Richiami di analisi vettoriale. Gradiente, divergenza, rotore Teoremi della divergenza e di Stokes Relazioni campi-sorgenti

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1 Richiami di analisi vettoriale Gradiente, divergenza, rotore Teoremi della divergenza e di Stokes Relazioni campi-sorgenti

2 Derivate parziali - Gradiente = ( f) dx i i Esercizio

3 Esempi

4 Esempio C 1 b (1,1) F " d x = C F [ x (t )] d b x dt dt a a (0,0) C 2 C 1 x (t ) = t e x + t e y C 2 x (t ) = t 0 t 1 e x + t 2 e y L integrale curvilineo da (0,0) a (1,1) lungo le due curve da risultati diversi.

5 Sviluppo in serie di Taylor f ( x + a ) = f ( x ) + a "f ( x ) $ # 2 f ' * & %#x i #x ) a a +" i j ij j ( Esempio 1 r a 1 r a " # $ 1 ' & ) = 1 % r ( r $ e a "& r % r 2 ' ) = 1 a " ( r + er r 2

6 Superficie e curve di livello su una superficie di livello "f = n "f f n = n " #f = n " n #f = #f

7 Esempio f( x, y) = y x 2 f( x, y) C=0 = C Sulla curva di livello f r v x = t y = t r (t ) = t e x + t 2 e y v = d r dt = e x + 2t e y tangente f = "2x e x + e y = "2t e x + e y v f = "2t + 2t = 0 2

8 Gradiente Le sue componenti sono le variazioni della funzione nella direzione degli assi coordinati Il suo modulo e` il tasso di massima variazione con la distanza df = f " d r " = f " dr cos # df max. per cos =1 La sua direzione e` quella del tasso di massima variazione con la distanza E` orientato verso i valori piu` grandi della funzione Il gradiente in un punto e` perpendicolare alla curva di livello passante per quel punto

9 y x Curve di livello - Gradiente A indica l altezza di una collina in metri. Il GRADIENTE di A rappresenta la pendenza nel punto considerato e punta verso la direzione di massimo aumento.

10 Linee di forza F F Campo vettoriale F ( x ) = F x ( x, y, z ) e x + F y ( x, y, z ) e y + F z ( x, y, z ) e z Linee di forza tangenti in ogni punto al campo Linea di forza verso di percorrenza = verso del campo - tratto infinitesimo nel punto parallelo a F ( x ) d x x - linee di forza non si incrociano mai - piu` dense dove il campo e` piu` intenso

11 Linee di forza

12 Divergenza Cubo elementare di lati dx, dy, dz dv=dxdydz (x+dx,y,z+dz) z (x,y,z+dz) da x = dydz (x+dx,y+dy,z+dz) (x,y+dy,z+dz) n = - e x Flusso di un campo F attraverso il cubo elementare n = e x (x,y,z) (x,y+dy,z) y x (x+dx,y,z) (x+dx,y+dy,z) Facce x n = e x n = e x

13 Divergenza divergenza di F divergenza = flusso per unita` di volume

14 F = x e x + y e y F = e y F = -x e x -y e y div F = 2 div F = 0 div F = -2 sorgente pozzo sorgente positiva sorgente negativa

15 Teorema della divergenza Un volume arbitrario puo` essere diviso in volumetti infinitesimi I contributi sulle facce comuni di volumetti adiacenti si annullano (normali opposte) Resta solo il contributo delle facce esterne = superficie che racchiude il volume

16 Circuitazione Campo conservativo Forza conservativa Forma locale à teorema di Stokes

17 Rotore z Circuitazione lungo il circuito elementare ABCD nel piano xy A = (x,y) B = (x+dx,y) C = (x+dx,y+dy) D = (x,y+dy) dx A e z D y da z = dxdy n = dxdy e z x B dy C dγ = F ( x, y) dx+ F ( x+ dx, y ) dy F ( x+ dx, y + dy) dx F ( x, y+ dy) dy z x y x F ( x, y) dx + F ( x + dx, y) dy F ( x, y + dy) dx F ( x, y) dy x y x y y

18 Rotore dγ F ( x, y) dx+ F ( x+ dx, y) dy F ( x, y+ dy) dx F ( x, y) dy z x y x y = [ F ( x, y) F ( x, y+ dy) ] dx + [ F ( x+ dx, y) F ( x, y) ] dy x x F [ (, ) (, ) x y Fx x y Fx x y dy] dx+ [ Fy( x, y) + F dx Fy( x, y)] dy y x Fy F F x y Fx = ( ) dxdy = ( ) da x y x y ( " F ) z da z = ( " F ) e z da = ( " F ) nda y z y

19 Rotore d x = ( " # F ) x da x d y = ( " # F ) y da y d z = ( " # F ) z da z $ " F & & = det& & & % e x e y e z # #x # #y # #z F x F y F z ' ) $ ) & ) = det& ) & ) & % ( e x e y e z # x # y # z F x F y F z ' ) ) ) ) ( rot F = " F = = (# y F z $ # z F y ) e x + (# z F x $ # x F z ) e y + (# x F y $ # y F x ) e z In componenti: ( " F ) i = ijk # j F k Esercizio:

20 Teorema di Green (2 dim.) " F d x = ( #F y C #x D C " $ #F x #y )dxdy = # ( " F ) $ e z da n=e z D c Una superficie piana puo` essere approssimata col grado di accuratezza desiderato da una griglia di rettangolini elementari I contributi dei lati adiacenti si annullano e resta solo il contributo del contorno che racchiude la superficie (teorema di Green) D C

21 Teorema di Stokes Generalizzazione allo spazio 3-dim del teorema di Green C somma sulle proiezioni F F F F F F y z z y x y z y x z y x dγ= dax + day + daz nda = n x da e x + n y da e y + n z da e z = da x e x + da y e y + da z e z d = ( " # F ) $ nda " F d " " x = (# $ F ) n da C " F " %

22 Campo conservativo F " d x = " (# " $ F " ) n da = 0 %C & # $ F = 0 C S C Espressione integrale " F d x = 0 C Espressione differenziale Esercizio: dimostrare che il rotore di un gradiente e` nullo.

23 Superficie equipotenziale Rappresentazione alternativa alle linee di campo per i campi conservativi Linee di campo ortogonali alle superficie equipotenziale Linee di forza verso zone a potenziale minore

24 Esempio z (x,y,z) (x,0,0) (0,0,0) (x,y,0) y x

25 Laplaciano

26 Invarianti r = x P i ei = x' e ' j j x' k = x i ei e ' k " R ki x i R ki e i " e ' k Matrice di rotazione R T R "1 det R = ±1

27 Invarianti Una funzione che dipende solo dal punto (es. la temperatura) e` INVARIANTE rispetto alla trasformazione considerata (rotazione) Una funzione invariante si dice uno SCALARE Esempio: il prodotto scalare e` invariante per rotazioni '(x', y', z') = (x, y, z) x' i y' i = R ik x k R ij y j = R ik R ij x k y j = R T ki R ij x k y j = (R 1 ) ki R ij x k y j = kj x k y j = x j y j

28 Relazioni campo-sorgenti Un campo vettoriale nello spazio 3-dim e` determinato univocamente se sono dati il suo rotore e la sua divergenza (se si annullano abbastanza velocemente all infinito) si puo` sempre scrivere in questo modo

29 Relazioni campo-sorgenti

30 Equazioni di Maxwell equazione di continuita` forza di Lorentz