Corrente di spostamento ed equazioni di Maxwell

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1 Corrente di spostamento ed equazioni di Maxwell n Corrente di spostamento n Modifica della legge di Ampere n Equazioni di Maxwell n Onde elettromagnetiche

2 Corrente di spostamento n La legge di Ampere e` inconsistente con la legge di conservazione della carica elettrica $ " B = µ J " J = # 0 " ( # B) = 0 sempre $t " J = 0 solo per correnti stazionarie

3 Corrente di spostamento n Maxwell: l equazione di continuita` della carica elettrica deve valere sempre " J = # $ $t $ E " J = # " 0 = " 0 " E (a rigore vale nel solo caso elettrostatico) $t " # % ' & $ E J + 0 $t ( * = 0 )

4 Corrente di spostamento n La corrente totale da considerare e` E J + 0 t " E J S 0 "t n Maxwell predisse che le variazioni nel tempo di un campo elettrico, anche in assenza di correnti di conduzione, avrebbero generato un campo magnetico

5 Corrente di spostamento n Se in un punto dello spazio la corrente di conduzione e` zero, ma E t " 0 # esiste un campo magnetico il cui rotore e` dato da # E " B = µ 0 0 #t

6 Legge di Ampere-Maxwell n La legge di Ampere e` modificata in $ # E " B = µ & J % #t ' ) ( non associata a moto di cariche

7 Legge di Ampere-Maxwell n La legge di Ampere e` modificata in $ # E " B = µ & J % #t ' ) ( n 1887: Hertz compie esperimenti che dimostrano l esistenza di onde elettromagnetiche, previste dalle nuove equazioni

8 Forma integrale " B d l $ # E = µ 0 & J + 0 % #t ' ) ( ( ) " nda = µ 0 i + i s E µ 0 i S = µ 0 # 0 t " nda "( E) = µ 0 0 t µ 0 i S "17 #$( " E) #t V / m s e` necessaria una variazione molto rapida nel tempo del campo elettrico

9 Corrente di spostamento n Durante il processo di carica si accumula la cairca dq su una armatura e viene prelevata la carica dq dall altra n Le correnti corrispondenti sono i=dq/dt entrante e i=-(-dq/dt)=dq/dt uscente n Si puo` usare la legge di Ohm, ma tra le armature non c e` corrente di conduzione n Il flusso della densita` di corrente attraverso una superficie che racchiude entrambe le armature e` nullo (se le derivate rispetto al tempo non sono troppo grosse) come se ci fosse continuita`

10 Corrente di spostamento i = "# B d l = i = dq dt B d l = C (" 1 ) "# C (" 2 ) "# C (" 1 ) B d l Σ1 Σ2 = "2 ( J ) = 0 poggia sullo stesso contorno J non e` solenoidale

11 Corrente di spostamento = i Σ1 Σ2 J 1 = J + J S = J J 1 = J + J S = 0 E t n Il termine di corrente di spostamento risolve la contraddizione n Oltre alla corrente di conduzione i esiste un campo elettrico E che varia nel tempo tra le armature (supponiamo solo li ) J + J S e` solenoidale i due flussi devono essere uguali

12 Equazioni di Maxwell n Nel vuoto, in presenza di cariche e correnti di conduzione distribuite con densita` ρ e J le equazioni che descrivono i campi elettrico e magnetico per fenomeni sia stazionari che dipendenti dal tempo sono: " E = " 0 # E = $ % B %t " B = 0 # B = µ 0 J + µ0 0 % E %t

13 Equazioni di Maxwell n Nel vuoto, in regioni in cui sono assenti cariche e correnti di conduzione si ha: " E = 0 " B = 0 # E = $ % B %t # B % E = µ 0 0 %t

14 Equazioni di Maxwell n Realizzano la sistemazione e unificazione dei fenomeni elettrici e magnetici n In generale campi elettrici e magnetici non possono essere zero simultaneamente, sono descrivibili come aspetti di un unica interazione fondamentale legata all esistenza della carica elettrica n Le equazioni di Maxwell sono invarianti per trasformazioni di Lorentz: non e` possibile stabilire il proprio stato di moto inerziale attraverso esperimenti di elettromagnetismo

15 Equazione delle onde (d Alembert) 2 f x 2 " 1 v 2 2 f t 2 = 0 f (t, x) = A 1 (x " vt) + B 2 (x + vt) quantita` che si propaga lungo l asse x positivo con velocita` v quantita` che si propaga lungo l asse x negativo con velocita` v supponiamo B=0 (condizioni al contorno e iniziali)

16 Equazione delle onde (d Alembert) (t " x v ) fissato t-x/v la funzione ha un valore costante t x v " ˆt # x = v(t ˆt ) perturbazione che si muove con velocita` v=dx/dt analogamente Ψ(t+x/v) descrive una perturbazione che si muove con velocita` -v

17 Onde elettromagnetiche n Si possono derivare le equazioni delle onde per i campi elettrico e magnetico direttamente dalle equazioni di Maxwell o dalla equazione delle onde per i potenziali E " µ 0 0 # 2 E #t = 0 # 2 B B " µ #t = 0 2

18 Onde elettromagnetiche n Si possono derivare le equazioni delle onde per i campi elettrico e magnetico direttamente dalle equazioni di Maxwell o dalla equazione delle onde per i potenziali E " 1 # 2 E c 2 #t = 0 B " 1 # 2 B 2 c 2 #t = 0 2 c = 1 µ 0 0