Lezioni L3.a. 5. Teorema dei Campi Conservativi; 7. Teorema di Stokes; 9. Rot E=0. FISICA GENERALE II, Cassino A.A

Transcript

1 Lezioni L3.a 1. Flusso attraverso una superficie;. Scalari, Pseudoscalari, Vettori e Pseudovettori; 3. Campi Scalari e Campi Vettoriali ed operatori; 4. Gradiente, Divergenza, Rotore, Laplaciano; 5. Teorema dei Campi Conservativi; 6. Teorema della divergenza di Gauss; 7. Teorema di Stokes; 8. Teorema di Gauss (1 0 Eq. di Maxwell); 9. Rot E0 005 Carmine E. Pagliarone

2 Flusso di un vettore F E Consideriamo una superficie piana nello spazio; e'possibile descriverla introducendo il vettoresuperficie A aventecomemodulo l'areadella superficiee verso e dire zione perpendicolare alla superficie medesima. Dato un campo vettoriale E, il flusso del campo E attraverso la superficie A e definito come: Φ E A EA E EAcosϑ

3 Flusso di E attraverso una superficie Φ E n i1 E A i i Φ E? E Area da da e'un elemento di superficie infinitesimo A i 0

4 Flusso attraverso una superficie chiusa una superficie chiusa divide lo spazio in due regioni (interna ed esterna alla superficie). Per definizione la direzione dell elemento di area da e sempre perpendicolare ed uscente dalla superficie.

5 Campo Vettoriale esterno ad una superficie chiusa Il flusso netto è zero perchè ogni linea di campo che entra nella superficie è poi uscente. Dimostrarlo!

6 Carica netta all interno della superficie Una carica netta (-Q + Q) -Q e contenuta all interno della superficie A, producendo il flusso del campo elettrico attraverso la superficie

7 Prodotto Scalare e Prodotto Vettore I Prodotto Scalare: Applicazione che va dallo spazio prodotto R 3 xr 3 in R tale che: 3 AB AB AB, j 1 j j Norma di un Vettore: Applicazione che va dallo spazio dei vettori R 3 nello spazio dei Reali positivi R + definito come: 3 A AA, A j 1 j Prodotto Vettore: Applicazione che va dallo spazio prodotto R 3 xr 3 nello spazio dei vettori R 3, definito dalla relazione: xˆ yˆ zˆ A B A A A x y z B B B x y z

8 Prodotto Scalare e Prodotto Vettore II AB j 3, AB AB A B cos θ j 1 j j AB xˆ yˆ zˆ A B A A A uˆ A B sinθ x y z AB AB B B B x y z A u AB q AB B

9 Inversione del sistema di coordinate z x P(x,y,z) y y P x z Pxyz (,, ) P( x, y, z) ( )

10 Scalari,Pseudoscalari,Vettori,Pseudovettori Scalare: elemento appartenente ad R invariante per Inversione del sistema di coordinate; Pseudoscalare: elemento appartenente ad R che cambia segno per inversione del sistema di coordinate Vettore: Elemento dello spazio R 3 che cambia segno per inversione del sistema di coordinate; Pseudovettore: Elemento dello spazio R 3 che non cambia segno per inversione del sistema di coordinate; ESERCIZIO Dimostrare che dati due qualsiasi vettori nello spazio: il loro prodotto scalare è commutativo; il loro prodotto scalare da sempre uno scalare; il loro prodotto vettoriale è anticommutativo; il loro prodotto vettoriale da sempre uno pseudovettore;

11 Operatori Matematici (I) Nabla xˆ + yˆ + zˆ Gradiente: Operatore che va dallo spazio dei Campi Scalari nello spazio dei Campi Vettoriali, definito dalla relazione: Φ Φ Φ Φ gradφ xˆ+ yˆ+ zˆ x y z Divergenza: Operatore che va dallo spazio dei Campi Vettoriali nello spazio dei Campi Scalari, definito dalla relazione: x y z A A A x y z x y A diva + + Rotore: Operatore che va dallo spazio dei Campi Vettoriali nello spazio dei Campi Pseudovettoriali, definito dalla relazione: xˆ yˆ zˆ A Rot A / x / y / z A A A x y z z

12 Formule di calcolo vettoriale Alcune proprietà dei Prodotti Scalari e Vettoriali: a ( b c) b ( c a) c ( a b) a ( b c) ( a c) b ( a b) c ( a b) ( c d) ( a c)( b d) ( a d)( b c) Alcune Proprietà dell Operatore Nabla: ψ 0 ( A) 0 ( A) ( A) A ( ψ A) A ψ + ψ A ψ A ψ A+ ψ A ( )

13 FISICA GENERALE II, FISICA GENERALE II, Cassino A.A. 004 Cassino A.A Carmine Elvezio Pagliarone Operatore di Laplace (laplaciano) z y x z z y y x x z z y y x x L operatore di Laplace o laplaciano e una applicazione che va dallo spazio dei campi scalari nello spazio dei campi scalari definito come z y x Φ + Φ + Φ Φ Φ

14 Operatori Matematici II Laplaciano (applicazione che va da un Campo Scalare in un campo Scalare): Φ Φ Φ x + Φ y + Φ z Dalambertiano (applicazione che va da un Campo Scalare in un campo Scalare): Φ 1 c t Φ Il Dalambertiano esprime una generica equazione la cui soluzione è un onda o più in generale un fenomeno ondulatorio: Φ 0 Φ f

15 Laplaciano e Dalambertiano di Campi Vettoriali L operatore di Laplace può essere generalizzato in modo da agire anche sui campi vettoriali: E + + E x y z xˆ E + yˆ E + zˆ E xˆ E x y z j j j 1 Di conseguenza è possibile scrivere il dalambertiano per un campo vettoriale nella maniera seguente: 3 1 E E xˆ j E c t j 1 3 ( ) j

16 Teorema di Gauss della Divergenza Dato un qualsiasi campo vettoriale E, l integrale sul volume della divergenza del campo E e uguale al flusso del campo attraverso la superficie che ne delimita il volume. Φ E E da Superficie Volume div E dv E E x x + E y y + E z z

17 Teorema di Stokes Dato un qualsiasi campo vettoriale C, l integrale lungo una curva chiusa di C e uguale al flusso del Rot C attraverso la superficie (A) delimitato dalla curva chiusa in oggetto. L C dl ( C) da' A da ' dl xˆ yˆ zˆ C / x / y / z C C C x y z

18 Legge di Gauss per il Campo Elettrico Il Flusso del Campo Elettrico F E attraverso una superficie chiusa contenente una carica netta Q tot e proporzionale a Q tot. q ˆ cos cos Ω R E da E nda K ϑda ϑda Rd Qcosα Q Φ E Ω R R E da K da K R d π KQ F E non dipende: dalla posizione delle cariche all interno della superficie; La forma della superficie. 4

19 Esempio: Qual e il flusso del campo elettrico F E prodotto da una carica di un 1.0 C posta al centro di una sfera di 1.0 m? Domande: Cosa succede al Flusso se la sfera viene dimezzata? raddoppiata? se la carica viene posta in un altra posizione?

20 Carica Q posta nel centro di una Sfera Φ E E da (E da, E E(r)) E da Φ E kq r ( 4πr ) 4πkQ k 4πε o 1 Φ E Q ε o

21 z E(x,y,z) Legge di Coulomb (osservatore) x x P x x O Caso Discreto y Caso Continuo x N Ex ( ) k q Q N q j 1 j j 1 j x x x x j j 3 E ( x) Q K V ρ V ρ( x') 3 ( x') dx' x x' x x' 3 d 3 x'

22 Legge di Gauss in forma differenziale Prima Equazione di Maxwell Φ E volume 3 3 E da 4πQtot 4 π ρ( xdx ) divedx Superficie volume volume 3 (4 πρ( x) dive) d x 0 div E 4πρ La Legge di Gauss (forma integrale o differenziale) vale per qualsiasi Campo con dipendenza ~1/R La Legge di Gauss vale anche per il Campo Gravitazionale.

23 Campi Conservativi? Irrotazionali Dato un qualsiasi campo vettoriale A, se l integrale lungo una curva chiusa (C) di A fa zero allora il campo e irrotazionale. C C dl ( C) da 0 S Poichè questa relazione vale per qualsiasi S allora l integrando deve essere identicamente uguale a zero: C 0

24 Es: Campo Elettrico in prossimita di una Linea di carica Determinare la forma analitica del campo elettrico prodotto da un filo di lunghezza infinita avente una distribuzione uniforme di carica?. Occorre scegliere una opportuna geometria che tenga conto della simmetria del problema

25 Lezioni L3.b 1. Campi Conservativi;. Equazione di Poisson e di Laplace; 3. Condizioni al contorno: esistenza ed unicità della soluzione; 005 Carmine E. Pagliarone

26 Teorema dei Campi Conservativi Dato un Campo equivalenti: vettoriale E, le proposizioni seguenti sono Il campo e conservativo ; Esiste una primitiva del campo: Φ / E Φ l integrale lungo una curva chiusa di E f a zero: E dl 0 il lavoro del campo non dipende dagli estremi; il campo e e irrotazionale: E 0 dal percorso ma solo 005 Carmine E. Pagliarone

27 Potenziale Elettrico e Rot E0 Il campo elettrico per una densità di carica è: E ( x) K si dimostra che l integrando può scriversi come: Riscriviamo il campo allora: ( ) 0 Poichè: ψ si conclude che il Campo Elettrostatico è irrotazionale e pertanto conservativo: V ρ( x') x x' x x' 005 Carmine E. Pagliarone 3 d x x' 1 3 x x' x x' ρ( x ') Ex K dx x x' 3 ( ) ' V E 0 3 x'

28 x z O N Ex ( ) k q Q x Φ ( x) E(x,y,z) N q j 1 j x j 1 j q j x x Summa Elettrostatica j Caso Discreto x xj 3 x x j y P E ( x) K Φ( x) Q V ρ x x E 0 Φ / E Φ E 4πρ E da 4π Q S Φ 4 πρ, Φ 0 V Caso Continuo x x' 3 ρ( x') d x' 3 x x' ρ( x') d 3 x' x x' 3 ( x') dx' Tot

29 L Equazione di Poisson-Laplace Determiniamo il Campo Elettrico nota la configurazione delle sorgenti e delle superfici conduttrici di contorno 005 Carmine E. Pagliarone

30 L Equazione di Poisson-Laplace E 4πρ E 0 E Φ E Φ ( ) Φ E 4πρ Φ Φ 4πρ Φ Carmine E. Pagliarone

31 L Equazione di Poisson-Laplace Se i problemi dell Elettrostatica contenessero solo cariche localizzate senza superfici di contorno non avremmo bisogno di fare ricorso alle Equazioni di Poisson-Laplace Laplace. Il nostro problema ammetterebbe infatti la seguente soluzione (caso discreto e continuo): q j ρ( x') Φ ( x) Φ( x) d 3 x' x x x x' j In generale i problemi contengono regioni di spazio con cariche localizzate e distribuzioni di carica nonche con superfici di contorno sulle quali sono assegnate condizioni particolari. 005 Carmine E. Pagliarone

32 Condizioni al Contorno Condizioni al Contorno: Condizioni al contorno di Dirichlet: Definizione del potenziale sulla superficie di contorno: Φ( x ) Condizioni al contorno di Neumann: Definizione del Campo Elettrico sulla superficie di contorno: Ex ( ) Condizioni al contorno di Cauchy: Definizione del Campo e del Potenziale sulla superficie di contorno: Per il problema di Dirichlet e di Neumann LA SOLUZIONE ESISTE ED E E UNICA; Il Problema di Cauchy e e sovradeterminato. 005 Carmine E. Pagliarone f g Φ ( x) f Ex ( ) g

33 Il Campo Elettrico all interno di una superficie chiusa conduttrice priva di cariche e nullo. Φ 0 - Le cariche sono all esterno esterno; - Φ0 all interno della superficie; - un teorema assicura esistenza ed unicita della soluzione per il problema di Dirichlet e di Neumann; Φ kost - Poiche la soluzione e unica allora per l unicita della soluzione: Φ kost E Φ all erno 'int Carmine E. Pagliarone

34 Campi Elettrici e Conduttori Nei conduttori la carica e libera di muoversi e pertanto si muovera sotto l influenza delle forze elettriche fino a che la risultante delle forze, punto per punto, nel contuttore non si annullera. Il campo elettrico all equilibrio, all interno di un conduttore e zero: E0. In un conduttore la carica netta deve essere superficiale.

35 Schermaggio Elettrostatico Un campo Elettrico non puo penetrare all interno di una superficie conduttrice chiusa (E0 all interno) Gabbia di Faraday Es.: l interno di un auto o di un aereoplano, l esterno di un forno a microonde. No vi puo essere carica elettrica netta all interno di una gabbia di Faraday posta in un campo elettrico esterno.

36 Conduttori in Equilibrio Elettrostatico Le cariche sono libere di muoversi nei conduttori. Conseguenze: la carica risiede sulla superficie dei conduttori; il Campo Elettrico e zero ovunque all interno del conduttore; Il Campo Elettrico e sempre perpendicolare alla superficie e tutte le linee di campo hanno lo stesso verso; Per oggetti di forma irregolare il campo elettrico e maggiore dove la curvatura e maggiore ed E e concentrata in prossimita delle punte.

37 Appena all esterno di un conduttore il Campo Elettrico e perpendicolare alla superficie ed e : E 4ps E nˆ da S 4π V ρ dv A n E n + A p E p A p E p + 0 4πσA n E 4πσ nˆ 005 Carmine E. Pagliarone

38 verso le Equazioni di Maxwell E 4πρ B E B c 1 c E t B t 4π c 0 J 005 Carmine E. Pagliarone

39 Summa per il Campo Elettrico x x ( x) k q j j x x j E 3 Φ E E Φ ( x) 4π 0 q j x x j j q j j E ( x) K 005 Carmine E. Pagliarone V Φ( x) ρ( x') x x' x x' div E 4πρ Φ E Φ Φ ρ( x') d 3 x' x x' 4πρ 0 3 d 3 x'

40 Teorema della Divergenza Dato un qualsiasi campo vettoriale E, l integrale sul volume V della divergenza del campo E e uguale al flusso del campo attraverso la superficie A che delimita il volume V. Φ E E da Superficie Volume div E dv Teorema di Stokes A dl da ' Dato un qualsiasi campo vettoriale C, l integrale lungo una curva chiusa (L) di C e uguale al flusso del Rotore di C attraverso la superficie (A) delimitata dalla curva chiusa in oggetto. dl L L C dl C da A ( ) ' L A da' A