turbine a vapore (capitolo vi) (a cura di Cavallaro, Paparo e Marrozza Corso 2002)

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1 trbine a vapore (capitolo vi) (a cra di Cavallaro, Paparo e Marrozza Corso 00) In qesto capitolo ci si occperà di valtare lo scambio di energia tra il flido motore e la trbina a vapore. Riprendendo l eqazione di bilancio: h c 0 0 = h + c + (6.) è facile notare che na diminzione di entalpia genera na accelerazione del flido che passa da na velocità c0 all ingresso dello statore ad na velocità c nella sezione di scita dello statore stesso. (vedi fig.) L energia prodotta dal salto entalpico deve essere raccolta sl rotore per garantire la generazione di lavoro.prima di iniziare a gestire qesto problema è tile fare n parallelo con le macchine volmetriche,ad esempio n sistema Pistone/Cilindro.(vedi fig.) Applicando la forza F avremo no spostamento elementare ds, vi sarà qindi lavoro δ L = Fds = pads = pdv (6.) dalla (6.) si evince che vi è n lavoro δl dovto ad na variazione di volme dv, il problema,però, è che nelle trbine non si ha na variazione di volme per ci qesta relazione non pò essere tilizzata.ragion per ci si ricorre all eqazione di bilancio della qantità di moto: r r r d r r F = ma = ( mc) = c dm + m dc (6.3) dt dt dt La (6.3) è n eqazione vettoriale. La qantità mc r prende il nome di qantità di moto. Qesta eqazione ci dice che se si riesce a variare la velocità del flido si generano delle forze, per ci se mettono in moto i condotti del rotore sarà possibile prelevare lavoro all asse. Per scrivere l eqazione di bilancio facciamo riferimento all elemento di trbina riportato nella figra segente:

2 F p Ω m c p m c Ω p Applicando la (6.3) si ha : d dt r r r mc = m& c m& c + (l insieme delle forze agenti sl sistema) ( ) Vediamo qali sono qeste forze:. Forze di sperfice : a)forze di pressione b)forze viscose (qeste si trascrano perché si fa na trattazione non viscosa ) Forze di pressione: p Ω è la forza che il flido esercita slla sperficie Ω p Ω è la forza che il flido esercita slla sperficie Ω r, l insieme di forze di pressione sperficiali che si esercitano sl flido F p dalle pareti.. Forze di massa : a)forze peso: mg r Con qeste precisazioni la (6.3) in termini più generali diventa: d dt r r r r r ( mc) = m& c m& c + p Ω p Ω + F + mg (6.4) p Nel caso di stazionarietà poiché si ha : d dt = 0 e m& = m& la (6.4) diventa: r r r Fp = m& ( c c) + ( pω pω ) (6.5). Nella (6.5) abbiamo trascrato il termine di forza peso mg r perché stiamo considerando flidi motori aeriformi. Il primo termine della (6.5) F r p rappresenta la forza esercitata dalle pareti sl flido ma, cambiando il segno,lo posso considerare come la forza che il flido esercita slle pareti. r r Il termine &m ( c c ) è la cosiddetta spinta dinamica, mentre il termine pω pω rappresenta la spinta statica. Qesto significa che è possibile generare delle forze sl condotto per spinta statica e/o dinamica, per ci il flido qando passa dallo statore al rotore scarica delle forze slle palettatre e ciò consente no scambio di lavoro.

3 Facciamo n esempio per vedere come mettere in pratica la relazione (6.5). A tal scopo consideriamo n aereo fermo s na pista e prendiamo il so motore riportato in figra: Spponiamo che siano valide le segenti condizioni: p Ω r c r c = p = atm = Ω = velocità dei gas in scita = 0 Da qanto detto la (6.5) divene: F I p = & mc (6.6) dalla relazione (6.6) si nota che è presente na forza esercitata sl motore dell aereo e dovta alla velocità dei gas di scarico c ;in qesto caso,però, non si prodce lavoro essendo fermo l aereo e di consegenza nllo lo spostamento. Ritornando all esempio delle trbine qesto è qello che accade nello statore dove,come si sa, non si prodce lavoro. Se si sppone,invece, che l aereo sia in movimento ad na velocità r nel verso delle X crescenti avrò delle modifiche nei parametri prima considerati. In qesto caso si condrrà l analisi prendendo come sistema di riferimento il motore stesso, per ci n osservatore posto sl motore vedrà i gas di ingresso moversi ad na velocità pari a r,che nel novo sistema di riferimento ( X I Y I ) chiameremo w r r r r,mentre li vedrà scire ad na velocità w = c (vedi figra).ttti gli altri parametri restano invariati. 3

4 Riscrivendo la (6.6) in termini di velocità relative (w) si ha: da ci: r r r r r r Fp = m(w & w ) = m& [ ( c )] (6.7) r F = m& p c Da qest ltima relazione si nota che la spinta dinamica non è cambiata,ma il lavoro non è più nllo nota la presenza di no spostamento. Il lavoro è pari a : (6.8) r r L = F s (6.9) p E possibile calcolare anche la potenza esplicata e vista da n osservatore che si trova nel sistema di coordinate assolto : r r Fp s r r r r P = = Fp = mc & (6.0) t Si identifica anche na sorta di rendimento η pari a : P η = (6.) Hi m& In qesta relazione con P si è indicata la potenza meccanica fornita ed individata dalla (6.0),mentre con m& la potenza termica fornita dalla combstione del propellente.si evince che tale rendimento H i è senza dbbio minore di no perché ho sicramente delle perdite dovte alla presenza della velocità,infatti solo se qesta non fosse presente avrei rendimento nitario. Qesta condizione è,però,difficile da applicare in qanto se c fosse nlla non avrei nemmeno potenza meccanica. Si intisce, qindi che per migliorare η bisogna minimizzare l energia cinetica dei gas di scita e qindi ridrre la c senza però annllarla. E importante ridrre qanto più possibile l energia cinetica dei gas di scarico visto che tale aliqota la perdiamo slla velocità dell asse. Vediamo cosa sccede nel caso di macchina radiale: c C C r C r Adesso più che la qantità di moto ci interessano i momenti delle qantità di moto, cioè coppie di forze. r Scomponiamo la c in figra, secondo le componenti tangente e radiale nel pnto di applicazione. Si hanno così rispettivamente c r e c r r. 4

5 La componente c r tende a far rotare, cioè è la componente che dà momento, viceversa la c r r tende a farci allontanare dall asse di macchina e qindi non dà momento rispetto all asse. Appare evidente che le niche componenti che danno momento sono qelle periferiche, le altre sono annllate dai vincoli del sistema. Da qi allora l eqazione di bilancio dei momenti della qantità di moto diventa: r r r M = m& ( rc r c ) + M p 0 (6.) r dove M p è il momento delle forze di pressione, ma poiché le forze di pressione sono dirette lngo il r raggio non danno momento, cioè M p = 0 e qindi la spinta statica non contribisce al momento. Nella (6.) abbiamo r e r con r r, viceversa, per na macchina assiale r = r. Calcoliamo la potenza: r r r r r P = M ω = m& ω (r c r c ) (6.3) r 0 portandoω all interno della parentesi ho: r r ω r = (velocità periferica della sezione ) (6.4) r r ω r = (velocità periferica della sezione ) (6.5) per ci la (6.6) diventa : r r r r P = m& c (6.6) ( ) c Se la macchina è assiale ho solo na velocità periferica r, come visto nell esempio dell aereo. Se dividiamo la (6.6) per la portata massica &m ottengo l espressione del lavoro: P r r r r l = = ( c c ) (6.7), m& dove l è il lavoro specifico. La (6.7) prende il nome di eqazione di Elero per le trbomacchine Per na macchina assiale( r = r ) la (6.7) diventa: r r r l = ( c c ) (6.8) Un esempio di macchina radiale è il compressore centrifgo. Dalla (6.7) si evince che lo scambio di lavoro per na macchina dinamica non dipende dal tipo di flido ma esclsivamente dalle pale della trbina che gli danno direzione e velocità. Il lavoro dipende inoltre in modo significativo dalla velocità periferica delle pale. La (6.7) è completamente differente dall espressione del lavoro per variazione di volme, infatti nella (6.) si nota che esso dipende esclsivamente da dv.si evince inoltre,sempre dalla (6.),che il lavoro è indipendente dal tempo infatti la variazione di volme sia che avvenga lentamente sia se celermente non comporta nessn incremento o decremento del lavoro.cosa che,invece, non accade nell eqazione di Elero per le trbomacchine visto che il lavoro dipende da na velocità periferica e qindi direttamente dal tempo.ragion per ci è preferibile amentare la r per garantire n lavoro maggiore;si vedrà in segito,però,che tale solzione è applicabile entro certi limiti in qanto a casa della resistenza meccanica delle pale la velocità periferica non pò amentare a dismisra. r Stabilito che le pale rotano ad na velocità periferica il flido motore entrerà nel rotore con na velocità diversa da qella di scita dallo statore.tale velocità già indicata con w r (velocità relativa ad n sistema di riferimento solidale al rotore) rislta la composizione vettoriale della velocità di scita del flido dallo statore c r e della velocità periferica con ci si move il rotore r. 5

6 La w r è possibile ricavarla dal triangolo delle velocità come fatto in figra: c α La figra precedente è estremamente tile oltre che per la determinazione della velocità di ingresso del flido nel rotore,anche per stabilire il profilo delle pale. Infatti siccome il flido inciderà slla palettatra rotorica con na velocità avente modlo, direzione e verso pari a qello di w r è importante che la forma delle pale sia tale da sottrarsi a brsche deviazioni del flido per evitare perdite per attrito e incremento di entropia.per tal motivo è indispensabile che il profilo delle pale nella sezione di ingresso del rotore sia tangente al vettore w r.vedi la figra sottostante: w Stabilita la forma delle pale in ingresso del rotore non ci resta da fare altro che definirla nella sezione di scita,per farlo dobbiamo ricavarci i vettori c r, r, w r ;qeste velocità posso sia essere indipendenti che dipendenti da qelle viste in ingresso.logicamente la solzione migliore per individarle è qella di stabilire n vincolo di dipendenza in modo da semplificarne il calcolo. Il vincolo lo si trova nella relazione del lavoro espressa dalla (6.8),qest ltima è dipendente,però, solo r da e c r,bisogna qindi cercare di introdrre anche il vettore w r. A tale scopo si ripropone il triangolo delle velocità come in figra: Applicando il teorema di Carnot si ha: w = + c c cosα (6.9). r Se ora scomponiamo c r nella direzione di e in qella ad esso perpendicolare, come in figra si ha: w = + c c (6.0) da ci w + c c = (6.). 6

7 Estendendo le considerazioni fatte per il triangolo delle velocità d ingresso a qello delle velocità in scita si ottiene la relazione: w + + c c = (6.). Sostitendo la (6.) e la (6.) nella (6.8) si ha: c c w w l = + + (6.3). Con tale relazione abbiamo espresso il lavoro come somma di energia cinetiche. Vediamo i tre termini : a) c c qesto termine rappresenta la variazione dell energia cinetica assolta del flido nell attraversare il rotore, cioè l aliqota di energia trasferita dal flido alla macchina attribibile integralmente alla variazione della sa energia cinetica assolta. b) qesto termina rappresenta l aliqota di energia trasferita dal flido alla macchina per effetto del passaggio del flido da n raggio ad n altro, cioè per effetto della variazione della sa velocità tangenziale. c) w w qesto termine rappresenta l aliqota di energia cinetica dovta alla variazione della velocità relativa. Dei tre termini a), b) e c), il primo rappresenta la energia cedta dal flido alla macchina per effetto della sola variazione delle velocità assolte del flido, gli altri de rappresentano invece la variazione di energia potenziale attraverso il rotore. Riprendiamo la (6.3), possiamo avere L > 0 e in tal caso la macchina si dice motrice, oppre L < 0 e in tal caso la macchina si dice operatrice.il nostro obbiettivo è qello di costrire na macchina motrice,qindi per essere sicri di avere L > 0 bisogna che i tre termini della (6.3)siano ttti positivi. Ci chiediamo come bisogna costrire la trbina per avere L > 0 e qindi na macchina operatrice. Per avere > la macchina bisogna realizzarla centripeta (macchina motrice); viceversa sarà centrifga (macchina operatrice).[la macchina si dice centripeta qando il flido motore è diretto dall esterno verso l interno] Per avere c > c bisogna realizzare na decelerazione nel moto assolto.viceversa sarà na macchina operatrice Per avere w > w bisogna realizzare n accelerazione del moto relativo. Viceversa sarà na macchina operatrice Dalle considerazioni fatte si traggono le conclsioni s come debbano essere costrite le pale rotoriche,e come al solito si farà riferimento al triangolo delle velocità per individarne il profilo. 7

8 Triangolo delle velocità rotorico : il triangolo delle velocità rotorico ha la particolarità di avere la stessa altezza di qello statorico e qesto per garantire che la portata massica m& smaltita dallo statore sia pari a qella smaltita dal rotore;in modo da evitare da n lato ristagni di vapore nel rotore,nel caso in ci la sa portata sia inferiore a qella dello statore,e dall altro evitare di sr-dimensionare il rotore e costrirlo in modo che possa smaltire na qantità di vapore che lo statore non è in grado di far passare. E possibile realizzare qesta condizione giocando slle sezioni di passaggio, infatti indipendentemente da ciò che avvenga nei condotto rotorici è indispensabile che la sezione Ω (sezione di scita di n condotto statorico) sia pari alla sezione Ω (sezione di scita di n condotto rotorico). Si è precisato che qesta scelta viene fatta indipendentemente da ciò che avviene nel condotto rotorico infatti qest ltimo pò avere na qalsiasi forma geometrica e generare na accelerazione o decelerazione del flido, ma l importante è che venga rispettata la relazione Ω= Ω. In segito si vedrà che il condotto rotorico lo si costrirà o a sezione costante dando così logo ad na macchina ad azione,oppre semplicemente convergente nel caso di macchina a reazione. La condizione di pari altezza nei triangoli di velocità è gistificata anche dalla segente gaglianza: m& s = m& = ρ cx Ω (6.4) m& r = m& = ρ w x Ω (6.5) siccome : m & s = m& r (6.6) si ha: ρ cx Ω = ρ w x Ω (6.7) spposto che la densità ρ del flido motore resti costante e avendo posto Ω = Ω si ottiene: c x = w x (6.8) Qesta gaglianza mette in evidenza che le componenti lngo l asse X delle velocità responsabili dello scambio di portata rispettivamente tra statore e rotore dello stesso stadio e tra rotore e statore dello stadio sccessivo devono essere gali;ciò garantisce,dnqe, la stessa altezza per i triangoli di velocità.si tenga presente,però, che la (6.6) è valida a patto che si realizzino piccole espansioni e piccoli salti entalpici. Stabilito il triangolo in scita deve avere la stessa altezza di qello d ingresso vediamo come costrirlo. Tenendo presente la (6.3) vado ad agire sl termine w w [avendo spposto = = perché la macchina è assiale e dnqe le velocità periferiche le stesse] per rendere L>0. Affinché il lavoro sia maggiore di zero si deve costrire il vettore > w e ciò lo si pò fare w costrendolo sia a destra che a sinistra di. w c w c w c w se la costrzione viene fatta verso sinistra e cioè individando il vettore ottiene sì il termine w w w >0,ma c rislta maggiore di c rendendo il termine tratteggiato (vedi figra) si c c <0. 8

9 In tal caso allora avremo realizzato na accelerazione nel moto assolto con la possibilità di avere L < 0. Se viceversa consideriamo come velocità all scita w qella in rosso a destra di w allora avremo c > c, il lavoro sarà certamente positivo e si costrirà na macchina motrice come preposto. Logicamente non bisogna esagerare nel disporre w molto a destra di w in modo da evitare di incappare ancora nel caso di c >, ed in qesta eventalità stabilire se la differenza - w è maggiore della differenza c -c in modo da rendere L>0. c w Stabilito in linea di massima come dimensionare il triangolo delle velocità e qindi il vettore resta determinata anche la forma delle palettatre mobili che saranno tangenti a w in ingresso e a w in scita.inoltre avranno direzione opposta a qelle statoriche in modo da avere L > 0 perché in tal caso le forze che si esercitano s di esse hanno verso concorde con. w Se si fanno le pale come in figra il flsso ginge secondo la direzione della F, per ci si ha L > 0; viceversa se le si facessero simmetriche a qelle statoriche forza e spostamento sarebbero discordi. c w c w La condizione ragginta nella figra al lato non è qella ottimale infatti la cosa migliore sarebbe qella di rendere la c la più piccola possibile in modo che per la (6.8) il lavoro sia il più alto possibile.per qesto motivo devo cercare di rendere la c radiale e ciò lo si pò fare modificando la e la w e qindi agendo slla forma dei condotti. Costrzione dei condotti rotorici : Vediamo adesso come debbono essere fatti i condotti: T S La trasformazione 3 4 di figra la possiamo considerare n adiabatica reale, qindi possiamo I considerare 3 4 in logo della 3 4. In tal caso vale: L = H, qindi: L = c c w w c c + + = H H = h + ( h + ) (6.9) 9

10 Da ci si ricava che: con h entalpia statica., h h h = w w + (6.30) Dalla (6.30) sege che : h w w + = h + (6.3) La (6.3) è n eqazione analoga a qella scritta per lo statore per il qale vale: h + c = costante (6.3). w Ora se indichiamo con HR = h + l entalpia totale rotorica, allora dalla (6.3) sege che H R = H (6.33) R Nel caso assiale = per ci la (6.3) diventa: w w h + = h + (6.34). La (6.34) ci dà l idea dello statore (che è fermo) per il qale vale la (6.3). Se siamo solidali al rotore (ad esempio ci mettiamo s di esso) il rotore ci apparirà fermo; in tal caso la (6.3) e la (6.34) sono eqivalenti. Detto qesto, come dovrà essere fatto il condotto rotorico? Analogamente a qanto fatto per il condotto statorico nel qale bisognava far accelerare il flido per avere L > 0, anche nel condotto rotorico bisogna che sia w > w, qindi accelerare il flido nel moto relativo (che è qello che interessa visto che siamo sl rotore); qindi il condotto dovrà essere semplicemente convergente. Azione e reazione : Riprendiamo l eqazione del lavoro: c c w w L = + + (6.3) nella trbina ad azione per prodrre lavoro si tilizza solo il termine c c ; mentre nella trbina a reazione si tilizza sia il II che il III termine della (6.3). In figra n e sono raffigrate schematizzazioni,rispettivamente, delle macchine ad azione e a reazione pra.nella macchina a reazione pra si tilizza solo il III termine della (6.3). (si stdieranno solo macchine assiali qindi = ). Fig. n Fig. n 0

11 Grado di reazione : Il grado di reazione R è definito come il rapporto tra la variazione di entalpia smaltita nel rotore e il salto entalpico totale.per si ha: h h h R = (6.35) fig, n L eqazione di bilancio di energia per lo statore è: c0 c h0 + = h + = H (6.36) restano determinate le condizioni all ingresso, cioè restano determinate le condizioni termo-flidodinamiche ( p, T, V, c ) h C/ C0/ A L P0 C/ B fig. n P s Il pnto di fig.n rappresenta l scita dallo statore che dipende dalla palettatra. Indichiamo con: c HB = h + (6.37) la qantità HA H B rappresenta il lavoro che stiamo raccogliendo slla trbina. Il nostro scopo è qello di poter ridrre al massimo c r perché il segmento è fissato essendo fissate le condizioni iniziali; sicché se ridciamo c si ridce il segmento B e qindi amenta L. Indichiamo con L MAX = h il massimo salto entalpico che possiamo smaltire. Si definisce rendimento interno il rapporto tra l energia effettivamente trasferita dal flido alla macchina e qella corrispondente all intero salto entalpico a disposizione. Vale dnqe: η i = LMAX c h / c / = h (6.38) E opportno osservare dalla (6.38) che nel fnzionamento ideale dello stadio la perdita si ridrrà alla semplice energia cinetica allo scarico cioè c /.

12 Il rendimento η i non potrà mai essere gale a, anche spponendo nlli ttti gli attriti, dovendosi sempre attribire n valore finito e diverso da zero alla velocità di scarico c se si vole che il vapore abbandoni la rota. Ci resta da definire come è ripartito il h Se fissiamo il pnto in Fig., si ha : tra rotore e statore. h = ( h h ) + c / = h + c / ROT (6.39) c Il termine / della (6.39) rappresenta la variazione di entalpia che si converte in energia cinetica nello statore.si pò, dnqe, scrivere: h = h + h ROT STAT (6.40) Il pnto di fig. è variabile sl tratto 0- ma la sa corretta posizione è definibile a mezzo di n parametro : il grado di reazione R. h ROT h h R = = (6.4) * h h Ovviamente R pò assmere ttti i valori dell intervallo [0;] al variare dell aliqota di energia termica smaltita nel rotore : 0 R. I casi da esaminare sono tre : R=0 R= 0<R< Macchina ad azione (R=0 ) Se R=0 h ROT = 0 e dalla (6.4) che h = h. Cioè il pnto di fig. coincide con (fig.n 3). Se h = h vale anche dalla (6.34) che w = w per ci da qanto detto in precedenza abbiamo na macchina ad azione visto che si modifica solo il secondo termine della (6.3) h h* A C/ = macchina ad azione fig.n 3 s

13 Dalla figra si evince che h = c / (6.4) qindi per R=0 rislta che ttto il salto entalpico a disposizione nello stadio viene trasformato in energia cinetica. Rislterà dalla (6.4) che c = h (6.43) Macchina a reazione pra (R= ) Se il grado di reazione è : R= hstat = h h = 0 e dalla (6.36) si ha c = c = 0 cioè è come se lo statore non ci fosse proprio. h =A In qesto caso h h viene convertita ttta in energia meccanica del rotore. Qesta è la macchina a reazione pra (R=). s Macchina a reazione semplice ( 0<R<) In qesto caso il pnto di fig. si trova ìn n pnto intermedio del salto entalpico totale e di consegenza si avrà na conversione di energia termica parte nello statore e parte nel rotore. Palettatra rotorica per macchine ad AZIONE : Esaminiamo adesso il profilo che le pale rotoriche,nel caso di macchina ad azione,devono avere;qindi vediamo come devono essere costriti triangoli di velocità. Spporremo di analizzare na macchina assiale qindi varrà l gaglianza,di consegenza si avrà: = w w h h = w = w + hrot = w + R h (6.44) Poiché inoltre valgono la (6.4) riscritta come di segito e la (6.4) h R = h STAT (6.4) 3

14 rislta : c ) = /( R h (6.45) Fissati R e h resta fissato il modlo di c,e se fissiamo anche l angolo α allora resta individato il r vettore c, ovvero restano fissate le palettatre statoriche. fig.n Se il grado di reazione è nllo ( R = 0 ) dalla (6.4) si ha h = h e dalla (6.44) se ne dedce l gaglianza w = w. Da qest ltima gaglianza si evince che il modlo dei de vettori w deve essere lo stesso; ora,qando si va a costrire il triangolo delle velocità,e siccome qello rotorico e statorico devono avere la stessa altezza per i motivi già prima discssi,si presenta la possibilità di orientare il vettore w r in de modi diversi: ) perfettamente coincidente con w r. ) w r speclare rispetto a w r. Nel primo caso e cioè se i vettori fossero sovrapposti non ci sarebbe variazione di qantità di moto con inevitabile assenza di lavoro; ragion per ci l nico modo di rappresentarli e qello di far riferimento al caso (fig.) ; le pale rotoriche dovendo essere tangenti in ingresso e scita rispettivamente a w r ed a w r avranno il profilo come in fig.3. Fig.n Fig.n 3 Fig.n 4 Il vapore scirà qindi dal condotto fisso con velocità c ed investirà la palettatra mobile con velocità w.dalla palettatra mobile il vapore scirà con velocità w = w e per costrzione grafica sarà possibile ricavare c (fig.4). Il condotto tra le pale deve essere a sezione costante perché non vi è variazione di energia cinetica, nel senso che non vi è moto relativo essendo w = w. 4

15 Il flido non cambia stato termodinamico, cambia solo l energia cinetica nel moto assolto, qindi il lavoro sarà pari a : c c L = (6.46) e il rendimento di palettatra dalla (6.38) di segito riproposta è: η P c / = h (6.38) Per migliorare il rendimento dobbiamo minimizzare, dobbiamo fare in modo che c = cioè che c sia assiale ottenendo minima perdita per energia cinetica allo scarico. c c X Se amentiamo allora, come si vede dalla figra 4,si ha che c si approssima a c x. Per diminire lteriormente c si pò diminire l altezza del triangolo, ma così facendo diminisce anche c e qindi la portata; qindi se diminisce l altezza del triangolo amenta il rendimento ma diminisce la portata e con essa la potenza. Dal triangolo mostrato nelle figra al lato costrito segendo l ordine [ c (posto verticale) ; ; w ; w (per speclarità) ; ; c ] si nota che le condizioni di massimo rendimento (c verticale) si ottengono allora qando : x = c cosα (6.47) c w c w si vede anche come α inflenza il rendimento. Dalla (6.47) si ricava : c ottimale cosα = (6.48) fig.n 5 Dalla fig.5 si evince che fissato c per migliorare il rendimento bisogna schiacciare il triangolo delle velocità,cioè bisogna ridrre l angolo α.se α = 0 non passa più portata perché la c x velocità di smaltimento del vapore è nlla,se α,invece, è troppo piccolo la macchina riesce a smaltire il vapore,anche se con difficoltà, ma ha potenza limitata. Vi è n compromesso tra n bon rendimento e na bona potenza con α = 5 0. Da na considerazione più approfondita si evince anche che è indispensabile sddividere il salto entalpico totale in più parti. Infatti spposti fissati l angolo α ( α = 5 0 ) e la velocità periferica,che non pò sperare certi limiti per motivi di resistenza costrttiva, dalla (6.48) resta definita la velocità, che comnqe non è eccessiva,di c consegenza dalla relazione c = h non si * possono avere grossi h e qindi non esiste la possibilità di smaltire elevati salti entalpici in n nico stadio. 5

16 Lo stadio di n elemento ad azione progettato e fnzionante in condizioni di Max rendimento è qello di fig.6. Fig.n 6 Vediamo qal è l espressione del lavoro L nel caso assiale con = : L ( c c ) (6.49) = poiché in condizioni di massimo rendimento c sostitendo la (6.47) nella (6.50) si ha c X = allora c = (fig.5) rislta allora : 0 L = c = ccosα (6.50) L = (6.5). Vediamo il rendimento : L 4 cos η p = = = = 4 = cos α * (6.5) h c c 4 α Assmendo α = 5 η P = 088, ciò significa che perdo il 0 - % del h. Ora na cosa è perdere 0 - % dal salto totale, n altra cosa è perdere 0 - % di n salto parziale, cioè di na aliqota di h. Nel secondo caso ovviamente abbiamo perdite minori.qesto è n lteriore motivo per ci si fanno trbine mltistadio Se spezzettiamo il h in più parti perdiamo 0-% di ogni stadio, ma qesta perdita la possiamo recperare negli stadi sccessivi sicché le perdite totali sono relative solo all ltimo stadio dove non possiamo recperare più niente. Se facessimo ttto in n solo stadio avremmo velocità spersoniche qindi c = 800m/ s, ma seppre riscissimo a sperare qesto problema avremmo = 900 m/ s (dalla ); per motivi meccanici il rotore pò arrivare al più fino a 500/600 m/s. Ciò comporta grossi sforzi perché sono in gioco grosse forze centrifghe. Per qesti motivi la non deve sperare tali valori. Vediamo il rendimento η P in fnzione di c. Fissato c se scegliamo dalla = c cosα, logicamente fissato α intorno ai 5, resta determinato il triangolo delle velocità. Infatti ricavata la, per costrzione si determina la w ; c w c w w poi,trattandosi di macchina ad azione,la è speclare alla w,aggingendo la si determina la c.ricavato il triangolo vediamo cosa accade al variare di c. Per = 0 qindi per = 0 rislta cosα c =0 qindi W = c dalla (6.5) consege η P = 0. In qesto caso il triangolo delle velocità si modifica in qello della figra al lato C = w 6

17 in ci : c = w = w = c. Dalla (6.3),espressione generale del lavoro, si evince che L = 0 Se = c cosα allora il triangolo delle velocità è il segente: c = c w = w Infatti fissato c, rislta la metà della proiezione di c sll asse.il vettore w è qindi verticale e w gli è sovrapposto. Poiché c = c e w = w, non abbiamo variazione di energia cinetica, per ci L=0 ed ancora η P = 0. Per valori intermedi di c compresi nell intervallo α [0; cos ] il rendimento e il lavoro sono non nlli,in particolare si pò diagrammare l andamento di η P in fnzione di c. Se si vole lavorare con n rapporto pari a = cosα bisogna passare ad esaminare n altro c tipo di macchina. Si passa,dnqe, alle macchine a reazione. l cosα/ R=0 cosα /c Con = cosα il triangolo delle velocità è ad esempio: c c = c w = w In tal caso c c > 0 ma trattandosi di macchina a reazione w w anche > 0, e qindi si pò intervenire anche s qest altro termine per modificare i triangoli. Spponendo di scegliere na w > w,a parità di il triangolo delle velocità diviene: Poiché qesti termini sono gali, nell esempio fatto (vedi figra al lato), dobbiamo aspettarci n grado di reazione pari a R=0,5. Infatti con semplici passaggi si perviene in tal caso all espressione di : ( w w ) / = w R = L + c in ci semplificando si ha: ( c + w + c ) c w c w 7

18 R ( w w ) = = entrando nel triangolo delle velocità della figra sovrastante ho w w + c + c cos α R= + cos α α ); il valore R = 05 (R=0.5 solo per 0 triangoli di velocità come in figra. Fig.a w A a r c w R c w R a w A r, è l nico che permette, con le premesse fatte, di avere (6.53) Se confrontiamo i triangoli di velocità di macchine ad azione e a reazione spponendo di analizzare il ttto a parità di c (fig. a) avremo bisogno di na doppia ma otterremo n lavoro circa doppio,infatti si ha : c c L AZ = L REAZ c = w w c (nella seconda espressione i de rapporti sono gali tra loro). + Si perviene qindi al risltato : LREAZ = L AZ (6.54) Effettiamo il confronto tra stadio ad azione e a reazione a parità di velocità periferica perché bisogna mettersi sempre nelle condizioni di massima velocità periferiche compatibile con gli sforzi meccanici. Ora con R = 0,5 abbiamo dovto fissare na velocità periferica doppia rispetto al caso R = 0. Se invece ragioniamo a pari si ha dalla fig..b c 0 e qindi: = L = c α = = c cos (6.55) Confrontando la (6.55) con la (6.5) si ha, a parità di,: L REAZ = L AZ. (6.56) (Confronto si triangoli a parità di : * * c REAZ = c AZ hreaz haz ). 8

19 In termini di rendimento: η P = L h = c + w w = c + = c + = cos α = + cos α + cos α 443 è amentato n poco (6.57) Dalla relazione (6.57) si evince che se si progetta,nel caso di macchina a reazione, con n rapporto c pari a cosα si ha n rendimento maggiore,anche se di poco, rispetto al caso precedente. Ciò lo si pò notare anche dal grafico sottostante in ci vengono messi a confronto gli andamenti dei rendimenti in entrambe i tipi di macchine. ηl R=0.5 R=0 cosα/ cosα /c Rislta chiaro che sarà conveniente progettare n elemento di T.V.,assegnati n α ed n fissato grado di reazione R, in modo tale che il rapporto caratteristico sia qello che rende massimo il rendimento. A mezzo dell espressione segente : c (6.58) L h η = * P T si possono trarre le segenti conclsioni. Con no stadio ad azione si riesce a smaltire n grosso salto entalpico ma per contro si ottiene n rendimento basso.con no stadio a reazione,invece,si ha n salto entalpico più piccolo,ma n rendimento maggiore.il rendimento è azione reazione S 9

20 maggiore visto che sono presenti meno attriti grazie alle particolari forme delle pale ed inoltre perché,essendo le velocità delle macchine a reazione più piccole (vettori più corti),le perdite sono inferiori essendo qeste ltime proporzionali ad esse. Nella pratica, avendo fatto tesoro delle considerazioni fin qi fatte,na trbina a vapore viene costrita in modo che presenti n primo stadio ad azione che smaltisca n salto entalpico consistente,visto che si ha la necessità di diminire velocemente temperatra e pressione e ciò lo si fa anche a discapito del rendimento;e na serie di stadi a reazioni capaci di smaltire n salto entalpico inferiore ma in grado di recperare pnti sl rendimento perso nel primo stadio. Una trbina a più stadi ad azione è detta a salti di pressione Il rapporto caratteristico c derivata sia gale a zero: ovvero: che rende massimo il rendimento è qello per ci si verifica che la sa d d c ( ) η = 0 (6.59) P c cosα R = + ( R)cosα (6.60) Diagrammando c in fnzione di R si ha: /c Da qesta figra si evince che al crescere di R, cresce e al limite per R, c c Far crescere vol dire far diminire la c visto c R che la è limitata speriormente; ma far diminire la c vol dire diminire il salto entalpico.in definitiva qesto è n altro motivo che spinge i progettisti a concepire le trbine a vapore in modo che abbiano più stadi.r=0,5 è n bon valore di compromesso tra nmero di stadi e velocità c. Confrontando il grafico di con qello di η l si vede che al crescere di R, cresce più c c velocemente di η l. Vediamo adesso il salto entalpico h * sfrttabile in no stadio a T.V. nelle condizioni di massimo rendimento: tale h * è fnzione della velocità periferica e del grado di reazione R. Infatti poiché si verificano le condizioni di massimo rendimento deve essere : 0

21 e poiché allora cosα R = + c ( R)cosα c = ( R) h * h = ( R) cos * cosα α + R sen α h* Come si vede da qest ltima figra, h * diminisce rapidamente all amentare di R, e qindi all amentare di R da n lato migliora il rendimento ma dall altro amenta il nmero di stadi.qindi in generale R=0, R Qando si costrisce no stadio a reazione siccome ci sono delle variazioni di pressione tra ingresso e scita bisogna costrire il rotore in modo tale da contenere anche le spinte assiali. Stadi a salti di velocità : Oltre agli stadi ad azione e a reazione possiamo realizzare n altro tipo di stadio, qello a salti di velocità (sempre per macchine ad azione). Qesti vengono in genere tilizzati come primo stadio della trbina al posto di qello ad azione, poiché permettono salti entalpici più elevati di qelli degli stadi ad azione. Se volessimo amentare il salto entalpico h * in no stadio ad azione dovremmo amentare la velocità c, ma dal momento che la velocità è vincolata da limiti tecnologici, avremmo che il valore della velocità c non rislterebbe più essere qello ottimale. Possiamo pensare, allora, di disporre n secondo rotore che presenti la stessa velocità periferica del primo il qale riceverà in ingresso il vapore alla c, I velocità ed in scita ci darà il vapore alla velocità c e operando opportnamente possiamo fare in modo che tale velocità c sia ottimale (cioè sia verticale al triangolo delle velocità). In qesto,ii modo abbiamo n miglioramento del salto entalpico, avendo amentato c, e senza aver modificato la velocità periferica. Affinché na tale solzione sia realizzabile abbiamo che il secondo rotore I deve rotare nel verso opposto al precedente. Il triangolo delle velocità che otteniamo per qesto tipo di stadio è qello w I c,i disegnato, come si vede per n valore c II w II w w c I=cII II modesto di siamo risciti ad ottenere I - - na velocità c II di scita ottimale anche con n grande valore della., II c I Lo schema delle pale è qello disegnato, ma tale solzione presenta n inconveniente; infatti per far rotare il secondo rotore nel verso opposto dovremmo realizzare n secondo albero interno al primo, che roti nel senso opposto al precedente.

22 Il problema pò essere sperato disponendo tra i de rotori na strttra fissa detta deviatore fisso, il qale è n condotto a sezione costante il ci compito è qello di deviare la direzione del flsso di flido. In qesto modo il secondo rotore ha la possibilità di rotare nello stesso verso del primo, qindi i de rotori saranno calettati sllo stesso albero. Ovviamente è possibile realizzare no stadio a più salti di velocità, in modo da amentare lteriormente la velocità c e qindi h *, ma in tal modo amentano le dimensioni dello stadio e il nmero di anls, di consegenza amenterà l attrito e qindi scenderà il rendimento. Rislta qindi che il rendimento di no stadio a salti di velocità è più basso degli altri tipi di stadi.qesta solzione non viene realizzata nel fnzionamento reale a casa degli attriti sl deviatore.si sa solo per trbine compatte e per grossi salti entalpici. Svergolamento delle pale : La velocità periferica delle pale di n rotore non è gale per ttte le sezioni della pala, ma rislterà essere maggiore all esterno e minore in prossimità dell asse. Qindi il triangolo delle velocità, fissato l angolo α di incidenza tra i vettori c ed, rislterà variare a seconda della sezione presa in esame. Allora per le sezioni più lontane dall asse di rotazione del rotore avremo che il vettore rislta essere più lngo, consegentemente il vettore w, cambierà direzione. Sappiamo che il pnto di ingresso della pala deve essere tale che in ogni sezione il vettore w rislti essere tangente alla pala, qindi il profilo della pala deve variare in ogni sezione. Dobbiamo, allora, effettare no svergolamento della pala, cioè na rotazione della pala s sé stessa, in maniera tale che per ogni sa sezione sia rispettata la condizione di tangenza con w. Un tipo di svergolamento molto tilizzato è qello a vortice libero. In qesto caso svergoleremo la pala in modo tale che il lavoro scambiato tra flido e pala rislti essere costante al variare della sezione considerata, per evitare che ci siano diverse sollecitazioni slle diverse sezioni. L eqazione di Elero, nel caso di massimo rendimento del sistema (qindi c = 0 ), pò essere scritta come: L = c = ω rc, dove r è il raggio della generica sezione in esame. Abbiamo detto che nel caso di distribzione di velocità a vortice libero il lavoro deve essere costante per ogni sezione perché la velocità angolare ω sarà anch essa costante, allora rislta: rc = cost. (imporre qesta condizione vol dire realizzare no svergolamento a vortice libero) Da qesta relazione è noto il valore di c per ogni sezione e fissato α saremo in grado di determinare il triangolo delle velocità per ogni sezione e consegentemente il profilo della pala. Nell applicare tale solzione dobbiamo tenere presente che in ogni sezione il grado di reazione deve sempre essere maggiore o gale a zero, altrimenti in tale sezione il rotore opererebbe da compressore. Qindi oltre alla condizione sl lavoro (o altre simili) la pala deve essere tale da verificare sempre la condizione R 0. Comnqe lo svergolamento delle pale va realizzato solo per le pale delle trbine in bassa pressione dal momento che qeste presentano le dimensioni maggiori. Poiché le trbine di alta e media pressione hanno pale di lnghezza ridotta è intile ricorrere allo svergolamento anche per esse.

23 a) I triangoli di velocità devono avere ttti la stessa altezza b)di solito si fissa R al raggio medio e si ragiona di consegenza in modo da soddisfare la relazione rc = cos t. Si vede che al crescere r amenta R ma comnqe non si pò sperare R= e di ciò bisogna tenerne conto,qindi non sempre la rc = cost è soddisfabile. Espansione reale in no stadio Sino ad ora sono stati esaminati solo i casi in ci le espansioni sono considerate reali e qindi isoentropiche,ma nella realtà non è così infatti qalsiasi espansione si faccia è sempre accompagnata da prodzione di entropia. Fig.n Infatti dal grafico al lato si nota che partendo dal pnto di ristagno A (condizioni iniziali) si entra nello statore nel pnto O,dopo di che realizzo na prima espansione fino all isobara p.nel caso ideale (espansione isoentropica) ci si dovrebbe trovare nel pnto,ma siccome si sta spponendo na espansione reale ci si verrà a trovare nel pnto Dopo lo statore il flido motore passa nell anls (interstizio tra rotore e statore) e nelle stesse condizioni termodinamiche espande ancora n po con nova prodzione di entropia,tale da far spostare il pnto in.si passa poi al rotore dove il flido è ancora sottoposto ad espansione reale e ci sarà ancora prodzione di entropia per ci invece di traslare il pnto in lo si dovrà portare in.a casa di ttte qeste prodzioni di entropia si andrà incontro a delle perdite che vengono riscontrate nel rendimento di palettatra: * (c) h h pf η = (6.6) * h in ci : h pf individa le perdite flidodinamiche e di consegenza il salto entalpico perso c individa l effettiva velocità dei gas all scita del rotore in no stadio. 3

24 Fatto n discorso di tipo generale si passa a particolarizzare le perdite in ogni parte di no stadio. ] Perdite nei condotti fissi (statore) : Nel caso ideale esco dallo statore con na velocità : c * ( R) h = con ( R) h * hstat cioè con na velocità proporzionale al salto entalpico statorico;nel caso reale, però, a casa delle perdite per prodzione di entropia,avrò na velocità c inferiore di con: c ϕ c (6.6) c = Il valore di c è proporzionale a qello di c a mezzo del coefficiente ϕ,tale coefficiente dipende da più fattori,ma qelli che maggiormente lo inflenzano sono : c velocità di scita del flido motore l D m rapporto tra l altezza delle pale e il diametro medio della girante P 0 P rapporto tra le pressioni a monte e valle dello statore R nmero di Reinolds. Per qesto motivo il ϕ pò essere scritto come : ϕ = f [ c;l Dm ;P0 P ;R;... ]Il so andamento è decrescente all amentare di c e graficamente si ha : Identificato ϕ e conoscita la velocità c dalla (6.--) si pò identificare anche il salto entalpico perso h ps nello statore ed indicato con : ]Perdite nell anls h = ( ϕ ) c (6.63) ps sciti dallo statore si passa nell anls in qesta zona,nel caso ideale, il flido viaggiava con na velocità c, ma nel caso reale, siccome si esce dallo statore con na velocità c < si ha w = c na variazione anche per la velocità w che si modifica in w = c,qesta è logicamente inferiore w alla. Tale velocità non è però la vera velocità di ingresso nel rotore visto che nell anls sono presenti delle perdite proporzionali al coefficiente ξ.di consegenza l effettiva velocità di ingresso nel rotore è la w = ξ w ; la presenza di qeste perdite gistifica lo spostamento del pnto in nel grafico di figra n. Ci si chiede a qesto pnto da dove possano nascere qeste perdite ;la risposta la si trova nella variazione di direzione della velocità c rispetto alla c.la velocità del flido all scita dello statore,infatti, non cambia solo nel modlo per la presenza del, ma anche in direzione.per vedere come c si modifica la direzione di è tile raffigrare n condotto statorico e la distribzione di nella sa sezione di scita. h ps c 4

25 Nella sezione la velocità è mediamente pari a, ma il so modlo decresce con l avvicinarsi alle pareti del condotto fino a diventare nlla E e B. Qando na porzione di flido esce dal condotto non ttte le se particelle hanno la stessa velocità, anzi le particelle che si trovano in E escono n istante dopo rispetto a qelle che si trovano in B. Qando qeste particelle rientrano a far parte,in n secondo momento, del flido principale concorrono con la loro velocità, in modlo e direzione,a modificarne, seppr di poco, la direzione.di consegenza la velocità di scita non è più orientata come la linea media del condotto ma si discosta da essa di n certo angolo δ dando logo alla. Il coefficiente ξ è fnzione di qest angolo.le perdite sono dovte al fatto che le pale rotoriche erano state costrite tali da essere tangenti alla o alla che differiscono solo w per il modlo, ma non per la che oltre ad avere n modlo differente dalla ha anche na diversa direzione.qesto novo orientamento genera degli rti indesiderati slle pale rotoriche dando logo,così,a delle perdite e diminendo il salto entalpico di na qantità pari a : c c w h pw w h = ( ξ )w (6.64) pw w 3]Perdite nei condotti mobili (rotore) : Dopo l anls s passa nel rotore,da qi ne dovrei scire con na velocità espansione isoentropica dal pnto di fig. n, tale velocità è certamente diversa dalla variata la w w minore della Il coefficiente dove: che si otterrebbe con na visto che è.in realtà,però,data la presenza delle perdite rotoriche la velocità di scita sarà pari alla w w. Le perdite nel rotore sono proporzionali ad n coefficiente ψ e qindi si ha: w = ψ w ψ è proporzionale ad alcni parametri caratteristici: ψ = f [ θ ;r;l;...] (6.66) w (6.65) θ l angolo di sfasamento tra i vettori w in ingresso ed scita altezza delle pale Anche in qesto caso è possibile calcolare il salto entalpico perso: h = ( ψ ) w (6.67) pr 4] Perdite per midità : 5

26 Qete perdite,variabili col titolo sono dovte alla presenza di goccioline di acqa all interno del vapore.in qesto caso qando nello statore si va ad accelerare il flido motore ( H O + vapore) le gocce di acqa,aventi n peso maggiore, vengono accelerate meno rispetto al vapore e raggingono na minore velocità,di consegenza le de fasi entreranno con velocità diverse,in modlo e fase, nel rotore.il problema si verifica proprio in qesto pnto in qanto il profilo delle pale rotoriche è ideale per il flsso di vapore e non per qello costitito da acqa;per qesto motivo l acqa rterà in modo non appropriato le pale provocando attriti e diminzione di rendimento.qindi meno midità c è meglio è! Il grafico al lato mette in evidenza la variazione di rendimento in fnzione dell midità del vapore e al variare del rapporto c.perdite di qesto tipo sono le più gravose visto che riescono diminire anche del 0% il rendimento globale,qindi è indispensabile ricercare dei metodi per eliminare l acqa dal vapore.un metodo per la risolzione di qesto problema è qello di tilizzare dei separatori statici. Qesti eliminano l acqa nel vapore bloccandone le goccioline slla loro sperfice e facendole,poi, incanalare in appositi condotti. L inconveniente che presentano è qello di ridrre la portata massica del flido motore.tale ridzione è dovta appnto alla sottrazione di acqa. 5]Perdite per sottoraffreddamento : T 3 4 A s Altre perdite da inglobare in h pf sono qelle per sottoraffreddamento dovte al fatto che il flido motore,nel caso di forti espansioni,non riesce a segire il gisto andamento termodinamico a casa dell inerzia termica.pò capitare che il flido si trovi nella posizione A,e qindi all interno della crva a campana,ma senza la presenza di goccioline di acqa che in tali condizioni sono previste visto che il titolo è minore di no. L assenza di acqa nel vapore in prima istanza potrebbe essere vista come n aspetto positivo dato che si ridcono le perdite per midità,ma il problema è che si modificano le * h condizioni termodinamiche del flido che non rispettano qelle reali. Per qesta incongrenza il previsto per l espansione si ridce diminendo,così,il lavoro tile. Dal grafico al lato è possibile notare la diminzione del salto di entalpia.si passa,infatti,dal pnto B al pnto C. Per qesto tipo di perdite non esistono rimedi eccelsi, l nica alternativa è qella di spezzettare il salto entalpico totale in più parti. 6

27 6]Perdite per foriscita di vapore : Altre perdite,infine, sono dovte alla foriscita di vapore dal ciclo, e più precisamente perdite localizzate nelle trbine e nelle gintre dei condotti.per evitarle si possono inserire nei pnti gisti delle tente;ne esistono di tre tipi : Tente ad acqa Qeste vengono costrite in modo che al vapore foriscito venga sostitita acqa e non aria visto che qest ltima è più dannosa,ed è più oneroso eliminarla,poi,dal ciclo. Tente idraliche Qeste vengono sate in alternativa alle precedenti, ma hanno il difetto di fnzionare bene solo a regime. Tente a labirinto Qeste a labirinto sono le più sate visto che il flido prima di disperdersi all esterno deve attraversare percorsi tortosi e poco accessibili.ciò garantisce,com è ovvio intirlo, minori perdite. Tente di qesto tipo vengono sagomate anche slla parte speriore delle palette rotoriche in moda da evitare che il flido possa scavalcarle facendo,così,diminire l aliqota di flido che prodrrebbe lavoro.il percorso labirintico in qesto caso lo si trova tra le pale e la cassa della macchina. Inflenza delle perdite si triangoli di velocità : La presenza delle perdite vista nei paragrafi precedenti inflenza sensibilmente i triangoli di velocità,tanto è vero che vengono modificati i vettori velocità tanto in modlo qanto in direzione. Pertanto capita spesso che la velocità di scita del flido (la c ) che realizza il massimo rendimento non è più qella perfettamente verticale. Infatti, siccome in fase di progetto lo scopo principale è qello di massimizzare il rendimento e di ridrre al minimo le perdite pò capitare che, nell ottemperare qeste prescrizioni, la c si discosti da qella che a primo impatto poterbbe sembrare ottimizzi l intero fnzionamento (qella verticale).in conclsione,qindi, non bisogna preoccparsi più di tanto se alla fine del progetto,risolti al meglio i problemi inerenti le perdite, risltasse na c non perfettamente verticale.l inflenza è palese se si tiene conto di qello che accade in figra. 7

28 Amento della potenza di na T.V. : La potenza di na T.V. pò essere espressa dalla relazione : P = m& co his ηit ηm ( + ε) (6.68) da qesta si vede che na volta massimizzato il his e ottimizzati i salti entalpici di perdita,per amentare la potenza della macchina bisogna fare riferimento esclsivamente alla portata massica m & co espressa dalla relazione: m& co = ρ cx π Dm ( l Dm ) (6.69) in ci: ρ :densità del flido motore c x : velocità assiale del flido motore l : altezza della palettatra D m : diametro della girante all altezza media della palettatra. Il problema connesso all amento della portata massica per la massimizzazione della potenza è dovto alla grossa variabilità della densità ρ con la pressione. Infatti per elevate pressioni e cioè all inizio del salto entalpico la densità ha n valore molto basso,mentre alla fine dell espansione e cioè per pressioni bassissime (al condensatore) la ρ ha n valore estremamente elevato. A qesto pnto bisogna vedere s qale termine della (6.69) agire per compensare le variazioni di ρ per na fissata m &. Siccome il termine c x è responsabile dello spostamento della qantità di portata massica da no stadio al sccessivo,e visto che m & co è fissa ed è costante la velocità radiale non pò variare (ricorda stessa altezza per itriangoli di velocità e portata massica costante). Di consegenza l nico termine s ci si pò agire è il rapporto l D m che va ad inflenzare la sezione dei condotti attraverso ci il vapore flisce. La sezione di passaggio pò essere amentata in modi diversi al variare delle caratteristiche del rapporto l Dm (vedi figre). Esistono,però, de limitazioni da rispettare slle altezze delle palettatre:n limite speriore ed no inferiore. co 8

29 Limite inferiore Il limite inferiore dell altezza della palettatra è dato dal fatto che,come già detto in precedenza,al so ridrsi amentano i problemi connessi allo scavalcamento e di consegenza amentano le perdite visto che c è meno vapore a compiere lavoro. Qesto inconveniente lo si risolverà negli stadi ad azione,cioè qelli che esplicano la prima parte del salto, a mezzo della parzializzazione. Limite speriore I limiti speriori per la costrzione delle pale in bassa pressione si sddividono in de grosse categorie: Limiti meccanici : il problema in qesto caso è dovto alle forti sollecitazioni a ci le pale sono sottoposte per effetto della forza centrifga. Nel senso che qanto più lnga è la palettatra,maggiore è la velocità dei soi elementi alle estremità maggiori sono le forze agenti s di essi. Limiti flidodinamica : tali limiti sono dovti allo svergolamento,infatti in qesto caso,vista l altezza eccessiva delle pale,rislta difficile forgiarle in modo tale che la forza esercitata dal vapore slla sperfice resti costante lngo ttta la loro altezza. Per qesto motivo l altezza massima è fissata intorno ai 0.4m. In definitiva,qindi, l intervallo entro ci l altezza della palettatra pò variare è : 0.05 l 0.4 (6.70) D m Il problema che si presenta in alta pressione legato ad na palettatra di altezza limitata viene risolto,come già accennato,col metodo della parzializzazione. Tale metodo consiste nel ridrre la sezione di passaggio del flido,ma allo stesso tempo amentare la lnghezza delle pale. La parzializzazione viene effettata sllo statore e come si vedrà tra n pò solo per stadi ad azione. In pratica,come si vede dalla figra, invece di far flire il vapore attraverso la sezione Ω, caratterizzata dall avere il raggio esterno prossimo a qello interno e qindi pale corte, si preferisce far flire il vapore attraverso la sezione Ω Ω eqivalente alla ma caratterizzata da pale più lnghe che diminiscono il problema dello scavalcamento. La portata massica in fnzione della parzializzazione è : ( l D ) ( p) m& = ρ c π D (6.7) co x Il grado di parzializzazione è pari a : 360 δ p = (6.7) 360 dove δ è l angolo sotteso dalla porzione di sezione tile. m m 9