Appunti del Corso di GEOMETRIA PER INGEGNERIA INDUSTRIALE. Daniele Bartoli

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1 Appunti del Corso di GEOMETRIA PER INGEGNERIA INDUSTRIALE Daniele Bartoli A.A. 2016/2017

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3 Indice 1 Nozioni Preliminari Insiemi e funzioni Operazioni e Strutture Algebriche Principio di Induzione Matrici Matrici reali e operazioni Matrici invertibili Determinante e Rango Esercizi Sistemi Lineari Sistemi Lineari a Coefficient Reali Sistemi Lineari Parametrici Esercizi Diagonalizzazione e autovalori Matrici diagonalizzabili e simili: autovettori ed autovalori Esercizi Spazi Vettoriali Spazi vettoriali astratti Esercizi Applicazioni Lineari Applicazioni Lineari Isomorfismi Applicazioni Lineari e Matrici Esercizi

4 4 INDICE 7 Spazi Vettoriali Euclidei Prodotti Scalari e Spazi Vettoriali Euclidei Basi Ortogonali e Ortonormali Esercizi Spazi Affini ed Euclidei Spazi Affini Spazi euclidei Lo spazio euclideo E Lo spazio euclideo E Prodotto Vettoriale Esercizi Numeri Complessi Esercizi Svolti Rango di una matrice Sistemi lineari Diagonalizzazione ed Autovettori Spazi Vettoriali Applicazioni Lineari Spazio Affini e Euclidei Appendice Dimostrazione del teorema della base incompleta Dimostrazione del teorema di Grassmann

5 Introduzione Queste brevi note costituiscono le dispense del corso di Geometria per Ingegneria Industriale A.A. 2016/2017. Le dispense sono da intendersi come un sunto del programma svolto durante il corso e quindi devono essere integrate mediante lo studio sui libri consigliati. Gli esercizi segnalati con l asterisco sono svolti nel capitolo finale. 12 dicembre 2016 Daniele Bartoli 5

6 6 INDICE

7 Capitolo 1 Nozioni Preliminari 1.1 Insiemi e funzioni Il concetto di insieme è un concetto primitivo e pertanto non viene ulteriormente definito. Può essere utile descrivere il concetto di insieme mediante sinonimi di uso comune, quali ad esempio collezione di oggetti. Analogamente l insieme dei numeri naturali N = {1, 2, 3, 4, 5,..., }, il simbolo di appartenenza, il quantificatore universale. Un oggetto che appartiene ad un insieme viene detto elemento di tale insieme. L insieme vuoto è l unico insieme che non ha nessun elemento. Altri insiemi che verranno usati durante il corso (e non definiti più specificatamente) sono Z = {..., 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...}, { m } Q = m, n Z, n 0, n l insieme dei numeri reali R. Definizione 1.1. Sia A un insieme. Un insieme B è detto sottoinsieme di A se b B = b A e si indica con B A. Definizione 1.2. Siano A, B due insiemi. 1. L insieme unione è definito da A B = {x x A o x B}. 7

8 8 1. NOZIONI PRELIMINARI 2. L insieme intersezione è definito da 3. L insieme differenza è definito da A B = {x x A e x B}. A \ B = {x x A e x / B}. 4. L insieme differenza simmetrica è definito da A B = (A \ B) (B \ A). Definizione 1.3. Siano A, B due insiemi non vuoti. L insieme A B = {(a, b) a A, b B} è detto prodotto cartesiano di A e B. Siano A 1, A 2,..., A n n insiemi non vuoti. L insieme A 1 A 2 A n = {(a 1, a 2,..., a n ) a i A i i = 1,..., n} è detto prodotto cartesiano di A 1, A 2,..., A n. Il simbolo A n indica il prodotto cartesiano A A A. Si noti come in generale A B sia diverso da B A. Definizione 1.4. Dati due insiemi A e B, una relazione ρ di A su B è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A B. Una relazione di A su A si dice semplicemente relazione su A. Se a A è in relazione con b B, lo si indica con a ρ b invece che con (a, b) ρ. Definizione 1.5. Una relazione ρ su A è detta 1. riflessiva se a A a ρ a; 2. simmetrica se a, b A a ρ b = b ρ a; 3. transitiva se a, b, c A aρb, b ρ c = a ρ c. Una relazione riflessiva, simmetrica e transitiva si dice relazione d equivalenza. Data una relazione di equivalenza ρ e un elemento di A definiamo classe di equivalenza di a l insieme [a] ρ = {a A a ρ a}.

9 1.1. INSIEMI E FUNZIONI 9 Definizione 1.6. Siano A e B due insiemi. Una funzione f da A a B è una relazione di A su B tale che a A =! b B : a f b. Se a f b scriveremo più semplicemente f(a) = b. L insieme A si dice dominio della funzione. L insieme B si dice codominio. L insieme Im(f) = {f(a) a A} prende il nome di immagine della funzione f. Dato un elemento b B la controimmagine di b è l insieme (eventualmente vuoto) f 1 (b) = {a A f(a) = b}. La definizione di Im(f) può essere espressa anche come Im(f) = {y B a A : f(a) = b} B. Definizione 1.7. Una funzione f : A B è detta: 1. iniettiva se x 1 x 2 A = f(x 1 ) f(x 2 ); 2. suriettiva se y B = x A : f(x) = y. Osservazione 1.8. Una funzione è iniettiva se e solo se f 1 (b) contiene al piú un elemento per ogni b B. Una funzione è suriettiva se e solo se Im(f) = B. Definizione 1.9. Siano f : A B e g : C D due funzioni tali che Im(f) C. Allora la funzione composta g f : A D è definita da (g f)(a) = g(f(a)) per ogni a A. Definizione Sia A un insieme. La funzione identità di A è definita da id A : A A a a. Osservazione La funzione identità è biiettiva. Definizione Sia f : A B. destra se esiste g : B A tale che La funzione f si dice invertibile a f g = id B.

10 10 1. NOZIONI PRELIMINARI La funzione f si dice invertibile a sinistra se esiste g : B A tale che g f = id A. La funzione f si dice invertibile se esiste g : B A tale che Teorema Sia f : A B. f g = id B g f = id A. 1. f è invertibile a destra se e solo se f è suriettiva. 2. f è invertibile a sinistra se e solo se f è iniettiva. 3. f è invertibile se e solo se f è biiettiva. 1.2 Operazioni e Strutture Algebriche Definizione Una operazione binaria su un insieme A è una funzione : A A A. L operazione si dice associativa se a, b, c A = (a b) c = a (b c). L elemento neutro di (se esiste) è quell elemento u A tale che a A = a u = u a = a. Dato a A l inverso di a (se esiste) è quell elemento a A tale che a a = a a = u. L operazione si dice commutativa se a, b A = a b = b a. Definizione Un gruppo G = (A, ) è una coppia formata da un insieme non vuoto A e un operazione binaria interna che sia associativa, per la quale esista l elemento neutro e tale che ogni elemento di A abbia inverso rispetto a. Se inoltre è commutativa allora G prende il nome di gruppo commutativo.

11 1.3. PRINCIPIO DI INDUZIONE 11 Definizione Un campo K = (A,,, 0, 1) è una quintupla tale che 1. 0, 1 A; 2. (A, ) è un gruppo commutativo con 0 elemento neutro; 3. (A \ {0}, ) è un gruppo commutativo con elemento neutro 1; 4. valgono le proprietà distributive a, b, c A = a (b c) = a b a c, a, b, c A = (a b) c = a c b c. 1.3 Principio di Induzione Sia P n una proprietà indicizzata sui numeri naturali N. Supponiamo che 1. P 1 sia vera. 2. Se è vera P n allora è vera anche P n+1. Allora P n è vera per ogni n N.

12 12 1. NOZIONI PRELIMINARI

13 Capitolo 2 Matrici 2.1 Matrici reali e operazioni Definizione 2.1. Una matrice reale M M n m (R) è una tabella con n righe ed m colonne di numeri reali del tipo a 1,1 a 1,2 a 1,m a 2,1 a 2,2 a 2,m..., a n,1 a n,2 a n,m dove a i,j indica l elemento posto nella riga i e colonna j e si chiama componente di posto (i, j). Una matrice si dice quadrata se n = m. Una matrice quadrata M M n n (R) si dice triangolare superiore se a i,j = 0 i > j; si dice triangolare inferiore se a i,j = 0 i < j. Definizione 2.2. Siano A, B M n m (R) due matrici. La somma A + B è definita da C = A + B M n m (R), c i,j = a i,j + b i,j. Proposizione 2.3. La somma in M n m (R) è una operazione binaria interna tra matrici che gode delle seguenti proprietà 1. A + B = B + A A, B M n m (R). 2. A + (B + C) = (A + B) + C A, B, C M n m (R) n m M n m (R) tale che A + 0 n m = 0 n m + A = A A M n m (R). 13

14 14 2. MATRICI 4. A M n m (R) ( A) M n m (R) tale che A+( A) = ( A)+A = 0 n m. Pertanto (M n m (R), +) è un gruppo commutativo. Dimostrazione. 1. La componente di posto (i, j) in A + B è a i,j + b i,j, mentre quella di posto (i, j) in B + A è b i,j + a i,j. Questi due valori coincidono perché la somma tra numeri reali è una operazione commutativa. 2. La componente di posto (i, j) in A+(B+C) è a i,j +(b i,j +c i,j ), mentre quella di posto (i, j) in (A + B) + C è (a i,j + b i,j ) + c i,j. Questi due valori coincidono perché la somma tra numeri reali è una operazione associativa. 3. La matrice nulla 0 n m è l elemento neutro rispetto alla somma, dato che la componente di posto (i, j) in A+0 n m è a i,j +0 = 0+a i,j = a i,j ed è uguale alla componente di posto (i, j) in 0 n m + A e in A. 4. La matrice A che ha per componente di posto (i, j) il valore a i,j è chiaramente la matrice inversa di A rispetto alla somma. Definizione 2.4. Sia A M n m (R) una matrice e sia λ R uno scalare. Il prodotto per uno scalare λa di λ e A è definito da C = λa M n m (R), c i,j = λa i,j. Proposizione 2.5. Il prodotto per uno scalare gode delle seguenti proprietà. 1. λ(a + B) = λa + λb A, B M n m (R) λ R. 2. (λ + µ)a = λa + µa A M n m (R) λ, µ R. 3. λ(µa) = (λµ)a A M n m (R) λ, µ R. 4. 1A = A A M n m (R). 5. Se λa = 0 n m allora λ = 0 oppure A = 0 n m. Dimostrazione. 1. La componente di posto (i, j) della matrice λ(a + B) è λ(a i,j + b i,j ). La componente di posto (i, j) della matrice λa + λb è λa i,j + λb i,j. I due valori sono uguali perché la vale la proprietà distributiva tra numeri reali.

15 2.1. MATRICI REALI E OPERAZIONI La componente di posto (i, j) della matrice (λ + µ)a è (λ + µ)a i,j. La componente di posto (i, j) della matrice λa+µa è λa i,j +µa i,j. I due valori sono uguali perché la vale la proprietà distributiva tra numeri reali. 3. La componente di posto (i, j) della matrice λ(µa) è λ(µa i,j ). La componente di posto (i, j) della matrice (λµ)a è (λµ)a i,j. I due valori sono uguali perché la vale la proprietà associativa della moltiplicazione tra numeri reali. 4. La componente di posto (i, j) della matrice 1A è 1a i,j = a i,j. 5. Se λa = 0 n m allora per ogni componente (i, j) si ha che λa i,j = 0 e dunque se λ 0 si ha che a i,j = 0 per ogni (i, j) poiché vale la legge di annullamento del prodotto in R. Definizione 2.6. Sia A M n m (R) una matrice. La matrice trasposta di A è definita da A T M m n (R), a T i,j = a j,i. Proposizione 2.7. La trasposizione di una matrice gode delle seguenti proprietà. 1. (A T ) T = A A M n m (R). 2. (λa) T = λa T A M n m (R), λ R. 3. (A + B) T = A T + B T A, B M n m (R). Dimostrazione. 1. La componente di posto (i, j) della matrice (A T ) T è chiaramente a i,j. 2. La componente di posto (i, j) della matrice (λa) T è λa j,i che è uguale alla componente di posto (i, j) della matrice λa T. 3. La componente di posto (i, j) della matrice (A + B) T è a j,i + b j,i che è uguale alla componente di posto (i, j) della matrice A T + B T. Definizione 2.8. Sia A M n n (R). La matrice A si dice simmetrica se A T = A.

16 16 2. MATRICI Definizione 2.9. Siano A M n m (R) e B M m r (R) due matrici. La matrice prodotto di A per B è definita da C = AB M n r (R), c i,j = m a i,k b k,j. Si noti come in generale se è possibile moltiplicare due matrici AB non è detto che sia possibile calcolare BA; anche quando questo sia possibile, nel caso in cui A e B siano matrici quadrate della stessa dimensione, non è detto che AB = BA. Proposizione Il prodotto tra matrici gode delle seguenti proprietà. 1. I n A = A, AI m = A A M n m (R) 2. A(BC) = (AB)C A M n m (R), B M m r (R), C M r p (R) 3. A(B + C) = AB + AC A M n m (R), B, C M m r (R) 4. A(B C) = AB AC A M n m (R), B, C M m r (R) 5. (B + C)A = BA + CA A M n m (R), B, C M r n (R) 6. (B C)A = BA CA A M n m (R), B, C M r n (R) 7. λ(ab) = (λa)b = A(λB) A M n m (R), B M m r (R), λ R k=1 8. (AB) T = B T A T A M n m (R), B M m r (R) Dimostrazione. 1. La componente (i, j) della matrice I n A è data da n k=1 δ i,ka k,j, dove δ i,k = 1 se i = k e 0 altrimenti. Quindi n k=1 δ i,ka k,j = a i,j. 2. La componente (i, j) della matrice A(BC) è data da ( n m ) a i,k b k,l c l,j = k=1 l=1 mentre quella della matrice (AB)C è ( m n ) a i,k b k,l c l,j = l=1 k=1 n k=1 l=1 m l=1 k=1 m a i,k b k,l c l,j, n a i,k b k,l c l,j.

17 2.1. MATRICI REALI E OPERAZIONI La componente (i, j) della matrice A(B + C) è data da n n a i,k (b k,j + c k,j ) = (a i,k b k,j + a i,k c k,j ) k=1 k=1 n n = a i,k b k,j + a i,k c k,j, k=1 k=1 mentre quella della matrice AB + AC è n n a i,k b k,j + a i,k c k,j. k=1 k=1 4. La componente (i, j) della matrice A(B C) è data da n n a i,k (b k,j c k,j ) = (a i,k b k,j a i,k c k,j ) k=1 k=1 n n = a i,k b k,j a i,k c k,j, k=1 k=1 mentre quella della matrice AB AC è n n a i,k b k,j a i,k c k,j. k=1 k=1 5. La componente (i, j) della matrice (B + C)A è data da r r (b i,k + c i,k )a k,j = (b i,k a k,j + c i,k a k,j ) k=1 k=1 r r = b i,k a k,j + c i,k a k,j, k=1 k=1 mentre quella della matrice BA + CA è r r b i,k a k,j + c i,k a k,j. k=1 k=1 6. La componente (i, j) della matrice (B C)A è data da r r (b i,k c i,k )a k,j = (b i,k a k,j c i,k a k,j ) k=1 k=1

18 18 2. MATRICI r r = b i,k a k,j c i,k a k,j, k=1 k=1 mentre quella della matrice BA CA è r r b i,k a k,j c i,k a k,j. k=1 k=1 7. La componente (i, j) della matrice λ(ab) è data da n n n λ a i,k b k,j = (λa i,k )b k,j = a i,k (λb k,j ), k=1 k=1 k=1 è uguale a quella delle matrici (λa)b e A(λB). 8. La componente (i, j) della matrice (AB) T è data da n a j,k b k,i, k=1 mentre quella della matrice B T A T è n n b T i,k at k,j = b k,i a j,k. k=1 k=1 Definizione Una matrice si dice a scala per righe se: Le righe nulle della matrice si trovano in basso. Ogni riga non nulla ha come prima componente non nulla da sinistra un 1 che prende il nome di 1-dominante. Ogni 1-dominante si trova a sinistra di tutti gli uno dominanti delle righe successive. Si dice ridotta se ogni 1-dominante è l unica componente non nulla di ciascuna colonna della matrice. Definizione Il seguente algoritmo viene utilizzato per ridurre una matrice in una matrice a scala. 1. Se la matrice è nulla è già in forma ridotta.

19 2.2. MATRICI INVERTIBILI Se la matrice non è nulla si cerca la prima colonna da sinistra che ha almeno un elemento λ non nullo. Si scambia la prima riga con la prima riga contenente questo termine. 3. Si divide tutta la prima riga per λ e si crea l 1-dominante. 4. Si trasformano tutti gli elementi sottostanti all 1-dominante in zeri, sottraendo ad ogni riga multipli opportuni della prima riga. 5. Si considera la matrice ottenuta eliminando la prima riga e si ripetono tutti i passi precedenti. 2.2 Matrici invertibili Definizione Una matrice quadrata M M n n (R) si dice invertibile se esiste una matrice M M n n (R) tale che MM = M M = I n. La matrice M si chiama inversa di M e si indica con M 1. Teorema 2.14 (Unicità della matrice inversa). Sia M M n n (R) una matrice. Se esiste M 1 M n n (R) tale che allora M 1 = M 1. Dimostrazione. Si ha che MM 1 = M 1 M = I n, M 1 = M 1 I n = M 1 (MM 1 ) = (M 1 M)M 1 = I n M 1 = M 1. Per calcolare la matrice inversa (qualora esista) si può procedere nel seguente modo. Sia M M n n (R) una matrice. Se esiste una sequenza di operazioni elementari su M che trasformano M in I n allora M è invertibile e la sua inversa M 1 si ottiene compiendo le stesse operazioni elementari sulla matrice I n. Teorema 2.15 (Proprietà della matrice inversa). ha I 1 n = I n. 1. I n è invertibile e si 2. Se A è invertibile, allora A 1 è invertibile e si ha (A 1 ) 1 = A.

20 20 2. MATRICI 3. Se A, B sono invertibili allora AB è invertibile e si ha (AB) 1 = B 1 A Se A 1, A 2,..., A k sono invertibili allora A 1 A 2 A k è invertibile e si ha (A 1 A 2 A k ) 1 = A 1 k A 1 2 A Se A è invertibile allora A k è invertibile e si ha (A k ) 1 = (A 1 ) k. 6. Se A è invertibile allora A T è invertibile e si ha (A T ) 1 = (A 1 ) T. 7. Se A è invertibile e λ R\{0} allora λa è invertibile e si ha (λa) 1 = λ 1 A 1. Dimostrazione. 1. È di facile controllo che I n I n = I n. 2. Se A è invertibile allora A 1 A = AA 1 = I n e dunque A è l inversa di A Si ha che e (B 1 A 1 )(AB) = B 1 (A 1 A)B = B 1 I n B = B 1 B = I n (AB)(B 1 A 1 ) = A(BB 1 )A 1 = AI n A 1 = AA 1 = I n. 4. Dimostrazione per induzione su k. Se k = 2 è dimostrato al punto precedente. Supponiamo sia valido al passo k e dimostriamolo al passo k + 1. (A 1 k+1 A 1 k = A 1 k+1 A 1 k = A 1 = A 1 A 1 2 A 1 1 )(A 1A 2 A k A k+1 ) k+1 A 1 k k+1 A 1 k A 1 2 (A 1 1 A 1)A 2 A k A k+1 A 1 2 I na 2 A k A k+1 A 1 2 A 2 A k A k+1 = I n, perché le matrici sono in tutto k e allora per il passo induttivo A 1 è l inversa di A 2 A k A k Basta prendere A 1 = A 2 = = A k = A nel punto precedente. 6. Si ha che (A 1 ) T A T = (AA 1 ) T = I T n = I n. k+1 A 1 k A 1 2

21 2.3. DETERMINANTE E RANGO Si ha che (A 1 ) T A T = (AA 1 ) T = I T n = I n = I T n = (A 1 A) T = A T (A 1 ) T. 8. Si ha che (λ 1 A 1 )(λa) = (λ 1 λ)(a 1 A) = I n = (λλ 1 )(AA 1 ) = (λa)(λ 1 A 1 ). Definizione Una matrice A M n n (R) si dice ortogonale se A T A = I n. 2.3 Determinante e Rango Definizione Sia A M n n (R) una matrice. Se n = 1 allora det(a) = a 1,1. Se n > 1, n N, allora il determinante di A è dato da n det(a) = ( 1) i+j a i,j det(a i,j ), j=1 dove A i,j è la matrice che si ottiene cancellando la i-esima riga e la j-esima colonna di A. Il termine ( 1) i+j det(a i,j ) prende il nome di cofattore del termine a i,j. Per n = 3 la formula per il calcolo del determinante viene spesso indicata come regola di Sarrus. Teorema 2.18 (Proprietà dei determinanti). Sia A M n n (R) una matrice. 1. Se A ha due righe uguali allora det A = det(λa) = λ n det A. 3. Se A è triangolare allora det A è il prodotto degli elementi sulla diagonale principale di A. 4. det A T = det A.

22 22 2. MATRICI Dimostrazione. 1. Dimostrazione per induzione sulla dimensione della matrice A. Se A ha dimensione 2 allora si verifica facilmente che il determinante è 0. Supponiamo sia vero per tutte le matrici di ordine n e dimostriamolo per n + 1. Supponiamo che le righe i-esima e j- esima siano uguali. Sviluppiamo il determinante rispetto ad una riga diversa da queste due. Allora tutti i cofattori della nuova matrice sono nulli in quanto sono determinanti di matrici di dimensione n in cui due righe sono uguali. Pertanto il determinante è nullo. 2. Basta applicare più volte il punto 2 del Teorema Basta sviluppare il determinante ogni volta rispetto ad una riga che ha un solo elemento diverso da Il determinante non cambia sviluppando rispetto le colonne. Teorema 2.19 (Operazioni elementari e determinanti). Sia A una matrice di M n n (R). 1. Se B è ottenuta da A scambiando tra loro due righe allora det B = det A. 2. Se B è ottenuta da A moltiplicando una riga per uno scalare λ R allora det B = λ det A. 3. Se B è ottenuta da A sommando ad una riga di A un multiplo di un altra riga allora det B = det A. Dimostrazione. 1. Dimostrazione per induzione sulla dimensione della matrice A. Se A ha dimensione 2 allora si verifica facilmente che il determinante cambia di segno. Supponiamo sia vero per tutte le matrici di ordine n e dimostriamolo per n + 1. Supponiamo di scambiare tra loro le righe i-esima e j-esima. Sviluppiamo il determinante di entrambe le matrici rispetto ad una riga diversa da queste due. Allora tutti i cofattori della nuova matrice cambiano di segno rispetto a quelli della matrice iniziale in quanto sono determinanti di matrici di dimensione n in cui sono state scambiate due righe. Pertanto il determinante cambia di segno.

23 2.3. DETERMINANTE E RANGO Supponiamo che la riga moltiplicata per λ sia la i-esima. Allora sviluppando rispetto a questa riga si ha che = λ det(a) = det(λa) = n ( 1) i+j a i,j det(a i,j ), j=1 n ( 1) i+j λa i,j det(a i,j ) j=1 n ( 1) i+j a i,j det(a i,j ) = λ det(a). j=1 3. Supponiamo che alla riga i-esima sia sommata la riga k-esima moltiplicata per λ. Sia A la matrice così ottenuta. Allora sviluppando rispetto a questa riga si ha che = det(a ) = n ( 1) i+j (a i,j + λa k,j ) det(a i,j ) j=1 n ( 1) i+j a i,j det(a i,j ) + λ j=1 n ( 1) i+j a k,j det(a i,j ). Sia ha che n j=1 ( 1)i+j a k,j det(a i,j ) = 0 in quanto è lo sviluppo di Laplace di una matrice che ha due righe uguali (la i-esima e la k-esima). j=1 Definizione Il rango di una matrice A M n m (R) è il numero di 1-dominanti della matrice in forma a scala ridotta per righe. Definizione Il rango per minori di una matrice A M n m (R) è l ordine della più grande sottomatrice quadrata che è possibile estrarre da A con determinante diverso da 0. Teorema Sia A M n m (R). rango per minori. Il rango di A coincide con il suo Dimostrazione. Sia r il rango di A. Selezioniamo le colonne degli uno dominanti e le righe che dopo tutte le operazioni elementari sulle righe corrispondono alle righe dove sono presenti gli 1-dominanti. Questa sottomatrice quadrata di ordine r di A è invertibile perché viene trasformata nella matrice identità tramite operazioni elementari e quindi ha determinante diverso

24 24 2. MATRICI da 0. Se esistesse una matrice quadrata di ordine r + 1 con determinante diverso da 0 durante l algoritmo di eliminazione avremmo almeno r dominanti, provenienti da colonne della sottomatrice oppure no, e quindi il rango sarebbe almeno r + 1, impossibile. Definizione Le operazioni elementari su una matrice A M n m (R) sono : 1. scambiare due righe tra loro; 2. moltiplicare una riga per uno scalare λ R non nullo; 3. aggiungere ad una riga un multiplo di un altra. Teorema Le operazioni elementari su una matrice A M n m (R) non ne modificano il rango. Dimostrazione. Tutte le operazioni elementari non modificano il fatto che il determinante di una sottomatrice quadrata di ordine r abbia determinante diverso da 0. Quindi il rango per minori non viene modificato. 2.4 Esercizi Esercizio* Si calcoli il rango della seguente matrice. Si calcoli il rango per minori A = Esercizio Ridurre in matrici a scala per righe le seguenti matrici Esercizio Ridurre in matrici a scala per righe ridotte le matrici dell esercizio precedente.

25 Capitolo 3 Sistemi Lineari 3.1 Sistemi Lineari a Coefficient Reali Definizione 3.1. Un sistema lineare in n equazioni e m incognite su R è a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,m x m = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,m x m = b 2,... a n,1 x 1 + a n,2 x a n,m x m = b n dove a i,j, b j R. Un sistema si dice omogeneo se b 1 = b 2 = = b n = 0. Una soluzione è una m-upla (α 1,..., α m ) R m tale che a 1,1 α 1 + a 1,2 α a 1,m α m = b 1 a 2,1 α 1 + a 2,2 α a 2,m α m = b a n,1 α 1 + a n,2 α a n,m α m = b n Due sistemi si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni. Definizione 3.2. Le operazioni elementari sui sistemi lineari sono: 1. scambiare due equazioni tra loro; 2. moltiplicare una equazione membro a membro per uno scalare λ R non nullo; 3. aggiungere ad un equazione un multiplo di un altra. Teorema 3.3. Le operazioni elementari su un sistema lineare non modificano l insieme delle sue soluzioni. 25

26 26 3. SISTEMI LINEARI Dimostrazione. Scambiare due equazioni tra loro chiaramente non modifica l insieme delle soluzioni. Richiedere a i,1 α 1 + a i,2 α a i,m α m = b i è chiaramente equivalente a richiedere Infine, richiedere e è la stessa cosa che richiedere e λ(a i,1 α 1 + a i,2 α a i,m α m ) = λb i. a i,1 α 1 + a i,2 α a i,m α m = b i a j,1 α 1 + a j,2 α a j,m α m = b j a i,1 α 1 + a i,2 α a i,m α m = b i (a j,1 + λa i,1 )α 1 + (a j,2 + λa i,2 )α (a j,m + λa i,m )α m = (b j + λb i ). Definizione 3.4. [Metodo di Gauss] Supponiamo che un sistema abbia almeno una soluzione. Allora 1. Riduciamo la matrice completa in matrice a scala ridotta per righe. 2. Le incognite non dominanti (corrispondenti a colonne senza 1-dominanti) diventano parametri. 3. Ricaviamo le incognite dominanti dalle equazioni, scrivendole in termini di parametri corrispondenti alle incognite non dominanti. Definizione 3.5. Dato un sistema a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,m x m = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,m x m = b 2,... a n,1 x 1 + a n,2 x a n,m x m = b n detta A M n m (R) la matrice che ha per componente (i, j) il valore a i,j e B = (b 1,..., b n ) T M n 1 (R) il vettore dei termini noti, la sua forma matriciale è data da AX = B, dove X = (x 1,..., x m ) T è detto vettore delle incognite.

27 3.1. SISTEMI LINEARI A COEFFICIENT REALI 27 Teorema 3.6. Sono equivalenti: 1. A M n n (R) è invertibile; 2. Il sistema omogeneo AX = 0 ammette un unica soluzione (che è la soluzione nulla); 3. Attraverso operazioni elementari è possibile trasformare A in I n ; 4. Il sistema AX = B ammette una unica soluzione per ogni possibile scelta B; 5. Esiste una matrice C M n n (R) tale che AC = I n. Dimostrazione. 1 = 2. Se A è invertibile allora X = A 1 0 = 0. 2 = 3. Se il sistema AX = 0 ammette un unica soluzione allora tutte le incognite sono dominanti e quindi applicando il metodo di Gauss ottengo che la matrice A viene trasformata nella matrice I n. 3 = 4. Applicando il metodo di Gauss al sistema AX = B ottengo che tutte le incognite sono dominanti, cioè la soluzione è unica per ogni scelta del vettore dei coefficienti B. 4 = 5. La matrice C è costruita nel seguente modo: la colonna j-esima di C è la soluzione C j del sistema AX = E j, dove E j ha tutti zeri tranne 1 al posto j-esimo. Si verifica facilmente che A (C 1 C 2 C n ) = (AC 1 AC 2 AC n ) = (E 1 E 2 E n ) = I n. 5 = 1. La matrice C soddisfa il punto 2, infatti se CX = 0 allora X = I n X = (AC)X = A(CX) = A0 = 0. Dunque C verifica i punti 3, 4, 5. In particolare esiste una matrice C tale che CC = I n. Ma allora C = I n C = (AC)C = A(CC ) = AI n = A e dunque CA = I n e la matrice A è invertibile e la sua inversa è proprio C.

28 28 3. SISTEMI LINEARI Teorema 3.7. Una matrice A M n n (R) è invertibile se e solo det A 0 e in questo caso A 1 = 1 det A (A i,j) T, ovvero la matrice inversa si ottiene dividendo per det A la trasposta della matrice dei cofattori di A. Dimostrazione. Consideriamo la matrice A (A i,j ) T. La sua componente al posto (i, i) è data da n a i,k A i,k. k=1 Questo è proprio lo sviluppo del determinante di A rispetto alla riga i-esima. La sua componente al posto (i, j), i j, è data da n a i,k A j,k. k=1 Questa quantità è nulla in quanto corrisponde allo sviluppo rispetto alla j-esima riga del determinante di una matrice ottenuta da A sostituendo la j-esima riga con la i-esima. Questa matrice ha determinante nullo in quanto ha due righe uguali e dunque n k=1 a i,ka j,k = 0. Pertanto abbiamo mostrato che la matrice A (A i,j ) T è una matrice diagonale e le sue componenti non nulle sono tutte uguali a det A e quindi 1 det A A (A i,j) T = I n. Teorema 3.8 (Teorema di Cramer). Un sistema lineare in n incognite e n equazioni AX = B tale che il determinante della matrice A dei coefficienti è diverso da zero (sistema di Cramer) ammette una ed un unica soluzione data da x j = det A j det A, dove A j è la matrice ottenuta sostituendo alla colonna dell incognita x j la colonna dei termini noti. Dimostrazione. Poiché A è invertibile per il Teorema 3.7 allora X = A 1 B e quindi la soluzione è unica. Inoltre X = A 1 B = 1 det A (A i,j) T B. Si ha che x j = (A i,j ) T B = n k=1 A k,jb k equivale al determinante sviluppato rispetto alla colonna i-esima della matrice ottenuta sostituendo alla j-esima colonna di A la colonna dei termini noti B.

29 3.2. SISTEMI LINEARI PARAMETRICI 29 Teorema 3.9 (Teorema di Rouché-Capelli). Un sistema è compatibile se e solo se il rango della matrice dei coefficienti è uguale al rango della matrice completa. Dimostrazione. Attraverso il metodo di Gauss si vede che un sistema è compatibile se e solo se l ultima riga della matrice completa non è diventata (0,..., 0, 1). Ma questo equivale a dire che gli 1-dominanti della matrice dei coefficienti sono gli stessi della matrice completa. Quindi un sistema è compatibile se e solo se i ranghi delle due matrici sono uguali. Definizione Un orlato M di una sottomatrice di M M n m (R) è una sottomatrice che si ottiene aggiungendo una riga e una colonna di M alla sottomatrice M. Proposizione 3.11 (Metodo degli orlati). Il rango di una matrice M M n m (R) è k se e solo se esiste un minore M di ordine k non nullo e tutti gli orlati (k + 1) (k + 1) di M sono nulli. 3.2 Sistemi Lineari Parametrici Un sistema lineare è detto parametrico se oltre alle incognite compaiono anche alcuni parametri che possono assumere determinati valori. In generale un sistema parametrico è compatibile oppure no a seconda del valore del parametro. Pertanto va effettuata un analisi caso per caso, al variare del parametro nell insieme dei valori ammissibili. Il metodo di risoluzione di un sistema lineare parametrico può essere riassunto mediante il seguente schema. Numero incognite m. Numero equazioni n. Parametri λ 1, λ 2,..., λ r. Metodo risolutivo n m. In questo caso si prende una qualsiasi sottomatrice A n n della matrice dei coefficienti tale che il determinante sia diverso da 0 oppure dipenda in generale dai vari parametri. Sia tale determinante p(λ 1,..., λ r ).

30 30 3. SISTEMI LINEARI 1. I valori dei parametri tali che p(λ 1,..., λ r ) 0 sono tali che il rango della matrice dei coefficienti è n ed è massimo e quindi anche il rango della matrice completa è n. Pertanto il sistema è compatibile. Per trovare le soluzioni di questo sistema si costruisce il sistema equivalente le cui incognite e le equazioni sono quelle selezionate dalla matrice A. Le altre incognite vengono portate dall altra parte dell uguale e diventeranno nuovi parametri. Il nuovo sistema è per costruzione un sistema di Cramer avendo per matrice dei coefficienti A che ha determinante diverso da I valori dei parametri tali che p(λ 1,..., λ r ) = 0 vengono studiati a parte. Per questi valori il sistema può essere compatibile o incompatibile. Si procede prendendo altre possibili sottomatrici quadrate della matrice dei coefficienti. n m + 1. In questo caso si prende una qualsiasi sottomatrice B n n della matrice completa tale che il determinante o sia diverso da 0 oppure dipenda in generale dai vari parametri. Sia tale determinante p(λ 1,..., λ r ). 1. I valori dei parametri tali che p(λ 1,..., λ r ) 0 sono tali che il rango della matrice completa è n ed è maggiore del rango della matrice dei coefficienti. Pertanto il sistema è incompatibile. 2. I valori dei parametri tali che p(λ 1,..., λ r ) = 0 vengono studiati a parte. Per questi valori il sistema può essere compatibile o incompatibile. Si procede prendendo altre possibili sottomatrici quadrate della matrice dei coefficienti. 3.3 Esercizi Esercizio Risolvere mediante il metodo di eliminazione di Gauss i seguenti sistemi lineari. x 1 4x 2 + x 3 = 2 2x 1 6x 2 + 5x 3 = 8 x 1 x 2 + 5x 3 = 8 x y z = 3 3x 2y 4z = 3 4x + y 9z = 7 x + 2y + 3z = 6 2x y + z = 2 3x + 8y + 10z = 20 x + 2y 4z = 1 2x + 3y 10z = 2 5x 3y 4z = 5

31 3.3. ESERCIZI 31 Esercizio Risolvere i seguenti sistemi lineari discutendo la compatibilità del sistema utilizzando il Teorema di Rouché-Capelli. x + y + 3z = 2 3x + 3y + 4z = 6 x + y z = 2 2x 3y 2z = 4 x + 4y 11z = 1 5x + 9y 11z = 3 3x 7y z = 2 2x 8y + z = 8 x + y 9z = 2 x 4y + 6z = 1 2x 3y 4z = 2 3x 1 3x 2 + 2x 3 + x 4 6x 5 = 1 2x 1 2x 2 4x 3 + 6x 4 + 7x 5 = 5 5x 1 5x 2 3x 3 + 8x 4 + 4x 5 = 6 3x 1 3x 2 + x 3 + 2x 4 6x 5 = 2 5x 1 5x 2 + 2x 3 + 3x 4 + 3x 5 = 10 x 1 x 2 + 5x 3 4x 4 4x 5 = 2 x 1 x 2 + 3x 3 2x 4 5x 5 = 1 3x 1 3x 2 5x 3 + 8x 4 + 2x 5 = 0 Esercizio Stabilire se il seguente sistema lineare ammette soluzione ed eventualmente determinarle. 3x + 4y 2z + 6t = 3 x + 3y + 4z 2t = 0 x + 2y z + t = 1 Esercizio Stabilire per quali valori del parametro reale k il sistema lineare x + 3y = 0 3x y = k 1 kx 2ky = 1 ammette soluzioni ed eventualmente determinarle. Esercizio Stabilire per quali valori del parametro reale k il sistema lineare x + y = 3 y kx = k kx + 2y = 0 ammette soluzioni ed eventualmente determinarle. Esercizio Stabilire per quali valori del parametro reale k il sistema lineare x y + z = 1 x + ky = 0 kx + y + z = k 1 ammette soluzioni ed eventualmente determinarle..

32 32 3. SISTEMI LINEARI Esercizio Stabilire per quali valori del parametro reale k il sistema lineare 2x y + z = 1 kx + (k + 1)z = 1 y + 2z = 0 ammette soluzioni ed eventualmente determinarle. Esercizio Stabilire per quali valori del parametro reale k le due matrici A = 0 k 4 B = sono simili. Esercizio Discutere ed eventualmente risolvere il sistema lineare x + 2y = 1 x + y = k. 3x 2y = 0 al variare del parametro reale k. Esercizio Discutere ed eventualmente risolvere il sistema lineare x 3y = k 2x + 3y = k. kx 2y = 1 al variare del parametro reale k. Esercizio Discutere ed eventualmente risolvere il sistema lineare (2λ + 1)x + (λ + 1)y + 3λz = λ (2λ 1)x + (λ 2)y + (2λ 1)z = λ λx + 2λy + (4λ 1)z = 1 al variare del parametro reale λ. Esercizio Discutere ed eventualmente risolvere il sistema lineare x 2y = k x + ky = 1. 2kx + 3y = 0 al variare del parametro reale k.

33 Capitolo 4 Diagonalizzazione e autovalori 4.1 Matrici diagonalizzabili e simili: autovettori ed autovalori Definizione 4.1. Una matrice A M n n (R) si dice diagonalizzabile se esiste una matrice P M n n (R) invertibile tale che P 1 AP = D, con D M n n (R) matrice diagonale. Proposizione 4.2. Sia A M n n (R) una matrice diagonalizzabile. Allora A k = P D k P 1 per ogni k 1. Dimostrazione. Per induzione su k. Se k = 1 non c è nulla da dimostrare. Supponiamo sia vero per k e mostriamo che è vero per k + 1. Si ha che A k+1 = AA k = A(P D k P 1 ) = (P DP 1 )(P D k P 1 ) = P D(P 1 P )D k P 1 = P DI n D k P 1 = P D k+1 P 1. Definizione 4.3. Una matrice A M n n (R). Uno scalare λ R si dice autovalore di A se esiste un vettore non nullo X R n tale che AX = λx. 33

34 34 4. DIAGONALIZZAZIONE E AUTOVALORI Il vettore X è detto autovettore relativo all autovalore λ. L insieme A λ = {X R n AX = λx} è detto autospazio relativo all autovalore λ. Proposizione 4.4. Lo scalare λ R è un autovalore di A M n n (R) se e solo se λ è una radice del polinomio caratteristico Dimostrazione. Si ha che det(a λi n ) = 0. AX = λx AX = λi n X AX λi n X = 0 (A λi n )X = 0. Questa definisce un sistema lineare omogeneo che ha soluzione non nulla solo se non è di Cramer, ovvero determinante della matrice dei coefficienti A λi n è nullo. Proposizione 4.5. Sia λ R un autovalore di A M n n (R). A λ = {X R n (A λi n )X = 0}. Esercizio 4.6. Si determini il polinomio caratteristico delle seguenti matrici. Determinare gli autovalori. ( ) Teorema 4.7. Sia A M n n (R). Allora 1. A è diagonalizzabile se e solo se esistono n autovettori X 1,..., X n di A tali che P = [X 1,..., X n ] è invertibile. 2. P 1 AP = diag(λ 1, λ 2,..., λ n ), con λ i autovalore relativo a X i. Dimostrazione. Per definizione A è diagonalizzabile se e solo se P 1 AP = D è una matrice diagonale per qualche P invertibile. Questo è equivalente a AP = P D. Se X i è la i-esima colonna di P allora la precedente relazione corrisponde a AX i = d i X i per ogni i = 1,..., n, dove d i è l elemento al posto (i, i) in D. Ciò è equivalente a dire che le colonne X i sono autovettori corrispondenti agli autovalori d i.

35 4.1. MATRICI DIAGONALIZZABILI E SIMILI: AUTOVETTORI ED AUTOVALORI 35 Definizione 4.8. Sia A M n n (R) e λ R un suo autovalore. La molteplicità algebrica di λ è la sua molteplicità come radice del polinomio caratteristico. La molteplicità geometrica di λ è (n r λ ), dove r λ = rango(a λi n ). Teorema 4.9. Sia A M n n (R). 1. Se A ha n autovalori distinti allora è diagonalizzabile. 2. A è diagonalizzabile se e solo se per ogni autovalore di A la sua molteplicità algebrica è uguale alla molteplicità geometrica. Osservazione Per diagonalizzare una matrice A M n n (R) si può procedere nel seguente modo. 1. Calcolare il polinomio caratteristico della matrice A. 2. Trovare gli autovalori di A. 3. Calcolare per ogni autovalore le corrispondenti molteplicità algebriche e geometriche. 4. Se la matrice risulta diagonalizzabile secondo il Teorema 4.9 allora per ogni autovalore si calcolano le soluzioni base dei sistemi lineari omogenei (A λi n )X = La matrice P ha per colonne gli autovettori posti ordinatamente. La matrice D ha per diagonale gli autovalori posti ordinatamente ripetuti tante volte quanto è la loro molteplicità algebrica. Definizione Due matrici A, B M n n (R) sono simili se esiste una matrice P M n n (R) invertibile tale che B = P 1 AP. Se A è simile a B si scrive A B. Osservazione Una matrice A M n n (R) è diagonalizzabile se e solo se è simile ad una matrice diagonale. Osservazione La relazione di similitudine tra matrici n n è una relazione di equivalenza. Infatti A A, se A B allora B A dato che A = (P 1 ) 1 BP 1, se A B e B C allora A = P 1 P 1 CP P = (P P ) 1 C(P P ) e cioé A C. Teorema Siano A, B M n n (R) due matrici simili. Allora det A = det B.

36 36 4. DIAGONALIZZAZIONE E AUTOVALORI I due polinomi caratteristici sono uguali. A e B hanno gli stessi autovalori con le stesse molteplicità algebriche e geometriche. Dimostrazione. Se A e B sono simili allora esiste una matrice P M n n invertibile tale che P 1 BP = A. Allora Inoltre det A = det(p 1 BP ) = (det P ) 1 det B det P = det B. det(a λi n ) = det(p 1 BP λi n ) = det(p 1 (B λi n )P ) = (det P ) 1 det(b λi n ) det P = det(b λi n ). Quindi A e B hanno gli stessi autovalori con le stesse molteplicità algebriche. Le molteplicità geometriche rimangono le stesse (Non dimostrato). 4.2 Esercizi Esercizio Diagonalizzare, se possibile, le seguenti matrici. ( ) ( ) Esercizio Determinare autovalori e autovettori della seguente matrice. La matrice è diagonalizzabile? Esercizio Determinare per quale valore di h la seguente matrice ha 1 come autovalore. In questo caso la matrice è diagonalizzabile? 1 h /h Esercizio Determinare autovalori e autovettori della seguente matrice. La matrice è diagonalizzabile?

37 4.2. ESERCIZI 37 Esercizio Determinare autovalori e autovettori della seguente matrice. La matrice è diagonalizzabile? Esercizio Determinare autovalori e autovettori della seguente matrice. La matrice è diagonalizzabile? ( 1 ) Esercizio Determinare autovalori e autovettori della seguente matrice. La matrice è diagonalizzabile? Esercizio* Data la seguente matrice A = , determinarne gli autovalori ed i corrispettivi autovettori. La matrice è diagonalizzabile? In caso affermativo esibire le matrici P e D tali che A = P 1 DP. Esercizio* Data la seguente matrice A = , determinarne gli autovalori ed i corrispettivi autovettori. La matrice è diagonalizzabile? In caso affermativo esibire le matrici P e D tali che A = P 1 DP.

38 38 4. DIAGONALIZZAZIONE E AUTOVALORI

39 Capitolo 5 Spazi Vettoriali 5.1 Spazi vettoriali astratti Definizione 5.1. Uno spazio vettoriale è una quintupla (V, K, 0,, ), dove V è un insieme, (K, 0 K, 1 K, +, ) è un campo, 0 è un elemento di V, : V V V e : K V V tali che siano soddisfatte le seguenti proprietà: 1. (u v) w = u (v w), u, v, w V; 2. u 0 = 0 u = u, u V; 3. u V = v V : u v = v u = 0; 4. u v = v u, u, v K; 5. (α β) u = α (β u), α, β K, u K; 6. (α + β) u = (α u) (β u), α, β K, u K; 7. α (u v) = (α u) (α v), α K, u, v K; 8. 1 K u = u, u V. Un elemento di uno spazio vettoriale prende il nome di vettore. Con abuso di notazione uno spazio vettoriale verrà indicato semplicemente con V senza specificare le due operazioni, lo 0-vettore ed il campo, qualora questi possano essere facilmente intuibili. Teorema 5.2. Sia V uno spazio vettoriale su un campo K. Allora 1. v V = 0v = 0. 39

40 40 5. SPAZI VETTORIALI 2. λ K = λ0 = Se λv = 0 allora λ = 0 oppure v = v V = ( 1)v = v. 5. v V, λ K = ( λ)v = (λv) = λ( v). Dimostrazione. 1. Si ha che 0v = (0 + 0)v = 0v + 0v e quindi, valendo la legge di cancellazione, 0 = 0v. 2. Si ha che λ0 + λ0 = λ(0 + 0) = λ0 e per la legge di cancellazione λ0 = Sia λv = 0. Se λ = 0 allora per quanto detto prima λv = 0. Supponiamo λ 0. Allora v = 1v = λ 1 λv = λ 1 0 = Si ha che 0 = 0v = (1 1)v = 1v + ( 1)v = v + ( 1)v e dunque ( 1)v è l opposto di v. 5. Si ha ( λ)v = λ( 1v) = λ( v) e ( λ)v = 1(λv) = (λv). Definizione 5.3. Un sottoinsieme U V non vuoto si dice sottospazio vettoriale di V se rispetto alle stesse operazioni di somma e di prodotto per uno scalare di V è esso stesso uno spazio vettoriale. Teorema 5.4 (Criterio per sottospazi I). Un sottoinsieme U V non vuoto è sottospazio vettoriale di V se e solo se valgono le seguenti proprietà: 1. 0 U; 2. u U, λ K = λu U; 3. u, w U = u + w U. Dimostrazione. Tutte le proprietà delle operazioni di somma e prodotto per uno scalare che valgono in V valgono anche U salvo l esistenza dell elemento neutro rispetto alla somma in U e alla chiusura delle due operazioni. Ovvero, non è detto che sia possibile restringere le due operazioni a U. Le tre richieste sono esattamente queste. Teorema 5.5 (Criterio per sottospazi II). Un sottoinsieme U V non vuoto è sottospazio vettoriale di V se e solo se λ, µ K u, w U = λu + µw U.

41 5.1. SPAZI VETTORIALI ASTRATTI 41 Dimostrazione. Questa richiesta è equivalente alle tre richieste del Teorema 5.4. Infatti le tre proprietà sono verificate considerando λ = µ = 0, µ = 0, λ = µ = 1 rispettivamente. Viceversa se U è un sottospazio allora questa proprietà è soddisfatta. Definizione 5.6. Sia V uno spazio vettoriale e siano v 1,..., v n V n vettori di V. Una combinazione lineare dei vettori v 1,..., v n è un vettore dove λ 1,..., λ n K. v = λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n, Teorema 5.7. Sia V uno spazio vettoriale e siano v 1,..., v n V n vettori di V. L insieme v 1,..., v n = {λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n λ 1,..., λ n K} è un sottospazio vettoriale di V e si chiama sottospazio generato dai vettori v 1,..., v n. Dimostrazione. Utilizziamo il Teorema 5.5 per mostrare che si tratta di un sottospazio di V. Siano λ, µ K e λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n, λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n due vettori di v 1,..., v n allora λ(λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n ) + µ(λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n ) = (λλ 1 + µλ 1 )v 1 + (λλ 2 + µλ 2 )v (λλ n + µλ n )v n v 1,..., v n. Teorema 5.8. Siano U, W sottospazi vettoriali di V, spazio vettoriale sul campo K. Allora U W = {v V v U, v W} e U + W = {u + w u U, w W} sono sottospazi di V. Inoltre U+W è il più piccolo sottospazio che contiene U W e prende il nome di sottospazio somma.

42 42 5. SPAZI VETTORIALI Dimostrazione. Sia v 1, v 2 U W e λ, µ K. Allora λv 1 + µv 2 U e λv 1 +µv 2 W perché U e W sono sottospazi vettoriali. Quindi λv 1 +µv 2 U W e dunque U W è un sottospazio vettoriale per il Teorema 5.5. Siano u 1 + w 1 e u 2 + w 2 due vettori di U + W e λ, µ K. Allora λ(u 1 + w 1 ) + µ(u 2 + w 2 ) = (λu 1 + µu 2 ) + (λv 1 + µv 2 ) U + W perché (λu 1 + µu 2 ) U e (λv 1 + µv 2 ) W in quanto sottospazi. Dunque U + W è un sottospazio vettoriale per il Teorema 5.5. Sia S un sottospazio di V che contiene U W. Allora contiene anche la somma di due generici vettori di U e W, ovvero contiene U + W = {u + w u U, w W}. Definizione 5.9. Dati due sottospazi U e W di V, se U W = {0 V } allora la somma di U e V si dice diretta e si scrive U W. Definizione Un insieme di vettori v 1,..., v n V si dicono linearmente dipendenti se λ 1,..., λ n K non tutti nulli tali che λ 1 v λ n v n = 0. I vettori v 1,..., v n V si dicono linearmente indipendenti se λ 1,..., λ n K = (λ 1 v λ n v n = 0 = λ 1 = = λ n = 0). Proposizione Se i vettori v 1,..., v n V sono linearmente indipendenti allora ogni sottoinsieme v i1,..., v is, s n è costituito da vettori linearmente indipendenti. 2. Siano v 1,..., v n V. Se uno di questi vettori è il vettore nullo allora v 1,..., v n sono linearmente dipendenti. Dimostrazione. 1. Supponiamo che ci siano s vettori tra v 1,..., v n linearmente dipendenti. Salvo riordinarli possiamo supporre che siano i primo s. Allora esistono λ 1,..., λ s K non tutti nulli tali che λ 1 v λ s v s = 0.

43 5.1. SPAZI VETTORIALI ASTRATTI 43 Ma allora λ 1 v λ s v s + 0v s v n = 0 e quindi i vettori v 1,..., v n sono linearmente dipendenti, impossibile. 2. Possiamo supporre che v 1 = 0. Allora v v n = 0 e quindi v 1,..., v n sono linearmente dipendenti. Definizione Un insieme di vettori v 1,..., v n V si dicono generatori di V se v V = λ 1,..., λ n K : λ 1 v λ n v n = v. Definizione Un insieme di vettori v 1,..., v n V linearmente indipendenti e generatori di V prendono il nome di base di V. Esempio I vettori (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1) sono una base di R 3. Teorema Sia V uno spazio vettoriale sul campo K. I vettori e 1,..., e n sono una base di V se e solo se ogni vettore v V si scrive in maniera unica come combinazione lineare di e 1,..., e n. Dimostrazione. Supponiamo che e 1,..., e n sia una base e per assurdo un vettore v si possa scrivere come Allora v = λ 1 e λ n e n = µ 1 e µ n e n. 0 = λ 1 e 1 + +λ n e n (µ 1 e 1 + +µ n e n ) = (λ 1 µ 1 )e 1 + +(λ n µ n )e n. Poiché e 1,..., e n sono linearmente indipendenti allora (λ 1 µ 1 ) = = (λ n µ n ) = 0 e quindi λ i = µ i per ogni i = 1,..., n e quindi le due scritture di v coincidono. Viceversa supponiamo che ogni ogni vettore v V si scrive in maniera unica come combinazione lineare di e 1,..., e n. In particolare 0 si scrive in maniera unica come 0 = λ 1 e λ n e n = µ 1 e µ n e n.

44 44 5. SPAZI VETTORIALI Ma siccome un modo per scrivere il vettore nullo è sicuramente 0e e n questo è l unico. Allora λ 1 =... = λ n = 0 e e 1,..., e n sono linearmente indipendenti. Inoltre sono generatori perché ogni vettore di V si scrive in almeno un modo come combinazione lineare di e 1,..., e n e quindi sono una base di V. Definizione Sia V uno spazio vettoriale sul campo K e B = {e 1,..., e n } una sua base. Se v V si scrive come v = λ 1 e λ n e n, allora λ 1,..., λ n sono le componenti di v rispetto alla base B e si indica con (v) B = (λ 1,..., λ n ) B. Teorema 5.17 (Teorema della base incompleta). Sia V uno spazio vettoriale sul campo K e sia e 1, e 2,..., e n una sua base. Sia v 1, v 2,..., v r un insieme di vettori di V linearmente indipendenti. Allora r n ed è possibile scegliere n r vettori e i1,..., e in r tra e 1, e 2,..., e n tali che v 1, v 2,..., v r, e i1,..., e in r è una base di V. Dimostrazione. In Appendice. Corollario Siano e 1, e 2,..., e n e f 1, f 2,..., f m due basi di uno stesso spazio vettoriale V sul campo K. Allora n = m. Dimostrazione. Siccome e 1, e 2,..., e n sono in particolare linearmente indipendenti, allora per il Teorema 5.17 si ha che n m. D altra parte, anche f 1, f 2,..., f m sono linearmente indipendenti e quindi utilizzando di nuovo il Teorema 5.17 si ha che m n e quindi n = m. Definizione Sia V uno spazio vettoriale sul campo K. La dimensione dim V di V, è il numero degli elementi di una sua qualsiasi base. Osservazione Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo K e siano v 1,..., v n V linearmente indipendenti. Allora v 1,..., v n costituiscono una base di V per il Teorema Osservazione Sia V uno spazio vettoriale sul campo K di dimensione n. Allora l unico sottospazio vettoriale di V di dimensione n è V stesso.

45 5.1. SPAZI VETTORIALI ASTRATTI 45 Proposizione Le matrici E ij, i = 1,..., n, j = 1,..., m, con E ij matrice con tutti zeri tranne a i,j = 1, formano una base di M n m (K). Dimostrazione. Sia A = (a ij ) ij una matrice di M n m (K). Allora A = n m a ij E ij i=1 j=1 e quindi E ij, i = 1,..., n, j = 1,..., m, sono generatori di M n m (K). Supponiamo ora che n i=1 j=1 m λ ij E ij = 0. Ovvero la matrice (λ ij ) ij è la matrice nulla, dunque per ogni i = 1,..., n, j = 1,..., m λ ij = 0 e le matrici E ij, i = 1,..., n, j = 1,..., m, sono linearmente indipendenti e quindi una base di M n m (K). Proposizione Sia V uno spazio vettoriale sul campo K e siano U = u 1,..., u n, W = w 1,..., w m due suoi sottospazi. Allora U + W = u 1,..., u n, w 1,..., w m. Dimostrazione. Per definizione, un elemento di U + W è dato da u + w, con u U e w W. Allora u = λ 1 u λ n u n, w = µ 1 w µ n w m per qualche λ 1,..., λ n, µ 1,..., µ m K. Allora u + w = λ 1 u λ n u n + µ 1 w µ n w m u 1,..., u n, w 1,..., w m. Viceversa se v u 1,..., u n, w 1,..., w m allora v = λ 1 u λ n u n + µ 1 w µ n w m per qualche λ 1,..., λ n, µ 1,..., µ m K. Ma allora v = λ 1 u λ n u n + µ 1 w µ n w m = (λ 1 u λ n u n ) + (µ 1 w µ n w m ) U + W, dato che (λ 1 u λ n u n ) U e (µ 1 w µ n w m ) W.

46 46 5. SPAZI VETTORIALI Definizione Sia V uno spazio vettoriale sul campo K e siano v 1,..., v m vettori di V. Il rango rank(v 1,..., v m ) dei vettori v 1,..., v m è la dimensione del sottospazio v 1,..., v m. Proposizione Sia V uno spazio vettoriale sul campo K e sia e 1,..., e n una base di V. Sia dato un insieme di vettori v 1,..., v m di V. Allora rank(v 1,..., v m ) = rango(a), dove A è la matrice che ha per righe (o per colonne) le componenti dei vettori v i rispetto alla base B = {e 1,..., e n }. Dimostrazione. Si ha che rank(v 1,..., v m ) corrisponde al numero massimo di vettori linearmente indipendenti tra i vettori v 1,..., v m. Dire che i vettori v 1,..., v s, s n, sono linearmente indipendenti equivale a dire che per ogni λ 1,..., λ s K tali che si ha che λ 1 = = λ s = 0. Siano allora Dunque λ 1 v λ s v s = 0 (v i ) B = (a 1i,..., a ni ) (λ 1 v λ s v s ) B = (λ 1 a 11 + λ 2 a λ s a 1s,..., λ 1 a n1 + λ 2 a n2 + + λ s a ns ). λ 1 v λ s v s = 0 se e solo se il sistema lineare omogeneo λ 1 a 11 + λ 2 a λ s a 1s = 0 λ 1 a 21 + λ 2 a λ s a 2s = 0. λ 1 a n1 + λ 2 a n2 + + λ s a ns = 0 ha come unica soluzione λ 1 = λ 2 = = λ s = 0. Questo avviene se e solo se il rango della matrice dei coefficienti è s. Riassumendo, il numero massimo di vettori linearmente indipendenti tra v 1,..., v r corrisponde al rango della matrice (a i,j ) ij che ha per elementi le componenti dei vettori v i rispetto alla base B = {e 1,..., e n }. Proposizione Sia V uno spazio vettoriale sul campo K e sia v 1,..., v m un insieme di generatori di V. Allora posso selezionare r = rank(v 1,..., v m ) vettori tra v 1,..., v m che costituiscono una base di V.