Le operazioni di assicurazione

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1 Le operazioni di assicurazione Giovanni Zambruno e Asmerilda Hitaj Bicocca, 2014

2 Outline 1 Lezione 1: Le operazioni di assicurazione Condizione di indifferenza Condizione di equità 2 Premio equo, premio puro Caricamento di sicurezza 3

3 Matematica Attuariale Condizione di indifferenza Condizione di equità Matematica Attuariale Insieme di modelli matematici relativi all attività assicurativa. Attività assicurativa: attività economica consistente nella gestione dei "rischi" trasferiti ad un assicuratore da un operatore economico. Art c.c. "Contratto col quale l assicuratore, verso pagamento di un premio, si obbliga a rivalere l assicurato, entro i limiti convenuti, del danno ad esso prodotto da un sinistro, ovvero a pagare un capitale o una rendita al verificarsi di un evento attinente alla vita umana"

4 Matematica Attuariale Condizione di indifferenza Condizione di equità Matematica Attuariale Insieme di modelli matematici relativi all attività assicurativa. Attività assicurativa: attività economica consistente nella gestione dei "rischi" trasferiti ad un assicuratore da un operatore economico. Art c.c. "Contratto col quale l assicuratore, verso pagamento di un premio, si obbliga a rivalere l assicurato, entro i limiti convenuti, del danno ad esso prodotto da un sinistro, ovvero a pagare un capitale o una rendita al verificarsi di un evento attinente alla vita umana"

5 Condizione di indifferenza Condizione di equità Un contratto di assicurazione è un accordo fra due parti, nel quale l assicurato trasferisce all assicuratore un danno che può verificarsi in futuro, in cambio di un premio che paga alla data di stipula. Il premio è il prezzo che l assicurato paga per l eliminazione del rischio che si verifichi il danno. La matematica attuariale studia i principi base per la valutazione dei contratti: valutazione costo coperture assicurative fissazione prezzo o premio delle coperture gestione del premio nel tempo definizione e calcolo riserve tecniche.

6 Condizione di indifferenza Condizione di equità Un contratto di assicurazione è un accordo fra due parti, nel quale l assicurato trasferisce all assicuratore un danno che può verificarsi in futuro, in cambio di un premio che paga alla data di stipula. Il premio è il prezzo che l assicurato paga per l eliminazione del rischio che si verifichi il danno. La matematica attuariale studia i principi base per la valutazione dei contratti: valutazione costo coperture assicurative fissazione prezzo o premio delle coperture gestione del premio nel tempo definizione e calcolo riserve tecniche.

7 Matematica Attuariale Condizione di indifferenza Condizione di equità Apetti Finanziari differimenti nel tempo delle prestazioni assicurative Probabilistici aleatorietà gestione dei rischi modelli discreti modelli continui processi stocastici Prestazione Terminologia Premio Premio unico Premio periodico o ricorrente Assicurato: cui si riferiscono gli eventi oggetto dell assicurazione Contraente: stipula il contratto e paga il premio Beneficiario: cui vengono (eventualmente) pagate le somme assicurate

8 Matematica Attuariale Condizione di indifferenza Condizione di equità Apetti Finanziari differimenti nel tempo delle prestazioni assicurative Probabilistici aleatorietà gestione dei rischi modelli discreti modelli continui processi stocastici Prestazione Terminologia Premio Premio unico Premio periodico o ricorrente Assicurato: cui si riferiscono gli eventi oggetto dell assicurazione Contraente: stipula il contratto e paga il premio Beneficiario: cui vengono (eventualmente) pagate le somme assicurate

9 Condizione di indifferenza Condizione di equità Operazione aleatoria Scambio di importi monetari contro importi monetari, che si protrae in successivi istanti di tempo, gli importi e/o gli istanti essendo variabili aleatorie. 0.5 S T e X sono v.c. +X differimento (fin.) T Elementi di incertezza (prob.)

10 Condizione di indifferenza Condizione di equità Classificazione assicurazioni libere Assicurazioni contro i danni Assicurazioni sulla vita Assicurazioni sociali Assicurazioni sulla salute

11 Assicurazioni contro i danni Condizione di indifferenza Condizione di equità Assicurazioni contro i danni Risarcimento a fronte di: Danni materiali: alla persona ai beni di proprietà dell assicurato Situazioni di responsabilità civile Aleatorietà esborso numero aleatorio sinistri entità aleatoria danno ciascun sinistro Durata periodo copertura breve (1 anno)

12 Assicurazioni sulla vita Condizione di indifferenza Condizione di equità Assicurazioni sulla vita Pagamento di somme al verificarsi di prestabiliti eventi inerenti alla vita ( durata di vita ) di una o più persone. Esborso aleatorio se aleatorio quando definito quanto (somme prestabilite o determinabili) Durata medio-lunga (min 10 anni)

13 Assicurazioni sociali Condizione di indifferenza Condizione di equità Assicurazioni sociali Insieme di coperture assicurative obbligatorie fornite da: Sistemi pubblici (Stato, enti previdenziali e sanitari) Fondi o Casse pensioni aziendali Comprendono: pensioni di anzianità e vecchiaia pensioni ai superstiti pensioni di invalidità prestazioni in caso di infortuni professionali prestazioni in caso di malattia

14 Contratto di assicurazione Condizione di indifferenza Condizione di equità Consideriamo, dal punto di vista dell assicuratore, un contratto stipulato in t 0 = 0 e assumiamo che: L assicuratore abbia un capitale proprio certo c > 0. L assicuratore abbia una funzione di utilità u (crescente e concava) L assicuratore ha la sua funzione di distribuzione di probabilità, prob, in base alla quale egli attribuisce probabilità agli eventi. Il danno D si possa verificare al tempo t 1 = 1. prob(d 0) = 1 e prob(d > 0) > 0. Al momento in cui si stipula il contratto,t 0 = 0, l assicurato paghi il premio P. Indichiamo con i il tasso di mercato privo di rischio, al quale l assicuratore può investire i suoi attivi Ipotizziamo per semplicità che l assicuratore non ha in corso altri contratti.

15 Outline Condizione di indifferenza Condizione di equità 1 Lezione 1: Le operazioni di assicurazione Condizione di indifferenza Condizione di equità 2 Premio equo, premio puro Caricamento di sicurezza 3

16 condizione di indifferenza Condizione di indifferenza Condizione di equità Dopo la stipula del contratto la posizione dell assicuratore in t 1 sarà: (c + P)(1+i) D (1) Se l assicuratore non avesse stipulato il contratto, la sua posizione in t 1 sarebbe: c(1+i) (2) La condizione di indifferenza per l assicuratore è: E 0 [u((c + P)(1+i) D)] = E 0 [u(c(1+i))] (3) L operazione per l assicuratore sarà vantaggiosa se nella 3 risulti la disuguaglianza ">", se nella 3 la disuguaglianza risultasse "<" l operazione verrà percepita come svantaggiosa. Dato che la parte destra dell equazione 3 è certa, la condizione di indifferenza si può scrivere come: E 0 [u((c + P)(1+i) D)] = u(c(1+i)) (4)

17 condizione di indifferenza Condizione di indifferenza Condizione di equità Dopo la stipula del contratto la posizione dell assicuratore in t 1 sarà: (c + P)(1+i) D (1) Se l assicuratore non avesse stipulato il contratto, la sua posizione in t 1 sarebbe: c(1+i) (2) La condizione di indifferenza per l assicuratore è: E 0 [u((c + P)(1+i) D)] = E 0 [u(c(1+i))] (3) L operazione per l assicuratore sarà vantaggiosa se nella 3 risulti la disuguaglianza ">", se nella 3 la disuguaglianza risultasse "<" l operazione verrà percepita come svantaggiosa. Dato che la parte destra dell equazione 3 è certa, la condizione di indifferenza si può scrivere come: E 0 [u((c + P)(1+i) D)] = u(c(1+i)) (4)

18 Outline Condizione di indifferenza Condizione di equità 1 Lezione 1: Le operazioni di assicurazione Condizione di indifferenza Condizione di equità 2 Premio equo, premio puro Caricamento di sicurezza 3

19 La condizione di equità Condizione di indifferenza Condizione di equità La condizione di equità dello scambio è dato da: E 0 [(c + P)(1+i) D] = c(1+i), (5) da qui si ottiene il premio equo, dato da: P = E 0(D) (1+i) L equazione 4 incorpora l avversione al rischio dell assicuratore. Se vale solo la 5 l assicuratore percepisce svantaggiosa l operazione. Infatti dalla 5 si ottiene: (6) u(e 0 [(c + P)(1+i) D]) = u(c(1+i)) (7) per la disuguaglianza di Jensen si ha: u(e 0 [(c + P)(1+i) D]) > E 0 [u((c + P)(1+i) D)]

20 Condizione di indifferenza Condizione di equità Si ottiene che: E 0 [u((c + P)(1+i) D)] < u(c(1+i)), (8) Questo significa che l equità dell operazione ne comporta la svantaggiosità per l assicuratore. Esempio 1 Si assuma che il danno D possa assumere una sola determinazione positiva d > 0 con probabilità p > 0 e che sarà quindi nullo con probabilità 1 p. Si scriva la condizione di indifferenza, quella di equità e si calcoli il premio P.

21 Condizione di indifferenza Condizione di equità Soluzione La condizione di indifferenza è: E 0 [u((c + P)(1+i) D)] = u(c(1+i)) p(u((c + P)(1+i) d))+(1 p)(u((c + P)(1+i))) = u(c(1+i)) La condizione di equità è: p[((c + P)(1+i) d)]+(1 p)[((c + P)(1+i))] = (c(1+i)) Scrivendo il fattore di sconto come v = (1+i) 1, si trova che: P equo = pdv

22 Outline Premio equo, premio puro Caricamento di sicurezza 1 Lezione 1: Le operazioni di assicurazione Condizione di indifferenza Condizione di equità 2 Premio equo, premio puro Caricamento di sicurezza 3

23 Premio equo, premio puro Caricamento di sicurezza Partendo dalla condizione di indifferenza dove il danno D è aleatorio: E 0 [u((c + P)(1+i) D)] = u(c(1+i)) (9) Fissando D in questa equazione si trova il premio di indifferenza P(detto anche premio puro), cioè il premio che rende l operazione indifferente per l assicuratore. Per determinare il premio puro occorre risolvere la condizione di indifferenza (4) rispetto a P, fissati c, i e D. Si ha la funzione: f(p) = E 0 [u((c + P)(1+i) D)] u(c(1+i)). (10) Questa funzione è continua, monotona crescente e concava. In particolare è anche invertibile. La soluzione dell equazione (10) non sempre esiste in forma chiusa. Tante volte per risolverlo si usano metodi numerici.

24 Premio equo, premio puro Caricamento di sicurezza Partendo dalla condizione di indifferenza dove il danno D è aleatorio: E 0 [u((c + P)(1+i) D)] = u(c(1+i)) (9) Fissando D in questa equazione si trova il premio di indifferenza P(detto anche premio puro), cioè il premio che rende l operazione indifferente per l assicuratore. Per determinare il premio puro occorre risolvere la condizione di indifferenza (4) rispetto a P, fissati c, i e D. Si ha la funzione: f(p) = E 0 [u((c + P)(1+i) D)] u(c(1+i)). (10) Questa funzione è continua, monotona crescente e concava. In particolare è anche invertibile. La soluzione dell equazione (10) non sempre esiste in forma chiusa. Tante volte per risolverlo si usano metodi numerici.

25 Premio equo, premio puro Caricamento di sicurezza Il premio puro è la soluzione dell equazione (10): f(p) = 0 P = f(0) 1 Confrontando la condizione di indifferenza e la condizione di equità, abbiamo visto che il premio puro deve essere maggiore del premio equo.

26 Premio equo, premio puro Caricamento di sicurezza Il premio puro è la soluzione dell equazione (10): f(p) = 0 P = f(0) 1 Confrontando la condizione di indifferenza e la condizione di equità, abbiamo visto che il premio puro deve essere maggiore del premio equo.

27 Premio equo, premio puro Caricamento di sicurezza Esercizio 2 A Si assuma che il danno D possa assumere una sola determinazione positiva d > 0 con probabilità p > 0 e che sarà quindi nullo con probabilità 1 p. Si assuma che la funzione dell assicuratore sia di tipo esponenziale: u(x) = e rx con r > 0. Si trovi l espressione del premio puro. Soluzione 2A Partendo dalla condizione di indifferenza si ha: E 0 [u((c + P)(1+i) D)] = u(c(1+i)). Considerando la nostra funzione di utilità si ottiene: pe r((c+p)(1+i) d) (1 p)e r(c+p)(1+i) = e rc(1+i).

28 Premio equo, premio puro Caricamento di sicurezza Esercizio 2 A Si assuma che il danno D possa assumere una sola determinazione positiva d > 0 con probabilità p > 0 e che sarà quindi nullo con probabilità 1 p. Si assuma che la funzione dell assicuratore sia di tipo esponenziale: u(x) = e rx con r > 0. Si trovi l espressione del premio puro. Soluzione 2A Partendo dalla condizione di indifferenza si ha: E 0 [u((c + P)(1+i) D)] = u(c(1+i)). Considerando la nostra funzione di utilità si ottiene: pe r((c+p)(1+i) d) (1 p)e r(c+p)(1+i) = e rc(1+i).

29 Premio equo, premio puro Caricamento di sicurezza Esercizio 2 A Si assuma che il danno D possa assumere una sola determinazione positiva d > 0 con probabilità p > 0 e che sarà quindi nullo con probabilità 1 p. Si assuma che la funzione dell assicuratore sia di tipo esponenziale: u(x) = e rx con r > 0. Si trovi l espressione del premio puro. Soluzione 2A Partendo dalla condizione di indifferenza si ha: E 0 [u((c + P)(1+i) D)] = u(c(1+i)). Considerando la nostra funzione di utilità si ottiene: pe r((c+p)(1+i) d) (1 p)e r(c+p)(1+i) = e rc(1+i).

30 Premio equo, premio puro Caricamento di sicurezza Moltiplicando tutto per e r(c+p)(1+i) si ottiene: pe rd +(1 p) = e rp(1+i). Passando ai logaritmi si trova il premio puro: P puro = 1 ] [pe r log rd +(1 p) v. Esercizio 2 B Considerando il c = 1000, i = 5%, r = 1 si calcoli il premio equo e il premio puro. Soluzione 2 B Il premio equo è dato da: 1000 P equo = pdv P equo = (1+0.05) 1 P equo = , d = 100, p = 5%,

31 Premio equo, premio puro Caricamento di sicurezza Moltiplicando tutto per e r(c+p)(1+i) si ottiene: pe rd +(1 p) = e rp(1+i). Passando ai logaritmi si trova il premio puro: P puro = 1 ] [pe r log rd +(1 p) v. Esercizio 2 B Considerando il c = 1000, i = 5%, r = 1 si calcoli il premio equo e il premio puro. Soluzione 2 B Il premio equo è dato da: 1000 P equo = pdv P equo = (1+0.05) 1 P equo = , d = 100, p = 5%,

32 Premio equo, premio puro Caricamento di sicurezza Moltiplicando tutto per e r(c+p)(1+i) si ottiene: pe rd +(1 p) = e rp(1+i). Passando ai logaritmi si trova il premio puro: P puro = 1 ] [pe r log rd +(1 p) v. Esercizio 2 B Considerando il c = 1000, i = 5%, r = 1 si calcoli il premio equo e il premio puro. Soluzione 2 B Il premio equo è dato da: 1000 P equo = pdv P equo = (1+0.05) 1 P equo = , d = 100, p = 5%,

33 Premio equo, premio puro Caricamento di sicurezza Moltiplicando tutto per e r(c+p)(1+i) si ottiene: pe rd +(1 p) = e rp(1+i). Passando ai logaritmi si trova il premio puro: P puro = 1 ] [pe r log rd +(1 p) v. Esercizio 2 B Considerando il c = 1000, i = 5%, r = 1 si calcoli il premio equo e il premio puro. Soluzione 2 B Il premio equo è dato da: 1000 P equo = pdv P equo = (1+0.05) 1 P equo = , d = 100, p = 5%,

34 Premio equo, premio puro Caricamento di sicurezza Moltiplicando tutto per e r(c+p)(1+i) si ottiene: pe rd +(1 p) = e rp(1+i). Passando ai logaritmi si trova il premio puro: P puro = 1 ] [pe r log rd +(1 p) v. Esercizio 2 B Considerando il c = 1000, i = 5%, r = 1 si calcoli il premio equo e il premio puro. Soluzione 2 B Il premio equo è dato da: 1000 P equo = pdv P equo = (1+0.05) 1 P equo = , d = 100, p = 5%,

35 Premio equo, premio puro Caricamento di sicurezza Il premio puro è dato da: P puro = 1 r log[ pe rd +(1 p) ] v log P puro = 1000 P puro = [ ] 0.05 e

36 Outline Premio equo, premio puro Caricamento di sicurezza 1 Lezione 1: Le operazioni di assicurazione Condizione di indifferenza Condizione di equità 2 Premio equo, premio puro Caricamento di sicurezza 3

37 Caricamento di sicurezza Premio equo, premio puro Caricamento di sicurezza Il caricamento di sicurezza è dato dalla differenza tra il premio puro e il premio equo: L = P E 0 [D]v > 0 (11) Il caricamento di sicurezza quantifica in unità monetarie al tempo t 0 l avversione dell assicuratore al rischio insito nell operazione di assicurazione del danno D. La terminologia deriva dal fatto che l assicuratore non può praticare premi equi, altrimenti fallirebbe: deve quindi essere prudente, caricando i premi con il caricamento di sicurezza.

38 Caricamento di sicurezza Premio equo, premio puro Caricamento di sicurezza Il caricamento di sicurezza è dato dalla differenza tra il premio puro e il premio equo: L = P E 0 [D]v > 0 (11) Il caricamento di sicurezza quantifica in unità monetarie al tempo t 0 l avversione dell assicuratore al rischio insito nell operazione di assicurazione del danno D. La terminologia deriva dal fatto che l assicuratore non può praticare premi equi, altrimenti fallirebbe: deve quindi essere prudente, caricando i premi con il caricamento di sicurezza.

39 Caricamento di sicurezza Premio equo, premio puro Caricamento di sicurezza Il caricamento di sicurezza è dato dalla differenza tra il premio puro e il premio equo: L = P E 0 [D]v > 0 (11) Il caricamento di sicurezza quantifica in unità monetarie al tempo t 0 l avversione dell assicuratore al rischio insito nell operazione di assicurazione del danno D. La terminologia deriva dal fatto che l assicuratore non può praticare premi equi, altrimenti fallirebbe: deve quindi essere prudente, caricando i premi con il caricamento di sicurezza.

40 Caricamento di sicurezza cont... Premio equo, premio puro Caricamento di sicurezza Il caricamento di sicurezza si esprime spesso in percentuale del premio puro, come tasso di caricamento di sicurezza: l = L P (12) Il caricamento di sicurezza è caricamento implicito in quanto l assicuratore non è tenuto a dichiarare all assicurato, diversamente dal caricamento per spese, che invece deve essere normalmente dichiarato all assicurato.

41 Caricamento di sicurezza cont... Premio equo, premio puro Caricamento di sicurezza Il caricamento di sicurezza si esprime spesso in percentuale del premio puro, come tasso di caricamento di sicurezza: l = L P (12) Il caricamento di sicurezza è caricamento implicito in quanto l assicuratore non è tenuto a dichiarare all assicurato, diversamente dal caricamento per spese, che invece deve essere normalmente dichiarato all assicurato.

42 Basi tecniche del I ordine Il calcolo del premio puro deve essere condotto, tante volte, in via numerica e non ammette espressione in forma chiusa. L assicuratore non può usare il premio equo per considerare correttamente la propria avversione al rischio. Abbiamo visto che un assicuratore che accetta operazioni eque è destinato a fallire con probabilità 1. Per ovviare a questo inconveniente si ricorre spesso alla logica della base tecnica del I ordine, distorcendo la misura di probabilità e il tasso di interesse per incorporarvi l avversione al rischio dell assicuratore. Si definisce base tecnica del I ordine ogni coppia (prob I, i I ) di misura di probabilità e di tasso di interesse tali che il premio equo calcolato con (prob I, i I ) risulti uguale al premio puro P.

43 Basi tecniche del I ordine Il calcolo del premio puro deve essere condotto, tante volte, in via numerica e non ammette espressione in forma chiusa. L assicuratore non può usare il premio equo per considerare correttamente la propria avversione al rischio. Abbiamo visto che un assicuratore che accetta operazioni eque è destinato a fallire con probabilità 1. Per ovviare a questo inconveniente si ricorre spesso alla logica della base tecnica del I ordine, distorcendo la misura di probabilità e il tasso di interesse per incorporarvi l avversione al rischio dell assicuratore. Si definisce base tecnica del I ordine ogni coppia (prob I, i I ) di misura di probabilità e di tasso di interesse tali che il premio equo calcolato con (prob I, i I ) risulti uguale al premio puro P.

44 Basi tecniche del I ordine Il calcolo del premio puro deve essere condotto, tante volte, in via numerica e non ammette espressione in forma chiusa. L assicuratore non può usare il premio equo per considerare correttamente la propria avversione al rischio. Abbiamo visto che un assicuratore che accetta operazioni eque è destinato a fallire con probabilità 1. Per ovviare a questo inconveniente si ricorre spesso alla logica della base tecnica del I ordine, distorcendo la misura di probabilità e il tasso di interesse per incorporarvi l avversione al rischio dell assicuratore. Si definisce base tecnica del I ordine ogni coppia (prob I, i I ) di misura di probabilità e di tasso di interesse tali che il premio equo calcolato con (prob I, i I ) risulti uguale al premio puro P.

45 Basi tecniche del I ordine Il calcolo del premio puro deve essere condotto, tante volte, in via numerica e non ammette espressione in forma chiusa. L assicuratore non può usare il premio equo per considerare correttamente la propria avversione al rischio. Abbiamo visto che un assicuratore che accetta operazioni eque è destinato a fallire con probabilità 1. Per ovviare a questo inconveniente si ricorre spesso alla logica della base tecnica del I ordine, distorcendo la misura di probabilità e il tasso di interesse per incorporarvi l avversione al rischio dell assicuratore. Si definisce base tecnica del I ordine ogni coppia (prob I, i I ) di misura di probabilità e di tasso di interesse tali che il premio equo calcolato con (prob I, i I ) risulti uguale al premio puro P.

46 Basi tecniche del I ordine cont... Se si indica con E I l aspettativa calcolata con la misura di probabilità prob I ciò significa che; E I 0 (D) (1+iI ) 1 = P = E 0 (D) (1+i) 1 + L (13) In generale la base tecnica del I ordine non è unica. Il tasso di interesse del I ordine i I, tasso tecnico, è solitamente non negativo e minore-uguale del tasso di mercato i. La distribuzione di probabilità prob I assegna probabilità maggiori di prob al verificarsi del danno D. La base tecnica del I ordine viene anche detta base tecnica prudenziale.

47 Basi tecniche del I ordine cont... Se si indica con E I l aspettativa calcolata con la misura di probabilità prob I ciò significa che; E I 0 (D) (1+iI ) 1 = P = E 0 (D) (1+i) 1 + L (13) In generale la base tecnica del I ordine non è unica. Il tasso di interesse del I ordine i I, tasso tecnico, è solitamente non negativo e minore-uguale del tasso di mercato i. La distribuzione di probabilità prob I assegna probabilità maggiori di prob al verificarsi del danno D. La base tecnica del I ordine viene anche detta base tecnica prudenziale.

48 Basi tecniche del I ordine cont... Se si indica con E I l aspettativa calcolata con la misura di probabilità prob I ciò significa che; E I 0 (D) (1+iI ) 1 = P = E 0 (D) (1+i) 1 + L (13) In generale la base tecnica del I ordine non è unica. Il tasso di interesse del I ordine i I, tasso tecnico, è solitamente non negativo e minore-uguale del tasso di mercato i. La distribuzione di probabilità prob I assegna probabilità maggiori di prob al verificarsi del danno D. La base tecnica del I ordine viene anche detta base tecnica prudenziale.

49 Basi tecniche del I ordine cont... Se si indica con E I l aspettativa calcolata con la misura di probabilità prob I ciò significa che; E I 0 (D) (1+iI ) 1 = P = E 0 (D) (1+i) 1 + L (13) In generale la base tecnica del I ordine non è unica. Il tasso di interesse del I ordine i I, tasso tecnico, è solitamente non negativo e minore-uguale del tasso di mercato i. La distribuzione di probabilità prob I assegna probabilità maggiori di prob al verificarsi del danno D. La base tecnica del I ordine viene anche detta base tecnica prudenziale.

50 Basi tecniche del I ordine cont... Se si indica con E I l aspettativa calcolata con la misura di probabilità prob I ciò significa che; E I 0 (D) (1+iI ) 1 = P = E 0 (D) (1+i) 1 + L (13) In generale la base tecnica del I ordine non è unica. Il tasso di interesse del I ordine i I, tasso tecnico, è solitamente non negativo e minore-uguale del tasso di mercato i. La distribuzione di probabilità prob I assegna probabilità maggiori di prob al verificarsi del danno D. La base tecnica del I ordine viene anche detta base tecnica prudenziale.

51 Esercizio 3 Si assuma che il danno D possa assumere una sola determinazione positiva d > 0 con probabilità p > 0 e che sarà quindi nullo con probabilità (1 p). Si assuma che la funzione dell assicuratore sia di tipo esponenziale: u(x) = e rx con r > 0. Si trovi il caricamento di sicurezza e il il tasso di caricamento. Soluzione 3 Abbiamo trovato nell esercizio 2 che il P puro = e che il P equo = Possiamo quindi trovare il caricamento di sicurezza dato da: L = P puro P equo = = l tasso di caricamento è: l = L P puro = = %

52 Esercizio 3 Si assuma che il danno D possa assumere una sola determinazione positiva d > 0 con probabilità p > 0 e che sarà quindi nullo con probabilità (1 p). Si assuma che la funzione dell assicuratore sia di tipo esponenziale: u(x) = e rx con r > 0. Si trovi il caricamento di sicurezza e il il tasso di caricamento. Soluzione 3 Abbiamo trovato nell esercizio 2 che il P puro = e che il P equo = Possiamo quindi trovare il caricamento di sicurezza dato da: L = P puro P equo = = l tasso di caricamento è: l = L P puro = = %

53 Esercizio 3 Si assuma che il danno D possa assumere una sola determinazione positiva d > 0 con probabilità p > 0 e che sarà quindi nullo con probabilità (1 p). Si assuma che la funzione dell assicuratore sia di tipo esponenziale: u(x) = e rx con r > 0. Si trovi il caricamento di sicurezza e il il tasso di caricamento. Soluzione 3 Abbiamo trovato nell esercizio 2 che il P puro = e che il P equo = Possiamo quindi trovare il caricamento di sicurezza dato da: L = P puro P equo = = l tasso di caricamento è: l = L P puro = = %

54 Esercizio 3 Si assuma che il danno D possa assumere una sola determinazione positiva d > 0 con probabilità p > 0 e che sarà quindi nullo con probabilità (1 p). Si assuma che la funzione dell assicuratore sia di tipo esponenziale: u(x) = e rx con r > 0. Si trovi il caricamento di sicurezza e il il tasso di caricamento. Soluzione 3 Abbiamo trovato nell esercizio 2 che il P puro = e che il P equo = Possiamo quindi trovare il caricamento di sicurezza dato da: L = P puro P equo = = l tasso di caricamento è: l = L P puro = = %

55 Esercizio 3 Si assuma che il danno D possa assumere una sola determinazione positiva d > 0 con probabilità p > 0 e che sarà quindi nullo con probabilità (1 p). Si assuma che la funzione dell assicuratore sia di tipo esponenziale: u(x) = e rx con r > 0. Si trovi il caricamento di sicurezza e il il tasso di caricamento. Soluzione 3 Abbiamo trovato nell esercizio 2 che il P puro = e che il P equo = Possiamo quindi trovare il caricamento di sicurezza dato da: L = P puro P equo = = l tasso di caricamento è: l = L P puro = = %

56 Esercizio 4 Si assuma che il danno D possa assumere una sola determinazione positiva d > 0 con probabilità p > 0 e che sarà quindi nullo con probabilità (1 p). Si assuma che la funzione dell assicuratore sia di tipo esponenziale: u(x) = e rx con r > 0. Si trovi il p I se scegliamo come tasso tecnico i I = i. Soluzione 4 Abbiamo visto che la base tecnica di primo ordine, (prob I, i I ), è tale che il premio equo calcolato con la base tecnica di ordine I risulti uguale al premio puro. ciò significa che: P I equo = P puro p I d (1+i I ) 1 = p I = (1+i) d p I = (1+0.05) 100 = %. (14)

57 Esercizio 4 Si assuma che il danno D possa assumere una sola determinazione positiva d > 0 con probabilità p > 0 e che sarà quindi nullo con probabilità (1 p). Si assuma che la funzione dell assicuratore sia di tipo esponenziale: u(x) = e rx con r > 0. Si trovi il p I se scegliamo come tasso tecnico i I = i. Soluzione 4 Abbiamo visto che la base tecnica di primo ordine, (prob I, i I ), è tale che il premio equo calcolato con la base tecnica di ordine I risulti uguale al premio puro. ciò significa che: P I equo = P puro p I d (1+i I ) 1 = p I = (1+i) d p I = (1+0.05) 100 = %. (14)

58 Esercizio 4 Si assuma che il danno D possa assumere una sola determinazione positiva d > 0 con probabilità p > 0 e che sarà quindi nullo con probabilità (1 p). Si assuma che la funzione dell assicuratore sia di tipo esponenziale: u(x) = e rx con r > 0. Si trovi il p I se scegliamo come tasso tecnico i I = i. Soluzione 4 Abbiamo visto che la base tecnica di primo ordine, (prob I, i I ), è tale che il premio equo calcolato con la base tecnica di ordine I risulti uguale al premio puro. ciò significa che: P I equo = P puro p I d (1+i I ) 1 = p I = (1+i) d p I = (1+0.05) 100 = %. (14)

59 Esercizio 4 Si assuma che il danno D possa assumere una sola determinazione positiva d > 0 con probabilità p > 0 e che sarà quindi nullo con probabilità (1 p). Si assuma che la funzione dell assicuratore sia di tipo esponenziale: u(x) = e rx con r > 0. Si trovi il p I se scegliamo come tasso tecnico i I = i. Soluzione 4 Abbiamo visto che la base tecnica di primo ordine, (prob I, i I ), è tale che il premio equo calcolato con la base tecnica di ordine I risulti uguale al premio puro. ciò significa che: P I equo = P puro p I d (1+i I ) 1 = p I = (1+i) d p I = (1+0.05) 100 = %. (14)

60 Esercizio 4 Si assuma che il danno D possa assumere una sola determinazione positiva d > 0 con probabilità p > 0 e che sarà quindi nullo con probabilità (1 p). Si assuma che la funzione dell assicuratore sia di tipo esponenziale: u(x) = e rx con r > 0. Si trovi il p I se scegliamo come tasso tecnico i I = i. Soluzione 4 Abbiamo visto che la base tecnica di primo ordine, (prob I, i I ), è tale che il premio equo calcolato con la base tecnica di ordine I risulti uguale al premio puro. ciò significa che: P I equo = P puro p I d (1+i I ) 1 = p I = (1+i) d p I = (1+0.05) 100 = %. (14)

61 Esercizio 4 Si assuma che il danno D possa assumere una sola determinazione positiva d > 0 con probabilità p > 0 e che sarà quindi nullo con probabilità (1 p). Si assuma che la funzione dell assicuratore sia di tipo esponenziale: u(x) = e rx con r > 0. Si trovi il p I se scegliamo come tasso tecnico i I = i. Soluzione 4 Abbiamo visto che la base tecnica di primo ordine, (prob I, i I ), è tale che il premio equo calcolato con la base tecnica di ordine I risulti uguale al premio puro. ciò significa che: P I equo = P puro p I d (1+i I ) 1 = p I = (1+i) d p I = (1+0.05) 100 = %. (14)

62 Esercizio 4 Si assuma che il danno D possa assumere una sola determinazione positiva d > 0 con probabilità p > 0 e che sarà quindi nullo con probabilità (1 p). Si assuma che la funzione dell assicuratore sia di tipo esponenziale: u(x) = e rx con r > 0. Si trovi il p I se scegliamo come tasso tecnico i I = i. Soluzione 4 Abbiamo visto che la base tecnica di primo ordine, (prob I, i I ), è tale che il premio equo calcolato con la base tecnica di ordine I risulti uguale al premio puro. ciò significa che: P I equo = P puro p I d (1+i I ) 1 = p I = (1+i) d p I = (1+0.05) 100 = %. (14)

63 In questo caso la base tecnica di I ordine è (prob I, i I ) = (5.2448%, 5%), mentre la base vera è (prob, i) = (5%, 5%).

64 For Further Reading I C.PACATI, Appunti IMAAV (disponibile in.pdf sul sito web dell insegnamento)

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