Ingegneria Meccanica; Algebra lineare e Geometria 2008/2009

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1 Ingegneria Meccanica Algebra lineare e Geometria 8/9. Esercii svolti sugli spai vettoriali Eserciio. Dopo aver dimostrato che l insieme R, determina le coordinate del vettore v = rispetto a tale base. Dimostriamo che i tre vettori sono linearmente indipendenti: a + a + a = dobbiamo risolvere il seguente sistema lineare omogeneo: a a = a + a = a + a = èunabasedi risolviamo il sistema scritto con l eliminaione di Gauss: poiché i tre pivot sono, l unica soluione è a = a = a = : abbiamo dimostrato che i tre vettori sono linearmente indipendenti. Possiamo allora determinare le coordinate del vettore v rispetto a questa base: v = = x + x + x anche in questo caso risolviamo il sistema lineare con l eliminaione di Gauss:

2 il sistema che abbiamo ottenuto è triangolare superiore: x x = x +x = x = x = = x = ( )+= x = Le coordinate di v rispetto alla base assegnata sono: (,, ). Osservaione: è possibile risolvere l eserciio cercando direttamente di scrivere v come combinaione lineare dei tre vettori assegnati all iniio se i coefficienti della combinaione lineare sono unici allora i tre vettori formano una base di R e le coordinate sono proprio i coefficienti calcolati. Eserciio. Determina l interseione dei due sottospai di R : U = Span W = Span. Descrivi anche il sottospaio U + W. Osserviamo che i vettori assegnati per U sono linearmente indipendenti la stessa cosa vale per x W. Cerchiamo quei vettori v = y che possono essere scritti sia come combinaione lineare dei vettori di base di U sia come combinaione lineare dei vettori di base diw : x x y U y = a + a () x y W uguagliando otteniamo: a + a portando tutto a sinistra abbiamo: a + a x y + b = b = b + b + b + b dobbiamo risolvere il seguente sistema lineare omogeneo a + a b = a b = a b + b = () =

3 . Esercii svolti sugli spai vettoriali con l eliminaione di Gauss otteniamo: poiché nella quarta colonna non c è il pivot, possiamo prendere b come parametro libero k: a + a b = a + b k = b +k = abbiamo quindi ottenuto come soluione a a b b a + a b = a = b k b = k = k k k = k a = b a = k =k a = b k = k k = b = k se prendiamo k = otteniamo a =ea = che, sostituiti nella (), forniscono come risultato il vettore: + = in definitiva, possiamo affermare che U W = Span. A questo punto, per studiare lo spaio U + W, possiamo applicare la formula di Grassmann: dim(u + W )=dimu +dimw dim(u W ) dim(u + W )=+ = possiamo allora affermare che U + W = R non si tratta però di una somma diretta, in quanto l interseione dei due sottospai U e W non si riduce al solo vettore nullo di R. Eserciio. Nello spaio R t si considerino i seguenti sottospai vettoriali: U = {p R t :p() = p()} W = Span{t t }. a) Si determini una base per U eperw b) Si descriva il sottospaio U W c) Si descriva il sottospaio U + W d) Si scriva (se possibile) il polinomio p(t) =t come somma di un polinomio di U ediunpolinomio di W.C è un unica soluione? Perché? a) La verifica che U è un sottospaio vettoriale è lasciata al lettore. Studiamo i polinomi U tanto per iniiare scriviamo un generico polinomio R t, p(t) =a + a t + a t, e cerchiamo di scoprire che relaione ci deve essere tra i suoi coefficienti affinché p() = p(). Se calcoliamo il

4 polinomio in t = otteniamo p() = a + a + a se facciamo la stessa cosa per t = otteniamo p() = a mettiamo le due espressioni nel vincolo p() = p(): a + a + a =a a = a + a possiamo allora sostituire il coefficiente di grado ero nell espressione generale di p(t): mettendo in evidena a e a ricaviamo: p(t) U p(t) =(a + a )+a t + a t p(t) U p(t) =a ( + t)+a ( + t ) ovvero p(t) può essere scritto come combinaione lineare dei due polinomi ( + t) e(+t ) non è difficile verificare che questi due polinomi sono linearmente indipendenti (non sono proporionali). In definitiva possiamo allora affermare che una base β per il sottospaio U è fornita proprio da questi due polinomi: β U = {+t +t }. Per quanto riguarda W il discorso èmoltopiù semplice: è facile vedere che i due polinomi sono linearmente indipendenti e quindi costituiscono una base per W si ha quindi β W = {t t }. b) Per quanto riguarda l interseione dobbiamo trovare tutti i polinomi che possono, da un lato, essere scritti come combinaione lineare di ( + t) e(+t ), dall altro come combinaione lineare di (t ) e t. In poche parole dobbiamo impostare l equaione: a ( + t)+a ( + t )=b (t ) + b t () portando tutti i termini a sinistra e ordinando secondo le potene crescenti di t, otteniamo: (a + a + b ) +(a b ) t +(a b ) t = ma lo a destra in realtà è il polinomio nullo, e quindi possiamo scrivere: (a + a + b ) +(a b ) t +(a b ) t = +t +t per il principio di identità dei polinomi possiamo uguagliare i coefficienti delle potene di t, ricavando il seguente sistema lineare omogeneo: a + a + b = a b = a b = seguiamo l eliminaione di Gauss: prendendo b come parametro libero k si ricava: a + a + b = a b = b k = a = a b = k + k = k a = b = ( k ) = k b = k

5 . Esercii svolti sugli spai vettoriali 5 abbiamo trovato quindi che: a a b b = k k k k = k prendendo k = troviamo che a = ea = e quindi, se sostituiamo nella parte sinistra dell equaione (), troviamo che: ( ) ( + t)+ ( + t )= t +t. In definitiva, possiamo affermare che U W = Span{ t +t }. c) Per quanto riguarda la somma U + W è sufficiente riferirsi alla formula di Grassmann: dim(u + W )=dimu +dimw dim(u W ) dim(u + W )=+ = quindi, dal momento che dim(r t) =, risulta U + W = R t, ma non si tratta di somma diretta. d) Poiché sappiamo che U + W = R t, sappiamo che troveremo sicuramente due polinomi come richiesto (cioè uno U e l altro W ) non solo, ma poiché sappiamo che U + W non è somma diretta, troveremo infinite soluioni. Verifichiamo l esattea delle nostre previsioni con i calcoli: t = λ ( + t)+λ ( + t )+λ (t ) + λ t svolgendo i calcoli e raccogliendo i termini simili, otteniamo: +t +t =(λ + λ λ ) +(λ + λ ) t +(λ + λ ) t il sistema da risolvere è con l eliminaione di Gauss si ottiene: λ + λ λ = λ + λ = λ + λ = prendendo λ come parametro libero k otteniamo: λ = λ + λ λ =λ λ = k λ = λ + λ = k + k = +k λ = ( ) k = k = k λ = k in definitiva, il polinomio t può essere scritto in questo modo: t = +k ( + t)+( k) ( + t )+ k abbiamo trovato infinite soluioni, come previsto. (t ) + k t

6 6 Eserciio. Si considerino i due sottospai vettoriali di R t: U = {p R t :p() = } e W = {p R t :p() = }. a) Trovare una base per U e W b) Determinare una base per U W c) Determinare una base per U + W. La verifica che i due insiemi sono sottospai è lasciata al lettore. a) Un polinomio p = a + a t + a t + a t appartiene ad U se e solo se p() =, cioè serisulta: p() = a + a + a + a = a = a a a ovvero il polinomio può essere scritto come p =( a a a )+a t + a t + a t raccogliendo rispetto ai coefficienti a k troviamo che: p = a (t ) + a (t ) + a (t ) questo implica che U = Span { t t t } dimostriamo ora che i tre polinomi generatori di U sono anche linearmente indipendenti: λ (t ) + λ (t ) + λ (t ) = ( λ λ λ ) +λ t + λ t + λ t = + t + t + t uguagliando i coefficienti delle potene di t si trova: λ λ λ = λ = λ = λ = λ = λ = λ = i tre polinomi generatori di U sono anche linearmente indipendenti: formano quindi una base del sottospaio U. Ripetiamo ora tutto quanto per W. Un polinomio p = a + a t + a t + a t appartiene a W se e solo se p() =, cioè serisulta: p() = a +a +a +8a = a = a a 8a ovvero il polinomio può essere scritto come p =( a a 8a )+a t + a t + a t raccogliendo rispetto ai coefficienti a k troviamo che: p = a (t ) + a (t ) + a (t 8) questo implica che W = Span { t t t 8 }.

7 . Esercii svolti sugli spai vettoriali 7 Dimostriamo ora che i tre polinomi generatori di U sono anche linearmente indipendenti: λ (t ) + λ (t ) + λ (t 8) = ( λ λ 8λ ) +λ t + λ t + λ t = + t + t + t uguagliando i coefficienti delle potene di t si trova: λ λ 8λ = λ = λ = λ = λ = λ = λ = i tre polinomi generatori di W sono anche linearmente indipendenti: formano quindi una base del sottospaio W. b) Tanto per iniiare facciamo una stima sulla dimensione dell interseione U W poiché ovviamente risulta dim(u + W ) dim(r t), per la formula di Grassmann si ha: dim(u W )=dimu +dimw dim(u + W ) + = dim(u W ). Cerchiamo ora quei polinomi che appartengono sia ad U sia a W : a (t ) + a (t ) + a (t ) = b (t ) + b (t ) + b (t 8) () ordiniamo secondo le potene crescenti di t: ( a a a +b +b +8b ) +(a b )t +(a b )t +(a b )t = uguagliando i coefficienti delle potene di t si giunge al sistema lineare omogeneo: a a a +b +b +8b = a b = a b = a b = applicando l eliminaione di Gauss otteniamo: se prendiamo b e b come parametri liberi k e p otteniamo b = k 7p e quindi, sostituendo nella seconda parte dell equaione () ricaviamo tutti i polinomi U W : ( k 7p) (t ) + k(t ) + p(t 8)

8 8 prendendo k =ep =ricaviamo p =( ) (t ) + (t ) + (t 8) = t t + mentre scegliendo k =ep = abbiamo quindi possiamo affermare che p =( 7) (t ) + (t ) + (t 8) = t 7t +6 U W = Span { t t + t 7t +6 } i due polinomi sono linearmente indipendenti, quindi dim (U W )=. Osservaione: non è stato necessario ricavare le espressioni per i coefficienti a j bastanoib j, come abbiamo appena visto. c) Utiliando la formula di Grassmann abbiamo: dim(u + W )=dimu +dimw dim(u W ) dim(u + W )=+ = questo implica che U + W = R t, dal momento che dim(r t) =. Eserciio 5. Stabilire se i vettori formano un sistema di generatori per lo spaio R.Selarispostaè negativa, completare a base di R. Iniiamo con l esaminare il primo vettore: è il vettore nullo, quindi lo scartiamo. Il secondo vettore è non nullo, quindi lo accettiamo. Il tero vettore è lin. indipendente dal secondo, in quanto non sono proporionali (la verifica è semplice: basta guardare ad esempio la tera coordinata): lo accettiamo. Il quarto vettore si può scrivere come combinaione lineare dei due precedenti vettori: = + quindi lo scartiamo. Anche il quinto vettore può essere espresso come combinaione lineare dei soliti due vettori: =( ) + in definitiva possiamo affermare che l insieme assegnato non è un sistema di generatori per lo spaio R (infatti per questo ci servono tre vettori linearmente indipendenti) se vogliamo completare a base di R,è sufficiente estrarre una base dall insieme il primo vettore della base canonica, cioè e, deve essere scartato in quanto è proporionale al primo vettore il secondo vettore della base canonica, e,è il vettore che completa a base di

9 . Esercii svolti sugli spai vettoriali 9 R e per verificarlo non è necessario svolgere tanti calcoli, ma è sufficiente analiare la seconda coordinata. Infatti, i primi due vettori hanno la seconda coordinata nulla, mentre e no. Quindi abbiamo ottenuto la seguente base di R : β R = Eserciio 6. Dati i sottospai U = Span determini U W e U + W.. e W = Span 5 5,si Si nota che il vettore generatore di W può essere espresso come combinaione lineare dei due vettori della base di U: 5 5 =5 + questa osservaione ci porta a concludere che W U e l inclusione è stretta, dal momento che dim W =< =dimu. Da quanto detto segue che: U W = W e U + W = U. Eserciio 7. Si trovi una base per il sottospaio U = x y R :x y + =. Ricaviamoci una variabile in funione delle altre visto che il coefficiente della è uguale a, conviene scrivere: = x +y e quindi otteniamo: x y = x y x +y = x x + y y = x + y i due vettori sono linearmente indipendenti e costituiscono una base per U in definitiva abbiamo U = Span. Eserciio 8. Si determini l equaione cartesiana del sottospaio U = Span. Per prima cosa si osserva che i due vettori assegnati sono linearmente indipendenti e quindi formano una base per U. x Vediamo ora l equaione cartesiana: un vettore y U seesoltantosepuò essere espresso

10 come combinaione lineare dei due vettori della base di U: x y = λ + λ λ λ = x λ +λ = y λ + λ =. Risolviamo adesso il sistema lineare nelle incognite λ e λ, considerando x, y e come parametri ed applicando l eliminaione di Gauss: x x x y 5 y x 5 y x x x y+5 5 x affinché il sistema ammetta soluione (il che equivale a dire che il vettore y U) deve risultare necessariamente x y +5 = x +y 5 =. 5 In definitiva abbiamo: x U = y R : x +y 5 =. x Eserciio 9. Nello spaio R si considerino i due sottospai U = y R : x = e x { W = y x +y = R :. Si descrivano i sottospai U + W e U W. x + y + = Cerchiamo una base per U e una base per W. Per quanto riguarda U possiamo ricavarci la x dalla definiione di U, ottenendo x = lay è libera (non ci sono vincoli su di essa). Una base è data quindi da: β U = U = Span. Per quanto riguarda W possiamo applicare l eliminaione di Gauss al sistema: { x +y = x + y + = possiamo prendere come parametro libero k, ricavando così: { { x +y = x = y + k = k + k = k y + = y =k x y = k

11 . Esercii svolti sugli spai vettoriali quindi abbiamo che: β W = W = Span Determiniamo ora l interseione U W : a + a = b a seguendo l eliminaione di Gauss otteniamo: + a. + b 5 = poiché tutti i pivot sono, l unica soluione è a = a = b = questo implica che l interseione si riduce al solo vettore nullo di R. Applicando la formula di Grassmann ricaviamo: dim(u +W )=dimu +dimw dim(u W ) dim(u +W )=+ = U +W = R da tutto quanto detto segue che lo spaio R è somma diretta degli sottospai vettoriali U e W : R = U W. Se vogliamo scrivere ora un qualsiasi vettore R,adesempiov =, come somma di un vettore U e di un vettore W, troviamo che: x x = = x + x + x x +x = x + x = risolvendo il sistema lineare otteniamo: in definitiva abbiamo: = 5 dove U e W. Osservaione: la scrittura (5) è unica. x = 5 x = 5 x = 5 5 = (5)

12 Eserciio. Consideriamo i seguenti sottospai di R : U = Span e W = Span. Si determini l interseione U W. Per prima cosa osserviamo che i tre vettori generatori di U sono linearmente indipendenti e quindi costituiscono una base per U la stessa cosa vale anche per il sottospaio W. Per determinare l interseione scriviamo: a + a + a = b + b portando tutti i vettori a sinistra otteniamo il seguente sistema lineare: a + a b b = a +b b + b = a b = a b = applicando l eliminaione di Gauss otteniamo: + b a + a b b = a +b b + b = a b = b + b = (6) prendendo b e b come parametri liberi (non ci sono pivot nella quarta e nella sesta colonna) si ottiene (b = h e b = p): a = p +h p =h a = h p p = h p a = p b = p a a a b b b a a a b b b = h = h h p p h p p + p = h h h + p p p p (7)

13 . Esercii svolti sugli spai vettoriali prendendo h =ep = nella (7) otteniamo: a a a b b b = + = sostituendo a =,a = ea = (sono le prime tre coordinate dell ultimo vettore scritto) nella prima parte della (6) otteniamo: +( ) + =. Prendendo invece h = e p = (sempre nella formula (7)) otteniamo: a a a b b b = + = sostituendo a =,a = ea = (sono le prime tre coordinate dell ultimo vettore scritto) nella prima parte della (6) otteniamo: +( ) +( ) =. In definitiva abbiamo: U W = Span utiliando ora la formula di Grassmann otteniamo: dim(u + W )=dimu +dimw dim(u W ) dim(u + W )=+ = quindi abbiamo che: U + W = R ma non si tratta di somma diretta in quanto l interseione non si riduce al solo vettore nullo di R. Vediamo allora di scrivere un vettore qualsiasi, come v =, in due modi diversi come

14 somma di un elemento di U ediunelementodiw. Possiamo scrivere = + con U W ma possiamo anche scrivere: = + con U W. Questa doppia scrittura non sarebbe stata possibile se vi fosse stata la somma diretta tra i due sottospai. Eserciio. NellospaiodellematriciM, (R) consideriamo i seguenti due sottospai vettoriali: { } { } U = Span W = Span. a) Si descrivano i sottospai U + W e U W b) Si dica se U W è un sottospaio vettoriale di M, (R). a) Iniiamo osservando che le tre matrici che generano U sono linearmente dipendenti in quanto = +( ) possiamo allora affermare che { U = Span } poiché le due matrici scritte non sono proporionali, esse formano una base per U. Per quanto riguarda il sottospaio W le matrici che lo generano sono linearmente indipendenti e formano quindi una base per W. Studiamo ora l interseione U W : a + a = b portando tutte le matrici a sinistra otteniamo: a + a + b arriviamo quindi a scrivere il sistema lineare omogeneo: a b = a + b = a b = a b = + b + b = (8)

15 . Esercii svolti sugli spai vettoriali 5 eliminando l ultima equaione (è ridondante) e prendendo b come parametro libero k, ricaviamo: a a a a = k prendendo k = otteniamo a = ea = e, sostituendo questi valori nella prima parte dell equaione (8), otteniamo: ( ) + = quindi abbiamo che: { U W = Span poiché può essere scomodo avere tutti i numeri negativi, è possibile scrivere in modo del tutto equivalente: { } U W = Span. Vediamo ora le informaioni che ci fornisce l applicaione della formula di Grassmann: dim(u + W )=dimu +dimw dim(u W ) dim(u + W )=+ = quindi sappiamo sicuramente che U + W M, (R). Cerchiamo una base per U + W, sapendo che ci servono tre matrici linearmente indipendenti (si ha infatti dim(u + W ) = ) ci sono due modi possibili per risolvere questo problema: ) prendiamo la matrice che genera l interseione U W e completiamo a base di U: U = Span { sappiamo infatti che dim U = e le due matrici scritte, oltre ad appartenere a U, sono linearmente indipendenti. Dobbiamo ora completare la base di U W abasediw perfarciòè sufficiente aggiungere la matrice ricaviamo quindi: { W = Span } } }. In definitiva abbiamo: { U + W = Span } (9) ) La soluione più veloce consiste nel considerare l insieme: { } ()

16 6 ottenuto mettendo assieme le matrici che formano le basi di U e W a questo punto è sufficiente estrarre dalla () un insieme massimale di matrici linearmente indipendenti, ottenendo come risultato: { } U + W = Span. () Osservaione: Le due basi (9) e () sono diverse ma gli spai sono identici. b) Vediamo se l unione U W è un sottospaio vettoriale di M, (R) possiamo procedere in due modi: ) Osservando che, assegnati due spai vettoriali H e H, l unione H H è sottospaio vettoriale se e solo se H H oppure H H. Nel nostro caso ciò non accade in quanto l interseione ha dimensione mentre i due sottospai hanno entrambi dimensione. Quindi l unione U W non è un sottospaio vettoriale di M, (R). ) Cercando un controesempio: cerchiamo due matrici m a e m b nell insieme U W tali che la loro somma non appartenga a U W. Scegliamo m a = la loro somma è U U W m b = + = W U W dimostriamo ora che la matrice ottenuta non appartiene all unione U W studiando l appartenena a U e l appartenena a W per quanto riguarda U si ha: U esistono a,a tali che: = a + a il sistema lineare che dobbiamo risolvere è: a = a = il sistema è impossibile a = a = vediamo ora l appartenena al sottospaio W : W esistono b,b tali che: il sistema lineare che dobbiamo risolvere è: b = b = il sistema è impossibile b = b = la situaione è dunque questa: / U / W = b / U W / U + b / W

17 . Esercii svolti sugli spai vettoriali 7 abbiamo quindi dimostrato che l unione U W non è un sottospaio vettoriale di M, (R). Infatti, abbiamo trovato due matrici m a,m b U W tali che m a + m b / U W. Se vogliamo completare la base di U + W abasedim, (R) possiamo aggiungere alla base (9) oppure alla base () proprio la matrice, ottenendo in questa maniera una base per l intero spaio vettoriale. Aggiungendo la matrice a (9) otteniamo: { M, (R) = Span mentre aggiungendola a () otteniamo: { M, (R) = Span Se definiamo il sottospaio H come { } H = Span risulta: M, (R) =(U + W ) H. Eserciio. Consideriamo in R i due sottospai vettoriali U = Span Span. a) Determinare i sottospai U W e U + W b) Dire se il vettore e appartiene al sottospaio U + W c) Dire se il vettore e e +9e appartiene al sottospaio U + W } }. e W = a) Si osserva facilmente che i vettori generatori di U e W non sono proporionali e quindi l interseione si riduce al solo vettore nullo di R. Verifichiamo quanto affermato facendo i calcoli: a = a a + a = arriviamo a studiare il seguente sistema lineare omogeneo: a +a = a = a a = { a = a = abbiamo trovato una sola soluione, quindi l interseione è il solo vettore nullo Da quanto detto segue che: U + W = Span.

18 8 e non solo: i due sottospai sono in somma diretta. b) Per vedere se il vettore e della base canonica appartiene al sottospaio U + W è sufficiente impostare l equaione: = x + x x x = x = x + x = x = x = x = sistema impossibile ciò significa che e / U + W. c) Vediamo se il vettore e e +9e U +W dobbiamo seguire lo stesso identico procedimento visto al punto b): 9 = x + x { x = x = x x = x = x + x =9 il sistema è determinato, quindi possiamo affermare che e e +9e U + W. Osservaione: visto che i due vettori e sono linearmente indipendenti, ci sono solo due possibilità: o il sistema è determinato (che implica l appartenena del vettore al sottospaio U + W ) oppure il sistema è impossibile (in questo caso invece non c è appartenena a U + W ). Non è possibile avere infinite soluioni. Eserciio. In R sono assegnati i sottospai U = Span W = Span a) trova una base per U e W b) descrivi l interseione U W c) descrivi l interseione U + W. 8 e Per quanto riguarda U si osserva che i primi due vettori sono linearmente indipendenti, mentre il tero risulta combinaione lineare dei primi due: = 7 7 8

19 . Esercii svolti sugli spai vettoriali 9 quindi abbiamo che: U = Span 8 per quanto riguarda il sottospaio W invece si osserva che i primi due vettori sono linearmente indipendenti, mentre il tero può essere espresso come combinaione lineare dei primi due vettori: = + anche il quarto vettore è combinaione lineare dei primi due vettori: =( ) +( ) quindi otteniamo: W = Span. b) Per determinare l interseione U W dobbiamo impostare l equaione a + a = b + b () 8 a + a 8 + b + b a a b = b b = a 8a b = possiamo risolvere il sistema lineare omogeneo con l eliminaione di Gauss: prendendo come parametro libero b = k abbiamo: a a b = 5 a b b = b b = ( a = k k) = 9 5 a = 5 b = k 5 k ( k + k) = 5 k otteniamo in questo modo: a a b b = 9 5 k 5 k k k = k 9 5 5

20 scegliendo k = otteniamo b = eb = sostituendo questi valori nella seconda parte dell equaione () otteniamo: ( ) + = e dunque: U W = Span. c) Dalla formula di Grassmann otteniamo: dim (U + W )= U + W = R. Eserciio. Stabilire se i due seguenti sottospai vettoriali di R U = Span e W = Span coincidono. I vettori generatori di U sono linearmente indipendenti la stessa vale per i vettori generatori di W. Per vedere se i due sottospai coincidono dobbiamo cercare di esprimere ciascun vettore di W come combinaione lineare dei vettori di U. Vediamo cosa accade per il primo vettore di W : = x quindi possiamo affermare che = x + x + x quindi possiamo affermare che x + x = x = x = { x = x = U. Analiiamo ora il secondo vettore di W : U. x + x = x = x = { x = x = Poiché i vettori generatori di W appartengono a U possiamo affermare che W U per concludere è sufficiente notare che la dimensione dei due sottospai è pari a, quindi abbiamo U = W. Un altro modo per risolvere l eserciio consiste nella determinaione dell interseione dei due sottospai: a + a = b + b a + a b + b = a b +b = a b b = ()

21 . Esercii svolti sugli spai vettoriali risolviamo il sistema lineare omogeneo con l eliminaione di Gauss: a questo punto possiamo prendere b e b come parametri liberi k e p: e quindi: a = a +k p =p k +k p = p +k a = k p b = k b = p a a b b = k k k + p p p a a b b = p +k k p k p scegliendo k =ep = otteniamo b =eb = sostituendo questi valori nella seconda parte dell equaione () abbiamo: + = prendendo k =ep = otteniamo b =eb =: + = Risulta: U W = Span = W W U per concludere che W = U basta ragionare, come prima, sulla dimensione dei sottospai. Osservaione: E bene guardare la dimensione dei sottospai per ricavare informaioni utili ai fini della risoluione dei vari esercii ad esempio, se un sottospaio ha dimensione maggiore di un altro sicuramente non possono coincidere. Eserciio 5. Si stabilisca se i due sottospai vettoriali di R U = Span e W = Span coincidono.

22 Osserviamo prima di tutto che i vettori generatori di U formano anche una base di U lo stesso discorso vale anche per W. Per quanto riguarda la domanda dell eserciio, è sufficiente notare che i vettori di base del sottospaio U sono caratteriati dall avere nulla la seconda coordinata, e ciò vale, chiaramente, per tutti i vettori di U. I vettori di W possono, al contrario, avere la seconda coordinata diversa da ero. Questa semplice consideraione ci assicura che U W non solo, ma possiamo anche affermare che dim (U W ) <, altrimenti i due sottospai, entrambi con dimensione, coinciderebbero. D altra parte, applicando la formula di Grassmann non è possibile che l interseione dei due sottospai si riduca al solo vettore nullo di R infatti, dal fatto che dim (U + W ) dim (R ) =, si ricava (si noti che dim (U + W ) ): dim(u W )=dimu +dimw dim(u + W ) + = questo implica che dim (U W ). In definitiva abbiamo: { dim(u W ) < dim(u W ) dim(u W )=. Eserciio 6. Determinare, al variare di λ R, una base del sottospaio vettoriale x { W λ = x x x x R : +x x =. x + λx +x x = x Applichiamo l eliminaione di Gauss al sistema lineare: λ λ + se λ + allora ci sono due pivot e possiamo prendere x e x come parametri liberi k e t, ottenendo così: x t k x x = k = k + t x t gli ultimi due vettori scritti sono linearmente indipendenti in definitiva abbiamo: se λ W λ = Span. Analiiamo ora il caso λ = l eliminaione di Gauss è identica, alla fine però abbiamo un solo pivot e quindi stavolta posso prendere x, x e x come parametri liberi h, h e h : x h h + h x x = h h = h + h + h x h

23 . Esercii svolti sugli spai vettoriali i tre vettori sono linearmente indipendenti (basta infatti ragionare sulle coordinate nulle) e possiamo scrivere: W = Span. Eserciio 7. Consideriamo i due sottospai U = Span e W = Span 6 a) si calcoli U W b) si determini una base di U + W c) si estenda la base calcolata al punto b) a base di R. a) Determiniamo una base per U: poichérisulta: = possiamo affermare che: Per quanto riguarda W,vistoche abbiamo: β U = 6 = β W = +( ) +( ) Se calcoliamo l interseione troviamo che: U W = Span...

24 b) Dalla formula di Grassmann abbiamo che: dim(u + W )=dimu +dimw dim(u W )=+ = quindi risulta U + W R. Per determinare una base di U + W è sufficiente estrarre un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti dall insieme ottenuto scrivendo i vettori delle basi β U e β W : otteniamo: β U+W = un metodo alternativo è invece il seguente: prendo il vettore generatore dell interseione e completo abasediu: β U = () faccio la stessa cosa per il sottospaio W : β W = (5) a questo punto considerando le basi () e (5) otteniamo: β U+W =. c) Per estendere la base β U+W abasedir è sufficiente aggiungere il vettore e oppure il vettore e. La stessa estensione vale anche per la base β U+W. Eserciio 8. Si determini le equaioni cartesiane del seguente sottospaio vettoriale di R : U = Span

25 . Esercii svolti sugli spai vettoriali 5 Un vettore x x x x x x x x sta in U seesoloseesistonoλ e λ tali che: = λ 5 + λ 7 8 x = λ x =λ + λ x =λ +7λ x = 5λ 8λ risolvendo il sistema lineare considerando λ e λ come incognite e gli x j come parametri, troviamo: x x x x 7 x x +x 7 x +x x +x x +x 7(x +x ) 5 8 x 8 x 5x x 5x +8(x +x ) x x +x x 7 x + x x +8x + x affinché il sistema ammetta soluione dobbiamo imporre che: x 7 x + x = e x +8x + x = quindi le equaioni cartesiane del sottospaio U sono: x { U = x x x +7x x = R : x +8x + x = x.