La meccanica quantistica come modello matematico.

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1 La meccanica qantistica come modello matematico. (Da I fondamenti concettali della meccanica qantistica di Abner Shimony, La nova Fisica a cra di Pal Davis Bollati Boringhieri ). A) La conoscena dello stato di n sistema ci deve permettere di prevedere i risltati di qalnqe misra appropriata che si possa fare s di esso. B) Spponiamo che lo stato sia dipendente dal tempo, cioè contenga le proprietà casali del sistema (evolione deterministica). Nel caso di n sistema dinamico formato da na particella che si move soggetta a na fora che dipende dalla posiione lo stato pò essere descritto mediante no spaio di dimensione 6 (,y,,p,p y,p ) in qanto la sola posiione non è sfficiente a determinare la casalità del sistema stesso. La proprietà A) è soddisfatta definendo osservabili appropriate, qali, ad esempio, il momento angolare f(,p)= p. In generale gli stati di n sistema di N particelle sono rappresentati in spai di dimensione 6N. In meccanica qantistica manca n legame intitivo tra la matematica e la fisica. La natra astratta della matematica tiliata si basa proprio sll aspetto più fondamentale della meccanica qantistica: non è possibile prevedere i risltati esatti delle misre fatte s n sistema, ma solo le probabilità di ottenere certi valori. La novità della meccanica qantistica consiste nel fatto che la conoscena del sistema è intrinsecamente probabilistica, nel senso che non pò essere migliorata raccogliendo lteriori informaioni sl so comportamento. In meccanica qantistica assegnare no stato permette di calcolare solo le probabilità dei risltati delle misre, non i risltati medesimi e sono qeste probabilità che evolvono in maniera casale. Gli STATI di n sistema qantistico si possono rappresentare come elementi di no SPAZIO VETTORIALE, in modo tale che a ogni possibile risltato di na misra di n osservabile corrisponda n certo vettore del medesimo spaio, e che la probabilità di trovare qel particolare risltato, se il sistema si trova in no stato rappresentato da n vettore diverso, sia il qadrato del coseno dell angolo compreso tra i de vettori. Fondamenti concettali della meccanica qantistica. Innovaioni radicali introdotte nel modo di ragionare qantistico: indeterminaione oggettiva, casalità oggettiva, probabilità oggettiva, potenialità, mescolamento di stati e non località. Innovaioni concettali della meccanica qantistica. I concetti di indeterminaione, caso, probabilità e mescolamento. In relaione a n sistema, chiamiamo ALTERNATIVA na grandea che pò assmere i valori Vero o Falso. Secondo la fisica classica, la specificaione di no STATO del sistema determina la verità o la falsità di ttte le se alternative. In Meccanica qantistica, nella determinaione più completa di n sistema (lo STATO) permangono alternative per ci non si pò affermare né che siano VERE, né che siano FALSE. Si parla allora di INDETERMINAZIONE OGGETTIVA. Se pensiamo a n qalche procedimento ( di misra o altro) che permetta di seleionare n particolare valore di n alternativa a indeterminata in no stato S, il valore ottento non è determinato né da S, né dagli STATI degli altri sistemi che entrano nel processo. Si tratta di CASUALITÀ OGGETTIVA che dipende, a sa volta, dalla indeterminaione oggettiva ed è, pertanto, na proprietà tipicamente qantistica. In tal caso possiamo associare al valore seleionato na PROBABILITÀ OGGETTIVA, così definita, perché dipende solo dallo stato S e dall alternativa a. Segendo Heisenberg potremmo definire poteniale n alternativa indeterminata in n stato S. Una procedra che determina n particolare valore di a si dice che realia na potenialità. In fisica classica lo stato di n sistema composto +2 a n istante t è completamente determinato dagli stati di e 2 separatamente, prché ciascno dei de contenga sfficienti informaioni relativamente all altro. Se i de sistemi interagiscono, l evolione dell no dipende dall evolione dell altro, ma in ogni istante gli stati di e 2 possono essere caratteriati indipendentemente. In meccanica qantistica, invece, il sistema +2 pò trovarsi, a n certo istante, in no stato mescolato, nel senso che nessno dei de si trova in no stato definito, ma lo stato composto sì. In no stato mescolato le potenialità di e 2 sono così intrecciate che esistono coppie di alternative, a per il sistema e a 2 per il sistema 2, che sono entrambe indeterminate e tali che, qando vengono realiate mediante opportne procedre risltano essere entrambe vere o entrambe false. Alcni preliminari matematici. Diamo per scontata la conoscena delle fondamentali proprietà di n spaio vettoriale V Consideriamo ttti i vettori applicati in O: segmenti orientati ( s.o.) che hanno come primo estremo n fissato pnto O e come secondo estremo n qalsiasi pnto P dello spaio. La somma ( o la differena ) tra de di qesti vettori o il prodotto di n vettore per no scalare è ancora n vettore dello stesso tipo.

2 v +v - w w- O k Sappiamo tiliare qeste operaioni con le relative proprietà. Abbiamo n modello intitivo di spaio vettoriale V. La lnghea di n vettore si indica con. Dati de vettori, e v, indichiamo con P v il vettore proieione ortogonale di v s. v P v Possiamo pensare alla dimensione dello spaio vettoriale come al massimo nmero di vettori tra loro ortogonali. In no spaio di dimensione tre, per esempio, possiamo trovare al massimo tre vettori tra loro ortogonali. 3 P 3 v v 2 Ttti i vettori della forma =k +h 2, con k e h in R (in C), formano n sottospaio di dimensione 2 che chiamiamo E, per ci i vettori possono essere individati come proieione ortogonale di v s E, = P E v, mentre i vettori del tipo P 3 v possono essere indicati con il simbolo P E v, in qanto tali vettori appartengono al sottospaio E di V 3 ortogonale a E. Per ogni vettore v di V 3 si pò, qindi, scrivere (*) v= P E v + P E v. Le consideraioni precedenti si possono estendere facilmente a no spaio vettoriale V n, di dimensione n, nel senso che, per qalnqe sottospaio E, è possibile determinare il sottospaio ortogonale E in maniera tale che valga (*). Osservaione: per poter tiliare gli spai vettoriali nella meccanica qantistica è necessario considerare nmeri complessi invece che reali e dimensione infinita (oltre che finita). 2

3 Se consideriamo v=av +bv 2, si pò constatare che P E v=p E (av +bv 2 )=ap E (v )+bp E (v 2 ). Qesto è n esempio di operatore lineare definito in no spaio vettoriale. Definiamo n altro concetto importante per la meccanica qantistica : lo spaio vettoriale ottento come PRODOTTO TENSORIALE a partire da de spai vettoriali. Lo facciamo con n esempio. Consideriamo U(, 2 ) e V(v,v 2,v 3 ), de spai vettoriali di dimensione 2 e 3, rispettivamente, di ci i vettori entro parentesi, di norma nitaria e ortogonali tra loro, rappresentano le basi. Indichiamo con U V lo spaio prodotto tensoriale, di dimensione 2*3=6 e avente come base i vettori v, v 2, v 3, 2 v, 2 v 2, 2 v 3 di norma nitaria e ortogonali tra loro. Per fissare le idee, si pò pensare che il vettore 2 v 3, per esempio, di coordinate (0,0,0,0,0,) si ottiene da 2 (0,) e v 3 (0,0,) moltiplicando ciascna delle coordinate di 2 per ciascna delle coordinate di v 3. I vettori ψ = i = n j= m i= j= c ij v, al variare di c ij in C (o in R) sono gli elementi dello spaio vettoriale ottento come i j prodotto tensoriale degli spai U e V. Si pò osservare che, in generale, non è possibile esprimere n qalsiasi tensore ψ nella forma ψ= v, con U, v V. Infatti, se così fosse, da =c +c 2 2 e v=d v +d 2 v 2 +d 3 v 3 si avrebbe ψ = c d v + c d 2 v 2 +c d 3 v 3 +c 2 d 2 v +c 2 d 2 2 v 2 +c 2 d 3 2 v 3 e ψ = c v + c 2 v 2 +c 3 v 3 +c 2 2 v +c 22 2 v 2 +c 23 2 v 3. c d c c = d c c d 2 c 2 d 2 c 2 c d 3 c 3 d 3 c 3 c 2 d c 2 c 2 c 2 /c c 2 d 2 c 22 c 2 d 2 c 22 c 22 = (c 2 /c )* c 2 c 2 d 3 c 23 c 2 d 3 c 23 c 23 = (c 2 /c )* c 3 Ora, spponendo noti i coefficienti c ij, assegnando n valore arbitrario a c risltano determinati, dalle prime tre relaioni di gagliana dei coefficienti, d,d 2 e d 3. Ma allora la qarta, ad esempio, mi permette di determinare c 2. A qesto pnto sarebbero determinati c 22 e c 23, contro l ipotesi che ψ sia n tensore qalnqe del prodotto tensoriale. Ennciamo ora i principi formali della meccanica qantistica. Principio. A ogni sistema fisico è associato no spaio vettoriale complesso V in maniera tale che ogni vettore di lnghea (norma) nitaria rappresenti no stato del sistema. Principio 2. Esiste na corrispondena binivoca tra l insieme delle alternative presenti nel sistema e l insieme dei sottospai che lo descrive, nel senso che ogni vettore rappresentante di no stato in ci l alternativa a è vera appartiene all insieme E che determina il sottospaio. Viceversa, ogni vettore rappresentante di no stato in ci l alternativa a è falsa appartiene all insieme E. Commento: il P2 non significa che, dato no stato S del sistema, ogni alternativa debba essere necessariamente vera o falsa, perché, evidentemente, n vettore rappresentante di S pò non appartenere né a E, né a E. Principio 3. Se il sistema si trova iniialmente in no stato S e viene esegita na procedra per determinare n alternativa a corrispondente al sottospaio E, la probabilità che tale alternativa rislti vera è data da probs(a)= P E v 2 Dove v è n vettore nitario che rappresenta S. Nei tre principi esposti è implicito il famoso principio di sovrapposiione che pò essere dedotto alla maniera segente: siano e 2 de versori ortogonali con E e 2 E,. Esiste n alternativa a che è vera nello stato rappresentato da e falsa nello stato rappresentato da 2. Consideriamo ora il vettore =c +c 2 2, con c e c 2 0, c 2 +c 2 2 =, otteniamo no stato in ci l alternativa a non è né vera né falsa, ma indeterminata. 3

4 Principio 4. Si considerino de sistemi fisici associati agli spai vettoriali V e V2, allora il sistema +2, composto dei sistemi dati, è associato al prodotto tensoriale V V2. Consideriamo,v V e 2, v 2 V2, con ortogonale a v e 2 ortogonale v 2. Il vettore (tensore) ψ = ( 2 + v v 2 )/ 2 rappresenta no stato di +2, ma non esistono de vettori w e, rispettivamente di V e V2, tali che ψ = w. In altre parole, per la definiione di ψ si applica il principio di sovrapposiione agli stati 2 e v v 2, ciascno dei qali ha significato anche per il senso comne, per generare no stato che non è interpretabile secondo il senso comne: no stato mescolato. Relaione tra mescolamento e indeterminaione oggettiva: se l alternativa a è vera nello stato ( qindi falsa nello stato v ) e se a 2 è vera nello stato 2 (qindi falsa in v 2 ), a e a 2 hanno probabilità ½ di essere entrambe vere o entrambe false nello stato mescolato ψ e probabilità nlla di essere na vera e l altra falsa. Se i sistemi e 2 sono ben separati nello spaio, il mescolamento dà logo a na sorta di non località e la realiaione correlata delle potenialità di e 2 appare come n processo non locale. Principio 5. Se nell intervallo compreso tra gli istanti 0 e t il sistema è immerso in n ambiente non reattivo, esiste n operatore lineare U(t) tale che, se v rappresenta lo stato del sistema all istante 0, allora U(t)v rappresenta lo stato all istante t. Inoltre U(t) conserva le lnghee, cioè U(t)v = v per ogni vettore v di V. Osservaione: il principio 5 non pò essere tiliato per segire l evolione temporale di n sistema mentre qesto è sottoposto a misra, perché l ambiente, in qesto caso, deve essere reattivo, nel senso che na parte di esso deve reagire in n modo se n alternativa è vera, in modo diverso se è falsa. Pò accadere, tttavia, che il sistema e l apparato di misra possano essere considerati come n nico sistema composto, il ci ambiente pò essere considerato non reattivo. Un esempio: i fotoni polariati linearmente. La lce polariata linearmente, incidente s no strato di polaroid in direione perpendicolare a esso, pò essere considerata come n fascio di fotoni non correlati tra loro. Se la direione di propagaione di n fotone coincide con l asse, la direione della sa polariaione lineare giace sl piano -y. Lo spaio vettoriale V pol associato al sistema ha dimensione 2. Ogni stato pò essere rappresentato come combinaione lineare di e y, risp. versori degli assi e y, oppre di de altri versori ortogonali e y, ottenti rotando gli assi e y di n angolo ϑ. Sia E il sottospaio di V pol costitito da ttti i vettori proporionali a. L alternativa a è vera qando il fotone è polariato linearmente lngo l asse. Analogamente per le altre alternative. I init I init cos 2 È ragionevole spporre che, qando n fotone incide s no strato di polaroid con asse ottico secondo la direione, si sia realiata l alternativa a. In base al principio 3, la probabilità che a sia vera è data dal qadrato della proieione di s, cioè cos 2 ϑ che coincide con la freqena di passaggio di n fotone attraverso il polaroid. Possiamo anche affermare che lo stato di polariaione di ttti i fotoni che attraversano lo strato è dato dal versore I init. I init cos 2. I init cos 2. 4

5 Se n raggio, iniialmente polariato secondo l asse e con intensità I init, è fatto incidere in sccessione s de strati polaroid con assi ottici e y tra loro ortogonali, nessn fotone riesce ad attraversarli entrambi. y I init I init I=0 Qesto fatto è previsto dalla meccanica qantistica perché i fotoni, dopo essere sciti dal primo strato, si trovano nello stato, per ci la probabilità di passare attraverso il secondo strato è data da P Ey 2 = 0. y I init I init cos 2 sin 2 Se inseriamo n novo strato con asse ottico nella direione, l intensità del fascio emergente dalla sccessione dei tre strati di polaroid non è più ero, ma I fin =I init cos 2 ϑsin 2 ϑ, relaione che pò essere verificata sperimentalmente facendo variare l angolo ϑ. La coppia di polariatori incrociati, iniialmente opaca, è resa parialmente trasparente mediante l inserimento di no strato intermedio, anche se, ragionando in base al senso comne, sembrerebbe che il novo strato dovesse costitire n novo ostacolo alla propagaione dei fotoni. Se si tilia la meccanica qantistica, i fotoni che escono dal primo strato si trovano nello stato e la probabilità che regola il loro passaggio intermedio è data da P E 2 = cosϑ 2 = cos 2 ϑ ma ogni fotone che emerge dallo strato intermedio è nello stato, dnqe la probabilità di n so passaggio attraverso l ltimo strato è P Ey 2 = cos(π/2-ϑ) 2 = sin 2 ϑ La probabilità di passaggio attraverso la sccessione di tre strati è data allora da cos 2 ϑ sin 2 ϑ In accordo con l intensità I fin trovata sperimentalmente. 5