vettore spostamento infinitesimo: ds dr dxi + dyj + dzk

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1 Appendice A A.1 - istemi di coordinate. 1) Coordinate cartesiane. Il sistema di riferimento è costituito da tre assi perpendicolari uscenti da una comune origine O ed orientati positivamente verso l esterno. Gli assi sono convenzionalmente indicati come asse x, y e z; su ciascuno di essi si sceglie un versore (vettore di modulo unitario) indicato rispettivamente con i, j e k. In una terna destrorsa il verso positivo di rotazione è quello antiorario, e ad essa si fa riferimento. La posizione di un punto P nello spazio è individuata tramite le tre coordinate cartesiane (x,y,z) corrispondenti alla lunghezza della proiezione del segmento OP lungo i tre assi coordinati. z x = OL, y = OM, z = PN elemento di volume: dv d 3 r = dxdydz x L i P vettore posizione : k O j M (P-O) r xi + yj + zk y vettore spostamento infinitesimo: N ds dr dxi + dyj + dzk 2) Coordinate cilindriche. La posizione di un punto P nello spazio è individuata tramite le tre coordinate (r,φ,z): z corrisponde alla lunghezza della proiezione del segmento OP lungo un asse opportunamente scelto, e convenzionalmente indicato con z, su cui è stata fissata un origine O; r corrisponde alla lunghezza della proiezione di OP nel piano perpendicolare a z, φ all angolo che il raggio ON r forma rispetto ad un asse polare, opportunamente scelto nel piano perpendicolare a z e indicato convenzionalmente con x (φ è misurato positivamente in verso antiorario per una terna destrorsa). I versori, fra loro perpendicolari, che costituiscono la base del sistema di riferimento sono indicati con u r = r/r diretto lungo il raggio r ed orientato positivamente verso l esterno, k diretto lungo

2 l asse z e u φ formante con gli altri due una terna ortogonale destrorsa. A differenza del riferimento cartesiano in cui i tre versori mantengono inalterate le loro direzioni nello spazio, in questo caso l orientazione di u r ed u φ cambia a seconda del punto P considerato. r = ON, φ = LON, z = PN vettore posizione: (P-O) r r u r + z vettore spostamento infinitesimo: P ds dr dru r + rdφu φ + dzk z elemento di volume: O k M L φ r u φ dv d 3 r = rdφdrdz N x u r relazione fra coordinate cartesiane e cilindriche: OL = x = rcosφ OM = y = rsinφ PN = z = z 3) Coordinate sferiche. La posizione di un punto P nello spazio è individuata tramite le tre coordinate (r,θ,φ): fissato il punto O come origine ed un asse polare, convenzionalmente indicato con z, r corrisponde alla distanza di P da O, θ all angolo che OP r forma rispetto all asse z, φ all angolo che il raggio ON, proiezione di r nel piano perpendicolare a z, forma rispetto ad un asse polare, opportunamente scelto nel piano perpendicolare a z e indicato convenzionalmente con x (φ e θ sono misurati positivamente in verso antiorario per una terna destrorsa). I versori, fra loro perpendicolari, che costituiscono la base del sistema di riferimento sono indicati con u r = r/r diretto lungo il raggio r ed orientato positivamente verso l esterno, u θ nel piano individuato da OP e dall asse z e perpendicolare ad OP e u φ formante con gli altri due una terna ortogonale destrorsa. A differenza del riferimento cartesiano in cui i tre versori mantengono inalterate le loro direzioni nello spazio, in questo caso l orientazione dei tre versori cambia a seconda del punto P considerato.

3 u z r = OP, φ = LON, θ = QOP Q r vettore posizione: (P-O) r r u r P u φ θ u θ vettore spostamento infinitesimo: O M ds dr dru r + rdθu θ + rsinθdφu φ L φ elemento di volume: x N dv d 3 r = r 2 sinθdrdφdθ relazione fra coordinate cartesiane e sferiche: OL = x = r sinθ cosφ OM = y = r sinθ sinφ PN = z = r cosθ A.2 - Operazioni di prodotto fra vettori. Prodotto scalare: a b Il risultato del prodotto scalare di due vettori a e b è un numero s (scalare) dato dal prodotto dei moduli dei vettori per il coseno dell angolo compreso fra di essi. a A a b = s = abcosθ = b(oh) a b = 0 a b θ O B a = a x i + a y j + a z k b = b x i + b y j + b z k H b a b = s = a x b x + a y b y + a z b z Prodotto vettoriale: a b Il risultato del prodotto vettoriale di due vettori a e b è un vettore v (propriamente un vettore assiale) il cui modulo è dato dal prodotto dei moduli dei vettori per il modulo del seno dell angolo compreso fra di essi, la cui direzione è quella della perpendicolare al piano individuato da a e b e il cui verso è fissato dalla regola della

4 mano destra ( pollice nella direzione di a, indice nella direzione di b, medio nella direzione di v ). a b = - b a = v v v = absinθ = area parallelogrammo individuato da a e b θ b a a b = 0 a // b a = a x i + a y j + a z k b = b x i + b y j + b z k v = (a y b z - a z b y )i + (a z b x - a x b z )j + (a x b y - a y b x )k Doppio prodotto misto: a (b c) Il risultato del doppio prodotto misto è uno scalare il cui valore corrisponde al volume del parallelepipedo individuato dai tre vettori a, b e c. Ne consegue immediatamente l invarianza del prodotto per permutazioni cicliche dei fattori. a c a (b c) = b (c a) = c (a b) a (b c) = 0 a, b, c complanari b Doppio prodotto vettoriale: a (b c) Vale la seguente relazione di decomposizione : a (b c) = (a c)b (a b)c A.3 - Operatori differenziali L operatore differenziale (nabla) in un sistema di coordinate cartesiane è definito come:

5 x i + y j + z k Esso è un operatore differenziale vettoriale che opera su una o più funzioni delle coordinate x,y e z e dà luogo a risultati diversi a seconda di come esso viene applicato alle funzioni ed alle loro caratteristiche. Ad esso si applicano molte delle regole e proprietà che caratterizzano le operazioni fra vettori. Il gradiente di una funzione scalare φ = φ(x,y,z) è definito come: gradφ φ ( x i + y j + φ k)φ = z x i + φ y j + φ z k Dato uno spostamento infinitesimo ds dxi + dyj + dzk risulta immediatamente: φ ds = φ x dx + φ y φ dy + dz = dφ z Quindi il gradiente di una funzione determina la sua variazione nella direzione individuata dal vettore ds ; inoltre esso è sempre perpendicolare alle superfici φ(x,y,z) = cost dato che per uno spostamento ds lungo di esse risulta dφ = 0 e quindi nullo il prodotto scalare (.). La divergenza di una funzione vettoriale v = v(x,y,z) è definita come: div v v = v x x + v y y + v z z Il rotore di una funzione vettoriale è infine definito come: rot v = v = ( v z y v y z )i + ( v x z v z x )j + ( v y x v x y )k L operatore laplaciano è un operatore differenziale del secondo ordine (che coinvolge quindi le derivate seconde) ed definito come: 2 2 x y Trattandosi di un operatore scalare agisce indifferentemente su funzioni scalari o vettoriali e risulta: z 2 φ 2 φ 2 φ x + 2 φ 2 y + 2 φ 2 z 2 v 2 v 2 v x i + 2 v y j + 2 v z k

6 i noti che nella definizione del lapalciano (. ) l operatore nabla segue le regole di un ordinario prodotto scalare fra vettori. Oltre il laplaciano si possono definire altri operatori differenziali del secondo ordine partendo dai prodotti fra vettori precedentemente definiti. i ha quindi: ( v) = 0 come risulta per il doppio prodotto misto ( ) in cui due vettori sono uguali. La condizione, valida in tutti i punti dello spazio, B = 0 definisce un vettore solenoidale (per es. il Campo di induzione magnetica) e la precedente relazione ci dice immediatamente che un tale campo può essere sempre espresso come il rotore di un vettore, ossia B = v. imilmente risulta : φ = 0 come nel caso del prodotto vettoriale di un vettore con sè stesso. L Eq. () esprime la condizione di irrotazionalità di un campo vettoriale v = φ, ossia che v è un campo conservativo derivabile dal potenziale scalare φ. i ha infine l operatore differenziale ottenibile per mezzo del doppio prodotto vettoriale per il quale vale la relazione di decomposizione analoga alla Eq. (): ( v) = ( v) 2 v Riportiamo infine le seguenti relazioni di uso corrente (φv) = v φ + φ v (v w) = w ( v) v ( w) Per il vettore posizione (P-O) r xi + yj + zk, il cui modulo viene indicato con r, si dimostrano facilmente, per derivazione diretta, le seguenti relazioni: r = r r = vers r r = 3 r = 0 r r 3 = ( 1 r 2 r) = 1 r = 2 1 r = δ(r) Risulta utile considerare l effetto dell applicazione dell operatore nabla ad un termine esponenziale di onda piana del tipo φ = e ik r = e i(k x x + k y y + k z z) ; si ha in questo caso:

7 e ik r = e i(k x x + k y y + k z z) = ( x i + y j + z k)ei(kx x + ky y + kz z) = i(k x i + k y j + k z k)e i(kx x + ky y + kz z) = ike ik r Il risultato come si vede è quello di moltiplicare l esponenziale per il vettore ik e pertanto vale in questo caso la regola di sostituzione: Pertanto risultano verificate le relazioni: dove v è un vettore costante. ik e ik r = ike ik r ve ik r = ik ve ik r ve ik r = ik ve ik r Valgono infine le seguenti relazioni integrali: a) per un volume V delimitato dalla superficie chiusa, detti dv l elemento infinitesimo di volume, d l elemento infinitesimo di superfice e n la normale all elemento di superficie d orientata positivamente verso l esterno: φ n d = v n d = v n d = V V φ dv V v dv v dv (Teorema di Gauss) b) per una superficie aperta che si appoggia ad una linea chiusa γ (bordo di ) il cui elemento di linea sia dγ, scelto il verso della normale alla superficie n in relazione al verso di percorrenza di γ secondo la regola della vite destra: φdγ = n φd γ v dγ = ( v) nd γ (Teorema di tokes) i fornisce infine per successiva utilità l espressione dell operatore laplaciano in coordinate sferiche:

8 2 = 1 r 2 r (r 2 r ) + 1 r 2 sinθ θ (sinθ θ ) r 2 sin 2 θ φ 2