Sfera in E 3 (R) x 2 +y 2 +z 2 +ax+by+cz+d=0 a,b,c,d R di centro e raggio

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1 Sfera in E 3 (R) x axbcd a,b,c,d R di centro e raggio a b c 1 C,, r a b c 4d Oppure (x-x c ) (- c ) (- c ) r Eserciio 1 Determinare, se esiste,l equaione della sfera passante per O(,,), (-,,), B(,6,) e D(-1,,1). Determinarne il centro e il raggio. S : x axbcd a,b,c,d R O S d S 4-ad a B S 366bd b -6 D S 11-acd c S : x x-6, sfera di C(-1,3,) e r 1. Eserciio Determinare l equaione della sfera di centro C(-1,,) e tangente al piano µ: x3-. Leione - lgebra e Geometria - nno accademico 9/1 1

2 llora il raggio è la distana di C da µ d( C, µ ).( 1) L equaione della sfera è dunque: 14 7 S: (x1) (-) (-) /7 C H Eserciio 3 Determinare le equaioni delle sfere aventi centro sulla retta x 3 e tangenti ai piani di equaione x e x-. Il centro ha coordinate da determinare C(,t,3) e la sua distana da entrambi i piani deve essere uguale: t t da cui t3 -t5 L unica soluione che si ottiene da t3±(-t5) è t1 Il centro è quindi C(,1,3) e il raggio è 4 3 /3. L equaione della sfera è: S: Leione - lgebra e Geometria - nno accademico 9/1

3 Eserciio 4 Determinare, se esiste, l equaione della sfera S con centro sulla retta r: x x tangente al piano π: x--8 nel punto P(3,,). Determinare l equaione del piano tangente in Q(-1,,) a S. Il centro deve allora appartenere alla retta passante per P ortogonale al piano π; i suoi parametri direttori sono [(,1,-1)] e le equaioni sono: x r C P Poiché questa retta è incidente la retta r, si trovano le coordinate del centro C(1,1,1) intersecando la retta data con r. Calcolando la distana di C dal piano π si trova il raggio d(c,p) 6. S:... Il punto Q appartiene alla sfera. Il piano tangente per Q sarà ortogonale alla direione C,Q di parametri direttori [(,1,-1)]:.. Leione - lgebra e Geometria - nno accademico 9/1 3

4 Esercii da svolgere Determinare, se esistono, le equaioni delle sfere: a) Passante per i punti (1,1,1), B(3,3,1) e avente il centro sulla retta x-1 5. Determinare le equaioni dei piani tangenti in e in B alla sfera trovata. b) Tangente al piano x in (,,-3) e tangente a x--1 in B(,1,). c) Determinare le equaioni delle sfere aventi centro sulla retta 1 x-1 e tangenti ai piani di equaione x e x-. Leione - lgebra e Geometria - nno accademico 9/1 4

5 Circonferena in E 3 (R) La circonferena può essere ottenuta come seione di una sfera con un piano. Non è l unica seione possibile. La stessa circonferena è rappresentabile come interseione tra varie sfere (con i centri appartenenti ad una medesima retta detta retta dei centri ) e un unico piano. Quando potremo scegliere la sfera preferiremo considerare quella che ha il centro sul piano in modo tale che il centro della circonferena coincida con il Leione - lgebra e Geometria - nno accademico 9/1 5

6 centro della sfera e così pure il raggio della sfera coincida con il raggio della circonferena. ssegnata una circonferena, seione tra sfera e piano, teniamo presente che: il centro della circonferena è il punto d interseione tra il piano dato e la retta ortogonale al piano passante per il centro della sfera; il raggio della circonferena (cateto) può essere ottenuto con il teorema di Pitagora applicato al triangolo C CP dopo aver trovato il raggio della sfera (ipotenusa) e la distana del centro della sfera dal piano (cateto). ffinché la circonferena sia reale: CP>CC. C C P Leione - lgebra e Geometria - nno accademico 9/1 6

7 Eserciio 1 Determinare il centro e il raggio della circonferena x γ : x 1. Il centro della sfera è C(1,1,) e il raggio r. La distana del centro C dal piano è 1: dunque la circonferena è reale. Il raggio della circonferena misura 1. Il piano -1 ha coefficienti a, b, c1 dunque una retta ortogonale ha parametri direttori [(,,1)]. La retta ortogonale al piano di γ passante per il centro è x-1-1. Il centro della circonferena si ottiene intersecando la retta x-1-1 con -1: C (,, ). Eserciio Determinare il centro e il raggio della circonferena x γ : x Leione - lgebra e Geometria - nno accademico 9/1 7

8 La sfera ha centro C(1,-,) e raggio r, mentre la distana del piano dal centro C è 3 : circonferena non reale. Eserciio 3 Determinare il centro, il raggio della circonferena x γ : x x 9 e l equaione della retta tangente al punto P(3,3,) della circonferena. Il centro della sfera è C(-1,3,-) e il raggio è rcp 5. La distana del centro dal piano è CC 6. Il raggio della circonferena C P 14 (teorema di Pitagora applicato al triangolo C CP). La retta passante per C e ortogonale al piano ha equaione o: (x1)/(-3)/1()/(-1). Leione - lgebra e Geometria - nno accademico 9/1 8

9 Intersecando la retta o con il piano si ottengono le coordinate del centro della circonferena C (1,4,-3). Il piano tangente alla sfera nel punto P è ortogonale alla direione di CP [(4,,)]: 4x-1. La retta tangente è l interseione tra il piano tangente e il piano che contiene la curva γ: 4x -1 t : x Eserciio 4 Determinare le equaioni cartesiane della circonferena, se esiste, passante per i punti (1,,), B(,1,), e D(4,,-1). Il piano che contiene i tre punti si ottiene imponendo x-x det xb x xd x nullo: - B D - B D π: x-51. x 1 x Il centro della circonferena deve essere equidistante da, B e D e deve appartenere al piano π. tal fine Leione - lgebra e Geometria - nno accademico 9/1 9

10 determiniamo due dei tre piani assiali del triangolo BD. Piano assiale di α B : (x-1) (-) (-) (x-) (-1) (-) Facendo i conti α B : x- Piano assiale di α BD : (x-4) (-) (1) (x-) (-1) (-) Facendo i conti α BD : 4x---8. llora le coordinate del centro della circonferena si ottengono risolvendo: x 5 1 x 4x 8 17 x Il raggio è dato dalla distana centro punto (o B, o 4 D): 3. Valgono le consideraioni fatte all iniio della leione, potendo scegliere la sfera da seionare: Leione - lgebra e Geometria - nno accademico 9/1 1

11 γ : x x Eserciio 5 Determinare le equaioni cartesiane della circonferena γ, se esiste, che ha centro sulla retta r: x-1-x ortogonale al piano che la contiene e passante per il punto (,-1,3). Si determini l equaione della retta tangente in a γ. Il piano della circonferena è ortogonale a r e passa per : sapendo che i parametri direttori di r sono [(1,1,1,)], il piano risulta di equaione x-4. Il centro della circonferena è dato dall interseione tra r e il piano π: C(1,,1). Il raggio della circonferena è pari alla distana di C da : 14. llora tra tutte le sfere scegliamo quella con centro sul piano π. La sfera risulta di equaioni: Leione - lgebra e Geometria - nno accademico 9/1 11

12 ( x 1) γ : ( ) ( 1) x 4 14 Determino i parametri della direione di C: [(1,-3,)]. Il piano per tangente alla sfera risulta di equaione x La retta t tangente è quindi l interseione tra il piano di γ e il piano tangente:... t :.... Eserciio 6 Determinare le equaioni cartesiane della circonferena γ passante per il punto (-1,-1,-), B(-1,-3,) che ha centro sulla retta r:x-1-1 (non necessariamente ortogonale al piano che la contiene). Il centro della circonferena appartiene anche al piano assiale del segmento B: Leione - lgebra e Geometria - nno accademico 9/1 1

13 Leione - lgebra e Geometria - nno accademico 9/1 13 α B : (x1) (1) () (x1) (3) (-) Svolgendo tutti i calcoli si ottiene: α B : -. Troviamo le coordinate del centro della circonferena risolvendo il sistema 1 1 x 1 1 x Il raggio è la distana di C (1,,1) da (oppure B) C 14. Determiniamo l equaione del piano che contiene, B e C : B C

14 x x x π : 5x-4--3 Potendo scegliere la sfera, costruisco l equaione della sfera che ha centro coincidente con il centro della circonferena: ( x 1) ( ) ( 1) γ : 5x Luogo geometrico in E 3 (R) ottenuto mediante rotaione di punti attorno ad una retta (asse) Eserciio 1 Si determinino le equaioni cartesiane del luogo geometrico L decritto dal punto P(-1,-,3) attorno x alla retta a: 3. La rotaione del punto P avviene sul piano ortogonale all asse a di rotaione: poiché i parametri direttori di a sono [(,,1)], il piano π ha equaione 3. Leione - lgebra e Geometria - nno accademico 9/1 14

15 llora il centro della circonferena generata dalla rotaione di P si ottiene come soluione del sistema x 3 3 (asse piano) C (,3,3). P a C Il raggio è la distana C P 6. Individuo la circonferena come interseione tra il piano π e la sfera che ha centro coincidente con il centro della circonferena: L :.... Eserciio Si determini un equaione cartesiana della superficie L ottenuta dalla rotaione della retta r: 1 x attorno alla retta a: x x. Leione - lgebra e Geometria - nno accademico 9/1 15

16 I parametri direttori di a sono [(,-1,)]. a π C P Un punto P della retta è di coordinate P(t,t,1) con t R. Tale punto ruota su un piano ortogonale all asse a: x--t (piano π). Il centro C della circonferena descritta da P è il punto d interseione tra il piano trovato e l asse: C (/5 t, -1/5 t, ). 9 t 5. Il raggio è la distana PC 1 l variare del parametro t le circonferene hanno dunque equaione: Leione - lgebra e Geometria - nno accademico 9/1 16

17 Leione - lgebra e Geometria - nno accademico 9/ ) ( : t x t t t x γ t, t R l variare di t, queste infinite circonferene descrivono la superficie richiesta (iperboloide); per ricavare un equaione cartesiana basta eliminare il parametro t isolando tx- dalla seconda equaione e sostituendolo nella prima: L:..