------------------------------------------------------------------------------------- 3. 2 di 6
INEGNAMENO DI EONOMIA OLIIA LEZIONE VIII IL EORE DELL OUAZIONE ROF. ALDO VAOLA Economia olitica Indice 1 La disoccupazione ----------------------------------------------------------------------------------------
DettagliLEZIONE 4. Il Capital Asset Pricing Model. Professor Tullio Fumagalli Corso di Finanza Aziendale Università degli Studi di Bergamo.
LEZIONE 4 Il Capital Asset Pricing Model 1 Generalità 1 Generalità (1) Il Capital Asset Pricing Model è un modello di equilibrio dei mercati che consente di individuare una precisa relazione tra rendimento
DettagliCalcolo delle probabilità
Calcolo delle probabilità Laboratorio di Bioinformatica Corso A aa 2005-2006 Statistica Dai risultati di un esperimento si determinano alcune caratteristiche della popolazione Calcolo delle probabilità
DettagliFinanza Aziendale. Lezione 12. Analisi del rischio
Finanza Aziendale Lezione 12 Analisi del rischio Obiettivi i della lezione I rendimenti e la loro misurazione I rendimenti medi ed il loro rischio La misurazione del rischio e l effetto diversificazione
DettagliESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2015/2016. 1. Esercizi 4
ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2015/2016 1. Esercizi 4 Piani di ammortamento Esercizio 1. Un debito di 1000e viene rimborsato a tasso annuo i = 10%
DettagliPERCORSI ABILITANTI SPECIALI 2014 DIDATTICA DELL ECONOMIA DEGLI INTERMEDIARI FINANZIARI
PERCORSI ABILITANTI SPECIALI 014 DIDATTICA DELL ECONOMIA DEGLI INTERMEDIARI FINANZIARI A cura Dott.ssa Federica Miglietta ESERCITAZIONE CALCOLO FINANZIARIO: Nel caso degli investimenti si parla genericamente
Dettagli15 febbraio 2010 - Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 2009-2010 COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...
15 febbraio 010 - Soluzione esame di geometria - 1 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 009-010 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura
DettagliPertanto la formula per una prima approssimazione del tasso di rendimento a scadenza fornisce
A. Peretti Svolgimento dei temi d esame di MDEF A.A. 015/16 1 PROVA CONCLUSIVA DI MATEMATICA per le DECISIONI ECONOMICO-FINANZIARIE Vicenza, 9/01/016 ESERCIZIO 1. Data l obbligazione con le seguenti caratteristiche:
DettagliMetodi statistici per le ricerche di mercato
Metodi statistici per le ricerche di mercato Prof.ssa Isabella Mingo A.A. 2014-2015 Facoltà di Scienze Politiche, Sociologia, Comunicazione Corso di laurea Magistrale in «Organizzazione e marketing per
DettagliMATEMATICA FINANZIARIA Appello del 28 gennaio 2002
MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 28 gennaio 2002 Cognome e Nome................................................................... C.d.L....................... Matricola n................................................
DettagliLe curve di indifferenza sulla frontiera di Markowitz
UNIVERSITA DEGLI STUDI DI PARMA FACOLTA DI ECONOMIA Corso di pianificazione finanziaria da Markowitz al teorema della separazione e al CAPM Le curve di indifferenza sulla frontiera di Markowitz Markowitz
DettagliOrganizzazione del capitolo
Capitolo 3 Tassi di cambio e mercati valutari: un approccio di portafoglio Preparato da Iordanis Petsas (traduzione di Juliette Vitaloni) In allegato a: Economia internazionale: economia monetaria internazionale
DettagliMetodi e Modelli Matematici di Probabilità per la Gestione
Metodi e Modelli Matematici di Probabilità per la Gestione Prova scritta del 1/6/06 Esercizio 1 Un sarto impiega un tempo aleatorio esponenziale a completare i suoi lavori. Mediamente gli servono 10 ore
DettagliDaniela Lera A.A. 2008-2009
Daniela Lera Università degli Studi di Cagliari Dipartimento di Matematica e Informatica A.A. 2008-2009 Metodi Runge-Kutta In alcuni esempi precedenti sono stati presentati vari metodi monostep. Esiste
DettagliStruttura elettronica delle molecole. Teoria quantistica del legame chimico
Strttra elettronica delle molecole. Teoria qantistica del legame chimico Lo ione idrogeno molecolare H 2 + Eq. Schroedinger singolo elettrone La fnzione d onda φ b soddisfa na eqazione analoga. Gli atovalori
DettagliEsercizi di Matematica Finanziaria - Corso Part Time scheda 1 - Leggi finanziarie, rendite ed ammortamenti
Esercizi di Matematica Finanziaria - Corso Part Time scheda 1 - Leggi finanziarie, rendite ed ammortamenti 1. Un capitale d ammontare 100 viene investito, in regime di interesse semplice, al tasso annuo
DettagliMATEMATICA FINANZIARIA Appello del 24 settembre 2003 studenti nuovo ordinamento
MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 24 settembre 2003 studenti nuovo ordinamento Cognome e Nome................................................................... C.d.L....................... Matricola
DettagliCome si seleziona un fondo di investimento
Come si seleziona un fondo di investimento Francesco Caruso è autore di MIB 50000 Un percorso conoscitivo sulla natura interiore dei mercati e svolge la sua attività di analisi su indici, titoli, ETF,
DettagliEsercizi di Macroeconomia per il corso di Economia Politica
Esercizi di Macroeconomia per il corso di Economia Politica (Gli esercizi sono suddivisi in base ai capitoli del testo di De Vincenti) CAPITOLO 3. IL MERCATO DEI BENI NEL MODELLO REDDITO-SPESA Esercizio.
DettagliBALDAZZI STYL ART S.p.A. - Via dell artigiano 17-40065 Pianoro (BO) Tel. 051-6516102 - Fax 051-6516142 info@baldazzi.com
1.f Regole che governano il gioco Il gioco si suddivide essenzialmente i tre parti: - gioco 5 rulli - gioco 5 rulli con free-spin - gioco bonus DREAM CATCHER (acchiappa-sogni) All avvio della partita si
DettagliMisure finanziarie del rendimento: il Van
Misure finanziarie del rendimento: il Van 6.XI.2013 Il valore attuale netto Il valore attuale netto di un progetto si calcola per mezzo di un modello finanziario basato su stime circa i ricavi i costi
DettagliTest statistici di verifica di ipotesi
Test e verifica di ipotesi Test e verifica di ipotesi Il test delle ipotesi consente di verificare se, e quanto, una determinata ipotesi (di carattere biologico, medico, economico,...) è supportata dall
DettagliDeterminazione dei Prezzi Forward e dei Prezzi Futures
Determinazione dei Prezzi Forward e dei Prezzi Futures Lezione 6 5.1 Beni d Investimento e Beni di Consumo I beni d investimento (ad es., oro, argento) sono beni che vengono posseduti solo per fini d investimento
DettagliPARTE VII METODOLOGIA DI CALCOLO DELL EQUIVALENTE SOVVENZIONE LORDO
METODOLOGIA DI CALCOLO DELL EQUIVALENTE SOVVENZIONE LORDO I valori dell ESL per il Fondo sono stati calcolati tenendo conto dei costi della garanzia, diversi per area d intervento e dimensione del soggetto
DettagliMisure finanziarie del rendimento: il Van
Misure finanziarie del rendimento: il Van 12.XI.2014 Il valore attuale netto Il valore attuale netto di un progetto si calcola l per mezzo di un modello finanziario basato su stime circa i ricavi i costi
DettagliIstituzioni di Statistica e Statistica Economica
Istituzioni di Statistica e Statistica Economica Università degli Studi di Perugia Facoltà di Economia, Assisi, a.a. 2013/14 Esercitazione n. 4 A. Si supponga che la durata in giorni delle lampadine prodotte
DettagliMATEMATICA FINANZIARIA Appello del 20 gennaio 2014. Cattedra: prof. Pacati (SI) prof. Renò (SI) dott. Quaranta (GR).
MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 20 gennaio 2014 Cognome e Nome................................................................... C.d.L....................... Matricola n................................................
DettagliPIL : produzione e reddito
PIL : produzione e reddito La misura della produzione aggregata nella contabilità nazionale è il prodotto interno lordo o PIL. Dal lato della produzione : oppure 1) Il PIL è il valore dei beni e dei servizi
DettagliDipartimento di Economia Aziendale e Studi Giusprivatistici. Università degli Studi di Bari Aldo Moro. Corso di Macroeconomia 2014
Dipartimento di Economia Aziendale e Studi Giusprivatistici Università degli Studi di Bari Aldo Moro Corso di Macroeconomia 2014 1. Assumete che = 10% e = 1. Usando la definizione di inflazione attesa
Dettagli