v 1 Siccome si è in presenza di una macchina assiale la velocità u sarà una costante e quindi si avrà: 2 2

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1 Lezione nmero 0 4 Maggio 000 Trbina semplice assiale ad azione. Palettatra simmetrica. Palettatra asimmetrica. Stadio semplice a reazione. Trbina semplice assiale ad azione. Si faccia inizialmente riferimento ad na trbina semplice (cioè ad n solo stadio) assiale (cioè a diametro medio costante) con fnzionamento ad azione (oero con grado di reazione nllo) come qella mostrata in figra. 0 0 p 0 0 p p α β w Is Is s Figra Figra Figra 3 Siccome la trbina a n fnzionamento ad azione, la pressione p e la pressione p saranno coincidenti e qindi, ipotizzando n fnzionamento ideale della maccina, sarà possibile fare riferimento al grafico di figra. Oiamente il fnzionamento ideale presppone ce non ci sia energia cinetica da recperare (si è dnqe minimizzata l nica perdita) e qindi il coefficiente φ E sarà nllo. Facendo ora riferimento alla palettatra fissa mostrata in figra 3 si pò notare come arrà la segente relazione: w w Siccome si è in presenza di na maccina assiale la elocità sarà na costante e qindi si arà: w w Siccome poi i pnti e sono coincidenti rimarrà: w w da ci: w w Palettatra simmetrica. Si imponga ora ce la componente assiale della elocità sia costante e qindi ce le proiezioni assiali delle elocità in gioco soddisfino alla segente condizione: a a w a wa Ttte qeste condizioni portano ad affermare ce la palettatra è simmetrica, oero ce sia: β π β () Siccome la elocità è stata scelta arbitrariamente (e dnqe arbitrariamente è stato scelto l angolo α ) ci si ritroa ad aere qattro condizioni (il grado di reazione nllo, la elocità costante, la relazione () e l angolo α ). L ottimizzazione sarà la qinta condizione; si sfrtti dnqe la definizione di rendimento, secondo la qale: η doe oiamente sarà: L ( ) () Nel caso di palettatra simmetrica si pò facilmente dimostrare come sia: Sostitendo nella relazione () si ricaa allora: L L Max 7

2 L Il laoro massimo, relatio al caso ideale, è inece: ( ) L Max e qindi l espressione del rendimento assme la segente forma: ( ) η Stadio 4 cos α Siccome dnqe il rendimento si annlla nelle de segenti condizioni: 0 è facile immaginare, come mostrato nella figra 4, ce il massimo rendimento si arà per: η η Max 0 w Figra 4 Figra 5 Tale espressione pò ance essere riscritta nel modo segente: dalla qale si ricaa ce più piccolo è il coseno dell angolo α e maggiore è la elocità e qindi il laoro; oiamente però, siccome la portata dipende dal seno dell angolo α, è sempre necessario mantenersi in n pnto di ottimo. Dal pnto di ista dei triangoli delle elocità si arà ce la massimizzazione del rendimento sarà in corrispondenza con la segente relazione: a e qindi si aranno dei triangoli delle elocità come qello mostrato in figra 5. La sitazione di palettatra simmetrica ce si sta esaminando presenta il grosso antaggio di mantenere costante l altezza delle palette (antaggio non indifferente dato l alto costo di laorazione delle palette); come ciò sia possibile è comprensibile facendo riferimento alla segente eqazione di continità: GV υ aπdmlξ doe D m è il diametro medio mentre ξ è n coefficiente di ingombro. Siccome i termini G V, υ, υ, a, a, D m e ξ sono ttti gali l altezza della pala in ingresso sarà gale all altezza della pala in scita, oero: l l w Palettatra asimmetrica. Nella sitazione di palettatra simmetrica analizzata in precedenza si aea a a Nella realtà si a inece ce: 73

3 a K a Se ttte le altre condizioni ce abbiamo citato rimangono alide possiamo galmente costrire il triangolo delle elocità ottimali, ce sarà però simile a qello mostrato in figra 6. w w Figra 6 Si parla dnqe di palettatra asimmetrica. In qesta sitazione il rendimento (oero il rapporto tra l energia cinetica tilizzata e l energia cinetica disponibile) sarà il segente: η in qanto l energia cinetica tilizzata pò essere espressa come la differenza tra l energia disponibile e qella perdta allo scarico. Essendo poi: a Ka Ksinα si ottiene: η K sin α [ ( cos α tg α K )] Il rendimento è dnqe maggiore rispetto a qello della palettatra simmetrica. Esprimendo ora il rendimento come rapporto tra il laoro reale e qello ideale massimo si ottiene, nel caso della palettatra non simmetrica: η Ugagliando le ltime de espressioni del rendimento si ricaa il rapporto caratteristico relatio all ottimizzazione del rendimento: Ott [ tg ( K )] α Nel caso delle palettatre asimmetrice le altezze di pala non sono costanti ed inoltre si migliora si il rendimento ma si diminiscono i salti entalpici smaltiti. Stadio semplice a reazione. Si faccia ora riferimento ad no stadio assiale con grado di reazione dierso da zero: ciò significa ce nella girante si accelererà la ena flida relatia e qindi, sl grafico del diagramma (,s) i pnti e non saranno più coincidenti. Considerando allora na sitazione ideale si arà qanto mostrato in figra 7 (è significatio ricordare ce, siccome il pnto Is e il pnto Is non coincidono, la densità del flido sarà in tali pnti differente). p0 p Is p Is s Figra 7 Si contini a mantenere assiale lo scarico, in modo da minimizzare le perdite; rimane allora sempre alida la relazione secondo la qale: 74

4 a Facendo riferimento alla figra 8 si pò notare ce, qando il grado di reazione è non nllo non c è più simmetria tra le elocità w e w. w w Figra 8 Si nota inoltre come sia: w w sin α Si arà allora, sottraendo membro a membro le ltime de relazioni scritte: w w sin α cos α Dalla definizione di grado di reazione applicata a qesta sitazione si dedce come sia: χ w w χ e qindi, gagliando i secondi membri delle ltime de relazioni scritte: χ cos α χ dalla qale si ricaa, diidendo per il qadrato della elocità : χ χ Ott Si nota allora ce qando il grado di reazione si annlla si ritorna nella sitazione analizzata in precedenza. 75

5 Lezione nmero 5 Maggio 000 Stadio semplice a reazione. Triangoli simmetrici. Comportamento reale di na trbina a apore. Perdite flidodinamice nei condotti fissi e mobili. Stadio semplice a reazione. Il rendimento di no stadio con grado di reazione non nllo sarà: Le η Max ( χ ) ( χ ) cos α χ LId Ott χ Il rendimento troato è dnqe maggiore rispetto a qello troato sfrttando no stadio ad azione e si pò qindi affermare ce, all amentare del grado di reazione, amenta ance il rendimento. Il roescio della medaglia consiste nel fatto ce, all amentare del grado di reazione i salti entalpici diminiscono. Triangoli simmetrici. Si fissi ora n grado di reazione non nllo e l angolo α e si imponga ancora ce sia: a a Si esamina ora il caso dei triangoli delle elocità simmetrici, come qello di figra (è n caso dierso da qello analizzato in precedenza nel qale si tilizzaa na palettatra simmetrica). w w w w Figra Figra Un triangolo simmetrico ottimizzato (nel qale dnqe l scita sia considerata l nica perdita) sarà allora qello mostrato in figra. In qesta sitazione il laoro eleriano potrà essere espresso nel modo segente: L e ( ) Essendo poi però: w cos β e ance: w cos β si pò riscriere l espressione del laoro nel modo segente: L e ( ) Il laoro massimo è inece: w w L Max Osserando però come sia: w e ance: w si ottiene, combinando le ltime de relazioni scritte: w w e qindi il laoro massimo dienta: L Max Il rendimento sarà dnqe esprimibile nel modo segente: 76

6 L η L e Max e il so andamento è graficato in figra 3. ( ) η η Max In qesto caso si arà dnqe: 0 Ott Figra 3 Usando qesto alore del rapporto di forma il rendimento massimo sarà il segente: cos α ηmax cos α Il grado di reazione ottimale sarà inece il segente: w w cos α χ Ott w w cos α Comportamento reale di na trbina a apore. Siccome, come si è isto, le trbine a reazione anno maggiori rendimenti ma salti entalpici smaltiti inferiori, le trbine reali sono solitamente realizzate sfrttando diersi stadi differenti per aere n bon rendimento e per poter contemporaneamente smaltire boni salti entalpici con poci stadi (in qanto maggiore è il nmero degli stadi e maggiore è il costo dell impianto); na configrazione freqentemente tilizzata preede per esempio na serie di stadi a reazione precedti da n singolo stadio ad azione. Con configrazioni di qesto tipo la maccina passa da alte pressioni a basse pressioni, solitamente in dierse zone delle qali alcne in sorapressione ed altre in depressione, per qanto bone siano le tente bisogna fare dnqe riferimento alle perdite per fge erso l esterno (nelle zona ad alta pressione) oppre ai trafilamenti di aria (nelle zone di bassa pressione, ce portano incondensabili il ci effetto dannoso è già stato precisato in precedenza). Altre perdite sono dote agli effetti di attrito dei disci rotanti con il apore e, infine, le perdite per effetto entilante. Perdite flidodinamice nei condotti fissi e mobili. Fino ad ora l nica perdita ce era stata considerata era qella rappresentata dallo scarico dell energia cinetica; oltre a qelle citate in precedenza, altre perdite ce si deono considerare sono le perdite di carattere flidodinamico dote alla forma e alla largezza del canale, alla laorazione delle sperfici, a condizioni di moto trbolento, di sper o sb sonicità, alla largezza del canale formato dalle palette, etc Bisogna inoltre tener conto del fatto ce fino ad ora si è tilizzata l approssimazione monodimensionale nella qale si spponea ce ttti i filetti flidi aessero, in na data sezione, la medesima elocità; in realtà è noto ce bisogna parlare di n profilo delle elocità. In scita dalla palettatra statorica, per esempio, si forma n profilo di elocità come qello mostrato in figra 4. 77

7 Figra 4 Figra 5 Figra 6 Dal pnto di ista della palettatra rotorica, dnqe, la ena flida iene affrontata con dierse elocità relatie (in qanto la elocità rimane costante mentre cambiano le elocità assolte). Spostando la girante ed allontanandola leggermente dalla palettatra statorica si da il tempo ai filetti flidi lenti di rallentare qelli eloci e ai filetti flidi eloci di accelerare qelli lenti; dopo na certa distanza, dnqe, inece di n profilo come qello di figra 5, si ossererà n profilo come qello di figra 6. Bisogna allora troare n pnto di ottimo in modo ce la girante sia abbastanza lontana dalla palettatra statorica in modo ce le perdite rendano il più niforme possibile il profilo di elocità (oiamente non bisogna stare troppo lontani). Ttte le arie perdite flidodinamice engono riassnte nei de coefficienti ϕ e ψ. Ci si sofferma dnqe sll andamento reale delle arie trasformazioni e si fa dnqe riferimento, a qesto scopo, alla figra 7. H 0 p 0 p 0 p p Is Is p B Is s Is s s Figra 7 Figra 8 Figra 9 Si definisce il parametro correttio ϕ come sege: ( H ) 0 ϕ Is ( H 0 Is ) Dnqe il salto entalpico relatio al distribtore sarà il segente: Is Is ϕ Facendo inece riferimento al grafico di figra 8 si pò introdrre il parametro correttio ψ così definito: w ψ w* Il salto entalpico doto alla girante sarà dnqe il segente: w Gir * ψ Il salto entalpico doto all intero stadio è inece il segente: Is Stadio Le perdite complessie dello stadio sono minori rispetto alla somma delle perdite dote al distribtore e alla girante; facendo infatti riferimento alla generica figra 9 e ricordando la segente relazione: d Tds υdp si possono considerare le segenti de relazioni legate, rispettiamente, al caso reale e al caso ideale: 78

8 Combinando qeste de relazioni si ottiene: B B Is B Is B A B A A B A Tds Tds Is B i A υ i Is dp Is B υdp A B Is ( υ υ ) Siccome nell ltimo integrale del secondo membro dell ltima relazione scritta c è n termine positio (la differenza tra i olmi massici) e n termine negatio (la ariazione infinitesima di pressione), si pò parlare di n effetto di recpero. Nel grafico di figra 0 è mostrato l andamento del parametro ϕ in fnzione del nmero di Mac (in rosso si ede l andamento legato al caso in ci ci siano tbatre solo conergenti mentre in azzrro è indicato l andamento legato al caso in ci si sia in presenza di tbatre conergenti e diergenti); da tale grafico si eince ce non coniene realizzare n gello espansore ce porti a condizioni altamente spersonice percé al di fori delle condizioni di progetto si anno maggiori perdite (a casa del picco). A dp ϕ ψ 0,5,4 M Figra 0 Figra In figra si ede inece l andamento del parametro ψ con il ariare della differenza tra i de rapporti di compressione, oero con il ariare del termine β definito nel modo segente: β β β β 79

9 Lezione nmero 0 Maggio 000 Fge interne. Perdite per attrito si disci ed effetto entilante. Fge interne. Un motio non indifferente di perdita è qello legato alle fge interne: a casa della presenza degli ineitabili gioci radiali, si anno porzioni di flido ce non segono all interno della trbina il cammino fino ad ora spposto, ma bypassano le sciere di palette. È possibile scematizzare il fenomeno nei segenti termini: si spponga l esistenza di tre correnti, ce non si mescolano, come mostrato in figra. p p p3 3 Figra La corrente by-passa, attraerso il gioco radiale, la sciera di palette della girante; la corrente percorre il cammino regolare; la corrente 3 by-passa attraerso il gioco radiale la sciera delle palette fisse. La corrente, laminandosi all estremità del rotore, non prodce alcn effetto tile. La corrente prodce il laoro tile. La corrente 3 passa attraerso le pale del rotore, ma non si comporta però come la corrente, in qanto non è stata deiata dal distribtore; non algono qindi per essa i conti effettati con l andamento spposto delle elocità. Prdenzialmente si pò ritenere nllo l apporto di potenza fornito ance da qesta corrente. Tale ragionamento di larga massima porta qindi alla definizione di n rendimento olmetrico, inteso come rapporto fra la portata ce compie laoro tile (corrente ) e la portata totale (corrente data dalla somma 3). Si pò ritenere qindi alida na espressione del rendimento olmetrico η V del tipo: l l3 η V l doe l ed l 3 sono i gioci radiali medi ed l l altezza della paletta. Tale espressione a n significato limitato, percé il regime delle elocità è dierso nella corrente principale rispetto alle correnti secondarie laminate e d altra parte ttta la scematizzazione fatta è arbitraria e semplificatia in qanto il fenomeno è estremamente più complesso e la presenza di ortici e rimescolamenti delle correnti ne rende difficile na esatta altazione. Perdite per attrito si disci ed effetto entilante. Per qanto rigarda le perdite dote all attrito si disci si ossera ce la presenza di sperfici mobili affacciate alle pareti fisse della cassa genera all interno di qeste intercapedini moti passii del apore, ce si tradcono con n assorbimento di potenza, a spese del laoro comnicato al rotore dal apore ce è elaborato dalle pale. Qesta perdita è particolarmente sentita nelle trbine in ci le pale sono portate da disci, sitazione ce si erifica comnemente nelle trbine a reazione. La perdita di potenza generata dal moto di n corpo in n mezzo resistente è data dal prodotto della forza resistente per la elocità relatia del corpo.la forza resistente ci è sottoposto n mezzo è a sa olta, in prima approssimazione, proporzionale al qadrato delle elocità (nel caso in qestione la elocità periferica ), alla sperficie bagnata, alla densità del mezzo (nel caso in qestione del apore). Un lteriore effetto di perdita è l effetto entilante. Nelle giranti parzializzate, na parte della corona palettata non è interessata dalla corrente attia del flido, ma è immersa nel apore ce riempie l ambiente. E eidente ce qesto porta ad na dissipazione di energia, poicé qesta parte di girante comnica al flido na certa prealenza, ce non iene sfrttata. La potenza consmata sarà qindi data dal prodotto della portata massica del flido elaborato, per la prealenza somministrata. La portata si pò ritenere proporzionale alla elocità del flido ed all area di passaggio e mentre la prealenza si pò ritenere proporzionale al qadrato delle elocità, la elocità del flido pò ance riportarsi alla elocità periferica della girante essendo ad essa proporzionale. L area di passaggio del flido ale πdl, assimilando la corona circolare ad n rettangolo e spponendo ce l intera corona circolare sia attraersata dal flido. Ma, ance se il apore attraersasse l intera corona circolare, occorre tener conto dello spessore delle palette ce ridcono la sezione libera di passaggio e qindi bisogna introdrre n coefficiente ξ ce pò essere altato con la relazione: πdl zsl ξ Dl π 80

10 essendo z il nmero di palette, s lo spessore dell imbocco delle palette, l l altezza delle palette e D il diametro della girante. Però non ttta la corona circolare è attraersata dal apore, ma solo n settore di essa, in qanto la trbina a n grado di parzializzazione ε. Il grado di parzializzazione ε è definito come il rapporto fra l area di possibile efflsso non tilizzata e l area totale disponibile (per ε nllo la girante è completamente attraersata dal flido attio, per ε nitario la girante non smaltisce alcna portata) e qindi l area di passaggio effettia sarà (-ε)πdl. Sia la potenza persa per attrito si disci ce la potenza persa per effetto entilante si degradano necessariamente in calore, generato all interno del flido. Se si ritiene ce l espansione del apore in trbina sia adiabatica, il risltato di tali perdite è n innalzamento del liello termico finale della trasformazione. 8

11 Lezione nmero 3 Maggio 000 Effetti della separazione del liqido. Fnzionamento reale di no stadio assiale ad azione. Fnzionamento di no stadio a reazione reale. Trbine assiali ad azione a salti mltipli. Trbine a salti di elocità. Effetti della separazione del liqido. Negli ltimi stadi di trbina a apore il flido si espande in na zona del diagramma di stato inferiore alla cra limite; si è qindi in presenza, in condizioni di eqilibrio, di n flido bifase. Se è lecito spporre ce le goccioline ce si formano drante l espansione abbiano la stessa elocità del apore in ci sono sospese nell istante in ci condensano, come si pò sccessiamente trattare il flsso come niforme? Il dierso regime ci è sottoposta l acqa rispetto al apore fa si ce le elocità del liqido siano minori delle elocità del apore. I rapporti fra le elocità sono natralmente ariabili di olta in olta e possono ariare da 0, a 0,7. In figra è riportato n esempio, in ci la elocità del condensato è metà della elocità del apore. L w V w L V wl L w V V Figra All ingresso del rotore, la composizione ettoriale fa sì ce la elocità relatia del condensato assma na direzione diersa da qella del apore, andando a sbattere contro il dorso della pala, con eidente effetto frenante. Una parte dell acqa aderirà al dorso della paletta, moendosi erso la periferia, a casa dell effetto centrifgo. Qesto casa na concentrazione di condensato erso l apice della paletta. Esso si diide in de direzioni: na parte è raccolta da caità e da scanalatre di raccolta dell acqa e sccessiamente scaricata. L altra parte passa, con il apore, attraerso il canale mobile, con na elocità relatia minore. L ingresso nello stadio sccessio aiene ancora na olta con direzione diersa per qanto sopra già descritto, con consegente rto e perdita di energia cinetica. In definitia, dal pnto di ista energetico, la presenza di goccioline non prooca solo na perdita di tipo proplsio, ma agisce con n azione frenante slle palette. L insieme di qesti aspetti prooca na diminzione di rendimento della trbina. Un altro aspetto dannoso della presenza del condensato è rappresentato dall azione erosia degli rti delle goccioline si bordi delle ltime rote di palette, talmente forte da riciedere la sostitzione delle palette dopo poci mesi. Un proedimento, costoso ma efficace, consiste nel depositare materiali drissimi si bordi d attacco delle palette, oe si a maggior concentrazione di condensato. Fnzionamento reale di no stadio assiale ad azione. Dopo aer ciarito alcni motii di perdita è possibile fare na descrizione più realistica del fnzionamento di no stadio assiale ad azione; considerando il fnzionamento reale di no stadio assiale ad azione, occorre tener conto delle perdite per attrito lngo i condotti, concentrate all imbocco, per effetto dei trafilamenti, per attrito si disci, per entilazione a casa delle parzializzazioni e per separazione del liqido. Come già accennato rislterebbe molto complesso tener conto di ttte qeste perdite in maniera rigorosa, per ci, slla scorta di dati sperimentali, si considera globalmente l effetto delle più significatie attraerso l introdzione dei coefficienti ridttii ϕ (per la palettatra fissa) e ψ (per qella mobile). Si è già isto come, nel caso di elocità nlle all ingresso del distribtore, ciò indca al calcolo di na elocità effettia di efflsso egale a: Id ϕ ϕ Is e qindi: 8

12 Is ϕ Nel caso in ci la elocità di ingresso nel distribtore sia diersa da zero, il principio di conserazione dell energia permette di scriere ce: 0 ϕ Is 0 Per la palettatra mobile, l introdzione del coefficiente di attrito ψ porta a scriere: w ψw Nel caso di palettatra simmetrica, mantenendo la direzione di w simmetrica a qella di w, i triangoli delle elocità assmeranno l aspetto di figra. η η Max β β π β w w ( )ψ 0 Figra Figra 3 Il laoro eleriano cedto dal flido sarà dnqe: L ( ) [ ψ ( ) ] ( ψ )( ) Il rendimento termodinamico egaglia, sotto le ipotesi fatte, il rapporto fra il laoro e l energia disponibile, data dal salto entalpico isoentropico dello stadio, ce ale: In definitia: L η Is Is ( ψ )( ) ϕ ϕ ϕ ( ψ ) Qando sia: ϕ ψ oero qando siamo in condizioni di fnzionamento ideale, l espressione troata per il rendimento torna ad essere qella ista in precedenza e ricaata da na palettatra simmetrica ideale. Per ϕ e ψ minori dell nità (fnzionamento reale), ma costanti, l espressione troata per il rendimento rappresenta ancora na parabola in fnzione del rapporto caratteristico /, la qale si annlla per gli stessi alori di tale rapporto incontrati nel caso ideale: 0 È dnqe possibile estrapolare noamente n andamento come qello mostrato in figra 3 facendo bene attenzione al fatto ce, però, nell interallo compreso fra qesti estremi il rendimento reale è inferiore a qello ideale del rapporto: η ψ ϕ ηid Ance il rendimento massimo sarà ottento ancora, data la simmetria della parabola, in corrispondenza di: 83

13 Ott e ale in qesto caso: ψ ηmax ϕ cos α La condizione di massimo rendimento del rapporto caratteristico non coincide più però con qella di minimo per la elocità assolta di scarico; nel caso reale, infatti, l energia cinetica allo scarico non costitisce l nica perdita dello stadio, doendosi ad essa sommare la perdita di laoro eleriano dota alle arie dissipazioni precedentemente considerate. Infatti, a pari elocità, il rapporto / ce rende pari a a determina, rispetto il rapporto caratteristico ottimale, n amento delle elocità relatie e delle perdite ad esse connesse. Circa l inflenza dell angolo α sl rendimento massimo dello stadio e sl rapporto caratteristico ottimale algono, qalitatiamente, le stesse considerazioni fatte a proposito del comportamento ideale. Occorre aggingere, in qesto caso, ce piccoli alori di α infliscono negatiamente s ϕ, imponendo na maggiore deiazione nel distribtore. Poicé il rendimento è fnzione qadratica di ϕ, è sconsigliabile assmere alori di α inferiore ad n certo limite (circa 5 ). L andamento del rendimento reale in fnzione del rapporto caratteristico è qello mostrato in figra 3 per il ci grafico si è scelto n alore di ϕ e di ψ costante. In realtà entrambi qesti coefficienti non sono costanti ma crescono con il crescere del rapporto caratteristico. Infatti, a parità della elocità, dal rapporto caratteristico dipende la forma dei triangoli delle elocità (in particolare la deiazione del ettore elocità relatia) la ci inflenza sl coefficiente ψ è già stata precedentemente eidenziata. Fnzionamento di no stadio a reazione reale. Esaminando il comportamento di no stadio di na trbina a apore a reazione, si deono tener presente essenzialmente tre esigenze: ) elaborazione di n dato salto entalpico ) ottenimento del massimo rendimento possibile 3) smaltimento di na data portata massica I parametri s ci si pò operare sono molteplici, ma intimamente legati. Per qanto detto in precedenza, si pò spporre noto: a) il coefficiente ridttio delle elocità dello statore ϕ ce a sa olta dipende da α ; b) la legge ce lega il coefficiente ψ alla deiazione imposta dalla paletta del rotore; c) il coefficiente ce dà la perdita all imbocco del rotore; d) il grado di recpero effettato dall energia di scarico. Imponendo ce il rendimento dello stadio sia massimo, lo stadio rimane niocamente determinato dalle segenti caratteristice: l angolo α della elocità assolta all scita del distribtore con la elocità periferica; il rapporto K tra le componenti assiali delle elocità assolte all ingresso ed all scita della girante; il grado di reazione χ; il coefficiente φ R di ridzione dell energia cinetica all ingresso della girante. Il comportamento reale (inteso come non idealità della maccina) di no stadio (per i alori correnti dei coefficienti ϕ, ψ e φ R ) si riflette sl rendimento di na trbina con na inflenza molto più forte di qella casata dalla perdita dell energia cinetica di scarico. Esiste na noteole somiglianza fra de cre con φ E (coefficiente ce tiene conto del recpero di energia cinetica di scarica) diersi (0 oppre 0,95); qesto significa ce la scelta del grado di reazione ce realizzi il miglior rendimento è, entro certi limiti, indipendente dal fatto ce si tratti di no stadio intermedio o finale. Un amento del grado di reazione porta ad n incremento di rendimento ce però, oltre certi alori (χ 0,70) è abbastanza modesto. Si introdce adesso il coefficiente adimensionale K Is definito come rapporto fra il qadrato della elocità Is corrispondente ad n efflsso adiabatico fra le condizioni iniziali e la pressione finale: Is Is e il qadrato della elocità periferica. Qindi il coefficiente K Is ale: Is K Is Il coefficiente K Is è n indice del salto entalpico smaltito dallo stadio, per na elocità periferica fissata. L amento del grado di reazione χ (coincidente come detto con n amento del rendimento dello stadio) porta ad na diminzione di salto entalpico elaborato. Ance qesta considerazione ale sia per il caso in ci si recpera l energia cinetica di scarico, come è il caso di no stadio iniziale o intermedio (con φ E pari a 0,95) ce per il caso generale come è qello di no stadio singolo o dell ltimo stadio della trbina (per il qale φ E è nllo). Si introdce ance n coefficiente adimensionale, rapporto fra la elocità assiale a e la elocità periferica. Qesto coefficiente ci dà n indice della 84

14 capacità dello stadio di smaltire la portata olmetrica, a pari sezione di passaggio ed a pari elocità periferica. Dall esame dell andamento di tale coefficiente in fnzione di del grado di reazione χ rislta ce no stadio ad azione elabora più portata olmetrica di no a reazione. Qanto sopra è però relatio alla portata olmetrica ma non è alido per la portata massica, percé la ariazione dei olmi specifici è diersa, e precisamente maggiore in no stadio ad azione ce, a pari elocità periferica, a n maggiore salto di pressione e qindi ance di olme specifico. Una altazione del laoro elaborato dallo stadio a reazione si pò aere ritenendo qesto proporzionale alla deiazione ce ricee il flsso fra entrata e scita dalla palettatra mobile. Infatti, considerando il laoro eleriano, tanto più piccoli sono i alori dell incidenza α e tanto maggiori sono le deiazioni β ma ance tanto maggiori sono i laori. Il diminire della deflessione determinato dall amento di χ porta da n lato ad na diminzione di laoro massico, dall altro ad n amento del coefficiente ψ, accompagnato da n incremento del rendimento. E opportno inoltre limitare le perdite per attrito nei condotti mobili e ciò significa cercare dei alori ottimi della elocità relatia compatibilmente ance alle trasformazioni in energia cinetica del salto entalpico nel rotore. Trbine assiali ad azione a salti mltipli. Il salto entalpico elaborabile da na trbina semplice ad azione è limitato dall esigenza di realizzare l intera espansione, fino alla pressione di scarico, in n solo distribtore, noncé dal doer conertire l energia cinetica così prodotta in laoro tile s n'nica girante. Al crescere del rapporto di espansione della trbina le elocità in gioco dientano tali da creare considereoli problemi sia flidodinamici (ene spersonice con possibilità di distacci di ena ed onde d rto) sia costrttii (sollecitazioni centrifge). Inoltre, se n nica girante dee silppare l intera potenza della maccina, tale potenza troerà na limitazione nella resistenza meccanica della palettatra mobile stessa. Per sperare parzialmente tali limitazioni, si impiegano talolta trbini a salti mltipli di elocità (detta trbina Crtis) o salti mltipli di pressione. Trbine a salti di elocità. Nelle trbine a salti di elocità l intera espansione a ancora logo in n nico distribtore, ma l energia cinetica prodotta iene assorbita da na serie di giranti sccessie, intercalate da raddrizzatori. La ena flida all scita da ciascna girante, dotata di n energia cinetica resida sempre decrescente, iene opportnamente deiata da palettatre fisse e immessa slla girante sccessia. Un particolare di rota Crtis è qello mostrato in figra 4 nel qale sono rappresentati n diffsore, no statore e de giranti. D G S G Figra 4 85

15 Lezione nmero 4 8 Maggio 000 Trbine a salti di elocità. Trbina a salti di pressione. Configrazione generale delle trbine mltiple a apore. Trbine radiali. Trbine a salti di elocità. Una rota Crtis come qella presentata in conclsione della lezione precedente sarà caratterizzata dal triangolo delle elocità mostrato in figra. η η Max w w 3 4 w 3 w Figra Figra Il laoro sarà dnqe: L LG L ( ) ( ) G Data però la simmetria del triangolo delle elocità, dalla qale si ricaa per esempio ce: β π β si ottiene: w cos β w cos β e qindi il laoro della prima girante sarà: L G ( ) Ripetendo poi n discorso analogo ance per qanto rigarda il laoro della seconda girante si ottiene la segente espressione complessia del laoro: L z( z) doe z è il nmero degli stadi. Il laoro ideale sarà inece il segente: e qindi il rendimento sarà: η L LId z L Id ( z) 4z z L andamento del rendimento in fnzione del rapporto caratteristico è dnqe qello mostrato in figra dalla qale si ossera ce, mentre nello stadio ad azione con palettatra simmetrica il rapporto caratteristico ottimale era: Ott nel caso di na trbina a salti di elocità con de stadi si a inece: 4 Ott Dato il legame tra la elocità e il salto entalpico si arria dnqe a dedrre ce il secondo caso mi garantisce n salto entalpico qattro olte maggiore rispetto al primo caso. In figra 3 sono mostrati de grafici nei qali engono confrontati gli andamenti del rendimento nel caso di na trbina con stadio semplice (in rosso) e nel caso di na trbina con salto di elocità (in bl); nella zona eidenziata in giallo si anno salti entalpici maggiori per rapporti caratteristici inferiori. 86

16 η 0 Figra 3 Trbina a salti di pressione. Qando, dopo no stadio, c è n lteriore distribtore si configra na trbina a salti di pressione. Configrazione generale delle trbine mltiple a apore. Come è stato isto in precedenza, il rendimento delle maccine a reazione è minore di qello delle maccine ad azione; d altra parte è ance ero ce, nel caso delle maccine a reazione si possono tilizzare n nmero inferiore di stadi e qindi si pò risparmiare sl rendimento organico. Qale sia la sitazione preferibile iene oiamente deciso con n processo di ottimizzazione ragionata di caso in caso. È comnqe opportno spendere de parole sll ltimo stadio di na trbina: lo stadio a bassa pressione. Negli stadi a bassa pressione ci sono portate molto alte e qindi bisogna dimensionare strttralmente la maccina in maniera appropriata. Si ossera, inoltre, ce, detta l l altezza si pala e D 0 il diametro, negli stadi a bassa pressione il rapporto l/d o è pari a circa ¼ e, siccome le palette anno altezze di circa m, si perde la possibilità di tilizzare la trattazione monodimensionale; non ci saranno più, qindi, elocità del tipo e w ma si doranno gestire fnzioni del tipo (r) e w (r) doe r sia il raggio. Facendo riferimento alle pale riportate nel disegno di figra 4 (ce solitamente sono rastremate percé la base dee sopportare n carico speriore rispetto a qello della sommità), si ipotizza di trascrare, sia per qanto rigarda la sperficie ce per qanto rigarda la sperficie, la componente radiale delle elocità (così ce rimangano da considerare solo le componenti assiale e tangenziale); come si è detto non è più possibile parlare di trattazione monodimensionale e qindi si modellizzerà la sitazione prendendo n filetto flido per ogni qota e si stdierà il singolo filetto flido ce, a qesto pnto, pò essere considerato monodimensionale. D t Figra 4 Figra 5 Si sppone poi ce alga la legge del ortice libero secondo la qale l andamento delle elocità tangenziali a, in fnzione della elocità di trascinamento, l andamento mostrato in figra 5, dalla qale si dedce ce saranno alide de relazioni del tipo: t c t c doe c e c siano de costanti. Sostitendo qeste ltime de relazioni nell espressione del laoro è possibile ottenere la segente relazione: c c L ( t t ) ω r ω( c c ) r r Posto allora ce la elocità angolare sia costante si troa n laoro costante (ce dienta addirittra nllo qalora le de costanti c e c siano gali, nel qal caso le palette sarebbero piatte percé non inflenzerebbero la elocità del flido). Per qanto rigarda inece le componenti assiali delle elocità, si sppone ce sia: 87

17 oero, ricordando come fosse: si arà: dh dr H dh dr 0 costante d d dr dr e qindi: d d () dr dr Ricordando poi la relazione secondo la qale: Tds d υdp oero, tilizzando la densità inece ce il olme massico: dp Tds d ρ Si impone ora ce l entropia sia costante lngo la sezione e qindi ce: come consegenza si arà ance ce: e qindi ance ce: d dr ds dr Tds dr ρ Da qest ltima relazione scritta si ricaa: d dp dr ρ dr Combinando allora qest ltima relazione con la relazione () si ricaa: dp d ρ dr dr Per altare l eqilibrio di n singolo filetto flido si dee inece fare riferimento al grafico di figra dp dr 0 0 () r pdp dr r p dp dϕ t Figra 6 è dnqe possibile costrire la segente eqazione di bilancio: dϕ prdϕ ( p dp)( r dr) dϕ psin dr ( rρdϕdr) 0 È ora possibile fare na prima approssimazione e trascrare il seno dell angolo dϕ/ e sostitirlo con l angolo stesso, si ottiene così: t 88

18 t ( p dp)( r dr) dϕ pdϕdr ( rρdϕdr) 0 prdϕ dalla qale si ricaa: pr pr dpr pdr dpdr pdr ρ t dr 0 Trascrando il termine dpdr ce è n infinitesimo di ordine speriore, si ottiene: dpr ρ t dr 0 dalla qale si ricaa: dp t dr ρ r Combinando allora qest ltima con l eqazione () si ricaa: t d (3) r dr Essendo poi la elocità na grandezza ettoriale si pò considerare la relazione a r t ce, imponendo nlla la componente radiale, si ridce ad essere: a t Deriando allora rispetto ad r si otterrà: d da dt dr dr dr Combinando dnqe con la relazione (3) si ricaa, dopo alcne semplificazioni: d( t r) a 0 r dr dr Siccome però è: t r costante rimane a 0 dr dalla qale si ricaa ce la componente assiale della elocità del singolo filetto flido è na costante indipendentemente dalle sollecitazioni ce il filetto flido ricee dal flido ce gli sta attorno. Il discorso è stato fatto per la sezione ma pò ance essere ripetto per la sezione. Trbine radiali. Si analizzano ora le trbine radiali ce sono maccine nelle qali è presente n efflsso radiale (centrifgo o centripeto). Nelle maccine operatrici moersi in modo centripeto è coneniente: è possibile dimostrarlo partendo dalla solita relazione: 0 0 dalla qale si ricaa: 0 0 Valgono poi ance le de solite relazioni secondo le qali: H H Nel sistema di riferimento assolto si a dnqe: L 89

19 90 Nel sistema di riferimento relatio si a inece: w w dalla qale si ricaa: w w Proprio osserando l ltimo addendo del secondo membro di qest ltima relazione si comprende come sia tile moersi in erso centripeto.