Analisi dei dati corso integrato - Algebra lineare,

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1 Analisi dei dati corso integrato - Algebra lineare, Un sottinsieme non vuoto = V R n dello spaio vettoriale R n che sia chiuso rispetto alle operaioni sui vettori, cioe tale che per ogni due vettori u, v in V, anche u + v sta in V, per ogni vettore u in V ed ogni scalare α in R, anche αu sta in V, si dice sottospaio vettoriale di R n. Si usa il termine spaio vettoriale per indicare un sottospaio di un qualche spaio vettoriale R, R 2, R 3, Nello spaio vettoriale R 3 consideriamo l insieme delle soluioni dell equaione lineare omogenea 2x 5y + =. Osserviamo che, se ciascuno dei due vettori u u = u 2 u 3, v = e soluione dell equaione, cioe se valgono le uguagliane v v 2 v 3 2u 5u 2 + u 3 = 2v 5v 2 + v 3 =, allora, sommando membro a membro le due uguagliane, si ha pure l uguagliana 2(u + v ) 5(u 2 + v 2 ) + (u 3 + v 3 ) =, la quale significa che anche il vettore u + v u 2 + v 2 = u + v u 3 + v 3 e una soluione dell equaione. Inoltre, se α e uno scalre in R, allora, moltiplicando per α entrambi i membri della prima uguagliana, si ha pure l uguagliana 2(αu ) 5(αu 2 ) + (αu 3 ) =, la quale significa che anche il vettore αu αu 2 = αu αu 3 e una soluione dell equaione. Questo esempio ci porta a comprendere che

2 Per una qualsiasi equaione lineare omogenea in n incognite a x + + a n x n =, l insieme delle soluioni e un sottospaio di R n. 3. Piu in generale, si ha Per un qualsiasi sistema lineare omogeneo di n equaioni in p incognite Ax =, A R n p, l insieme delle soluioni e un sottospaio di R p. Infatti, se u, v R p sono due soluioni del sistema, cioe se valgono le uguagliane Au = Av =, allora, sommando membro a membro le due uguagliane, si ha pure l uguagliana la quale significa che anche il vettore e una soluione del sistema. A(u + v) =, u + v Inoltre, se α e uno scalre in R, allora, moltiplicando per α entrambi i membri della prima uguagliana, si ha pure l uguagliana la quale significa che anche il vettore e una soluione del sistema. A(αu) =, 4. Nello spaio vettoriale R 3 consideriamo l insieme delle colonne di termini noti per i quali il sistema lineare 2 b 3 x + 4 y = b b 3 e risolubile. In realta, questo insieme non e altro che l insieme delle combinaioni lineari 2 3 α + 4 β α, β R αu

3 delle colonne dei coefficienti del sistema. Osserviamo che, se 2 3 α + 4 β 5 6 e 3 5 α β 2 sono due combinaioni lineari delle colonne dei coefficienti del sistema, allora anche la loro somma e una combinaione lineare dei coefficienti del sistema, precisamente e la combinaione lineare 3 5 (α + α 2 ) (β + β 2 ). Inoltre, il prodotto di un qualsiasi scalare γ per una qualsiasi combinaione lineare delle colonne dei coefficienti del sistema 2 3 α + 4 β 5 6 e ancora una combinaione lineare dei coefficienti del sistema, precisamente e la combinaione lineare 2 3 (αγ) + 4 (βγ). 5 6 Questo esempio ci porta a comprendere che Per un qualsiasi sistema lineare di n equaioni in due incognite a x + a 2 y = p, a, a 2, p R n l insieme dei termini noti p che rendono risolubile il sistema e un sottospaio di R n. 5. Piu in generale, si ha Per un qualsiasi sistema lineare di n equaioni in p incognite a x + + a p x p = b, a,..., a p, b R n, l insieme dei termini noti b che rendono risolubile il sistema e un sottospaio di R n. Questo insieme non e altro che l insieme delle combinaioni lineari a α + + a p α p, α,..., α p R 3

4 delle colonne dei coefficienti delle incognite. Se a α + + a p α p e a β + + a p β p, sono due combinaioni lineari delle colonne dei coefficienti del sistema, allora anche la loro somma e una combinaione lineare dei coefficienti del sistema, precisamente e la combinaione lineare a (α + β ) + + a p (α p + β p ). Inoltre, il prodotto di un qualsiasi scalare γ per una qualsiasi combinaione lineare delle colonne dei coefficienti del sistema a α + + a p α p, e ancora una combinaione lineare dei coefficienti del sistema, precisamente e la combinaione lineare a (α γ) + + a p (α p γ). 6. Sia data una matrice di tipo m n A = r. r m = [ c... c n ], ri R n, c j R m, dove r,..., r m sono le righe e c,..., c n sono le colonne di A. Abbiamo visto che alla matrice A R m n sono associati due spai, un sottospaio di R n ed un sottospaio di R m : L insieme delle soluioni del sistema lineare omogeneo r x =., r m x = dove x e il vettore colonna delle n incognite, o in altri termini Ax =, R m e un sottospaio di R n. Questo spaio si dice spaio nullo della matrice A, e si indica con N (A). L insieme delle combinaioni lineari c x + + c n x n 4

5 delle colonne di A, o in altri termini l insieme dei vettori colonna b R m per i quali e risolubile il sistema lineare Ax = b, e un sottospaio di R m. Questo spaio si dice spaio delle colonne della matrice A, e si indica con R(A). Il simbolo R viene dall inglese range 7. Nelle leioni precedenti abbiamo introdotto alcune definiioni e provato alcuni risultati che estendono allo spaio vettoriale R n alcuni concetti e alcuni fatti legati ai sistemi di riferimento nello spaio della geometria elementare. Ora, queste definiioni hanno senso, e questi risultati contuinuano a valere in un qualsiasi sottospaio vettoriale V di uno spaio R n. Precisamente, per un sottinsieme S = {v,..., v p } di vettori di uno spaio vettoriale V si possono dare le seguenti definiioni: S si dice linearmente indipendente se e solo se l uguagliana v α + + v p α p = α,..., α p R e soddisfatta solo per α = = α p = ; S si dice linearmente indipendente massimale in V se e solo se S e linearmente indipendente, e tutti gli insiemi ottenuti aggiungendo ad S un nuovo vettore di V sono linearmente dipendenti; S si dice base di V se e solo se ogni vettore v V si puo scrivere in uno ed un solo modo come combinaione lineare dei vettori di S. e valgono le seguenti proposiioni: v = v α + + v p α p se S consiste di piu di n vettori, allora S e linearmente dipendente; se S e linearmente indipendente allora l insieme ottenuto aggiungendo ad S un n nuovo vettore v V e linearmente dipendente se e solo se v si puo scrivere come combinaione lineare dei vettori di S; tutti i sottinsiemi linearmente indipendenti massimali in V sono formati dallo stesso numero d n di vettori; questo numero viene detto la dimensione di V e viene indicato con che sta per codominio; vedremo in seguito perche. dim(v ); 5

6 ciascun sottinsieme linearmente indipendente massimale in V e anche una base di V, e viceversa. Si noti che per provare che S e linearmente indipendente massimale in V o, equivalentemente, che S e una base di V basta verificare che S e linearmente indipendente; ogni v V si puo scrivere come combinaione lineare dei vettori di S. Di seguito determiniamo basi e dimensioni dello spaio nullo e dello spaio delle colonne di alcune matrici particolari. 8. Consideriamo la matrice A = [ ]. Lo spaio nullo N (A) di A e il sottospaio di R 3 dell equaione lineare omogenea costituito dalle soluioni x + y + =. La generica soluione di questa equaione si puo descrivere come un vettore del tipo x α β y = α, β dove α, β sono parametri liberi in R. Possiamo scrivere questo vettore nella forma x y = α + β = v α + v 2 β. Si puo osservare che {v, v 2 } e linearmente indipendente; ogni v N (A) si puo scrivere come combinaione lineare dei vettori di {v, v 2 }. Dunque, si ha che {v, v 2 } e una base di N (A), e dim (N (A)) = 2. Lo spaio delle colonne R(A) di A e il sottospaio di R costituito dalle combinaioni lineari delle colonne di A... : {} e una base di R(A), e dim (R(A)) =. 9. Consideriamo la matrice A = [ 2 2 ]. 6

7 Lo spaio nullo N (A) di A e il sottospaio di R 3 costituito dalle soluioni del sistema lineare omogeneo [ ] x [ ] y =, 2 2 che e equivalente al sistema [ ] La generica soluione di questo sistema si puo descrivere come un vettore del tipo x y = α = α = uα, α dove α e un parametro libero in R. Si ha che x y = {u} e una base di N (A), e dim (N (A)) =. Lo spaio delle colonne R(A) di A e il sottospaio di R 2 costituito dalle combinaioni lineari [ ] [ ] [ ] α + β + γ = c 2 2 α + c 2 β + c 3 γ delle colonne di A... : [ {c, c 2 } e una base di R(A), e dim (R(A)) = 2. ].. Consideriamo la matrice A = Lo spaio nullo N (A) di A e il sottospaio di R 3 costituito dalle soluioni del sistema lineare omogeneo che e equivalente al sistema x y x y = =,. 7

8 L unica soluione di questo sistema e il vettore nullo x y = = 3. Si ha che l insieme vuoto {} e una base di N (A), e dim (N (A)) =. Lo spaio delle colonne R(A) di A e il sottospaio di R 3 costituito dalle combinaioni lineari α + 2 β + 2 γ = c α + c 2 β + c 3 γ 2 3 delle colonne di A... : {c, c 2, c 3 } e una base di R(A), e dim (R(A)) = 3.. Cio che abbiamo visto in questi esempi ha portata generale: Proposiione. Per ogni matrice, la somma delle dimensioni del suo spaio delle colonne e del suo spaio nullo e uguale al numero delle sue colonne; in simboli: A R m n, dim (R(A)) + dim (N (A)) = n 8