5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI STATICI (ultima modifica 24/10/2017) Campi magnetici statici

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1 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI (ultima modifica 24/10/2017) Campi magnetici statici Premessa Per studiare i Campi Magnetici è utile fare le analogie con i modelli matematici studiati del Campo Elettrostatico. Per lo studio dei campi elettrostatici nel vuoto dovuti a cariche elettriche fisse (a riposo), l intensità del campo elettrostatico E è la grandezza fondamentale richiesta. Per un mezzo materiale è necessario definire una seconda grandezza di campo vettoriale, densità di flusso elettrico (o spostamento elettrico) D per tener conto degli effetti della polarizzazione. M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 1

2 Postulati dell Elettrostatica nello spazio vuoto ε =ε 0 Il campo è perfettamente descritto da una sola grandezza: E Forma differenziale Forma integrale E ρ ε 0 V m E d s Q 0 [Vm] Legge di Gauss nel vuoto E 0 V m l E dl 0 V M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 2

3 Postulati dell Elettrostatica in un mezzo di permettività ε =ε 0 ε r Il campo è perfettamente descritto da due grandezze: E e D Forma differenziale C ( 0 E P) D ρ 3 m Forma integrale D d Q [C] Legge generale di Gauss E 0 V m l E dl 0 V M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 3

4 Equazioni del modello elettrostatico più generale : D ρ E 0 Le proprietà elettriche del mezzo determinano le relazioni tra il vettore spostamento elettrico D e il campo E. e il mezzo è lineare, isotropo e omogeneo, è valida la semplice relazione costitutiva: D E dove la permettività ε =ε 0 ε r è uno scalare. Quando una piccola carica test q è posta in un campo elettrico E, questa è sottoposta ad una forza elettrica, che dipende dalla posizione della carica fissa q: F e qe [N]. F e M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 4

5 e la carica è in movimento occorre fare altre considerazioni per tener conto di tutti i fenomeni fisici del campo associato. Infatti il moto delle cariche in movimento in equilibrio dinamico é caratterizzato: non solo dalla densità di carica ma anche dal vettore velocità delle cariche. v Per affrontare il loro studio tener presente che il moto delle cariche in equilibrio dinamico é governato dalla: Equazione fondamentale di continuità, che soddisfa il Principio di conservazione della carica. M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 5

6 Conservazione della carica elettrica La carica elettrica è una grandezza fisica conservativa, cioè essa non può ne essere creata, ne distrutta. Nella regione dello spazio nella quale si esamina un campo, in ogni istante devono essere considerate: tutte le cariche fisse e tutte le cariche in movimento. In base al principio di conservazione della carica la carica elettrica totale di un sistema fisico isolato rimane costante. Questa è una legge della natura e non può essere derivata da altri principi o relazioni. M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 6

7 i consideri un volume arbitrario V delimitato da una superficie. e all interno di questa regione esiste: V carica netta Q: Q Q Q ossia Q è la somma algebrica delle cariche presenti nel volume e se una corrente netta I: (I uscente I entrante ) fluisce attraverso la superficie racchiusa dal volume V, la carica nel volume Q deve diminuire a una velocità pari alla velocità della corrente I. Conseguentemente, la corrente I che esce dalla regione di volume V è pari al flusso totale verso l esterno del vettore densità di corrente J attraverso la superficie: I J d Q t M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 7

8 e la distribuzione delle cariche è continua: La legge della conservazione viene espressa matematicamente: Q V dv Q t d dt V dv J d I la variazione della densità spaziale di carica ρ nel tempo, entro un volume V è pari al flusso della densità di corrente J, attraverso la superficie che delimita il detto volume V. Inoltre, la carica elettrica totale di un sistema Q è un'invariante relativistico ossia il suo valore non dipende dal sistema di riferimento. M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 8

9 Applicando il teorema della divergenza si può convertire l integrale superficiale di densità di corrente in un integrale della divergenza della densità di corrente: d J d J dv dv dt V Quando le cariche sono in movimento la derivata temporale della densità di corrente all interno dell integrale volumico, deve essere calcolata usando le derivate parziali, perché la densità di corrente potrebbe essere sia funzione del tempo che funzione delle coordinate spaziali: ρ=ρ(x,y,z,t). Equazione di Continuità V Dalla equazione precedente risulta che: d A J 3 dt m M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 9

10 La relazione puntuale: d A J 3 dt m che deriva dal principio della conservazione della carica, è chiamata equazione di continuità. Per le correnti stazionarie la densità di carica non varia nel tempo, ossia: d 0 dt e l equazione di continuità diventa: J 0 Le correnti elettriche stazionarie sono solenoidali. M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 10

11 Quindi l equazione di continuità per correnti stazionarie è: J in se si considera il flusso della densità di corrente attraverso una superficie chiusa, la relazione precedente in forma integrale è: J d 0 Che equivale a dire che il flusso della densità di corrente stazionaria attraverso una superficie chiusa è nullo. 0 Per i circuiti la relazione precedente equivale alla I legge di Kirchhoff: I 0 j j A M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 11

12 Cariche introdotte all interno di un conduttore. Le cariche introdotte nell interno di un conduttore si muoveranno verso la superficie del conduttore e si ridistribuiranno in modo tale che in condizioni di equilibrio all interno del conduttore risulti il campo E 0 e la densità di carica ρ = 0. In un mezzo semplice, possiamo provare questa dichiarazione e calcolare il tempo necessario per raggiungere le condizioni di equilibrio, combinando: la legge di Ohm in forma puntuale con l equazione di continuità e assumendo costante la conducibilità γ. M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 12

13 M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 13 Per ottenere una equazione differenziale nella sola variabile ρ, nella ipotesi di un mezzo semplice (lineare, omogeneo ed isotropo) : 3 ε γ - 0 m C e ρ ρ(t) da cui 0 ρ ε γ δt ρ 0 E γ essendo : ε ρ E ρ D t t - E γ E Ohm Legge di continuità Equazione di t J dt d J D E εe D

14 In un mezzo semplice, dunque : ρ(t) ρ 0 e - γ ε t C m 3 dove ρ 0 è la densità di carica iniziale all istante t=0. ia ρ che ρ 0 possono essere funzioni delle coordinate spaziali. La funzione precedente dice che in un punto in mezzo semplice la densità di carica ρ (t) diminuisce nel tempo con legge esponenziale, sino ad annullarsi, con una costante di tempo, detta tempo di rilassamento: ε τ γ La carica iniziale ρ 0 decade a t=1 di (1/ = ) o 38,8% del suo valore nell istante iniziale. M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 14

15 Per un buon conduttore come il rame il tempo di rilassamento è molto piccolo, infatti per la sua elevata conducibilità γ: [F/m] 19 7 [/m] 1.52*10 s Il tempo transitorio è così piccolo che per le applicazioni pratiche, ρ può essere considerata nulla nell interno del conduttore. Per un buon isolante il tempo di rilassamento non è infinito, ma può essere dell ordine delle ore o dei giorni. M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 15

16 Campo Magnetico Un Campo Magnetico può essere generato: da un magnete permanente oppure da correnti elettriche. La limatura di ferro o piccoli pezzi di ferro sparsi su un foglio di carta possono essere usati per rilevare la presenza di effetti magnetici (ossia forze magnetiche) in prossimità di un magnete permanente, dove la limatura si distribuisce secondo linee che vanno da un polo all altro del magnete o di un filo percorso da corrente elettrica, dove la limatura si dispone secondo linee concentriche circolari, perpendicolari alla direzione del conduttore. In entrambi i casi la distribuzione della limatura in presenza degli elementi che la generano, indica la presenza di un campo magnetico e indica la forma delle linee di flusso del campo magnetico, ossia le linee lungo le quali agiscono le forze del campo. M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 16

17 Forze agenti sulle cariche in movimento in un Campo Magnetico Quando la carica elettrica q è in movimento in presenza di un campo magnetico con induzione magnetica B, essa è sottoposta ad una forza di natura diversa detta forza magnetica F m così caratterizzata: l ampiezza è proporzionale a q, alla componente della velocità v nella direzione normale alla induzione del campo magnetico B nel punto in cui si trova la carica nell istante considerato e a B; direzione normale alla direzione della velocità v della carica test e alla direzione del campo B determinata in quel punto e verso definito dall operatore vettoriale: Fm B F m q v B q i sottolinea come tale forza non è legata ai vettori D ed E. v M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 17

18 F m La forza magnetica può essere espressa completamente attraverso la definizione della densità di flusso magnetico B, che specifica sia la direzione del campo che la natura del mezzo in cui è presente il campo: F m q v B La forza elettromagnetica totale dovuta alla contemporanea presenza dei campi elettrostatico e magnetico, che agiscono su una carica q in movimento con velocità v è quindi: F F Fm q E e v B [N] che è l equazione della forza di Lorentz e la sua validità è stata inequivocabilmente stabilita empiricamente. M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 18

19 Come per la definizione di Campo Elettrico è stato utilizzata la relazione: F e E q analogamente per la definizione della densità di flusso magnetico o Vettore Induzione Magnetica B è valida la seguente relazione : F m v B q M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 19

20 Per tener conto della natura del mezzo in cui il campo è generato è stata quindi introdotta la grandezza magnetica intensità di campo magnetico B H, dove permeabilità magnetica del mezzo. ulla base di dati empirici si può affermare che ogni moto di cariche elettriche da luogo ad azioni magnetiche e che tali fenomeni si verificano anche in assenza di materia ossia nel vuoto. M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 20

21 Le cariche elettriche in movimento, ossia la causa della generazione di un campo magnetico, B H possono essere di diversa natura, come: -una corrente che circola in un conduttore, ma anche -un insieme di elettroni che si muovono nel vuoto, -una corrente ionica che attraversa un elettrolita o -un gas ionizzato e altre. M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 21

22 In generale si può affermare che la presenza di una corrente o di un magnete permanente, modifica lo stato fisico dello spazio circostante. Ciò induce a definire una grandezza di campo per ciascun punto della regione d azione di esso, in grado di quantificare l entità delle azioni magnetiche, ossia il campo magnetico H. Per esempio, nel caso di un conduttore attraversato da una corrente costante I: I R P Definizione di Campo Magnetico H H P: punto in cui si valuta il campo R: distanza del punto dal conduttore nel quale circola la corrente I M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 22

23 i definisce campo magnetico H un vettore la cui intensità in un punto del campo P, è -proporzionale alla intensità di corrente I, -inversamente proporzionale alla distanza R del punto P dal conduttore -direzione tangente alla circonferenza di raggio R in P -verso legato alla direzione della corrente definito dalla regola della vite destrogira (il verso è quello con cui deve ruotare una vite destrorsa per farla avanzare nel senso della corrente). I I + H H M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 23

24 Legge di Biot avart ulla base delle prove sperimentali si può descrivere l esistenza di un Campo Magnetico H attraverso l applicazione della legge di Biot-avart. L intensità degli effetti elettromagnetici è uguale in tutti i punti equidistanti dal conduttore (linee di forza); essa è proporzionale al rapporto fra la corrente I e la distanza R dal conduttore e indipendente dalla natura del mezzo: H H= I 2πR A m H varia con legge iperbolica al variare di R. R M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 24

25 Tali risultati sperimentali possono essere espressi analiticamente dalla seguente relazione, che tiene conto della natura del mezzo: I R P B B μ I 2πR Nella formula l influenza della natura del mezzo é indicata dalla grandezza, ossia dalla permeabilità magnetica del mezzo. Il fattore 1/2 é utilizzato per ottenere formule semplificate dette razionalizzate. Il campo magnetico in ogni punto sarà: H B in modulo H B I 2R M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 25

26 Magnetostatica nel vuoto Per lo studio della magnetostatica (campi magnetici statici) nel vuoto è necessario considerare solo il vettore densità di flusso magnetico B, i due postulati fondamentali della magnetostatica in forma differenziale sono: B 0 B o J dove dove μ o J è la densità di corrente e 4π 10 è la permeabilità dello spazio libero: μ o 7 H m M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 26

27 Considerando la II relazione, poiché la divergenza del rotore di un qualunque vettore e uguale a zero: si ottiene: A 0 J 0 B J 0 o che è coerente con le equazioni precedentemente determinate per le correnti stazionarie. Dal confronto della relazione: B 0 con l analoga equazione per l elettrostatica nello spazio libero: E 0 si vede come non ci sia alcuna analogia magnetica, ossia alcuna grandezza magnetica analoga, per la densità di carica elettrica. M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 27

28 1) La forma integrale del primo postulato delle magnetostatica si ottiene facendo l integrale volumico della relazione B 0 e applicando il teorema della divergenza si ha: V B dv B d s 0 dove la superficie di integrazione è la superficie che delimita il volume arbitrario di integrazione. Confrontando questa relazione con l espressione della legge di Gauss: E d s si verifica anche analiticamente la non esistenza di cariche magnetiche isolate. Q o M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 28

29 Non esistono sorgenti di flusso magnetico, e le linee di flusso magnetico si richiudono sempre su se stesse. Inoltre l equazione : B d s é anche una espressione della legge della conservazione del flusso magnetico, perché essa afferma che il flusso totale uscente attraverso una superficie chiusa è nullo. 0 M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 29

30 Magneti Permanenti Un magnete permanente è un corpo che sottoposto agli effetti di un campo magnetico, è in grado di generare un campo magnetico proprio. Essi mantengono una induzione B r residua elevata e necessitano di un campo magnetico H c elevato per annullare il magnetismo residuo, detto forza coercitiva. N La tradizionale definizione dei poli nord e sud in una barretta di materiale magnetico permanente non implica che esista una carica magnetica positiva isolata nel polo nord e una carica negativa isolata nel polo sud. M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 30

31 Infatti se il magnete viene tagliato in due parti compaiono in ciascun elemento un polo nord e un polo sud, ottenendo così due nuovi magneti più piccoli. Questo processo si potrebbe ripetere sino a che i magneti assumono dimensioni atomiche, per cui si può concludere che i poli magnetici non possono essere isolati, ma ciascun magnete infinitamente piccolo ha ancora un polo nord e uno sud. N N N N N N N M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 31

32 Le linee di flusso magnetico seguono percorsi chiusi, da una estremità del magnete all altra estremità, all esterno del magnete e quindi proseguono all interno del magnete richiudendosi verso l estremità di partenza. N M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 32

33 La definizione di polo nord e sud é coerente con il fenomeno fisico, verificabile empiricamente, per il quale una barretta magnetica liberamente sospesa sotto l effetto del campo magnetico terrestre, tende a disporsi secondo la direzione nord sud. N Polo Nord Precisamente il polo magnetico nord della barretta punta nella direzione del nord geografico. N Polo ud Il polo magnetico terrestre nella regione artica (polo nord) deve essere un polo magnetico sud. Il polo magnetico terrestre nella zona antartica (polo sud) deve essere un polo magnetico nord. M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 33

34 2) La forma integrale del secondo postulato della magnetostatica: B J o può essere ottenuta integrando su una superficie aperta, entrambi i membri e applicando il teorema di tokes al primo membro: oppure: dove: Bd s μ o J d s C B dl il percorso C per l integrale lineare é il contorno che delimita la superficie e I é la corrente totale attraverso la superficie. μ o I M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 34

35 Il senso di percorrenza del contorno C e il flusso seguono la regola della mano destra. C B dl μ o I L equazione trovata é una espressione della legge della circuitazione di Ampere, che stabilisce che: la circuitazione della densità del flusso magnetico nel vuoto B lungo un percorso chiuso qualsiasi, é uguale a o volte la corrente I totale che fluisce attraverso la superficie delimitata da tale percorso. M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 35

36 Riassumendo i due postulati fondamentali della magnetostatica nel vuoto sono: forma differenziale forma integrale B 0 B o J C B d s B dl 0 μ o I M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 36

37 Potenziale vettore magnetico Il postulato B 0, garantisce che B sia solenoidale. Quindi per le proprietà dei vettori, B può essere espresso come il rotore di un altro vettore di campo, chiamato A, tale che: B A [T] infatti per la II identità nulla: div (rot (A)) ( A) 0 se B 0 e A 0 B A B A Il vettore A così definito è chiamato potenziale magnetico vettoriale: Wb A m M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 37

38 Quindi si può determinare il potenziale magnetico vettore A di una distribuzione di corrente e calcolare B in funzione di A con l operatore differenziale (il rotore). Questa procedura è del tutto simile a quella usata per introdurre del potenziale elettrico scalare V per il calcolo del campo elettrostatico E con la relazione: E V. Infatti per la I identità nulla: rot (grad (V)) ( V) 0 se E 0 e ( V) 0 E ( V) E V Tuttavia la definizione del vettore potenziale magnetico A richiede la specificazione sia del rotore che della divergenza, infatti per calcolare: B A occorre conoscere A e specificare la sua divergenza. M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 38

39 celta della divergenza di i intende ora determinare una espressione di A, che presenti analogie con l espressione scalare di Poisson valida per l elettrostatica, per la quale sono note le soluzioni analitiche. Dalle relazioni: B μo J A μ B A e ricordando che il rotore del rotore di un vettore è: A A 2 A A A queste equazioni possono essere considerate come la definizione 2 del Laplaciano di A : A. 2 A o A o J M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 39

40 e si sviluppa l equazione: A μ o J secondo la relazione: A A 2 A si ottiene: 2 A A μo J Per semplificare questa espressione, si sceglie A tale che : A=0 e si ottiene l equazione vettoriale di Poisson, espressa con il potenziale vettore magnetico A : 2 A μ o J M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 40

41 Quindi per semplificare l equazione precedente è conveniente scegliere il vettore A tale che A 0 da cui: A μ o J 2 A -μ o J In coordinate cartesiane è dimostrabile la validità della relazione : 2 A a x 2 A x a y 2 A y a z 2 A z i sottolinea che in coordinate cartesiane il Laplaciano del vettore di campo A é un vettore di campo, le cui componenti sono i Laplaciani (divergenza del gradiente) delle corrispondenti componenti. (Ciò non è vero per gli altri sistemi di coordinate.) M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 41

42 Questa proprietà, valida solo in coordinate cartesiane, consente di esprimere l equazione vettoriale di Poisson con tre equazioni scalari equivalenti per le quali è calcolabile la soluzione: A A A x y z μ μ μ Ciascuna di queste equazioni è matematicamente analoga alla equazione scalare di Poisson valida per l elettrostatica e analogamente risolvibile. M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 42 o o o J J J z x y

43 Per l analogia con il modello elettrostatico nel vuoto, poiché 2 ρ l equazione di Poisson V ha la soluzione particolare : ε0 1 V dv' 4 R o V' si avrà che: A A A x y z μ μ μ o o o J J J x y z A A A x y z μo 4π μo 4π μo 4π V' V' V' Jx R J y R Jz R dv' dv' dv' A μo J Wb dv' 4π R m V' M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 43

44 A A A x y z μo 4π μo 4π μo 4π V' V' V' Combinando le tre componenti, si ha quindi l espressione della soluzione in forma vettoriale compatta: Jx R J y R Jz R dv' dv' dv' A μo J Wb dv' 4π R m V' tale equazione consente di determinare il potenziale magnetico vettore A dalla densità di corrente volumica J. M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 44

45 L equazione vettoriale di Poisson, espressa in forma compatta con il potenziale vettore magnetico A : 2 A μ con A=0 o J è analoga alla equazione vettoriale di Poisson per il campo elettrostatico nel vuoto con il potenziale scalare V: 2 ρ V ε di cui si conoscono le soluzioni. Le equazioni di Poisson possono essere risolte anche con il metodo FEM imponendo che un funzionale sia minimo, in quanto la funzione da determinare soddisfa alle seguenti proprietà: nel volume o dominio V ol : div(k grad )= - k 2 = -, 0 dove k e sono funzioni scalari generalmente continue assegnate in V ol ; M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 45

46 Quindi è possibile determinare le 3 soluzioni relative alle 3 componenti A x, A y e A y,del potenziale vettore A la cui soluzione in forma vettoriale compatta è: μo J Wb A dv' 4π R m V' tale equazione consente di determinare il potenziale magnetico vettore A dalla densità di corrente volumica J. La densità di flusso magnetico B può essere ottenuta da B A differenziando in maniera analoga a come fatto per ottenere il campo elettrostatico E dalla relazione E V. Il potenziale vettore A lega il flusso magnetico attraverso una superficie data delimitata da un contorno C in modo semplice, infatti : Φ B d s con B A M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 46

47 Infatti poiché poiché si ha: Φ B ds B A, applicando il teorema di tokes, A ds A dl [Wb] ignificato fisico del vettore potenziale C A In base a questa relazione, il vettore potenziale magnetico A assume un significato fisico in quanto l integrale lineare di A lungo un qualsiasi percorso chiuso è uguale al flusso magnetico totale Φ che attraversa l area delimitata da tale percorso. Nel I il flusso magnetico si misura in weber [Wb], che è equivalente al tesla per metro quadrato [T m 2 ]. Φ M.Usai 5a_EAIEE_CAMPI MAGNETICI TATICI 47