Divergenza. ato una superficie chiusa S che racchiude il volume V, lo dividiamo in due rti con la superficie D mostrata in figura

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1 Divergenza Deriva dal concetto di flusso attraverso una superficie di una proprietà fisica ed è stato introdotto nei corsi di elettromagnetismo elementare (Legge di Gauss per il campo elettrico). ato una superficie chiusa S che racchiude il volume V, lo dividiamo in due rti con la superficie D mostrata in figura

2 flusso attraverso la superficie chiusa S può essere riscritto come la somma traverso le due superfici S 1 (chiusa da D con normale n 1 ) es 2 (chiusa da D n normale n 2 ): Dato che il flusso attraverso D è uguale in valore, ma opposto segno a seconda di quale superficie si consideri, si ha: i continua a suddividere il volume iniziale, il flusso attraverso la superficie S sa, può essere scritta come somma attraverso le superfici S i, i cui volumi V i. Continuando a suddividere i flussi elementari (attraverso le superfici S i ) ntano sempre più piccoli, ma anche i volumi corrispondentemente: divergenza della funzione vettoriale A è definita attraverso la seguente definizione:

3 Ovviamente dal punto di vista formale, perché la definizione abbia senso, obbiamo aggiungere che vi è la condizione che il limite esista, sia finito e ndipendentemente dal modo con cui si è fatta la suddivisione. l significato della divergenza: rappresenta il flusso elementare, per unità di olume, uscente da una superficie S che racchiude un volume infinitesimo. a Divergenza in coordinate cartesiane dz dx 1 5 dx dy dy -k La definizione data è indipendente dal sistema di coordinate. Ora consideriamo una piccolo volume come il parallelepipedo di figura, le cui facce sono separate dalle distanze infinitesime dx,dy, e dz: il volume è pari dv=dxdydz. Ora consideriamo il flusso attraverso il parallelepipedo, scomponendolo nella somma dei flussi attraverso le 6 facce, considerate a due. Partendo dalle superfici 1 e 2 della figura, ognuna di area ds=dxdy e le cui normali sono orientate lungo z e in versi opposti, il flusso della funzione vettoriale attraverso queste due superfici è dato da (le superfici sono considerate piccole, e si suppone che la funzione vettoriale non vari tra un punto e un altro della stessa superficie) k

4 Si è usato, nell ottenere la relazione precedente per la differenza tra la funzione nel punto,y,z (superficie 1) e nel punto x,y,z+dz (superficie 2), l approssimazione al primo ordine dello viluppo in serie attorno al punto z (x,e y fissati): Analogamente, le superfici 3 e 4, si ottiene

5 E per finire, per le ultime due superfici si ottiene Raccogliendo, e dividendo per il volume, si ottiene alla fine In effetti la divergenza è definita come il limite del rapporto tra il flusso totale e il volume dv, ma poiché l espressione che si ottiene facendo questo rapporto non contiene le dimensioni del parallelepipedo, quando si passa al limite per volumi piccoli, il valore non cambia. Si noti che se nello sviluppo in serie si fossero considerati termini di ordine superiore essi invece si sarebbero annullati, quando il volume diminuisce.

6 Nel caso del campo elettrico: la legge di Gauss collega il flusso del capo elettrico alle cariche contenute all interno del volume racchiuso dalla superficie attraverso a cui si considera il flusso.. Combinando la legge di Gauss e il teorema di Gauss, ovvero uguagliando i membri a sinistra delle relative equazioni, si ottiene l uguaglianza tra due integrali di volume, e sfruttando il fatto che le equazioni valgono qualunque siano i volumi e la loro forma, si ricava l uguaglianza tra gli integrali e quella che viene definita la prima equazione di Maxwell.

7 quanto riguarda il campo di induzione magnetica, caratterizzato da un flusso sempre nullo, unque superficie si consideri, si ottiene quindi