Corso di FISICA II Prof. Umberto del Pennino

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1 Contenuti del Corso: Elettricità Magnetismo Ottica Corso di FISICA II Prof. Umberto del Pennino Elettromagnetismo Testo: Mazzoldi, Nigro, Voci:" Elementi di Fisica: Elettromagnetismo e Onde EdiSES Operatori 1

2 Due compiti in itinere: 1) interruzione a Novembre (7-11) 2) a fine corso, prima dell appello ufficiale Tipo di Compito: 3/4 esercizi e 3/ 4 domande. Necessaria la sufficienza in entrambi per avere l esonero dall appello ufficiale. In ogni caso se il voto non soddisfa, si può rifiutarlo e fare un esame orale integrativo. Possibilità di migliorare di 2-3 punti il voto finale. Esercizi durante il corso. Operatori 2

3 E fortemente consigliato (necessario) seguire gli argomenti giorno per giorno (anticiparli su testo o presentazione PP) Comodità e rischi della presentazione in PP: CHIEDETE SEMPRE, SE NECESSARIO, DI RALLENTARE L ESPOSIZIONE O FATE DOMANDE SEMPRE! Preliminari matematici! Operatori 3

4 Campi e Operatori Nello studio dell Elettromagnetismo assume un importanza fondamentale il concetto di Campo Si definisce CAMPO una zona di spazio nella quale ad ogni punto può essere associato UNO e UN SOLO valore della grandezza fisica che dà nome al campo (in un certo istante). Tale grandezza fisica può essere uno scalare o un vettore, quindi si hanno Campi scalari e Campi vettoriali. Operatori 4

5 (definiti da un solo valore) Campi scalari Es.: Temperatura, Pressione, Umidità, Concentrazione di, Illuminazione, Intensità sonora, Come si può rappresentare un campo scalare? Tabella: x,y,z,g G(x,y,z) Operatori 5

6 Definiamo Superficie di livello il luogo dei punti nei quali il campo assume lo stesso valore, funzione delle sole coordinate spaziali (eventualmente del tempo) La superficie avrà un espressione del tipo: f(x,y,z) = K (costante) Al variare della costante K la superficie cambia, quindi abbiamo una famiglia di superfici di livello Ma una tale funzione è impossibile da graficare in 2D (foglio). Operatori 6

7 F = f(x,y,z) Operatori 7

8 Operatori 8

9 E più facile farlo con una funzione di sole x e y. Tale grafico, però, è del tutto qualitativo e non ci permette di calcolare i valori esatti della funzione. Operatori 9

10 Per poter valutare meglio i valori del campo dobbiamo intersecare le Superfici di livello con dei piani paralleli ai piani coordinati. ( Es: z = C, a intervalli regolari)). Dalla intersezione si ottiene una Curva di Livello (Iso.. = stesso/a..) y = f(x) con z = C Poi le varie curve possono essere tutte proiettate sullo stesso piano, così da avere una famiglia di curve piane. Ogni curva sarà identificata dal suo valore di C Operatori 10

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12 Operatori 12

13 ISOBARE (UGUALE PRESSIONE) Operatori 13

14 ISOIPSE (UGUALE ALTITUDINE) f costante 1000 m Dalle curve di livello si possono capire diverse caratteristiche del Campo. Ad esempio la distanza tra due curve ( L) ci dà la pendenza del Campo. Infatti, a parità di f maggiore è L minore è la pendenza = f/ L Operatori 14

15 Passiamo a strumenti matematici per caratterizzare i Campi Dato un Campo scalare U Campi Scalari P 1 (x,y,z) U 1 U 2 P 2 (x+dx,y+dy,z+dz) dl = dxi + dyj +dzk U 2 = U 1 +du du = U 2 - U 1 + Ricordiamo che dati due vettori a = a x i + a y j +a z k e b = b x i + b y j +b z k il loro prodotto scalare a b = a x b x + a y b y +a z b z Operatori 15

16 Il termine al primo ordine : può essere visto come il prodotto scalare tra dl = dxi + dyj +dzk e Il secondo termine, che è un vettore, viene chiamato: Gradiente dello scalare U: grad U e viene visto come l azione dell operatore gradiente grad = sul Campo scalare U Cosa rappresenta grad U? Operatori 16

17 grad U = quindi du = grad U dl (N.B. du e dl sono infinitesimi grad U no!) Se dl sta su una superficie di livello (U = cost.) du = 0 (U non varia) quindi grad U dl = 0 e dato che dl è arbitrario grad U deve essere ortogonale alla sup. di livello. Operatori 17

18 Qual è il verso di grad U? Visto che grad U è formato dalla somma di tre derivate il verso positivo è quello in cui U cresce. Se, invece, dl sta lungo la normale alla sup. n, allora dl = dn* du = grad U dl = grad U dn = grad U dn e si può scrivere = grad U grad U è la derivata normale di U ed è il massimo valore che può assumere la derivata di U. * def. di normale ad una superficie! Operatori 18

19 Se dl dn ( quindi non è perpendicolare alla sup. ) du = grad U dl cos( ) du/dl < du/dn Quindi, dato un Campo Scalare U, è sempre possibile ricavare un Campo Vettoriale V = grad U Non è sempre vero il viceversa: Dato un Campo Vettoriale non sempre esso è il grad di un Campo Scalare ma se questo avviene (V = grad U ) allora il Campo V si dice Conservativo Operatori 19

20 Data un percorso che unisce due punti P 1 e P 2 P 2 calcoliamo = P 1 che diventa = U(P 2 ) - U(P 1 ) che dipende solo dalle coordinate degli estremi e non dal percorso! Ovviamente Operatori 20

21 grad U = Operatori 21

22 Campi Vettoriali Nei Campi Vettoriali ad ogni punto dello spazio si deve associare uno e un solo valore del vettore che definisce il Campo. (Es.: Il Campo gravitazionale. N.B. Il Vettore è l accelerazione non il peso!)) Se in ogni punto consideriamo l arco infinitesimo di curva alla quale il vettore è tangente e uniamo tutti gli archi, otteniamo una Linea di Flusso o di Campo (Forza) Operatori 22

23 Le linee di Flusso hanno un verso. Si prende positivo quello che forma un angolo minore di /2 con il vettore Se si prende una linea chiusa e si considerano tutte le linee di flusso che passano per essa si ha un Tubo di Flusso Operatori 23

24 Un tubo di flusso separa nettamente la porzione di campo spazio interno da quello esterno. Due linee di flusso non possono incrociarsi! Operatori 24

25 Rappresentazione di un campo vettoriale tramite linee di flusso. In base ad una qualche convenzione, per un segmento o area unitari si tracciano un numero di linee di campo proporzionali all intensità del campo in quel segmento o area. Operatori 25

26 Possono esserci punti del Campo nei quali per quanto si prendano piccole le superfici, attraverso di esse passano sempre infinite Linee di Flusso Se le Linee escono dal punto, esso di definisce Sorgente, se vi entrano si definisce Pozzo (bisogna considerare anche l infinito!) Sorgente Pozzo S P S S Operatori 26

27 Né sorgenti né pozzi Le Linee di Flusso sono chiuse Operatori 27

28 Definiamo il Flusso di un Vettore v dt d dh = dl cos( ) d n d d dv = d dh = d dl cos( ) = d v dt cos( ) Flusso infinitesimo di v attraverso d = d : d = dv/dt = v cos( ) d = v n d = v d Flusso finito: (v) = (v) =Flusso del vettore v attraverso la superficie Operatori 28

29 Dato che d (v) = v n d il Flusso può essere positivo o negativo e il suo segno dipende dalla orientazione relativa di v e n. Se la superficie è aperta la scelta del verso di n è arbitraria Se la superficie è chiusa n è sempre rivolta verso l esterno! Flusso positivo vuol dire uscente ( n) Flusso negativo vuol dire entrante (anti n) Operatori 29 I

30 L operatore Divergenza Dato un Campo vettoriale v (x,y,z) = v x i + v y j + v z k, definiamo divergenza di v: div(v) = La divergenza è uno scalare! Esiste un teorema (Teo. della Divergenza) che afferma che: (v) = è una superficie chiusa e è il volume racchiuso da Operatori 30

31 Cosa corrisponde al caso (v) = 0 = chiusa in (v) = out (v) Cioè all interno di non ci sono ne pozzi ne sorgenti. Dato che e sono arbitrari = 0, vuol dire che div(v) = 0 ovunque nel volume e quindi il valore di div(v) in un volumetto indica la presenza o assenza di pozzi o sorgenti al suo interno. Se div(v) = 0 in tutto lo spazio, si dice che il Campo vettoriale v è Solenoidale Operatori 31

32 Se un Campo vettoriale oltre ad essere Solenoidale è anche Conservativo (v = grad U ) allora si ha div (v) = div(grad U) = div ( ) = 0 0 Avendo introdotto l operatore Laplaciano Operatori 32

33 Abbiamo visto finora alcuni operatori che si basano tutti sulle derivate parziali: di un Campo scalare: grad = o di un Campo vettoriale: div (v) = Conviene introdurre un altro operatore che contiene quelle derivare parziali di un Campo vettoriale non contenute nella divergenza: rotore (v) Operatori 33

34 Il Rotore, che è un vettore, è definito dalle sue componenti: rot x (v) = rot y (v) = N.B. ogni componente del rot non contiene le omologhe componenti del vettore v rot z (v) = Metodo diretto: rot(v) = det î ĵ k ˆ x y z v x v y v z Operatori 34

35 F(x,y,z) = yî xĵ ( z) [es: F (1,2,3) = 2i -1j +0k] rot(f) =det î ĵ k ˆ x y z y -x 0 rot(f) = 0 î +0 ĵ -2k ˆ Operatori 35

36 Esiste un altro teorema ( legato al precedente) riguardo al rotore. = (rot(v)) è una curva chiusa (non necessariamente piana) e qualunque superficie (aperta) che ha come contorno. è una e aperte + chiusa Operatori 36

37 Alcune proprietà del Rotore div (rot(v) = 0 Infatti: div (rot(v) = = = + + = 0 Dato che il rotore ha sempre divergenza nulla è un vettore Solenoidale! Operatori 37

38 Altra proprietà: rot ( grad U) = 0 Basta verificare: se v = grad U rot x (v) = = = 0 rot x (v) = rot y (v) = rot z (v) = 0 rot (v) = 0 : v = Irrotazionale v = grad U: v = Conservativo Quindi se v è Conservativo è anche Irrotazionale Operatori 38

39 Notazione Anglosassone e moderna Chiamiamo Nabla questo operatore e trattiamolo come un vettore. grad U = U = div (v) = = rot (v) = x v = det î ĵ k ˆ x y z v x v y v z U= 2 U = Operatori 39

40 In coordinate cartesiane: grad U = U = In coordinate sferiche (r,, ) il gradiente si scrive: grad U = U = Operatori 40