Terminiamo gli ultimi due esercizi della lezione 4 SPAZI E SOTTOSPAZI VETTORIALI

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1 Terminiamo gli ultimi due esercizi della lezione 4 SPAZI E SOTTOSPAZI VETTORIALI Dato un campo K e (V) gruppo abeliano se è definita la legge di composizione tra gli scalari λ di K e gli elementi v di V tale che λv appartenga a V e per ogni λ µ K e per ogni v w V valgono: ) (λµ) vλ v µ v ; ) λ (vw) λ vλ w ; 3) (λ µ) vλ (µ v); 4) vv. allora V è detto spazio vettoriale e i suoi elementi detti vettori. Lezione 5 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-

2 Esempi ) Lo spazio vettoriale delle potenze di R: (R n. ): (x x n )(y y n )( x y x n y n ) λ(x x n )( λx λx n ) ) lo spazio vettoriale geometrico (V. ) sul piano in R: vw v w v -3v 3) lo spazio vettoriale delle matrici (R mn. ): AB(a ij ) i I j J (b ij ) i I j J (a ij b ij ) i I j J λaλ(a ij ) i I j J(λa ij ) i I j J I{ m} J{ n} Lezione 5 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-

3 Sottospazi di uno spazio vettoriale Per la definizione si veda la IV lezione di teoria di giovedì ottobre 9. ) Condizione necessaria e sufficiente affinché un insieme U sottoinsieme di uno spazio vettoriale (V(K). ) sia sottospazio vettoriale di V(K): a) u u U u u U b) λ K u U λu U ) Condizione necessaria e sufficiente affinché un insieme U sottoinsieme di uno spazio vettoriale (V(K). ) sia sottospazio vettoriale di V(K): α β K u u U αu βu U Lezione 5 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-3

4 Esercizio Nello spazio vettoriale R 3 su R individuare quali dei seguenti insiemi sono sottospazi vettoriali: U {(xyz) R 3 y 5z }; U {(xyz) R 3 x y z -}; U 3 {(xyz) R 3 x y z }; U 4 {(xyz) R 3 x -3}; U 5 {() (3-) ()}. Verifica: ) U è diverso dall insieme vuoto perché contiene il vettore (). Utilizzando il criterio verifichiamo che: Lezione 5 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-4

5 α β R u (x y z )u (x y z ) U αu βu U Osserviamo che un vettore (xyz) di R 3 appartiene a U se e solo se le sue componenti soddisfano la proprietà caratteristica y 5z dunque sicuramente per le ipotesi fatte y 5 z () e y 5 z (). def. di prodotto per uno scalare αu βu α(x y z )β(x y z ) (αx αy αz ) (βx βy βz ) def. di somma in R3 (αx βx αy βy αz βz )(xyz) αu βu appartiene a U se e solo se y5z cioè (αy βy ) 5(αz βz ) Lezione 5 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-5

6 infatti in R: (αy βy ) 5(αz βz ) αy βy 5αz 5βz α( y 5 z ) β (y 5 z ) α β per le uguaglianze () e (). U è un sottospazio vettoriale. ) U non è sottospazio vettoriale: () U. 3) U 3 {(xyz) R 3 x y - z }{()} > < xyz è sottospazio vettoriale banalmente. 4) U 4 non è sottospazio vettoriale perché il vettore nullo () di R 3 non appartiene a U 4 {(xyz) R 3 x-3}; Lezione 5 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-6

7 Lezione 5 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-7 5) U 5 non è sottospazio vettoriale perché pur contenendo il vettore nullo non è chiuso rispetto alla somma: () (3-)(35) U 5. Esercizio Nello spazio vettoriale M (R) verificare quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi vettoriali: W ; t z x R xyzt t z y x W ; x R xyzt t z y x W 3

8 Verifica: ) W pur contenendo la matrice nulla di M (R) non è chiuso rispetto alla somma (non è s.s.v.): W. ) Gli elementi di W sono tutti e soli del tipo: y con y R. W è ovviamente diverso dall insieme vuoto perché ponendo y verifichiamo che la matrice nulla appartiene a W. Utilizzando il secondo criterio verifichiamo che sia sottospazio vettoriale: Lezione 5 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-8

9 y u α β R e W con yu R dimostriamo che y β u W α infatti y u αy βu αy βu α β W W è sottospazio vettoriale. 3) W 3 non può contenere la matrice nulla (x -): non è un sottospazio vettoriale. Lezione 5 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-9

10 Copertura lineare di A in V(K) Sia A V(K) A si definisce copertura lineare L(A) il seguente insieme L(A) { v V v α v... α v α K v A} n n i i I vettori v v n si dicono generatori di L(A). Il vettore v si dice combinazione lineare di v v n. Esercizio 3 Verificare che l elemento v appartenga alla copertura lineare di A in V: a) V R 4 A {(-3) (-) (-)} v(3-4) ; Lezione 5 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-

11 Lezione 5 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9- A V b) 3 R 3 v Verifica: a) v(3-4) appartiene alla L(A) se e solo se esistono tre scalari αβγ R opportuni tali che: v(3-4) α(-3)β(-) γ(-). Risolvendo i calcoli α β γ. Dunque v L(A). b) 3 v appartiene a L(A) se e solo se esistono due scalari α β R opportuni tali che:

12 Lezione 5 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-3 β α Non esistono α β con tali caratteristiche. Quindi v L(A). Esercizio 4 Verificare che A sia un insieme di generatori di V nei seguenti casi: a) V {(ααβ) αβ R} A {(-) (-) (3)}; - 3 A R y x x y x V b) ;

13 Lezione 5 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico A V c) 3 R d) V del punto a) e D{()(-) (3)}. Verifica: a) Ogni vettore di V può essere scritto con (ααβ) dove α β R opportuni. Dimostro che V è contenuto in L(A). Ogni vettore di V può essere scritto come combinazione lineare di (-) (-) (3); Dimostriamo che esistono tre scalari xyz R tali che x(-)y(-)z(3)(ααβ).

14 . x y3α-β zα. D altra parte L(A) non è contenuto in V perché (-) non appartiene a V. A non è un insieme di generatori per V. d) Diverso è il caso di V {(ααβ) α β R} D{()(-)(3)}: Primo V L(D): (ααβ)()(3α-β)(-) α(3) Secondo L(D) V perché D V L(D)V. x y b) Ogni x xy R è combinazione lineare di Lezione 5 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-4

15 Lezione 5 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico infatti esistono α β reali tali che x y x - 3 β α αx/ β -y/3. V L(A). L(A) V perché A V. A fornisce un insieme di generatori per V. b) Ogni matrice di R 3 di entrate x y z t u v R è combinazione di v u t z y x 3 ϕ ε δ γ β α

16 αv-t/ βx/ γ-y δ-z εu/3 ϕt/. A fornisce un insieme di generatori per V. Esercizio 5 Trovare un insieme di generatori per i seguenti spazi vettoriali su R: a) R 4 ; b) V{(ααβ) αβ R}; c) V {(αβγγ) αβγ R}; d) R 4. Ricerca: a) {()()()()} infatti b) {()()} infatti Lezione 5 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-6

17 Lezione 5 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-7 c) {()()()} infatti d) Esercizio 6 I vettori () (-)() sono generatori di R 3? Sì perché ogni vettore di R 3 (xyz) può essere espresso come loro combinazione lineare: dobbiamo dimostrare che esistono α β γ R opportuni tali che (xyz)α()β(-)γ() α/x/4y-/z β/x-/4y-/z γz. L{() (-)()} R 3

18 Lezione 5 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-8 Una sequenza di vettori (v v n ) di V(K) si dice libera e i vettori v v n si dicono linearmente indipendenti se la loro generica combinazione lineare posta uguale al vettore nullo α α n K α v α n v n implica α α n Esercizio 7 Quali delle seguenti sequenze sono libere in V? a) VR 5 A( () (-) () ); 3 B R V b) 3 c) VR 3 C(() (-3) ()); Prova:

19 Lezione 5 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-9 a) α()β(-)γ() (αβγα-βγ)() αβγ. La sequenza è libera. b) La sequenza è libera: 3 ϕ ε δ γ β α 3 ϕ α ε ϕ δ γ β implica tutti gli scalari nulli αβγδεϕ. c) α()β(-3)γ()() α γ3β non necessariamente nulli. La sequenza è legata.

20 Esercizi da svolgere. Da algebra lineare es... Quali tra i seguenti insiemi sono sottospazi vettoriali di V (motivare nel caso la risposta con opportuna dimostrazione): a) V R 4 W{(x x x 3 x 4 ) V x -3x 3 x 4 -x } b) VM 3 (R) W{(a ij ) V i < j a ij }. 3. Mostrare che la copertura in V dell insieme A è W: a) V R 4 A{(-)(3)()} W{(x x x 3 x 4 ) V x 4 } b) V R 4 A{(-)(3-3)()} W{(x x x 3 x 4 ) V x x 3 x 4 } c) V M ( R) W M ( R A 4. Nell esercizio 3 trovare altri due insiemi di generatori oltre ad A per il s.s.v. W. 5. Quali tra gli insiemi A dell esercizio 3 sono liberi? ) Lezione 5 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico 9-