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1 ,175'8,1($//678','(,&$03, Sia Ω na regione nello spaio in ci, in ogni so pnto, sia definita na grandea J. La regione Ω si dice allora soggetta ad n campo. Un campo pò essere scalare, vettoriale o tensoriale, a seconda che la grandea J sia scalare, vettoriale o tensoriale. Si dice che na grandea fisica ha carattere SCALARE qando essa è completamente rappresentata da n QXPHUR, invariante rispetto a qalnqe cambiamento del sistema di riferimento (ad esempio la temperatra, la massa, l energia, la carica elettrica, etc.). Si dice che na grandea fisica ha carattere VETTORIALE qando essa è completamente rappresentata dall insieme di na GLUH]LRQH, n YHUVR lngo tale direione ed na LQWHQVLWj scalare (ad esempio la velocità di n flido, la fora di gravità, etc.). Si dice che in na regione 6 dello spaio ordinario è presente n CAMPO SCALARE J(3) qando in ogni pnto 3([, \, ]) è definito il valore della grandea scalare J. Si dice che in na regione 6 dello spaio ordinario è presente n CAMPO VETTORIALE Y(3) qando in ogni pnto 3([, \, ]) è definito il valore della grandea vettoriale Y. Generalmente il dominio di definiione di n campo è FRQQHVVR. Un dominio si dice connesso qando, dati de pnti qalsiasi ad esso appartenenti, esiste almeno na crva interamente contenta nel dominio stesso che nisce i de pnti. Un dominio connesso pò essere: D FRQQHVVLRQHOLQHDUHVHPSOLFHqando, per ogni crva chisa appartenente al dominio, esiste sempre almeno na sperficie avente come contorno tale crva che sia interamente contenta nel dominio stesso; D FRQQHVVLRQH VXSHUILFLDOH VHPSOLFH qando ogni sperficie chisa appartenente al dominio racchide n volme interamente appartenente al dominio D FRQQHVVLRQHOLQHDUHPXOWLSODqando non è a connessione lineare semplice. Ad esempio, n toro (o n anello) è n dominio a connessione lineare mltipla; D FRQQHVVLRQHVXSHUILFLDOHPXOWLSODqando non è a connessione sperficiale semplice. Ad e- sempio, n gscio sferico è n dominio a connessione sperficiale mltipla. Nel segito, a meno che non sia differentemente specificato, si fa implicitamente riferimento a domini a connessione lineare e sperficiale semplice. Infatti, non ttte le proprietà riportate nel segito sono applicabili a domini a diverso grado di connessione. 5$335(6(17$,1(*(0(75,&$'(,&$03, ƒ &DPSLVFDODUL La strttra di n campo scalare ϕ pò essere visaliata mediante le cosiddette VXSHUILFLGLOL YHOOR. Si consideri n generico pnto P 0 ed il valore ϕ 0 ivi assnto dalla ϕ: il logo di ttti i pnti in corrispondena dei qali la ϕ assme lo stesso valore definisce na sperficie (VXSHUILFLHGLOLYHOOR) la ci espressione analitica, in coordinate cartesiane è: ϕ (x, y, ) ϕ 0 costante Se la ϕ è contina e derivabile de volte e se non esistono pnti in ci il gradiente di ϕ si annlla, per ogni pnto passa na ed na sola sperficie di livello: pertanto la conoscena di ttte le sperfici di livello, contrassegnate dai corrispettivi valori, permette di descrivere completamente il campo. Qesto tipo di rappresentaione rislta particolarmente tile qando il campo è definito in na regione bidimensionale: in tal caso, infatti, è possibile definire le OLQHHGLOLYHOOR s tale piano. Operatori differeniali - 1

2 ƒ &DPSLYHWWRULDOL Dato n campo scalare X (spposto definito in ttto lo spaio), si dice OLQHDGLFDPSR (o di flsso) ogni linea che sia tangente in ogni so pnto P al vettore X(P). Per ogni pnto dello spaio passa na ed na sola linea di campo. Pertanto, la mappa delle linee di campo fornisce n modo per visaliare la strttra del campo vettoriale. Essa consente, infatti, di individare sbito in ogni pnto la direione ed il verso del vettore X (nessna informaione fornisce invece sl modlo del campo). X 1 X X 3 X 4 X 5 Le linee di campo presentano tre diverse tipologie: possono Formare linee chise Formare linee aperte di lnghea infinita sena iniio 3 5 né fine Formare linee aperte di lnghea finita (i pnti di iniio si dicono sorgenti, qelli di fine sono detti poi) 3 1 Il tracciamento delle linee di flsso di n campo assegnato non è sempre facile. Si consideri infatti n campo vettoriale X, rappresentato in componenti cartesiane da ( x, y, ). Sia Γ la linea di flsso passante per il pnto P 0 di coordinate (x 0,y 0, 0 ) detto ds la lnghea elementare del tratto di crva, la condiione di tangena nel generico pnto P di Γ di coordinate (x, y, ) è data da: dx x dy y d ds Data infine na linea chisa L non coincidente con alcna linea di flsso del campo, l'insieme delle linee di flsso (del campo vettoriale X) passanti per ttti i pnti di L individa na sperficie S a strttra tbolare, che prende il nome di WXER GLIOXVVR associato alla linea L. 3(5$75,',))(5(1,$/,/,1($5, *5$',(17(: è n operatore differeniale del primo ordine che si applica ad na generica grandea scalare ϕ, e genera n vettore ϕ tale che: ϕ Q ϕ n Il gradiente di ϕ è qindi n vettore diretto secondo la massima variaione di ϕ e perpendicolare alle sperfici s ci ϕ è costante (o). In coordinate cartesiane si ha: ϕ ϕ ϕ ϕ L + M+ N () x y Si è introdotto l operatore (simbolico) differeniale del primo ordine QDEOD, definito in coordinate cartesiane come sege: (1) (o) Si noti infatti che, definita na sperficie ϕ (x, y, ) const., assmendo che W sia n versore tangente a tale sperficie, si ha 0 ϕ/ t W ϕ e dnqe il vettore gradiente, essendo perpendicolare a ttte le rette tangenti alla sperficie nel pnto di contatto, è perpendicolare alla sperficie stessa nel medesimo pnto. Operatori differeniali -

3 L + M+ N x y Sia X ϕ. L integrale di X lngo na generica linea dipende nicamente dai valori che ϕ assme agli estremi di integraione. Si ha infatti: ϕ X GO ϕ GO Gl ϕ ϕ ϕa l G (3) A A A A Si ha anche (qando A e qindi ϕ ϕ A ): X G O 0 (4) Un campo vettoriale che goda di tale proprietà si dice FRQVHUYDWLYR. In n dominio linearmente connesso n campo conservativo pò sempre essere espresso come gradiente di n opportno poteniale scalare, definito a meno di na fnione a gradiente nllo (qindi na costante). ',9(5*(1$: La divergena di n vettore X in n pntop è definita come limite del rapporto tra flsso di X attraverso la sperficie S che racchide l elemento di volme nell intorno di Ped il volme τ dell intorno al tendere di τ a ero. Si pò qindi scrivere: 1 div X X lim X QdS τ 0 τ S La divergena è n operatore differeniale del primo ordine, che in coordinate cartesiane è definito come sege: x y X + + (5) x y Sia τ n dominio delimitato dalla sperficie chisa S in ci la grandea vettoriale X è contina assieme alle derivate delle se componenti. Vale allora il 7HRUHPDGHOODGLYHUJHQ]D (o GL*DXVV), che si esprime come sege: io IOXVVR GHO YHWWRUH X DWWUDYHUVR OD VXSHUILFLH FKLXVD S q SDUL DOO LQWHJUDOHGHOODGLYHUJHQ]DGLX VXOYROXPHτ UDFFKLXVR LQS Ovvero: X QdS Xdτ s τ (6) Un vettorexsi dice VROHQRLGDOH s n dominio τ qando il flsso di X attraverso qalsiasi sperficie chisa contenta interamente in τ è nllo, ovvero qando X 0 ovnqe in τ. 575(: si definisce rotore di n vettore X n vettore tale che, in ogni pnto, il so flsso attraverso n elemento di sperficie qalsiasi S sia gale alla circitaione di X lngo il contorno Γ dell elemento stesso. Si ha qindi, passando al limite del rapporto tra la circitaione C e la sperficie Sal tendere di S a ero: 1 dc ( rot X) Q ( X) Q lim X O S S d 0 ds Il rotore (o rotaionale) è qindi n operatore differeniale del primo ordine, ed in coordinate cartesiane è definito come sege: y x y x rot X X L M N y + x + x y Vale inoltre il 7HRUHPDGL6WRNHV: LOIOXVVRGHOYHWWRUH X DWWUDYHUVRODVXSHUILFLH6qSDULDOOD FLUFXLWD]LRQHGLX OXQJR ODFXUYDΓ FKHQHqLOERUGR. Cioè: Γ (7) Operatori differeniali - 3

4 Da ciò si dedce sbito che: X QdS X do s Γ - i flssi di X attraverso de sperfici qalsiasi che abbiano lo stesso contorno Γ è gale. Il rotore è qindi n vettore solenoidale. Vale cioè l identità: X 0 (9) - se in n dominio linearmente connesso X 0 ovnqe, il vettore X è conservativo (*). Viceversa, se X è conservativo, X 0 ovnqe. Vale cioè l identità: ϕ 0 (10) - si dimostra che se X è solenoidale in n dominio a connessione sperficiale semplice, pò sempre essere espresso come rotore di n opportno poteniale vettoriale, definito a meno di na fnione irrotaionale (e qindi conservativa). (8) &DPSLFRQVHUYDWLYL &$03,&16(59$7,9,(&$03,6/(1,'$/, &DPSLVROHQRLGDOL X 0 X 0 L integrale di X lngo na crva aperta dipende solo dagli estremi di integraione. La circitaione di X lngo na crva chisa è nllo. X ϕ La fnione ϕ è n poteniale scalare definito a meno di na costante: ϕ ϕ* + cost. cioè a meno di na fnione a gradiente nllo. ϕ viene determinato in ogni pnto fissando ad arbitrio il so valore in n pnto di riferimento arbitrario. Il flsso di X attraverso na sperficie aperta dipende solo dal contorno della sperficie. Il flsso di X attraverso na sperficie chisa è nllo. X $ La fnione $ è n poteniale vettore definito a meno di n gradiente. $ $* + ϕ cioè a meno di na fnione a rotore nllo. $ viene determinato in ogni pnto imponendo la condiione di compatibilità ( gage ), ad esempio qella di Colomb: $ 0. Si conclde che n campo conservativo (o lamellare) è descritto da n poteniale scalare ϕ, mentre n campo solenoidale è descritto da n poteniale vettore $. (*) Si noti che l'ipotesi che il dominio sia a connessione lineare semplice è esseniale. In caso contrario n campo irrotaionale non è necessariamente conservativo, come prova il segente esempio. Si consideri il campo, definito in ttto lo spaio eccetto l'asse, X (y L x M)/ x + y. Come è immediato verificare, X è irrotaionale. Tttavia X non è conservativo. Infatti, calcolando la circitaione di X slla circonferena di raggio nitario centrata nell'origine, si ottiene (sostitendo le coordinate cartesiane con coordinate cilindriche): y dx x dy π sen θ ( sen θ dθ) cos θ ( cos θ dθ) π X do dθ π x + y cos θ + sen θ Operatori differeniali - 4

5 &DPSLFRQVHUYDWLYL si consideri n campo conservativo, descritto dalla X 0 fnione vettoriale X e fnione del pnto 3, che soddisfa il segente sistema: X f() 3 (11) Ricordando le proprietà dei campi conservativi, il ϕ f( 3 ) (1) sistema (11) si pò scrivere come sege: Introdcendo l operatore differeniale del secondo + + (13) ordine QDEOD TXDGUR, definito come sege: x y (detto anche ODSODFLDQR)la (1) si riscrive: ϕ f(3) (14) La (14), nota come HTXD]LRQH GL 3RLVVRQ VFDODUH, consente di calcolare il poteniale ϕ e, consegentemente, il campo X, na volta assegnata la fnione f(3). &DPSLVROHQRLGDOL: sia dato ora n campo solenoidale, descritto dalla fnione vettoriale X e fnione del pnto 3, che soddisfa il segente sistema: X 0 X )() 3 Tenendo presente che n campo solenoidale pò essere ricavato da n poteniale vettore, il sistema (15) potrà essere riscritto come sege: ( $ ) )3 ( $ ) $ )3 (15) (16) La (16) costitisce la definiione dell operatore $. In coordinate cartesiane tale operatore assme la segente forma: $ Ax L + Ay M + A N (17) Il poteniale vettore è determinato a meno di na fnione irrotaionale. L indeterminaione viene eliminata imponendo che $ sia solenoidale. La risltante eqaione (18) è n HTXD]LRQHGL3RLVVRQYHWWRULDOH, che si pò scomporre nelle tre eqaioni scalari (19). &DPSLDUPRQLFL: Qando n campo è sia conservativo che solenoidale in n certo dominio, dalla (14) e dalla (18) si ottiene: $ ) 3 (18) A A A x y F x F y F ϕ 0 $ 0. Le (0) si dicono HTXD]LRQL GL/DSODFH, rispettivamente scalare e vettoriale. Una fnione che soddisfi l eqaione di Laplace si dice DUPRQLFD. Esempi di fnioni armoniche sono: - sia r la distana del generico pnto da n pnto fisso detto P 0, la fnione 1/r è armonica in ttto lo spaio tranne in P 0. - siano r i le distane del generico pnto da n pnti fissi P i,k i delle costanti, la fnione k r armonica in ttto lo spaio tranne nei pnti P i. ( 3) ( 3) ( 3) n i1 (19) (0) i i è Operatori differeniali - 5

6 - allo stesso modo, la fnione krdτèarmonica al di fori del dominio τ. τ Si consideri ora n campo non conservativo e non solenoidale, descritto dalla fnione vettoriale X che soddisfa il segente sistema: &$03,48$/6,$6,7(5(0$',&/(%6+ () X ) 3 X f 3 Si dimostra (Teorema di Clebsh) che n campo vettoriale X è sempre decomponibile in ogni pnto in de componenti X s e X c, rispettivamente solenoidale e conservativa. Infatti si spponga che: X X s + X c () dove: Xc 0 Xc f( 3). (3) Allora rislta anche: Xs ( X Xc) X )( 3) X ( X X ) (4) s c 0 Esprimendo X c come gradiente di n poteniale scalare ϕ e X s come rotore di n poteniale vettore $, si pò allora scrivere: X ϕ + $ (5) e i de poteniali scalare e vettoriale saranno determinati da: ϕ f 3 $ ) 3 (1) (6.a) (6.b) Operatori differeniali - 6