Esercitazione N.2. Sistemi lineari con parametro. di sistemi lineari con parametro. La regola di Cramer Discussione e risoluzione

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1 Esercitaione N. maro 7 Sistemi lineari con parametro La regola di Cramer Discussione e risoluione di sistemi lineari con parametro sistemi lineari omogenei Rosalba Barattero

2 ESERCIZIO. Sistema di Cramer t t Dato il sistema lineare t t a) Provare che ha un unica soluione b) Determinare la soluione facendo uso della regola di Cramer. a) La regola di Cramer si applica ai sistemi lineari del tipo : n equaioni, n incognite d(a), A matrice dei coefficienti delle incognite Questi sistemi sono detti SISTEMI DI CRAMER e hanno! (un unica) soluione Δ i (,,, n ) con i d(a) ove Δ i det della matrice ottenuta sostituendo la i-esima colonna con la colonna dei termini noti. A d(a) d(a ) A -(-) () il sistema è di Cramer ed ha quindi un unica soluione. b) Sappiamo che dato il sistema AX b, con A matrice invertibile nn, X t (,,, n ) (matrice colonna), se α t (α, α,, α n ) è la soluione allora Aα b e quindi moltiplicando a sinistra per A - si ottiene A - Aα A - b, da cui l unica soluione α A - b. La regola di Cramer evidenia l unicità della soluione evitando il passaggio esplicito alla matrice inversa : Δ i α i d(a) R R R Le operaioni elementari non alterano d(a) A b equaioni - incognite Verifichiamo: d(a) ove Δ i det della matrice ottenuta sostituendo la i-esima colonna con la colonna dei termini noti.

3 d(a) perché C C Colonna dei termini noti ESERCIZIO. Dato il seguente sistema lineare Sistema lineare con parametro analogamente si ottiene, t, mentre - - con R d(a) d(a) d(a) ( il calcolo è qui particolarmente semplice, a differena di quanto succede usualmente! ) Conclusione: l unica soluione è (,,,) Colonna dei termini noti a) Stabilire per quali R ha soluioni e quante sono. b) Determinare, quando possibile, tutte le soluioni. a) E l eserciio. dell esercitaione precedente. Ne riporto qua per comodità i punti esseniali poiché servono per risolvere la parte b). Iniiamo studiando ρ(a) - La caratteristica di A é minore o uguale a, essendo A una matrice quadrata di ordine. E importante rilevare la presena di minore indipendenti dal parametro.

4 Esiste un minore, che é diverso da ero, quindi ρ(a) R. Calcoliamo () - R ρ(a) R. Ora studiamo ρ(a b) : che vale o a seconda che la colonna dei termini noti alteri o meno ρ(a). Usiamo la regola di Kronecker : consideriamo il minore (evideniato) di ordine diverso da ero e calcoliamo i due minori di ordine che lo orlano: (già visto) se,-. - se,-. CASO. Entrambi i minori orlanti sono nulli, per Kronecker ρ(a b) ed è uguale a ρ(a), di conseguena per il teorema di Roché Capelli ci sono soluioni e sono n-ρ - CASO. C è in A b un minore non nullo di ordine ρ(a b) ρ(a) nessuna soluione (R.C.) Conclusione:,- : nessuna soluione,- : soluioni b) Modi di determinare le soluioni : metodo di sostituione, riduione, regola di CRAMER Determiniamo le soluioni nel caso ( soluioni) A b Abbiamo già visto che il minore evideniato è quello che individua ρ(a) ρ(a b). Allora il sistema di partena è equivalente al sistema che contiene le righe di questo minore (R, R ) : 5 6

5 Infatti ogni volta che si fissa il sistema diventa a equa- ioni, incognite, con d(a) ed ha quindi un unica solu- ione (,). Ma poiché la varia, le soluioni del sistema sono infinite ( ) al variare di in R : (, -, -) Determiniamo ora le soluioni nel caso - ( soluioni) A b analogamente a prima si ottiene isoliamo a I membro le incognite relative al minore non nullo : il sistema diventa di CRAMER nelle incognite,, considerando la variabile libera - soluioni : (,,) al variare di in R. 8 ESERCIZIO. Sistema lineare omogeneo con parametro Date le matrici S e T a) stabilire per quali R il sistema omogeneo (ST)X ha soluioni b) Nel caso in cui il sistema abbia soluioni determinarle, precisando quante sono. a) ST X (ST) X ) ( - - ) ( Un sistema omogeneo ha sempre almeno la soluione banale ( assegnando ero a tutte le incognite, qua (,)). Quindi il sistema omogeneo ha soluioni R!!

6 b) Quando ha anche soluioni non nulle ( e quindi infinite )? Uno dei modi per stabilirlo è con il Teorema di Rouchè Capelli, che afferma che le soluioni, quando esistono, sono n-p dove n n ESERCIZIO. Sistema lineare omogeneo con parametro incognite e p ρ(a). Dunque, nel caso dei sistemi omogenei: ci sono infinite soluioni p<n, cioè ρ(a) < n incognite equivalentemente c è solo la soluione nulla pn, cioè ρ(a) n incognite N.B. In generale per qualunque sistema si ha: ρ(a) n incognite (poiché il n di incognite è uguale al n di colonne di A, matrice dei coefficienti delle incognite) ha soluioni non nulle ρ < Dato il seguente sistema lineare omogeneo t t t Determinare per quali R ha soluioni e quante sono e ove possibile determinarle. A C C ρ(a) ρ ρ(a) R per def. - Minore di ordine non nullo ρ(a) R Quindi : soluione nulla (,) soluioni non nulle e in tal caso sono n-p - soluioni. Sviluppo lungo C ρ(a) se - : - soluioni ρ(a) se - : - soluioni ( ) 6 SOL. (-,) al variare di in R - si trova : Sol. ni (,,--,) al variare di, in R - si trova : Sol. ni (-,,,) al variare di in R.

7 ESERCIZIO 5. Sistemi lineari con parametro b) S : ( ) ( ) A b a) Per quali R il sistema lineare S : ha soluioni? b) Per quali R il sistema lineare S : ( ) ( ) ha soluioni? c) Si consideri il sistema lineare S costituito da S ed S. Per quali R il sistema S non ha soluioni? d) Determinare le soluioni di S al variare di R. S è omogeneo, ha sempre soluioni, ne ha se ρ(a) In A non ci sono minori di ordine indipendenti da, scegliamone uno, ad esempio quello formato da C C : Dunque se esiste in A un minore di ordine non nullo e perciò ρ(a). a) S : A b Se invece il minore prescelto si annulla, ma dobbiamo verificare se ce n è almeno un altro non nullo. S ha soluioni per R.C. ρ(a) ρ(a b) E in tal caso ha -ρ(a) soluioni. Quindi S ha soluioni ρ(a) ρ(a b) A e il minore formato da C C valendo - è non nullo ρ(a) Meglio se c è un minore indipendente da in A, sì quello formato da C e C : ρ(a) R Conclusione : ρ(a) R S ha SOL. ni R. ρ(a) ρ(a b) R S ha soluioni R

8 c) S : S : ( ) ( ) c) d) Rimangono da esaminare i casi, -, che facendo ab- bassare ρ(a b) possono far risultare ρ(a b) ρ(a). S : A b ( ) ( ) La domanda è:quando S non ha soluioni? CASO Nella matrice A b Iniiamo con l osservare che la matrice A b è quadrata di ordine e se d(a b) allora ρ(a b) < ρ(a) La colonna dei termini noti è nulla, quindi il sistema è omogeneo, e come tale ha sempre soluioni. (ρ(a) al massimo è ) e quindi per R.C. non ci sono sol. ni. Studiamo quindi d(a b) Sviluppo lungo C Calcoliamo per : ρ(a) ρ Minore di ordine non nullo - - Sviluppo lungo C - (- ) R ai fini della caratteristica e quindi delle soluioni è irrilevante, il sistema è equivalente al sistema formato da R,R,R ed è un sistema di Cramer: - (- ), -, I a RISPOSTA : ρ(a b),-,. equa., incognite, d(a) ha un unica sol. ne, la soluione nulla (,,). Quindi se,-, NON ci sono SOL. ni

9 5 CASO - A b Ai fini della caratteristica possiamo omettere R (o R ),calcoliamo ρ(a) - -(-) ρ(a) ρ(a b) c è un unica Sol. ne per R.C. unica sol. ne CASO E analogo al caso -, si trova ρ(a) ρ(a b) e l unica soluione 8. RISPOSTA FINALE:,-, : NON ci sono SOL. ni : unica sol. ne ( ) - : unica sol. ne : unica sol. ne 8 proporionali 6 ESERCIZIO 6. Combinaioni lineari di colonne Provare che C t (- ) è combinaione lineare di C t (- - ), C t (- - ), C t (- -) e determinare i coefficienti della combinaione si esprime in modo equivalente Alternativamente si possono trovare subito i coefficienti,, della C.L. ( facile! ) : Da segue -- cioè. E dire che la colonna dei termini noti è C.L. delle colonne dei coefficienti delle incognite equivale a dire che il sistema ha soluioni, ossia che ρ(a) ρ(a b)