Lezione 3: Span, indipendenza lineare

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1 Lezione 3: Span indipendenza lineare Nella lezione scorsa abbiamo visto la definizione di spazio vettoriale e di sottospazio. Ora cerchiamo di descrivere questi oggetti in modo piu efficiente. 1 Combinazione lineare Span Ogni spazio vettoriale V {0} contiene infiniti vettori; infatti basta che V contenga un vettore v e immediatamente deve contenere anche tutti i suoi multipli cioè λv V per ogni λ R. Vediamo un esempio per capire meglio. Consideriamo il ssv W = {(xax) x R} in R 2 esaminato nella lezione precedente. Si tratta della retta del piano cartesiano di equazione y = ax e possiamo descriverla in modo alternativo come l insieme i multipli del vettore (1a) W = {(xy) (xy) = λ(1a)}. Infatti graficamente è chiaro che se conosciamo un punto di una retta (nel piano ma anche nello spazio tridimensionale R 3 ) allora possiamo disegnare subito la retta corrispondente passante per l origine. Diciamo allora che il vettore (1a) genera il ssv W dato dalla retta y = ax. La parola genera non è casuale in quanto appunto tutti i vettori del sottospazio W sono multipli di(1 a). Notiamo inoltre che la scelta del vettore (1 a) generatore di W è arbitraria potevamo benissimo scegliere anche un suo qualunque multiplo come (17 17a). Vediamo ora un altro esempio. In R 2 consideriamo i due vettori (10) e (01). Ci chiediamo: qual è il ssv W piu piccolo che contiene entrambi questi vettori? Per i ragionamenti precedenti sappiamo che questo ssv dovra contenere le due rette W 1 e W 2 generate da (10) e (01): W 1 = {λ(10) λ R} W 2 = {µ(01) µ R} asse x asse y Sappiamo inoltre che la somma di due vettori in W deve ancora stare in W (per definizione di ssv). Ad esempio (10) + (01) = (11) W ma 1

2 anche (12)+(34) = (46) W. Lo studente è invitato a disegnare somme di vettori in R 2 usando la regola del parallelogramma per convincersi che effettivamente W = R 2. La dimostrazione grafica pero non è sufficiente per dimostrare questo fatto in quanto non è possibile disegnare tutti i vettori del piano vediamo quindi una dimostrazione algebrica. Prendiamo il vettore generico (λ0) in W 1 e (0µ)il vettore generico inw 2 e facciamone la somma: (λ0)+(0µ) = (λµ). E chiaro che ogni vettore in R 2 (xy) si puo scrivere in questo modo scegliendo λ = x e µ = y. Quindi abbiamo trovato che il piu piccolo ssv in R 2 contenente i vettori (10) e (01) è tutto R 2. Ora formalizziamo il concetto di generazione di un ssv che abbiamo descritto con gli esempi precedenti. Definizione 1.1. Sia V uno spazio vettoriale v 1...v n un insieme di vettori in V e siano λ 1...λ n R. Il vettore w = λ 1 v λ n v n si dice combinazione lineare di v 1...v n con scalari λ 1...λ n. Adesempio(11)ècombinazionelinearedi(10)e(01)conscalariλ 1 = 1 e λ 2 = 1 ma anche combinazione lineare di (21) e (10) con scalari λ 1 = 1 e λ 2 = 1. Veniamo adesso al concetto di span e di generatori che è uno dei protagonisti di questa lezione insieme al concetto di lineare indipendenza. Definizione 1.2. Sia V uno spazio vettoriale e {v 1...v n } un insieme di vettori in V. Si definisce span dei vettori v 1...v n l insieme di tutte le loro combinazioni lineari cioè Span{v 1...v n } = {λ 1 v 1 + +λ n v n λ 1...λ n R}. [Nota: lo span si indica talvolta con v 1...v n ]. Abbiamo visto che per esempio lo span di un vettore non nullo in R 2 è una retta mentre lo span dei due vettori (10) e (01) in R 2 è tutto R 2. Definizione 1.3. Sia V uno spazio vettoriale {v 1...v n } un insieme di vettori in V. Si dice che {v 1...v n } generano V o che {v 1...v n } è un insieme di generatori di V se V = Span{v 1...v n }. Proposizione 1.4. Sia V uno spazio vettoriale e v 1...v n un insieme di vettori in V. Span{v 1...v n } è un ssv di V ed è il piu piccolo ssv di V contenente v 1...v n. 2

3 Dimostrazione: Siano vw v 1...v n. Allora esisteranno degli scalari α 1...α n e β 1...β n tali che: e pertanto Inoltre se λ R v = α 1 v 1 + +α n v n w = β 1 v 1 + +β n v n v+w = (α 1 +β 1 )v 1 + +(α n +β n )v n v 1...v n. kv = (kα 1 )v 1 + +(kα n )v n v 1...v n. Questo dimostra che Span{v 1...v n } è un ssv di V. Sia ora v = λ 1 v λ n v n Span{v 1...v n } e sia Z un ssv di V contenente v 1...v n. Allora Z contiene anche λ 1 v 1...λ m v n perchè essendo uno spazio vettoriale se contiene dei vettori contiene anche tutti i loro multipli. Inoltre poichè è chiuso rispetto alla somma contiene anche λ 1 v 1 + +λ n v n = v. Quindi Span{v 1...v n } Z. Vediamo ora un esempio che ci riallaccia a quanto abbiamo visto nella prima lezione a proposito della soluzione di sistemi lineari dipendenti da un parametro. Esempio Vogliamo determinare lo span dei vettori (11) (2k) al variaredel parametro k. Datoche siamo inr 2 èsempre utile fareun disegno. Span{(11)(2k)} = λ 1 (11)+λ 2 (2k) = (λ 1 +2λ 2 λ 1 +kλ 2 ). Vediamo subito che se k = 2 allora i due vettori giacciono sulla stessa retta e cioè su Span{11}. Se invece k 2 facciamo vedere che il loro span è tutto R 2. Dobbiamo mostrare che possiamo scegliere sempre λ 1 e λ 2 in modo che (λ 1 +2λ 2 λ 1 +kλ 2 ) = (ab) per ogni fissato vettore nel piano (a b). Lasciamo per esercizio la verifica che questo sistema ammette sempre soluzione se k Modifichiamo ora leggermente questo esempio. Vogliamo calcolare lo span dei vettori: (11) ( 1 1) (2k) al variare del parametro k. Span{(11)(2k)( 1 1)} = λ 1 (11)+λ 2 (2k)+λ 3 ( 1 1) = = (λ 1 2λ 2 λ 3 λ 1 +kλ 2 λ 3 ). 3

4 Ci aspettiamo dal il ragionamento precedente che questi vettori generino quasi sempre R 2 (cioè per quasi ogni valore di k). Ma vediamo una dimostrazione rigorosa. Vogliamo mostrare che possiamo sempre scegliere λ 1 λ 2 λ 3 tali che (λ 1 +2λ 2 λ 3 λ 1 +kλ 2 λ 3 ) = (ab) per ogni fissato vettore nel piano (ab). Un facile calcolo di risoluzione dei sistemi lineari dipendenti da un parametro con l algoritmo di Gauss mostra che questo sistema ammette sempre soluzione (per ogni a e b fissati) purchè k 2. Quando invece k = 2 abbiamo: (λ 1 +2λ 2 λ 3 λ 1 +2λ 2 λ 3 ) = (ab) dunque necessariamente a = b percio gli unici vettori che possiamo generare sono quelli del tipo (aa) e cioè che giacciono sulla retta y = x. In realta un accurata analisi del problema ci poteva dare subito la risposta a questo problema senza alcun calcolo: infatti bastava che notassimo che il vettore ( 1 1) era superfluo nel calcolo dello span in quanto giacente sulla retta generata da (1 1). Dunque potevamo tranquillamente ignorarlo e dare subito come risposta la soluzione dell esempio 1. Abbiamo percio visto che nel descrivere un ssv usando lo span alcuni vettori siano superflui cioè anche eliminandoli lo span non cambia. Cio accade ad esempio quando abbiamo un vettore multiplo di un altro ma anche quando un vettore è realizzato come somma di altri due. Ad esempio abbiamo visto che Span{(10)(01)} = R 2 ma anche (come lo studente puo direttamente verificare): Span{(10)(01)(11)}= R 2. Questo fenomeno è formalizzato dalla seguente proposizione. Proposizione 1.6. Sia V uno spazio vettoriale v 1...v n vettori in V e w una loro combinazione lineare cioè: w = λ 1 v 1 + +λ n v n. Allora: Span{v 1...v n } = Span{v 1...v n w} Dimostrazione. Chiaramente il primo insieme è contenuto nel secondo(perchè?) dunque per dimostrare il risultato è sufficiente far vedere che il secondo insieme è contenuto nel primo cioè per ogni α 1...α n α R α 1 v α n v n +αw Span{v 1...v n } 4

5 Scriviamo meglio: α 1 v α n v n +α(λ 1 v 1 + +λ n v n ) = = (α 1 +αλ 1 )v (α n +αλ n )v n Span{v 1...v n }. Il problema che ci poniamo ora è: come fare a stabilire quali sono i vettori superflui nella descrizione dello span di un insieme di vettori? Se vogliamo essere efficienti nella descrizione di un ssv dobbiamo poterlo descrivere come span del numero minimo di vettori possibile. La risposta a questa domanda viene dal concetto di indipendenza lineare. Questo è di gran lunga il concetto piu difficile da digerire ed è il pilastro su cui si basa l intera teoria che noi faremo. In pillole la storia è: se un insieme di vettori è linearmente indipendente allora siamo sicuri che è il modo piu efficiente di descrivere il sottospazio generato da quei vettori e cioè che stiamo usando il numero minimo di vettori senza averne alcuno superfluo. Vediamo allora la definizione e poi con una serie di piccoli passi e lemmi arriveremo nella prossima lezione a dimostrare quanto asserito sopra. Definizione 1.7. Sia V uno spazio vettoriale e siano v 1...v n V. Diciamo che v 1...v n sono linearmente dipendenti se esistono scalari λ 1...λ n non tutti nulli tali che λ 1 v λ n v n = 0. Osservazione: Si ha dunque che v 1...v n sono linearmente in dipendenti se l uguaglianza λ 1 v λ n v n = 0 è soddisfatta solo se i λ i sono tutti nulli cioè solo se λ 1 = λ 2 =... = λ n = 0. Rivediamo gli esempi precedenti. L insieme di vettori {(10)(01)}inR 2 è un insieme di vettori linearmente indipendente infatti l unica combinazione lineare che da il vettore nullo è quella ottenuta con scalari tutti nulli: solo se α = β = 0. α(10)+β(01) = (αβ) = (00) Invece l insieme di vettori {(1 0)(0 1)(1 1)} è linearmente dipendente poichè esiste una combinazione lineare dei vettori dati con scalari non tutti nulli che è uguale al vettore nullo. (10)+(01) (11) = (00). Vediamo un esempio piu complesso. 5

6 Esempio 1.8. Consideriamo l insiemedivettoriinr 2 [x]: {x+1x 2 12x 1}. Ci chiediamo: è un insieme di vettori linearmente indipendenti? Se conoscessimo qualche cosa in piu di algebra lineare la risposta sarebbe immediata per il momento dobbiamo fare i calcoli. Scriviamo una combinazione lineare generica e poniamola uguale al vettore nullo: Da cui: α 1 (x+1)+α 2 (x 2 1)+2α 3 +α 4 (x 1) = 0. α 2 (x 2 )+(α 1 +α 4 )x+(α 1 al 2 +2α 3 al 4 ) = 0. Da cio ricaviamo il sistema lineare: α 2 = 0 α 1 +α 4 = 0 α 1 α 2 +2α 3 α 4 = 0 Lasciamo allo studente per esercizio la verifica che questo sistema ammette infinite soluzioni. Ad esempio ammette la soluzione: α 1 = 1 α 2 = 0 α 3 = 1. α 4 = 1. Dunque possiamo scrivere esplicitamente una combinazione lineare dei vettori dati che dia il vettore nullo e non abbia scalari tutti nulli: 1 (x+1) (x 1) = 0 Quando abbiamo una combinazione lineare di questo tipo possiamo sempre scrivere uno dei vettori come combinazione lineare degli altri ad esempio: (x+1) = 2+(x 1) [Naturalmente non tutti i vettori dati in un insieme linearmente dipendente possono essere espressi in funzione degli altri ad esempio vediamo che non c è modo di esprimere x 2 1 come combinazione lineare degli altri.] La cosa importante da notare è che eliminando in un insieme di vettori linearmente dipendenti uno che è combinazione lineare degli altri lo span non cambia (vedi proposizione precedente) e il nuovo insieme ottenuto puo essere diventato linearmente indipendente [Nota: attenzione pero che non è detto per esempio nell insieme 2x 3x 4x anche eliminando un vettore l insieme resta linearmente dipendente come lo studente puo verificare]. In qualche modo la lineare indipendenza ci dice che abbiamo raggiunto il numero minimo di vettori necessari a descrivere lo span. Questo concetto sara esplorato con molta attenzione nella lezione successiva sulle basi. Intanto formalizziamo in una proposizione quanto abbiamo capito sulla lineare indipendenza. 6

7 Proposizione 1.9. Un insieme di vettori {v 1...v n } in uno spazio vettoriale V è linearmente dipendente se e solo se almeno uno dei suoi elementi è combinazione lineare degli altri. Dimostrazione. Supponiamo che {v 1...v n } siano linearmente dipendenti. Allora esistono degli scalari α 1...α n R non tutti nulli tali che Supponiamo α k 0 allora: α 1 v 1 + +α n v n = 0. v k = 1 α k (α 1 v 1 + +α k 1 v k 1 +α k+1 v k+1 + +α n v n ) e dunque v k è combinazione lineare degli altri. Viceversa supponiamo che esistano degli scalari α i tali che v k = α 1 v 1 + +α k 1 v k 1 +α k+1 v k+1 + +α n v n allora portando v k a destra del segno di uguale α 1 v 1 + α k 1 v k 1 +( v k )+α k+1 v k+1 + +α n v n = 0 Vediamo un caso particolare di questa proposizione molto utile negli esercizi. Proposizione Due vettori sono linearmente indipendenti se e solo se non sono uno multiplo dell altro. La dimostrazione di questa proposizione è immediata: basta guardare la dimostrazione della proposizione precedente e adattarla a questo caso. Attenzione. Affinchè un insieme di vettori sia linearmente dipendente è sufficiente trovare un vettore che sia combinazione lineare degli altri. Ad esempio se vediamo che un vettore è multiplo di un altro allora sappiamo subito che l insieme è linearmente dipendente. I seguenti insiemi sono linearmente dipendenti senza che noi facciamo alcun calcolo (ma lo studente dovrebbe farli se non vede il perchè e vuole convincersi!). In R 3 : {(100)(010)(001)(020)}. In R 3 : {(100)(010)( 120)(121)}. 7

8 In R 3 [x]: {2x+7x 3 3x1}. In R 3 [x]: {0x1 xx 3 }. In M 22 : {( ) ( ) ( ) ( )} Attenzione. Anche se è vero che in un insieme di vettori basta trovare che uno è multiplo di un altro affinchè l insieme sia linearmente dipendente non è vero il contrario!. Come il secondo esempio sopra mostra posso avere un insieme di vettori linearmente dipendenti in cui nessuno è multiplo di un altro. La prossima proposizione ci mostra che invece togliendo vettori ad un insieme linearmente indipendente l insieme resta linearmente indipendente. Proposizione Un sottoinsieme di un insieme di vettori linearmente indipendenti è ancora linearmente indipendente. Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che I sia un insieme di vettori linearmente indipendenti e che J I sia un sottoinsieme di vettori dipendenti. Allora esiste un vettore in J che si scrive come combinazione lineare degli altri. Ma allora si esprime anche come combinazione lineare dei vettori di I e quindi I è un insieme linearmente dipendente contraddicendo l ipotesi. Esercizi Si dica se i seguenti insiemi di vettori sono linearmente dipendenti o indipendenti: 1. I vettori v 1 = (211) v 2 = (321) e v 3 = (622) in R I polinomi 1 X X 2 X 3 in R[X]. 3. Le seguenti matrici di M 2 2 (R): ( ) ( ) ( ) Gli esercizi seguenti sono tutti presi da compiti di esame degli anni precedenti. 8

9 Esercizi 1. Siano dati in R 3 i vettori: 1 2 k 1 v 1 = k v 2 = 2 v 3 = 0 w = a) Dare i valori di k per i quali w span{v 1 v 2 v 3 }. b) Dare i valori di k per i quali i tre vettori v 1 v 2 v 3 sono linearmente indipendenti. 2. a) Si studino al variare di k le soluzioni del seguente sistema lineare dipendente da un parametro con il metodo di Gauss: x+ky z = 1 kx ky +2z = 0 2x ky +kz = 1 b) Dire per quale valore del parametro k il vettore (101) appartiene allo span dei vettori: (1k2) (k k k) ( 12k). 3. a) Enunciare chiaramente la definizione di vettori linearmente indipendenti. b) Dati i vettori u = ( ) 1 v = 1 ( ) ( ) 0 2 w = 2 2 dire se sono linearmente indipendenti e calcolare il loro span. c) Sia V uno spazio vettoriale. Dimostrare che l insieme {uvu v} è linearmente dipendente. (Se si intende usare un risultato enunciarlo chiaramente). 4. Si dica per quali valori di k si ha che ( ) {( 2 k w = Span 5 1 ) ( )} 1 2 9

10 5. In R 2 [x] spazio vettoriale dei polinomi di grado al piu 2 a coefficienti reali si diano esempi dei seguenti insiemi: 1) Un insieme di generatori che non siano linearmente indipendenti. 2) Un insieme di vettori linearmente indipendenti che non generino lo spazio. 6. Sia R 2 [x] l insieme dei polinomi di grado minore o uguale a 2 a coefficienti reali. Si trovino i valori di a e b per i quali i vettori x 2 +abx ax 2 +2bx a sono linearmente indipendenti. Se a = 1 e b = 2 tali vettori generano R 2 [x]? 7. Siano a b e c le ultime tre cifre non nulle del numero di matricola. Si dica per quali valori del parametro k i vettori di R 3 [x]: v 1 = b+x v 2 = kx+ax 2 v 3 = ax+kx 2 v 4 = x 3 sono linearmente indipendenti. 8. Siano a b e c le ultime tre cifre non nulle del numero di matricola. ( ) 1 a a) Si stabilisca per quali valori del parametro k le matrici 0 0 ( ) 1 k a sono linearmente indipendenti. k 0 ( k 0 b 0 b) Si stabilisca{( per quali ) valori del} parametro k tali matrici generano il sottospazio W = R di Mat r s rst t 0 22 (R). ) 10