Esercitazione 1. Francesca Apollonio Dipartimento Ingegneria Elettronica

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1 Esercitaione rancesca Apollonio ipartimento Ingegneria Elettronica

2 Concetto di campo Campo: Regione dello spaio in cui è definita una grandea fisica variabile in funione dei punti della regione. per estensione: un campo è la grandea fisica stessa il cui valore dipende dai punti di una certa regione dello spaio in cui viene considerata. Il campo elettromagnetico è la grandea fisica, generalmente funione dello spaio e del tempo, in grado di descrivere uantitativamente le interaioni collegate alle carice elettrice in uiete o in moto E v B ( E v B) ora di Lorent apollonio@die.uniroma.it

3 Rappresentaione di un campo olo pocissime grandee fisice assumono valori costanti. Più freuentemente il valore di una uantità fisica (es. temperatura, fora) dipende dai punti dello spaio e dai valori temporali in cui essa è considerata. Per fare riferimento alla totalità dei valori della uantità fisica in tutti i punti dello spaio di interesse si introduce il concetto di campo. In sostana i campi sono rappresentati come funioni (scalari o vettoriali) di posiione e tempo. ( r, t) r i j k rr k (Cartesiane) (Cilindrice) rr (ferice) ebbene una rappresentaione analitica dei campi sia esseniale per una rigorosa trattaione teorica, una rappresentaione grafica risulta molto efficace. Campo scalare: linee di livello Campo vettoriale: linee di fora apollonio@die.uniroma.it

4 Operatore nabla Operatori differeniali [] [] [] [] Gradiente di uno scalare Φ Φ Φ Φ ivergena di un vettore A A A A rotore di un vettore A 0 A 0 A 0 A apollonio@die.uniroma.it

5 Operatori differeniali Operatore nabla [] [] [] Campo scalare Campo vettoriale [] Gradiente di uno scalare: Φ campo vettoriale A A A ivergena di un vettore: A campo scalare Φ Φ Φ Rotore di un vettore: campo vettoriale A A A A apollonio@die.uniroma.it

6 Gradiente: interpretaione fisica Φ Φ Φ Φ dr 0d 0d 0d 0 r n dr r 0 dφ d r n dl Φ dr Φ d Φ d Φ d 0 derivata direionale Φ n dφ dl La componente su n del gradiente misura il tasso di variaione della funione Φ rispetto alla distana nella direione di n. Quindi uanto più rapidamente Φvaria agli occi di un osservatore ce si allontana da un punto iniiale nella direione di n tanto più grande sarà la componente di Φ in uella direione. apollonio@die.uniroma.it

7 Esempio: gradiente P L Φ E dl > dφ P E dl P E 0 dl P dφ ( E d E d E d) dl d d d dφ Φ d Φ d Φ d E E E E E E E Φ Φ Φ E Φ Φ Φ Φ apollonio@die.uniroma.it

8 ivergena: interpretaione fisica V dv d n ρ V dv V d V V V > > n ρ 0 0 lim lim ρ lusso del vettore per unità di volume Il flusso netto attraverso il volume infinitesimo,, sarà pari al flusso attraverso le sei facce del volume : ( ) ( ) ( ) ( ) per la direione e uesto vale ance per le altre direioni e

9 ivergena: interpretaione fisica Quindi il flusso netto: ρ Al limite per v->0: ρ ρ La divergena di un campo vettoriale è uindi una descriione del modo in cui il campo varia in un punto. E la uantità di flusso per unità di volume ce emerge da un volumetto elementare in un punto.

10 Rotore: interpretaione fisica [ ] i i i d > l 0 lim Rotore->integrale di linea su un percorso ciuso infinitesimo, diviso per l area racciusa da uel percorso. Vettore le cui componenti si trovano orientando una piccola area normale alla direione di interesse e facendo il limite dell integrale di linea diviso per l area. d l d l [ ] [ ] [ ] 0 0 0

11 Proprietà integrali dell operatore ormula di Green [] n[] V Ne discende: V Φ dv dv d ) Teorema del gradiente s n Φ d ) Teorema della divergena A dv n A d V ) Teorema del rotore A n V s s dv A d n V s n ds Teorema di tokes (o della circuitaione) A n d s A ds apollonio@die.uniroma.it

12 Proprietà integrali dell operatore n d ds Teorema di tokes Γ ds lim > 0 Γ i i i ds i Γ ds lim i > 0 i i ( ) i Γ ds d apollonio@die.uniroma.it

13 Identità vettoriali differeniali Manipolaione di espressioni contenente l operatore nabla: si svolgono le operaioni come se fosse un vettore ordinario uando opera su prodotti (essendo un operatore differeniale) va applicata la regola di derivaione di un prodotto ) ( ΦΨ) ( ΦΨ) ( ΦΨ) Ψ Φ Φ Ψ Φ Ψ CΦΨ ΨCΦ ΦCΨ ) ( ΦA) ( ΦA) A ( ΦA) Φ A Φ A Φ C ( ΦA) ( CΦ) A ΦC A ) ( ΦA) ( ΦA) A ( ΦA) Φ A Φ A Φ ( ΦA) ( CΦ) A ΦC A C apollonio@die.uniroma.it

14 Identità vettoriali differeniali 4) ( A B) ( A B) ( A B) B A - A B 5) A B C A B B C A -A C ( A B) A ( A B) B ( A B) ( B ) A - ( A) B ( B) A - ( A )B C ( ) B ( A B) ( B C) A - ( C A) B ( C B) A - ( A C)B Operatori differeniali del II ordine 6) ( Φ) Φ Laplaciano In coordinate cartesiane: C Φ ( CΦ) ( C C) Φ C Φ Φ Φ Φ apollonio@die.uniroma.it

15 Identità vettoriali differeniali 7) ( A) ( A) ( ) A ( A) A C ( C A) ( A C) C - ( C C) A ( A C) C - C A 8) ( Φ) 0 C ( CΦ) ( C C) Φ 0 9) ( ) 0 A C ( C A) ( C C) A 0 apollonio@die.uniroma.it

16 Identità vettoriali differeniali Lemmi di Green ) ( Φ Ψ) Φ Ψ Φ Ψ Φ Ψ n d Ψ Φ n d τ ( ) ( ) Φ Ψ d Φ Ψ Φ Ψ ( Φ Ψ Φ Ψ ) τ τ dτ τ dτ ) scambiando le due funioni e sottraendo membro a membro Ψ Φ n d Φ Ψ d n ( Φ Ψ Ψ Φ ) τ dτ Ψ Φ ( ) ( ) Φ Ψ Ψ Φ n d Φ Ψ d Φ Ψ Ψ Φ n n τ dτ apollonio@die.uniroma.it

17 Generaliaione: sistemi di coordinate curvilinee Non sempre l uso di coordinate cartesiane è il più conveniente (, ), (,, ), (, ), funioni ad un solo valore, Con riferimento ad un sistema di coordinate cartesiane le euaioni istema di coordinate curvilinee C, C, C rappresentano tre superfici il cui punto di interseione P è individuato dai tre valori delle coordinate, e P(,, ) e incremento di d il punto P si sposta sulla linea della uantità ds ce in generale non coinciderà con d come avviene per le coordinate cartesiane, ma sarà proporionale ad esso. Il coefficiente di proporionalità verrà indicato con s ciamato coefficiente metrico apollonio@die.uniroma.it

18 Esempi istemi di coordinate curvilinee,, d ds d ds d ds r r r r d d d ds ds ds d d d d i0 i i r i,, i i i i i i s

19 istemi di coordinate curvilinee Coordinate cartesiane,,,,

20 r r r π ϕ π θ ϕ θ ϕ θ < < arctan arctan,, istemi di coordinate curvilinee ( ) r r θ sin,, Coordinate sferice

21 istemi di coordinate curvilinee < < < < π ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ 0 0 arctan,,,, ρ Coordinate cilindrice

22 orma matriciale Trasformaioni di coordinate ()

23 orma inversa Trasformaioni di coordinate ()

24 istemi di coordinate curvilinee Volumi, superfici e linee differeniali apollonio@die.uniroma.it

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26 Esercii ) ) apollonio@die.uniroma.it

27 Esercii ) 4) apollonio@die.uniroma.it

28 oluioni ) ) apollonio@die.uniroma.it

29 oluioni ) 4) apollonio@die.uniroma.it

30 [] [] V dv d n ormula di Green istemi di coordinate curvilinee [] [] [] [] [] [] ( ) [] ( ) [] ( ) Φ Φ Φ Φ ( ) ( ) ( ) A A A A

31 A A A A istemi di coordinate curvilinee

32 Campi scalari e vettoriali Le proprietà dei campi EM sono descritte attraverso relaioni fra grandee fisice gran parte delle uali anno la natura di campi vettoriali Campi scalari e vettoriali Campo scalare: funione scalare di punto avvenire attraverso le superfici di livello Ψ( P) Ψ( r) La rappresentaione di un campo vettoriale può ( ) ( ) Campo vettoriale: funione vettoriale di punto A P A r La rappresentaione di un campo vettoriale può avvenire mediante linee di fora o linee di flusso del vettore Campo solenoidale: le linee di fora sono ciuse, non anno né iniio né fine (deriva da vortici, privo di sorgenti) Campo irrotaionale o conservativo: le linee di fora sono aperte, anno origine e termine in particolari punti dello spaio (deriva da sorgenti, privo di vortici) apollonio@die.uniroma.it

33 Campi irrotaionali e solenoidali ato un campo vettoriale ce sia il gradiente di una funione scalare Φ Φ 0 Consideriamo ora un campo vettoriale ce sia privo di vortici in una regione τ (irrotaionale), cioè supponiamo: 0 in τ ci ciediamo se esiste una funione scalare il cui gradiente sia pari al campo vettoriale Cioè: Φ se uesta funione esiste essa si ciama poteniale scalare del campo vettoriale E possibile dimostrare ce tale funione esiste a patto ce la regione in cui è irrotaionale sia a connessione lineare semplice ato un campo vettoriale B ce sia il rotore di una funione scalare A B A B 0 Consideriamo ora un campo vettoriale B ce sia privo di sorgenti in una regione τ (solenoidale), cioè supponiamo: B 0 in τ ci ciediamo se esiste una funione vettoriale il cui rotore sia pari al campo vettoriale B Cioè: A B se uesta funione esiste essa si ciama poteniale vettore del campo vettoriale B E possibile dimostrare ce tale funione esiste a patto ce la regione in cui B è solenoidale sia a connessione superficiale semplice apollonio@die.uniroma.it