ELETTROMAGNETISMO APPLICATO ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA_2b (ultima modifica 30/09/2015)

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1 ELETTROMGNETISMO PPLICTO LL'INGEGNERI ELETTRIC ED ENERGETIC_2b (ultima modifica 30/09/2015) M. Usai ELETTROMGNETISMO PPLICTO LL'INGEGNERI ELETTRIC ED ENERGETIC 27

2 L integrale S d s è un integrale superficiale ed è un integrale doppio in due dimensioni. Esso è il flusso del vettore attraverso la superficie di area S. Il versore d s normale alla superficie S è uscente dalla superficie se la superficie è chiusa e dipende dalla direzione nella quale è percorso il contorno della superficie se la superficie è aperta e si determina con al regola della mano destra. a n a n a n M. Usai ELETTROMGNETISMO PPLICTO LL'INGEGNERI ELETTRIC ED ENERGETIC 28

3 Le grandezze elettromagnetiche generalmente sono grandezze scalari e vettoriali che dipendono dal tempo e dal punto o posizione ( coordinate spaziali), ossia complessivamente dipendono da quattro variabili: il tempo e le tre coordinate spaziali. Sono quindi importanti i metodi per definire la velocità spaziale di variazione di un campo scalare per un tempo stabilito. Si devono sviluppare le derivate parziali rispetto alle tre coordinate e poiché la velocità di variazione può essere diversa nelle diverse direzioni, sarà necessario introdurre un vettore che definisca la velocità spaziale di cambiamento del campo scalare in un determinato punto e un determinato tempo. M. Usai ELETTROMGNETISMO PPLICTO LL'INGEGNERI ELETTRIC ED ENERGETIC 29

4 V(u 1,u 2,u 3 ) Gradiente di un campo scalare V è una grandezza scalare funzione di tre coordinate u i ( potenziale elettrico, temperatura, pressione, tasso di umidità). P 2 d l P 1 dn P 3 a n V+dV V dv Per la stessa variazione dv, la velocità di variazione è dl diversa lungo dl, perché dn è il percorso più piccolo per passare dalla superficie a potenziale V a quella a potenziale V+dV. M. Usai ELETTROMGNETISMO PPLICTO LL'INGEGNERI ELETTRIC ED ENERGETIC 30

5 Sulla base di queste considerazioni sorge l esigenza di definire un vettore che rappresenti sia l ampiezza che la direzione della massima velocità spaziale di incremento di una grandezza scalare come; gradiente della grandezza scalare, ossia il vettore che rappresenta il rapporto massimo fra la variazione di V, dv e la lunghezza dl dv grad V V an dn a x x V a x dv dl a x y y a dv dn y a y dn dl z z a z dv dn V z cosα dv dn a n a l in coordinate cartesiane M. Usai ELETTROMGNETISMO PPLICTO LL'INGEGNERI ELETTRIC ED ENERGETIC 31

6 Si definisce divergenza di un vettore di campo in un punto, il flusso netto uscente dalla superficie S per unità di volume, quando il volume tende a zero: div lim Δv0 d s S Δv In coordinate cartesiane: div x x y y z z M. Usai ELETTROMGNETISMO PPLICTO LL'INGEGNERI ELETTRIC ED ENERGETIC 32

7 M. Usai ELETTROMGNETISMO PPLICTO LL'INGEGNERI ELETTRIC ED ENERGETIC 33 La divergenza in coordinate cilindriche: La divergenza in coordinate sferiche : z r 1 r r r 1 div z r R sin 1 sin R sin 1 R R R 1 div R 2 2

8 Teorema della divergenza Il flusso totale di un vettore uscente da una superficie chiusa qualunque S è uguale all integrale della divergenza del vettore, esteso al volume V racchiuso dalla superficie stessa: S d s div dv Se la divergenza è uguale a zero in tutti i punti del campo, il campo è solenoidale. V Se il campo è solenoidale, il flusso attraverso una qualunque superficie contenuta nel campo è uguale a zero. M. Usai ELETTROMGNETISMO PPLICTO LL'INGEGNERI ELETTRIC ED ENERGETIC 34

9 Integrale lineare di un vettore L integrale lineare di un vettore delimitato da due punti M e N é: lungo un tratto di curva N M dl N M cosβ dl P t N Il valore dell integrale dipende : dal tratto di curva percorso tra M e N dalle posizioni di punti M e N M M. Usai ELETTROMGNETISMO PPLICTO LL'INGEGNERI ELETTRIC ED ENERGETIC 35

10 Il campo è irrotazionale quando l integrale lineare tra due punti qualsiasi appartenenti al campo, non dipende dal tratto di curva che unisce i due punti M e N, ma solo dalla posizione dei due punti: N M dl k per qualsialsi in particolare percorso M N N M dl inoltre l dl M N dl 0 dove l é un percorso chiuso M. Usai ELETTROMGNETISMO PPLICTO LL'INGEGNERI ELETTRIC ED ENERGETIC 36

11 Se è irrotazionale ammette un potenziale scalare V, ossia: dv d l V M V N N M dv gradv M. Usai ELETTROMGNETISMO PPLICTO LL'INGEGNERI ELETTRIC ED ENERGETIC 37

12 Il rotazionale o rotore di un vettore nel punto P é: rot ossia, é un vettore la cui ampiezza è la massima circuitazione del vettore area, quando questa tende a zero e per unità di la cui direzione è normale alla direzione dell area orientata che rende massima la circuitazione. In coordinate cartesiane: a x a x x y x z a y y y z z y a z z a y z x z x a M. Usai ELETTROMGNETISMO PPLICTO LL'INGEGNERI ELETTRIC ED ENERGETIC 38 z y x y x

13 M. Usai ELETTROMGNETISMO PPLICTO LL'INGEGNERI ELETTRIC ED ENERGETIC 39 Il rotore in coordinate cilindriche: Il rotore in coordinate sferiche: z r z r r z r a r a a r 1 Rsin R R R sin a R a a sin R 1 R R 2

14 Il rot gode delle seguenti importanti proprietà: I Identità nulla: rot (grad (V)) ( V) 0 Il rotore del gradiente di un campo scalare è uguale a zero. II Identità nulla: div (rot ()) ( ) 0 La divergenza del rotore di un campo vettoriale é uguale a zero. Teorema di Stokes: S ds dl L integrale superficiale del rotore di un campo vettoriale su una superficie aperta è uguale all integrale lineare del vettore lungo la linea chiusa che delimita il contorno della superficie. C M. Usai ELETTROMGNETISMO PPLICTO LL'INGEGNERI ELETTRIC ED ENERGETIC 40

15 Nello studio dei campi vettoriali è conveniente rappresentare le variazioni di campo graficamente con linee di campo direzionali o orientate chiamate linee di campo o linee di flusso. Esse danno una visione della distribuzione del campo, indicando in ciascun punto: la direzione del campo vettoriale con il verso delle linee l ampiezza attraverso la densità delle linee ( nei punti dove le linee sono più fitte il campo è più intenso). La superficie di un volume definito all interno di un campo, racchiude una sorgente (source), se le linee di flusso sono uscenti. M. Usai ELETTROMGNETISMO PPLICTO LL'INGEGNERI ELETTRIC ED ENERGETIC 41

16 Campi particolari Se la divergenza di una grandezza vettoriale che definisce un campo è nulla, il campo è solenoidale: V div dv ds Se il rotore di una grandezza vettoriale che definisce un campo è nullo, il campo è irrotazionale: I campi vettoriali possono essere classificati in base al fatto che essi siano solenoidali, irrotazionali e non. S ds dl 0 S C 0 M. Usai ELETTROMGNETISMO PPLICTO LL'INGEGNERI ELETTRIC ED ENERGETIC 42

17 Campi generali Un campo vettoriale generico ha sia la divergenza che il rotore diversi da zero e può essere considerato come la somma di un campo solenoidale e di un campo irrotazionale. Teorema di Helmhotz Un campo vettoriale (funzione vettoriale puntuale) è determinato dalla somma della divergenza del potenziale scalare e del rotore del potenziale vettoriale, quando la sua divergenza e il suo rotore sono ovunque definiti: F V o F div V rot M. Usai ELETTROMGNETISMO PPLICTO LL'INGEGNERI ELETTRIC ED ENERGETIC 43

18 I campi possono essere classificati in : Campi variabili rapidamente: nei quali i fenomeni di propagazione spaziale non sono trascurabili; Campi Statici: nei quali le grandezze che caratterizzano il campo sono costanti al variare del tempo. Essi sono tempoinvarianti e in essi sono nulle le correnti di spostamento e le f.e.m indotte; Campi quasi statici: nei quali le grandezze variano lentamente, ossia: - le derivate temporali delle grandezze di campo sono trascurabili rispetto alla loro velocità di propagazione nello spazio e - le grandezze che caratterizzano il campo variano nello stesso modo in un qualunque punto dello spazio. M. Usai ELETTROMGNETISMO PPLICTO LL'INGEGNERI ELETTRIC ED ENERGETIC 44

19 I campi quasi statici si classificano in: Campi tempovarianti con legge armonica stazionaria (sinusoidale). Per essi è conveniente rappresentare le variabili in forma vettoriale. Campi tempovarianti con legge non armonica stazionaria. Nel caso di campi quasi statici le leggi di Maxwell si riducono alle equazioni di diffusione. Saranno trattati campi statici e quasi statici. M. Usai ELETTROMGNETISMO PPLICTO LL'INGEGNERI ELETTRIC ED ENERGETIC 45

20 Lo studio dei campi statici o quasi statici trova applicazione nello studio delle: macchine elettriche rotanti; trasformatori; attuatori (relé contattori); testine magnetiche; schermature; bobine per acceleratori e macchine da fusione; potenziali elettrostatici: isolatori, passanti, connettori. M. Usai ELETTROMGNETISMO PPLICTO LL'INGEGNERI ELETTRIC ED ENERGETIC 46

21 Lo studio dei campi rapidamente variabili o dinamici trova applicazione per esempio nello studio di: Guide d onda, ntenne, Cavità risonanti, Filtri M. Usai ELETTROMGNETISMO PPLICTO LL'INGEGNERI ELETTRIC ED ENERGETIC 47

22 Un generico problema di campo può essere risolto attraverso l applicazione di metodi analitici oppure a metodi numerici. I metodi analitici sono particolarmente indicati nel caso dello studio di sistemi bidimensionali ed in presenza di mezzi lineari omogenei ed isotropi. Essi sono stati ampiamente sviluppati durante il secolo scorso e quando risultano applicabili, consentono di ottenere delle soluzioni esatte. I principali metodi analitici utilizzati per la risoluzione di problemi di campo elettromagnetico sono: metodo delle immagini; soluzioni in forma chiusa delle equazioni di Maxwell espresse in forma di serie convergenti; metodi di trasformazioni conformi. M. Usai ELETTROMGNETISMO PPLICTO LL'INGEGNERI ELETTRIC ED ENERGETIC 48

23 I metodi numerici sono applicabili anche nel caso tridimensionale e nel caso di mezzi non lineari, non omogenei ed anisotropi. Essi consentono di ottenere delle soluzioni approssimate e si sono sviluppati con l'avvento dei calcolatori elettronici, quindi da circa trent'anni, ma solo negli ultimi venti anni hanno trovato uno sviluppo nell'ambito progettuale-industriale. I principali metodi numerici utilizzati per la risoluzione di problemi di campo elettromagnetico sono: metodo delle differenze finite metodo degli elementi finiti metodo BEM ( Boundary Elements Method ). M. Usai ELETTROMGNETISMO PPLICTO LL'INGEGNERI ELETTRIC ED ENERGETIC 49

24 Il problema della risoluzione di equazioni integrodifferenziali di campo è comune alle diverse aree scientifiche dell ingegneria e della fisica. Gli studi e i risultati ottenibili per un sistema fisico diventano spendibili per la modellazione e lo studio in termini di campi di fenomeni fisici di natura diversa, quando questi presentino forti analogie ed in particolare con il fenomeno della trasmissione del calore. M. Usai ELETTROMGNETISMO PPLICTO LL'INGEGNERI ELETTRIC ED ENERGETIC 50