B0 1 C A A C A , x y a h g 1 0 g f c 1

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1 Questa è una breve raccolta di esercizi, che verrà aggiornata man mano che andremo avanti nel corso. Se il testo di alcuni esercizi non vi è chiaro, non spaventatevi, e venite a parlarne con me. Prometto che la chiarezza degli esercizi negli esoneri e nell esame finale sarà ineccepibile! 1. OPERAZIONI TRA MATRII (1) alcolare i prodotti delle matrici seguenti: B A, B A B A A, A , A (2) alcolare il prodotto di matrici x y a h g 1 h b x 1 ya g f c 1 (3) Se e partendo da questo risultato esprimere in maniera matriciale le equazioni x 2 + 9xy + y 2 + x + 5y + 2 = x 2 /α 2 + y 2 /β 2 = 1 xy = α 2 y 2 = 4αx mostrare che ma che A =, B = (A + B) 2 A 2 + 2AB + B 2 (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3. (4) Trovare tutte le matrici 2 2 M con la proprietà che: M 2 = id, M 2 = id, M 2 =. (5) Mostrare che una matrice 2 2 a b c d si può scrivere come prodotto della forma x u v y se e solo se ad bc =. (6) Se A e B sono matrici n n, definiamo l operazione [A, B] = AB BA. Questa operazione si chiama commutatore di A e B, e chiaramente [A, B] = soltanto quando A e B commutano. Mostrare che valgono le seguenti relazioni: [A, B] = [B, A], [[A, B], ] + [[B, ], A] + [[, A], B] =, [A + B, ] = [A, ] + [B, ], [[[A, B], ], D] + [[[B, ], D], A] + [[[, D], A], B] + [[[D, A], B], ] =. Mostrare con un esempio che in generale [[A, B], ] [A, [B, ]]

2 2 2. AMPI (1) Mostrare che esiste un unico campo con quattro elementi, 1, α, β e che in tale campo si ha: α + 1 = β, =, α + α =, α α = β. (2) Mostrare che non esistono campi con sei elementi. (3) In questo esercizio costruiamo, rigorosamente, il campo delle funzioni razionali a coefficienti in un campo dato K. onsideriamo l insieme F dei simboli del tipo a(x)/b(x) dove a(x), b(x) K[x] e b(x). Definiamo su F la relazione a(x) b(x) c(x) a(x)d(x) = b(x)c(x). d(x) Mostrare che la relazione definita è una relazione di equivalenza (valgono le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva); Mostrare che le usuali operazioni di somma e prodotto definite sulle frazioni sono ben definite: in altre parole, il risultato di somma e prodotto dipende soltanto dalle classi di equivalenza che si vanno a sommare, e non dalla scelta dei rappresentanti scelti di ciascuna classe di equivalenza; Mostrare che l insieme K(x) := F/ è un campo rispetto alle operazioni di somma e prodotto sopra definite, individuando gli elementi neutri additivo e moltiplicativo. (4) I quaternioni reali sono espressioni del tipo a + bi + cj + dk dove a, b, c, d sono numeri reali. Si sommano sommando i termini corrispondenti (multipli di i con multipli di i, di j con multipli di j, ecc...) e si moltiplicano ricordando che 1 = 1 + i + j + k si comporta come elemento neutro rispetto al prodotto, e che i 2 = j 2 = k 2 = 1, ij = k = ji, jk = i = kj, ki = j = ik, e sfruttando la distributività del prodotto rispetto alla somma. Mostrare che l insieme H dei quaternioni reali soddisfa tutte le proprietà di un campo, tranne la commutatività del prodotto. Un oggetto algebrico di questo tipo si dice corpo. (5) ostruiamo ora un oggetto algebrico 1 simile al corpo dei quaternioni reali, ma scegliendo i coefficienti nel campo F p, con p un numero primo, e non tra i numeri reali. Mostrate allora che l anello così ottenuto NON è un corpo (provate con p = 2, 3, 5 e cercate di capire quale sia il problema in generale...) 3. SPAZI VETTORIALI, SOTTOSPAZI E APPLIAZIONI LINEARI (1) Una successione reale è un applicazione a : N R, solitamente indicata per mezzo della notazione a = (a, a 1, a 2,..., a n,... ) dove a(n) = a n. Mostrare che l insieme S di tutte le successioni reali è uno spazio vettoriale (reale) rispetto alle operazioni di somma e prodotto per uno scalare definite da: (a + b)(n) = a n + b n, (λa) n = λa n. (2) Una successione reale a si dice successione di Fibonacci se a n+2 = a n+1 + a n per ogni n. In altre parole ogni elemento della successione (tranne i primi due) si può ottenere sommando i due precedenti. Mostrare che l insieme F delle successioni di Fibonacci è un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale S definito nell esercizio precedente. Mostrare inoltre che l applicazione T : F F tale che (T a) n = a n+1 è lineare. (3) Dire se sono sottospazi di S i seguenti sottoinsiemi l insieme di tutte le successioni a termini positivi; l insieme di tutte le successioni limitate (per le quali, cioè, tutti i termini siano in valore assoluto minori di K per qualche K); l insieme di tutte le successioni convergenti; l insieme di tutte le successioni crescenti (cioè tali che a n+1 a n); l insieme di tutte le successioni a quadrato sommabile (tali cioè che P n= a2 n sia finito). 1 Dovrei dire: un anello! Questo è un insieme con due operazioni di somma e prodotto, che soddisfano tutte le proprietà di un campo, tranne la richiesta di invertibilità degli elementi non nulli rispetto al prodotto...

3 3 (4) Mostrare che l insieme P dei polinomi p(t) R[t] tali che p(t) = p( t) è un sottospazio vettoriale di R[t]. (5) Mostrare che l insieme D dei polinomi p(t) R[t] tali che p(t) = p( t) è un sottospazio vettoriale di R[t]. (6) Mostrare che P D = () e che P + D = R[t]. (7) Dire quali delle seguenti applicazioni sono lineari, e scriverne in tal caso la matrice corrispondente: φ : R 3 R 2, φ(x, y, z) = (xy + z, yz x) φ : R 3 R, φ(x, y, z) = (x + y) 2 (x y) 2 + z φ : R 2 R 2, φ(x, y) = (z + 1, y 1) φ : R R 3, φ(x) = (x, 2x, 4x) φ : R 2 R 2, φ(x, y) = (x + 2y, y 2x) φ : R 3 R 2, φ(x, y, z) = (x + y + z, x y 1, z + x) () Dire quali delle applicazioni precedenti sono iniettive, e quali suriettive, calcolando nel caso di quelle lineari nucleo ed immagine. (9) E data l applicazione lineare F : R 2 R 4 di matrice 1 3 B2 1 1A. 3 Determinare F (1, 2), F (3, 4), F (1, 1), e stabilire se F sia o meno iniettiva. (1) onsiderata l applicazione lineare G : R 4 R 3 di A, 1 3 e l applicazione F vista nell esercizio precedente, dire quale tra le composizioni F G e G F risulti definita, e scriverne la relativa matrice. (11) Sia X un insieme qualsiasi, e V X il suo insieme delle parti, cioè l insieme i cui elementi sono tutti e soli i sottoinsiemi di X. Ad esempio, se X = {a, b} allora V X = {φ, {a}, {b}, X}. La differenza simmetrica di due sottoinsiemi A, B di X è il sottoinsieme A + B = A \ B B \ A. Mostrare che V X è uno spazio vettoriale sul campo F 2 rispetto alle operazioni di somma appena introdotta, e di prodotto per uno scalare definita da A = φ, 1 A = A. (12) Secondo la notazione dell esercizio precedente, definiamo, per ogni sottoinsieme A X le applicazioni I A, U A : V X V X tali che I A (Y ) = A Y, U A (Y ) = A Y, per ogni Y X. Determinare se tali applicazioni siano lineari, ed in tal caso calcolarne nucleo ed immagine. (13) Una funzione f : R R si dice a supporto compatto se si annulla identicamente al di fuori di un intervallo. In altre parole, se esiste R > tale che f(x) = quando x > R. Mostrare che gli insiemi (R), (R) delle funzioni a supporto compatto continue ed infinitamente derivabili sono spazi vettoriali rispetto alle normali operazioni di somma e prodotto di funzioni. Mostrare inoltre che l applicazione di derivazione D : (R) (R) tale che (Df)(x) = f (x) è lineare. Quali sono la sua immagine ed il suo nucleo? (14) L applicazione φ : R 3 R è definita da φ(x) = u x, dove u = (1, 2, 3) e indica il prodotto scalare. Mostrare che φ è lineare, e scriverne la matrice associata.

4 4 (15) Sull insieme R + dei numeri reali positivi definiamo le operazioni x y = xy, λ x = x λ per ogni scelta di x, y R + e di λ R. Mostrare che R +, dotato di tali operazioni, è uno spazio vettoriale reale. (16) Siano U, V spazi vettoriali. Definiamo sul prodotto cartesiano un operazione di somma data da ed un prodotto per scalari dato da U V = {(u, v) u U, v V } (u 1, v 1 ) + (u 2, v 2 ) = (u 1 + u 2, v 1 + v 2 ) λ(u, v) = (λu, λv). Mostrare che queste operazioni definiscono su U V una struttura di spazio vettoriale (che di solito si indica con U V, e si chiama somma diretta di U e V ). Mostrare inoltre che se u 1,..., u m è una base di U e v 1,...v n è una base di V, allora gli m + n elementi della forma (u i, ) o (, v j ) formano una base di U V. (17) Sia U uno spazio vettoriale, V, W due suoi sottospazi vettoriali. Mostrare che l applicazione T : V W U definita da T (v, w) = v + w è lineare. (1) Sia U uno spazio vettoriale, V, W due suoi sottospazi vettoriali. Mostrare che l intersezione di V e W è ancora un sottospazio vettoriale di U. Mostrare che il sottoinsieme V + W composto da tutti gli elementi di U che si scrivono come somma di qualche elemento di V con qualche elemento di W è un sottospazio vettoriale di U. È vero che V + W è isomorfo a V W? (No. Perché?) (19) Sia T : U V un applicazione lineare, X : U U un isomorfismo. Mostrare che u ker T se e solo se Xu ker(xt X 1 ). Applicare questa informazione al caso particolare in cui se T indica l operatore di differenziazione U = V = (R), T (f(x)) = f (x), ed X l operatore di moltiplicazione definito da X(f(x)) = e 3x f(x). (2) Determinare tutte le soluzioni dell equazione differenziale y ay =. 4. DIPENDENZA ED INDIPENDENZA LINEARE, E SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI (1) Decidere se gli elementi (1, 2, 3, 4), (1, 1, 1, 1), (2, 3, 4, 5), (2, 3, 2, 3) siano o meno linearmente indipendenti in R 4. (2) Determinare tutti i sottoinsiemi linearmente indipendenti della famiglia di vettori di R 3 : (1, 1, ), (1, 1, 2), (1,, 1), (1, 1, 1). (3) Determinare se l applicazione lineare T : R 3 R 2 di matrice sia iniettiva (risp. suriettiva, invertibile). (4) Determinare se l applicazione lineare S : R 2 R 3 di A 2 sia iniettiva (risp. suriettiva, invertibile). (5) Il sistema lineare ( 2x y + 2t = 1 x + y + 2z = è risolubile? In caso affermativo determinarne tutte le soluzioni.

5 5 (6) Risolvere il sistema omogeneo (7) Discutere il sistema lineare >< 3x + z = 4x + y = x + y + z = x y + 2z = 3 >< 3x 2y + z = 4 4x 7y + 5z = 9 3x 7y + z = 7 e determinarne le eventuali soluzioni. () Si consideri il sistema lineare ( x y 1 = x + y z + 1 = e si determini t reale in modo che tutte le soluzioni del sistema soddisfino l equazione tx + y =. (9) Esaminare i due sistemi di equazioni lineari seguenti, verificarne la compatibilità ed in caso affermativo risolverli: >< x + y + z = 1 >< x + y + z = 5 2x + 4y 3z = 9 2x y + z = 7 3x + 5y 2z = 11 3x + y 5z = 13 (1) Esprimere la condizione affinché il sistema seguente sia un sistema compatibile e, nel caso che questa condizione sia verificata, trovarne la soluzione: >< x + y + z = 1 ax + by + cz = d a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 (11) Dire se il seguente sistema è compatibile, ed in tal caso trovarne le soluzioni x 1 + 2x 2 5x 3 + 4x 4 + x 5 = 4 >< 3x 1 + 7x 2 x 3 3x 4 + 2x 5 = 1 x 2 13x 3 2x 4 + x 5 = 14 x 3 16x 4 + 2x 5 = 11 2x 4 + 5x 5 = 12 (12) Dire se il seguente sistema è compatibile, ed in tal caso trovarne le soluzioni x 1 5x 3 + 2x 6 = 6 2x 2 + x 4 + 3x 5 = 6 >< 2x 1 7x 3 + 3x 6 = 4 3x 2 + 2x 4 + 4x 5 = 7 2x 1 x 3 + x 6 = 12 4x 2 + 3x 4 + x 5 = 9 (13) Studiare i sistemi seguenti, tenendo conto che λ indica un parametro reale: >< x + y + λz = 1 x + λy + z = 1 λx + y + z = 1 >< x + y + λz = 2 x + λy + z = 1 λx + y + z = 1

6 6 >< λx + y + z = 5x + y 2z = 2 2x 2y + z = 3 (14) Risolvere, al variare del parametro k R, il sistema di equazioni: ( (k + 2)x + ky + 2z = 4 kx + (k 1)y + (3 k)z = 4 k (15) Dire se il seguente sistema è compatibile, ed in tal caso trovarne le soluzioni >< x 1 + 2x 2 + x 3 = 1 x 1 + x 2 + 2x 3 = 3x 1 x 2 + x 3 = 2 (16) Determinare una base per le soluzioni del sistema lineare omogeneo, e scriverne la soluzione generale. >< x 1 x 2 + 2x 3 x 4 + x 5 = x 2 + x 3 3x 4 = 2x 1 x 2 + 5x 3 5x 4 + 2x 5 =