PROPRIETÀ DEL CAMPO ELETTROSTATICO. G. Pugliese 1

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1 PROPRIETÀ DEL CAMPO ELETTROTATICO G. Pugliese 1

2 Flusso di un vettore Il flusso di un liuido o d aria (la portata), è la uantità di liuido che passa in un determinato tempo attraverso una sezione del tubo. Formalizziamo uesta definizione uotidiana: Consideriamo un campo vettoriale v, avente le linee di forza //, ed una, disposta perpendicolarmente alle linee di forza. Definiamo il flusso del vettore v attraverso la superficie, il numero di linee di forza passanti attraverso la superficie. Poiché il numero di linee di forza per unità di superficie di un vettore è proporzionale al modulo del vettore: Φ v G. Pugliese 2

3 Flusso di un vettore Dipende dalla angolo formato fra v e la superficie. Es. se v // il flusso è nullo Φ vcosθ v avendo definito n la superficie orientata G. Pugliese 3

4 Flusso di un vettore In generale, l intensità del vettore v può variare in corrispondenza dei punti della superficie attraverso la uale si vuole calcolare il flusso; occorre, uindi, suddividere tale superficie in elementi infinitesimi ds in corrispondenza dei uali la variazione di dv può essere considerata trascurabile. Il flusso elementare sarà: dφ vdcosθ v d La misura del numero di linee di forza del campo v che attraversano la superficie : Φ v d G. Pugliese 4

5 Flusso del campo elettrostatico d ia una superficie elementare, immersa in una regione in cui è definito un campo E, orientata fissando il verso del versore della normale. i definisce flusso del campo E attraverso la superficie dφ( E) E d Ed cosθ Il flusso attraverso una superficie finita, suddivisa in elementini Φ( E) E d G. Pugliese 5

6 Flusso del campo elettrostatico e la superficie è chiusa, per convenzione, la normale è orientata verso l esterno (uindi Φ positivo, se il capo è uscente; Φ negativo, se il campo è entrante). d Φ( E) E d E n d G. Pugliese 6

7 Teorema di Gauss E d ε int 0 Dove int è la carica interna alla superficie considerata Teorema di GAU: Il flusso del campo E attraverso una superficie ualsiasi chiusa è uguale alla somma algebrica delle cariche contenute entro la superficie, comunue siano distribuite, divisa per ε 0 G. Pugliese 7

8 Il teorema di Gauss Attenzione: Il teorema è valido indipendentemente da come la cariche sono distribuite.. Distribuzione discreta o continua.. G. Pugliese 8

9 Dimostrazione T. di Gauss E 1 4πε o r 2 u r d Φ E nd Ed Φ E d 4πε 0 1 d 1 r 2 4πε 0 r 2 4πr2 ε 0 Il T. di Gauss è conseguenza della proporzionalità con l inverso del uadrato della distanza espressa dalla legge di Coulomb (possiamo parlare uindi anche di L. di Gauss). G. Pugliese 9

10 Generalizzazione.. Abbiamo dimostrato che il flusso del campo elettrico attraverso la superficie della sfera è proporzionale alla carica interna alla superficie. Consistente con la definizione di flusso e con le caratteristiche delle linee di forza: Ø il flusso attraverso una superficie è proporzionale al numero di linee di forza che attraversano tale superficie; Ø il numero di linee di forza è proporzionale alla carica che le origina; Ø il flusso è proporzionale alla carica. Φ ε 0 Questo risultato può essere esteso ad una ualsiasi superficie chiusa contenente la carica. Il numero di linee di forza che attraversano le superfici non sferiche 2 e 3 è pari al numero di linee di forza che attraversano 1, così il flusso attraverso ualsiasi superficie chiusa è indipendente dalla forma della superficie stessa. G. Pugliese 10

11 L angolo solido Per l angolo piano: unità di misura è il radiante (2π) θ s r dθ d θ dsʹ cosα r ds r L angolo solido è lo spazio racchiuso entro una superficie conica. Il suo valore (espresso in steradianti) si ottiene tracciando con un raggio arbitrario R e centro O una superficie sferica ed utilizzando la relazione: Ω 2 R dω d 0 R 2 Ω dove è l area della calotta sferica intercettata dall angolo. Poiché l area della sfera è 4πR 2 l valore dell angolo solido che sottende una sfera : 4π G. Pugliese 11

12 Dimostrazione analitica del L. di Gauss Per una superficie chiusa ualsiasi: dφ E E nd 1 4πε 0 r 2 ur nd 1 4πε 0 d cosϑ r 2 1 4πε 0 dω Il flusso di E di una carica puntiforme dipende solo dall angolo solido e non dalla superficie né dalla sua distanza dalla carica. G. Pugliese 12

13 Dimostrazione analitica del L. di Gauss Φ(E) dφ E E d 4πε 0 dω carica interna ad Φ( E) 4πε 0 dω 4πε 0 4π ε 0 L angolo solido totale sotto cui è vista una superficie chiusa G. Pugliese 13

14 Dimostrazione analitica del L. di Gauss carica esterna ad. Ogni cono elementare intercetta due superfici d1, d2 dφ dφ 2 1 E E 1 2 nd nd 1 2 4πε 0 4πε dω 0 dω Φ( E) E nd 0 G. Pugliese 14

15 Teorema di Gauss Nel caso di più cariche puntiformi per il principio di sovrapposizione: Φ( E) 1 ε 0 i i E nd ) int ( i E i ) nd i E i nd Nel caso più generale in cui il campo sia generato da una distribuzione continua di cariche, caratterizzata dalla densità volumetrica ρ (x,y,z) (o superficiale σ o lineare λ): Φ(E) 1 ε 0 τ ρ(x, y, z)dτ G. Pugliese 15

16 Applicazioni del L. di Gauss G. Pugliese 16