Gli esercizi proposti per le esercitazioni del corso di Geometria 2 Terza serie

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1 Gli esercii proposti per le esercitaioni del corso di Geometria Tera serie Scrivere l equaione della circonferena passante per i punti P () P () P 3 () e trovare la retta tangente alla circonferena nel punto P Scrivere l equaione della sfera tangente al piano nel punto () e passante per il punto (3) 3 Scrivere l equaione della sfera di raggio 3 tangente alla sfera nel punto () Scrivere l equaione della sfera tangente all asse nel punto P() e tangente nel punto t Q() alla retta t t 5 Determinare il centro e il raggio della circonferena 6 Determinare le equaioni della circonferena passante per i punti P (3) P () P 3 (-) Trovare inoltre la retta tangente nel punto P 7 Determinare equaioni della circonferena tangente all asse e avente centro C() Trovare equaioni della circonferena tangente alla retta centro appartenente alla retta s : t r : nell origine e avente il t 9 Date le seguenti coniche: a) b) c) d) e) stabilire se si tratta di coniche non degeneri oppure degeneri Nel primo caso trovarne una rappresentaione canonica nel secondo caso trovarne le componenti Data la seguente conica :

2 determinare una isometria f: R conica R tale che f() dove è una forma canonica della Data la seguente conica : 6 ( ) 6 determinare una isometria f: R conica R tale che f() dove è una forma canonica della Soluioni Il centro è C ( ) ed il raggio R d( C P ) ( ) per cui la circonferena ha equaione (vi sono molti modi per risolvere l eserciio; per esempio si possono considerare i punti medi ed 3 delle corde P P e P P 3 e le rette ortogonali a tali corde e passanti per ed 3 : la loro interseione dà il centro C della circonferena ) La retta tangente è: e si ottiene scrivendo l equaione della retta passante per P e ortogonale al vettore CP (si devono determinare come al solito centro e raggio della sfera; per farlo si osservi che il centro deve giacere sulla retta r ortogonale al piano tangente e passante per il punto di tangena; a questo punto si può trovare il centro imponendo che ) (poiché già si ha il raggio è sufficiente trovare solo le coordinate del centro e questo è possibile in quanto dalla traccia si può risalire al piano tangente della sfera ) Bisogna trovare come sempre negli esercii riguardanti le sfere il centro ed il raggio della sfera Il centro C della sfera è l interseione dei piani 3 dove è il piano passante per il punto P e perpendicolare all asse è il piano passante per Q e perpendicolare a r e 3 è il piano ortogonale al vettori PQ e passante per il punto medio tra P e Q Il risultato finale è: 5 C Infine il raggio è d( C P) R Quindi l equaione della sfera è: 3 5 C R (bisogna capire magari usando un disegno o anche un po d immaginaione quale rapporto vi è tra il centro C della circonferena che dobbiamo trovare

3 e il centro C della sfera che abbiamo già; ebbene C è proprio il punto di interseione della retta passante per C e ortogonale al piano con tale piano ) (il risultato come per ogni altra curva nello spaio 3 non è univoco quindi non deve trarre in inganno Ad ogni modo bisogna trovare un piano e una sfera che intersecate danno la nostra circonferena; la scelta del piano direi è obbligata: il piano passante per i 3 punti assegnati; come sfera si può per esempio pensare alla sfera massima cioè quella che intersecata con il piano che abbiamo determinato dà come risultato un suo cerchio massimo; quindi tutto sta a trovare il centro di tale sfera e ciò può essere fatto con qualche modifica - il ruolo che lì avevano le rette ora lo hanno i piani - come nell eserciio ) 7 La circonferena richiesta si può vedere come interseione del piano passante per l asse e per il punto C con la sfera di centro C e raggio uguale alla distana di C dall asse Il risultato finale è: La circonferena in questione può vedersi come interseione del piano contenente r e passante per C e della sfera che contiene la circonferena come circonferena massima (cioè che ha come centro proprio C e raggio pari alla distana di C dall origine) Bisogna dunque trovare C Esso è l interseione del piano per l origine e perpendicolare alla retta r con R d C O la retta s Si trova dunque C(-) e poi 3 X Y 9 a) conica non-degenere di tipo ellittico ; b) conica semplicemente 6 degenere l unione delle rette e ; c) conica non-degenere di tipo parabolico Y X ; d) conica non-degenere di tipo iperbolico X Y ; e) conica doppiamente degenere la retta contata volte Si ha subito che A e A per cui det(a) - e det(a ) Dunque è una conica non-degenere di tipo parabolico Adesso opereremo una serie di cambiamenti di coordinate al fine di semplificare l espressione di Arriveremo alla fine ad una espressione molto semplice detta forma canonica così come previsto dalla teoria Cosa significa cambiamento di coordinate? Significa trovare un nuovo sistema di riferimento cartesiano {O v v } rispetto al quale la nostra conica assumerà la forma canonica prevista dalla teoria E bene notare che ciò corrisponde effettivamente a trovare una isometria f tale che f() : tale isometria è proprio l unica

4 isometria che porta il sistema di riferimento cartesiano di partena {Oe e } in quello finale {O v v } Cominciamo con l eliminaione dei termini misti in Diagonaliiamo la matrice A Essendo A simmetrica esiste una matrice ortogonale tale che A t dove e sono gli autovalori di A Troviamo questi autovalori e troviamo Un rapido calcolo mostra che e (ce lo dovevamo aspettare che uno dei due autovalori fosse nullo dato che il determinante di A è nullo) Gli autospai corrispondenti sono V e V Quindi una base ortonormale di R formata da autovettori di A sarà La matrice non è altro che la matrice di passaggio dalla base alla base canonica C (ecco perché è una matrice ortogonale: è la matrice di passaggio tra due basi ortonormali): Consideriamo ora la rotaione determinata dalla matrice () cioè () Sostituendo la () nell espressione della conica si ottiene: che si semplifica in cioè (3) A questo punto poniamo () il che equivale ad effettuare la traslaione (5) Sostituendo le nuove coordinate ( ) della () nella (3) si ottiene

5 che si semplifica in Pertanto la forma canonica trovata è : L isometria che porta la conica in è la composta della rotaione () e (5): f dove t In conclusione f Si tratta di una conica non-degenere di tipo iperbolico Una forma canonica è 5 L isometria è f