Geometria A. Università degli Studi di Trento Corso di laurea in Matematica A.A. 2016/ maggio Prova Intermedia

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1 Geometria A Università degli Studi di Trento Corso di laurea in Matematica AA 26/27 3 maggio 27 - Prova Intermedia Il candidato dovrà svolgere l eserciio 3 e un eserciio a scelta tra l eserciio e l eserciio 2 Il tempo per la prova è di 2 ore Durante la prova non è permesso l uso di appunti e libri Eserciio Sia data in R 3 la forma quadratica al variare di k R: Q k,, ) = k k 2 Sia B k la forma bilineare simmetrica associata a Q k i) Scrivere la matrice A k associata a Q k Dire per quali valori di k R, Q k è non degenere Per k, 2, 3} ricavare, se possibile, un sottospaio V di R 3 non banale e isotropo rispetto a B k ii) Si indichi con c il più piccolo intero per cui B c risulta un prodotto scalare suggerimento: utiliare il metodo dei minori principali) In corrispondena di tale valore, trovare una base ortogonale e diagonaliante per A c iii) Sia W = = Considerando il prodotto scalare definito da Q c, calcolare le equaioni cartesiane e parametriche dello spaio W Eserciio 2 Si consideri il piano euclideo E 2 con un sistema di coordiante cartesiane ortogonali, ) Si consideri il polinomio f a, ) = a 8 + dove a è un parametro reale e si indichi con C a la conica di equaione f a, ) = i) Si ricavino, al variare di a R, le eventuali interseioni della conica con l asse Si determini la forma canonica affine della conica distinguendo i casi degeneri da quelli non degeneri e le coniche con punti reali da quelle sena punti reali; ii) Si ponga a = 2 Si scriva la forma canonica euclidea della conica C 2 e un isometria diretta che la riduce a forma canonica Sia E 3 lo spaio euclideo reale con coordinate,, ) Si consideri la quadrica Q : F,, ) = ) 2 + f 2 + 2, ) = iii) Si ricavi la forma canonica euclidea e la tipologia della quadrica e si scriva un isometria che la riduce a forma canonica

2 Eserciio 3 Si considerino, sui numeri complessi, il piano affine A 2 2 con coordinate affini, ) e il piano proiettivo P 2 con coordinate omogenee [,, 2 ] Si identifichi A 2 2 con l insieme U 2 = P 2 \ 2 = } con la scelta = / 2 e = / 2 Si consideri, in A 2 2, la curva C : f, ) = = e si indichi con C la chiusura proiettiva di C Si considerino, in A 2 2, i punti P =, ), P 2 =, ) e P 3 = 2, ) i) Per ogni i, 2, 3} si ricavi m C P i ), le tangenti principali alla curva in P e la molteplicità di interseione tra ogni tangente principale ricavata e la curva in P ii) Si ricavino i punti all infinito di C e si dimostri che esattamente uno di essi è singolare Di che singolarità di tratta? Si ricavino le tangenti principali a C in questo punto iii) Si consideri l insieme U = P P 2 } e si identifichi U con lo spaio affine A 2 di coordinate w, w 2 ) tramite le relaioni w = / e w 2 = 2 / Siano C e L le tracce affini in A 2 ) delle curve C e L : = Ricavare le equaioni cartesiane delle curve C e L, e le interseioni L C e L C

3 Soluione dell eserciio i) La matrice A k associata a Q k è la matrice: A k = 3 k k k Questa forma quadratica è non degenere se RkQ k ) = RkA k ) = 3, cioè se DetA k ) Quindi, dato che DetA k ) = k2 k), la forma quadratica Q k è non degenere se k e k 2 Per k = e k = 2 la forma quadratica è degenere, quindi sappiamo che esiste almeno un vettore v R 3 tale che Q k v) =, cioè v isotropo Per questi casi basta porre V = KerA k ) per avere il sottospaio cercato Siccome il rango di A k è sempre almeno 2, avremo inoltre che DimR 3 ) = RkQ k ) + DimV ) da cui DimV ) = 3 2 = Avremo quindi 3 = + = = + = = = = = = = KerA ) = = KerA 2 ) = Nel caso k = 3 non possiamo procedere allo stesso modo Operiamo un completamento dei quadrati in modo da scrivere la forma quadratica in modo più semplice possibile cioè in modo che sia in forma diagonale) Poichè Q 3,, ) = = = ) ) = = 2 + ) ) 2 ) ci accorgiamo quindi che la forma quadratica è indefinita quindi esiste un vettore isotropo non nullo) Per ricavarne uno possiamo, ad esempio, risolvere il sistema = = + = = = = Per k = 3 possiamo quindi porre V = ii) Per trovare il più piccolo intero tale che A k è un prodotto scalare, utiliiamo i minori principali della matrice: se tutti i minori principali della matrice sono positivi allora A k è un prodotto scalare In questo caso i minori principali sono: 3 k k k 3 >, 3 = 3 = 2 >, = DetA k) = k2 k) > < k < 2,

4 allora l unico intero possibile tra e 2 esclusi è c = Dobbiamo quindi diagonaliare la matrice simmetrica 3 A = Iniiamo, calcolando il polinomio caratteristico di A : 3 λ P λ) = A λi 3 = λ λ = λ3 + λ 2 λ + Questo polinomio ha come radici, 2 3, 2 + 3}, che sono quindi gli autovalori per la matrice A Inoltre, dato che ogni autospaio ha dimensione, gli autovettori corrispondenti sono automaticamente ortogonali rispetto il prodotto scalare standard Consideriamo ora i singoli autospai e cerchiamo gli autovettori: V = = = =, V 2+ 3 = = V 2 3 = = 3) ) = + 3) = + 3, + 3) + 3 3) = 3) = 3 = = 3 = + 3) = 3 = 3) = Quindi una base diagonaliante ed ortogonale per A è: + 3 3,, iii) Innanitutto troviamo una base per W : allora W = 2, = 2s t 2 + = = s = t Sappiamo quindi, dato che W è non degenere, che DimW ) + DimW ) = DimR 3 ),,

5 cioè DimW ) = Per trovare il vettore che genera W, imponiamo che il prodotto scalare rispetto A sia nullo in entrambi i casi: W = 3 2,, )A =,, )A =, cioè le sue equaioni cartesiane sono: W = = 2 + =, mentre la sua forma parametrica imponendo = t) è W = = 2t 3 = t = 3t t R Soluione dell eserciio 2 Ricaviamo le interseioni con l asse Poichè f a, ) = = + ) ) i punti cercati sono, per ogni valore di a, i punti P ± = ±, ) Scriviamo la matrice rappresentativa della conica A = a a e vediamo quando è degenere Poichè DetA) = a 2 6 = non ha soluioni reali concludiamo che la conica è sempre non degenere Il determinante della matrice A è a 2 quindi la conica è una parabola per a = ±2, un ellisse per a 2, 2) e un iperbole nei casi rimanenti Siccome abbiamo ricavato dei punti di E 2 che appartengono alla conica per ogni valore di a, concludiamo che la conica è sempre a punti reali Quindi, la forma canonica affine della conica è a = ±2 2 = D : a 2, 2) = a > = Poniamo a = 2 Poichè la traccia di A è e il suo determinante è, concludiamo che i suoi autovalori sono e Un veloce conto mostra che gli autospai sono Di conseguena la matrice V = 2, ) T e V =, 2) T M = [ ] 2 2 identifica una rotaione R che permette di scrivere l equaione di C a sena usare il monomio Infatti, se = 2 ) = + 2 )

6 si ha f a = = = 2 ) ) 2 2 ) + 2 ) ) 8 2 ) + = = + 8) ) ) ) 8 2 ) + = = ) Completiamo il quadrato in ricordandoci che vogliamo fare in modo che la trasformaione finale sia un isometria) f a = = [] = = ) = dove abbiamo posto = = ) = = + ) 2 6 T : 2 = = + ) ) 6 + = ) 9 = 6 2 ) = ) Avremo quindi che dopo avere effettuato la rotaione R e la traslaione T avremo trasformato la conica in =, che è in forma canonica L isometria ricavata è quindi data dalla trasformaione F : 2 = 9 8 = 2 + ) 9 8 = ) = + = + 2) + = ) Consideriamo la quadrica Q Si vede chiaramente che tramite la traslaione = + 2 T : = = trasformiamo l equaione di Q nell equaione 2 + f 2, ) = Dai conti fatti prima sappiamo che la trasformaione 2 = ) 8 G : 2 = ) 2 = è un isometria ed è tale che

7 F = ) 2 + f 2 + 2, ) = 2 + f 2, ) = Di consequena l isometria 2 = ) 2 + 2) G : 2 = ) + 2) = permette di ridurre la quadrica assegnata alla forma canonica = da cui si deduce facilmente che Q è un paraboloide ellittico la cui forma canonica affine è X 2 +Y 2 Z = ) Soluione dell eserciio 3 Il punto P è l origine quindi possiamo facilmente ricavare la sua molteplicità semplicemente osservando l equaione della curva Il complesso dei monomi di grado minimo è = ) 2 e ha grado 2 quindi m C P ) = 2 ed esiste un unica tangente principale alla curva nel punto P, la retta di equaione r : = Poichè vale ft, t) = t concludiamo che IC, r; P ) = e quindi P è un tacnodo) Poichè fp 2 ) = si ha m C P 2 ) = Si ha invece fp 3 ) = quindi la molteplicità in P 3 è almeno Scriviamo il gradiente di f e controlliamo se si annulla per capire se la molteplicità è o più alta Abbiamo f) = , ) e si vede facilmente che f ) P3 = ) )) P3 = ) )) P3 quindi P 3 è un punto non degenere: m C P 3 ) = Passiamo alla scrittura proiettiva omogeneiando l equaione F := e poi, intersechiamo con la retta all infinito 2 = Siccome F,, ) = = ) = ) 2 ) I punti all infinito della curva sono Q = [,, ] Q = [,, ] Q 2 = [2,, ] Se due di questi tre punti fossero singolari sarebbe violato il teorema di Beout in quanto = IC, 2 = ; Q ) + IC, 2 = ; Q ) + IC, 2 = ; Q 2 ) = Dimostriamo che Q è singolare Deomogeneiiamo rispetto alla variabile quindi scrivendo l equaione f della curva C che ci servirà dopo): f = w w 3 w 2 2w 3 + w 2 w 2 2 2w w w 2 + w w 2 + w 2 2

8 Di conseguena, il punto, ) è un punto doppio per C si poteva anche capire dal fatto che compare al più con esponente 2 nell equaione quartica) Il complesso dei monomi di grado minimo di f è 2w 2 + w w 2 + w2 2 e ha disciminante uguale a 7: concludiamo che l origine è un punto doppio ordinario Più precisamente, siccome ) ) 2w 2 + w w 2 + w2 2 = 2 w i 7 w w 2 + i 7 w ricaviamo facilmente le equaioni delle due rette Omogeneiandole otteniamo le espressioni delle tangenti principali in Q : r + : i 7 = r : 2 + i 7 = Abbiamo già visto come la retta proiettiva = interseca la curva nella carta affine U 2 : si tratta infatti proprio della chiusura proiettva della tangente nel punto P Di conseguena, IC, = ; [,, ]) =, il punto [,, ] è l unico punto di interseione tra le due chiusure proiettive e le due curve affini non si intersecano in nessun punto A conferma di ciò, l equaione di L è w = e si vede facilmente che f, w 2 ) =