Geometria Geometria settembre 2006

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1 Geometria Geometria settembre ) Nel piano affine euclideo reale, in cui è fissato un sistema di coordinate cartesiane ortogonali, si considerino la retta t e i punti O(, ), (, ), (, ) i) Si scriva l equaione del fascio Φ di coniche tangenti alla retta t e passanti per i punto, O, Fra i tre punti dati deve essere individuato il punto di tangena appartenente alla retta t Tale punto è O (,); restano da individuare le coniche degeneri Poiché Φ è un fascio di coniche tangenti, le uniche coniche degeneri sono D t r e D r (O, ) r (O, ) Ricaviamo la retta mancante r r Risulta ( )( ) D ; D E, si calcola immediatamente, D µ Il fascio risulta Φ D µ D e, posto, dividendo per, otteniamo il fascio in forma ridotta, quello, cioè, nel quale non esiste valore di in grado di fornire l equaione della conica D Risulta Φ ( ) Scriviamo subito la matrice M relativa alla generica conica di Φ, dopo averne moltiplicato ambo i membri dell al fine di evitare le fraioni M

2 ii) Nel fascio Φ si individui l iperbole Γ avente un asintoto perpendicolare alla retta t; si scrivano le equaioni degli asinototi di Γ I parametri direttori di t sono la classe di proporionalità [( l, m) ] [(, )] retta perpendicolare a t, e siano ( l m ) Sia a una, i parametri direttori di a Come spiegato a pagina, a r ll mm Risulta m l, per cui i parametri direttori di a sono rappresentati dalla coppia (, ) Ricordando ora che i parametri direttori degli asintoti di un iperbole (come spiegato a pagina ) risolvono la a l a lm a m (*), risulta ( )( ) ( ) Pertanto Γ Per scrivere le equaioni degli asintoti, calcoliamo innanitutto le coordinate del centro dell iperbole con il metodo delle derivate pariali C Da qui si ricava C(, ) Riprendiamo ora la (*) Fissato, calcoliamo l e m (uno in funione dell altro) l l lm m ( l m)( l m) m m l La seconda soluione ci restituisce i parametri direttori di a (primo asintoto dell iperbole), l altra ci fornisce i parametri direttori del secondo asintoto, che chiamiamo a Essi sono [(,) ] Sia ora il fascio improprio di rette aventi tutte i parametri direttori di a Esso ha equaione α d esso imponiamo il passaggio per C Risulta α α a che è l equaione del primo asintoto Sia il fascio improprio di rette aventi tutte i parametri direttori di a Esso ha equaione β Imponiamo il passaggio per C Risulta β β a che è l equaione del secondo asintoto iii) Si determini l equaione della conica Σ del fascio che ha centro nel punto H(, ½); si riconosca Σ Considerato poi il punto D( 5, ), si trovino le coordinate dei punti di contato delle tangenti condotte a Σ in tale punto Innanitutto calcoliamo le coordinate del centro della generica conica del fascio in funione del parametro con il metodo delle derivate pariali Risulta il sistema ( ) C(), che risolviamo, per esempio, con la regola di Cramer

3 ; 8 8 C C Imponiamo ora che H C Perciò C H C H L equaione della conica cercata è perciò Σ, la cui matrice è M Σ Det M Σ perciò Σ non è degenere Inoltre m > per cui Σ è un ellisse Inoltre si può concludere che Σ non è una circonferena poiché a a Sia ora π Σ (D) la polare di D rispetto alla conica Σ Essa congiunge i punti in cui le rette uscenti da D sono tangenti alla conica Σ Ricordando che π Σ (D) D T M X, π Σ (D) 5 π Σ (D) Siano S, T i punti cercati Risulta {S, T} π Σ (D) Σ Otteniamo il sistema, T S Per cui i punti cercati sono S 5, e T 5,

4 iv) Nel piano proiettivo reale ampliamento del piano affine euclideo assegnato, si individuino le coniche non degeneri di Φ che sono tangenti alla retta impropria; per ognuna di tali coniche si determini il punto di tangena con la retta impropria isogna ricordare che le coniche tangenti alla retta impropria sono le parabole Lavoriamo perciò sull invariante quadratico della matrice, imponendo a 8 ( ) ( )( ) ± Per tali valori otteniamo le due parabole P e P di equaione P e P Che le due coniche siano generali è dovuto al fatto che l unica conica degenere del fascio in forma ridotta si ottiene per, che non è il nostro caso Osserviamo poi che le equaioni delle due parabole sono due sviluppi di quadrati Riconoscerlo ci aiuta a calcolare il punto di tangena Infatti ( ) ( ) T [(,,)], e allo stesso modo, T [(,,)] v) Si indichi con R l ulteriore punto di interseione della retta parallela all asse condotta per con la generica conica Κ del fascio Φ Siano poi r la retta tangente in alla conica Κ, p la retta parallela all asse passante per R, P il punto di interseione tra r e p Si scriva l equaione cartesiana del luogo Λ descritto dal punto P al variare della conica Κ nel fascio Φ Si riconosca Λ analmente, la retta parallela all asse condotta per ha equaione Φ ( ) Mettiamo a sistema ( ) Le soluioni sono (che restituisce il punto ) e Perciò R (, ) analmente, la retta parallela all asse passante per R è p La retta r tangente alla generica conica Κ in è la polare di rispetto a Κ Ricordando che r π Κ () T M X, ove è il vettore delle coordinate del punto, M è la matrice della generica conica del fascio, X il vettore delle coordinate di un generico punto, risulta π Κ () ( ) r( )

5 5 {P} p r, sistema che ci permette di eliminare il parametro e di ottenere l equaione del luogo Λ Si riconosce facilmente, anche sena costruirne la matrice, specie se riscritta nella forma Λ che si tratta di una parabola con asse verticale Grafico riassuntivo

6 ) Nello spaio affine euclideo reale R, in cui è fissato un sistema di coordinate ortogonali, si considerino il piano α e i punti (,, ), (,, ) i) Si stabilisca la posiione reciproca tra il piano α e la retta r individuata dai punti e Per scrivere le equaioni di r, retta per, utiliiamo il metodo di pagina r r Consideriamo il sistema r α, la cui matrice è M Det M, per cui, come spiegato a pagina, la retta r è parallela al piano α Inoltre, dalla teoria sui sistemi lineari risulta che il rango della matrice dei coefficienti, pari a, è diverso da quello della matrice completa, che è Per cui non vi sono interseioni tra la retta e il piano, quindi la retta r è esterna e parallela al piano α r α e α r ii) Detti Φ il fascio proprio di piani di sostegno r e Φ il fascio improprio di piani di sostegno α, si determini l equaione del piano, se esiste, comune a Φ e Φ Per costruire Φ è sufficiente combinare linearmente le equaioni della retta di sostegno del fascio, r Risulta Φ Per costruire Φ è sufficiente aggiungere un fattore additivo all equaione della retta r Risulta h e, posto h, Φ Discutiamo ora l interseione dei due fasci secondo la teoria illustrata a pagina Vogliamo verificare se i due fasci hanno un piano in comune, per cui imponiamo Rg isogna che tutti i minori di ordine due siano singolari Risulta e e e e e

7 Tutte le relaioni sono soddisfatte per Sostituendo tali valori nell equaione di uno dei due fasci di piani, si ottiene l equaione di π, piano comune a Φ e Φ Risulta π iii) Si individui il piano β del fascio Φ perpendicolare al piano α Come illustrato a pagina 5, la condiione di perpendicolarità fra piani afferma che, ρ a b c d dati i piani ~, ρ ~ ρ aa bb cc ρ a b c d Nel nostro caso consideriamo come piano ρ il generico piano del fascio Φ, e come piano ~ ρ il piano π Otteniamo ( ) ( ) ( )( ) Risulta (sostituendo tale valore di in Φ ), β 5 5 iv) Indicata con t la retta di interseione tra i piani α e β, si verifichi che le rette t e r sono tra loro parallele e se ne determini la distana Possiamo verificare il parallelismo fra le rette sena neppure scrivere l equaione di t Non procederemo infatti meccanicamente con il calcolo dei parametri direttori, ma aiutati da un disegno riassuntivo, osserviamo che vale il seguente Teorema Nello spaio affine R siano r una retta parallela ad un piano α Sia β un piano non parallelo ad α contenente la retta r llora, definita la retta t α β, si ha che le rette r e t sono parallele

8 Dimostraione Detti P, Q, T punti dello spaio e W un sottospaio di dimensione, sia α [P, W ], dove W < u, w > con u, w vettori di R Essendo r // α, risulta r [Q, < w >] (oppure r [Q, < u >]) Essendo r β, risulta β [Q, W ], con W < v, w >, ove v è vettore di R tale che u v momento che α e β non sono paralleli fra di loro Risulta t α β [T, W W ] [T, < w >], che è una retta parallela ad r, dal Per calcolare la distana fra le rette non seguiamo il metodo generale illustrato alle pagine 5-, ma osserviamo che ci troviamo in un caso molto particolare in cui la distana cercata è equivalente alla distana fra un qualsiasi punto della retta r e il piano α Scegliamo pertanto il punto dato (,, ) r e ricordiamo la terna dei coefficienti dell equaione del piano α ( a, b, c) (,, ) pplichiamo quindi la formula della distana punto piano illustrata a pagina 5 a b c d(,α ) a b c v) Si scriva l equaione cartesiana del luogo Ω dei punti P del piano α tali che P Dopo avere constatato che tale luogo è una circonferena, si determinino il centro e il raggio di Ω Calcoliamo la distana come distana pitagorica Risulta Tenendo un P(,, ) generico sia invece P Uguagliando le due quantità, risulta ( ) ( ), che è l equaione di una sfera vista come luogo di punti dello equidistanti dal centro Ma questi punti devono appartenere al piano α, per cui la sfera va intersecata con un piano così da ottenere una circonferena Essa è proprio il luogo cercato e ha equaione 8 Ω Soluioni a cura di Michele oloni 8