6b_EAIEE_ CAMPI ARMONICI NEL TEMPO. Campi armonici nel tempo

Transcript

1 6b_AI_ CAPI ARONICI NL TPO (ultima modifica 09/11/017) Campi armonici nel tempo Le funzioni temporali relative alle grandezze che definiscono un campo dipendono dalle funzioni delle sorgenti e J. In ingegneria le funzioni delle sorgenti sinusoidali nel tempo hanno una larga applicazione, infatti: tutte le funzioni periodiche nel tempo possono essere sviluppate in serie di Fourier di componenti armoniche sinusoidali e le funzioni transitorie non periodiche possono essere espresse come integrali di Fourier o trasformate di Fourier.. Usai 6b_AI_ CAPI ARONICI NL TPO 1

2 Poichè le equazioni di axwell sono equazioni differenziali lineari, le variazioni sinusoidali nel tempo delle funzioni sorgenti per una data frequenza, produrranno variazioni sinusoidali di e H con la stessa frequenza in regime permanente. Per i sistemi lineari con funzioni sorgenti variabili nel tempo con andamento che soddisfi le condizioni di Dirichlet, i campi elettrodinamici possono essere determinati in funzione di quelli generati dalle componenti alle diverse frequenze delle funzioni sorgenti. Infatti per i sistemi lineari, è possibile applicare il principio di sovrapposizione degli effetti, determinando in tal modo il campo totale dovuto ai contributi di tutte le componenti.. Usai 6b_AI_ CAPI ARONICI NL TPO

3 I campi armonici nel tempo sono i campi che variano con legge periodica sinusoidale. Le grandezze che li caratterizzano sono convenientemente espresse con la notazione fasoriale. I vettori di campo che variano con le coordinate spaziali e variano nel tempo con legge sinusoidale, possono essere rappresentati con fasori vettoriali, che dipendono dalle coordinate spaziali, ma non dal tempo. Per esempio un campo armonico nel tempo riferito a una cosinusoide, può essere espresso come un vettore rotante con pulsazione costante ω: ( x, y, z, t) ( x, y, z) e jt e quindi come un fasore (x,y,z), definito per ciascun punto P in direzione, modulo e fase iniziale in funzione delle sole coordinate spaziali (x,y,z).. Usai 6b_AI_ CAPI ARONICI NL TPO 3

4 Infatti una funzione sinusoidale (t)= sin(t+) o cosinusoidale (t)= cos(t+), è completamente definita da tre parametri (ampiezza, pulsazione, fase ). Le operazioni con le grandezze sinusoidali possono semplificarsi trasformando: l insieme delle funzioni sinusoidali S in un insieme di funzioni complesse C con una corrispondenza biunivoca. Rappresentazione cosinusoidale u(t)=u cos( t+ ) Rappresentazione complessa U=U(jt)=U e j( t+ ). Usai 6b_AI_ CAPI ARONICI NL TPO 4

5 Rappresentazione cosinusoidale Rappresentazione complessa ricordando che cos * e j ( t) cos( t ) e j e ( t) cos( t ) j( t ) ( jt ) e si ha: e e e e e j jt j jt j t j t jt jt * e e Re e con e e e jt j j Infatti se I I R ji I si ha: * I I I ji I ji I Re I R I R I R * I I I ji I ji ji j Im I R I R I I. Usai 6b_AI_ CAPI ARONICI NL TPO 5

6 ( t) cos( t ) * e e e e e e j jt j jt j t j t jt jt * e e Re e con e e e jt j j (t)= sen(t+) e j t e j t (t+) e jt (t)= cos(t+). Usai 6b_AI_ CAPI ARONICI NL TPO 6

7 I fasori sono grandezze complesse per cui: se il campo (x,y,z,t) é rappresentato da un fasore (x,y,z), allora t (x,y,z,t) e (x,y,z,t)dt l operatore derivata e l operatore integrale di un fasore, si potranno rappresentare moltiplicando e dividendo rispettivamente il fasore per j : j (x,y,z) (x,y,z)/ j in generale derivate e integrali temporali di ordine superiore n di (x,y,z) potranno essere rappresentati rispettivamente moltiplicando e dividendo (x,y,z) per potenze superiori di ordine n di j.. Usai 6b_AI_ CAPI ARONICI NL TPO 7

8 Le equazioni di axwell per Campi armonici nel tempo in termini di fasori delle grandezze di campo,h e fasori delle grandezze sorgenti,j in un mezzo lineare, isotropo e omogeneo: δ B δ t D H J t Le equazioni delle onde armoniche nel tempo per il potenziale scalare V e il potenziale vettore A diventano rispettivamente: A k A μj k ω με jb jμh H J jd J jε esse sono le equazioni di Helmholtz non omogenee. D / B 0 H 0 essendo V k V ρ ε essendo k il numero d'onda ω u D ε. Usai 6b_AI_ CAPI ARONICI NL TPO 8

9 Infatti le equazioni delle onde armoniche nel tempo o equazioni di Helmholtz non omogenee si ottengono dalle espressioni generali: con A A με t μj V V με t ρ ε jω ω με ω A με V με ω jω u k jω A μj V ρ ε V k V ρ ε essendo k il numero d'onda ω u A k A μj k ω με. Usai 6b_AI_ CAPI ARONICI NL TPO 9

10 CAPI ARONICI NL TPO La condizione di Lorentz per i potenziali dei campi armonici nel tempo diventa: ρ J V A με 0 A j V 0. t Le soluzioni fasoriali delle equazioni di Helmholtz non omogenee per le grandezze armoniche nel tempo si determinano dalle espressioni più generali del potenziale scalare ritardato V e vettoriale ritardato dove; la variabile temporale t è stata modificata nella variabile temporale t-r/u per considerare il ritardo temporale R/u, legato a R, ossia alla posizione del punto P: V R,t 1 4πε R u essendo la densità di carica ρ e la densità di corrente J grandezze sinusoidali : t R/u ρ sin ω t ρ sin ωt ρ sin ωt kr V' ρ t R/u R R u dv' t R/u Jsin ω t J sin ωt J sinωt kr e A. Usai 6b_AI_ CAPI ARONICI NL TPO 10 R,t ωr u ωr u μ 4π A V' J t R/u R dv' k ω u ω k u

11 Riassumendo : CAPI ARONICI NL TPO le soluzioni fasoriali delle equazioni di Helmholtz non omogenee per le grandezze armoniche nel tempo si ottengono dalle equazioni: V R,t 1 4πε V' ρ t R/u R dv' e A R,t μ 4π V' J t R/u R dv' ρ J t R/u ρ sin ωt kr t R/u J sinωt kr k ω u ω k u V 1 4πε R, t dv' AR,t dv' V ' ρe R jkr μ 4 π Je R. Usai 6b_AI_ CAPI ARONICI NL TPO 11 V' jkr

12 Le espressioni del potenziale scalare ritardato e del potenziale vettoriale ritardato dovute alle sorgenti armoniche ρ e J V possono essere ulteriormente semplificate se. Infatti essendo lo sviluppo in serie di Taylor del fattore esponenziale uguale a: dove k può essere espresso i funzione della lunghezza d onda del mezzo: 1 4πε R, t dv' e jkr k R V ' ρe R jkr AR,t dv' 1 jkr k f u u R quindi se μ 4 π Je R o se, l esponenziale può essere approssimato a 1. e jkr j k R kr R k R V'... jkr R 1, u f. Usai 6b_AI_ CAPI ARONICI NL TPO 1

13 Quindi se la distanza R é molto piccola rispetto alla lunghezza d onda, le formule si riducono a quelle valide in condizioni quasi statiche: V 1 4πε R, t dv' A R,t dv' V ' ρ R μ 4 π V' J R Ciò verifica la validità e la generalità del metodo.. Usai 6b_AI_ CAPI ARONICI NL TPO 13

14 La procedura formale per la determinazione dei campi elettrici e magnetici dovuti a correnti e distribuzioni di cariche armoniche é la seguente: 1) determinazione di V(R,t) e in funzione di ρ e J dalle equazioni: jkr jkr 1 ρe μ Je V R, t dv' AR,t dv' 4πε R 4 π R V ' ) calcolo delle grandezze di campo fasoriali: A R, t A R V jωa e B R 3) calcolo delle grandezze nel dominio del tempo (valori istantanei con riferimento al coseno) : R, t R e jt e e BR t BR, e V' e jt Il grado di difficoltà del problema dipende dalla difficoltà di risoluzione delle integrazioni al punto 1).. Usai 6b_AI_ CAPI ARONICI NL TPO 14

15 Campo armonico nello spazio privo di sorgenti In un mezzo semplice non conduttore, privo di sorgenti: ρ 0, J e σ 0; Le equazioni di axwell si riducono alle seguenti: 0 jω H H J jω H jω H jω D ρ B 0 ε H 0 ρ se ρ 0 0 H 0. Usai 6b_AI_ CAPI ARONICI NL TPO 15

16 H jω H jω H Analogamente ai campi non armonici, queste equazioni possono essere combinate per ottenere equazioni del secondo ordine alle derivate parziali espresse in funzione della singola o H Infatti per le proprietà dei vettori, per il campo essendo: 0 0 si ottiene, A A A se A 0 A A ( jh ) j H j j j. Usai 6b_AI_ CAPI ARONICI NL TPO 16 0

17 H Analogamente per il campo : jω H H jω H 0 0 A A A se A 0 A A H H ( j ) H j H j j H H j H H H H 0. Usai 6b_AI_ CAPI ARONICI NL TPO 17

18 . Usai 6b_AI_ CAPI ARONICI NL TPO 18 Le equazioni vettoriali omogenee ottenute sono le equazioni di Helmholtz per i campi armonici: essendo: H k H k H H ω u ω k

19 Si noti che se,h sono soluzioni delle equazioni di axwell in un mezzo semplice caratterizzato da e, allora anche ',H' lo sono se: ' ηh (***) dove é l impedenza intrinseca del mezzo. Infatti é facilmente dimostrabile che le equazioni di axwell per un mezzo semplice privo di sorgenti, sono invarianti per le trasformazioni lineari specificate nelle relazioni (***). Questa é una affermazione del principio di dualità. e Questo principio é una conseguenza della simmetria delle equazioni di axwell in un mezzo semplice privo di sorgenti. H' - η. Usai 6b_AI_ CAPI ARONICI NL TPO 19

20 Campo armonico in un mezzo conduttore Se in un mezzo la densità di corrente é e il mezzo è dissipativo, la densità di corrente è legata al campo elettrico dalla relazione: J, dove σ è la conducibilità del mezzo. La prima equazione di axwell considerata nella forma completa, comporta che la permettività ε sia complessa, infatti : H J jd con D σ H J jω σ jω jω ε jωεc jω H J jωεc σ ω con εc ε -j ' " F j m Le altre equazioni di axwell rimangono invariate.. Usai 6b_AI_ CAPI ARONICI NL TPO 0

21 Campo armonico in un mezzo conduttore In realtà occorrerebbe tener conto anche della componente sfasata della magnetizzazione sotto l influenza di un campo magnetico esterno tempo-variante, per cui alle alte frequenze: ' j'' Nei materiali ferromagnetici la parte reale ' è alcuni ordini di grandezza più grande rispetto alla parte immaginaria ' ' e quindi l effetto della parte immaginaria è praticamente trascurabile, ' ' 0.. Usai 6b_AI_ CAPI ARONICI NL TPO 1

22 Quindi nelle equazioni di axwell, il valore reale di k in un mezzo dielettrico con perdite, è un numero complesso: Il rapporto ε" ε' k c ω μ εc é chiamata tangente di perdità perché é una misura della perdita di potenza nel mezzo: c può essere chiamato angolo di perdita. ε" σ tan δ. c ε' ωε Si può dimostrare che la tangente di perdita equivale a: tan c l energia dissipata/ per ciclo della grandezza dicampo l energia elettrostatica accumulata/ per ciclo della grandezza dicampo. Usai 6b_AI_ CAPI ARONICI NL TPO

23 In base alla espressione di H J jd J H jε εc ε -j J si può affermare che per i campi armonici: un mezzo è detto buon conduttore se >> e un mezzo è detto buon isolatore se >>. e alla I equazione di axwell: Quindi, essendo =f, un materiale può essere un buon conduttore alle basse frequenze, ma può avere le proprietà di un dielettrico con perdite, alle alte frequenze. σ ω D t per i campi jε j armonici : j ε j c. Usai 6b_AI_ CAPI ARONICI NL TPO 3

24 Inoltre essendo: D ε c J σ Su tutti i punti di un campione di materiale caratterizzato da una conducibilità σ e una permettività ε c, un campo induce: sia un vettore spostamento D che comporta una energia elettrostatica accumulata sia una densità di corrente che comporta una dissipazione di potenza per effetto joule J. Usai 6b_AI_ CAPI ARONICI NL TPO 4

25 H J D t H J jd J jε jε j j ε j c Quindi essendo: D ε c J σ se ωε >> σ un campo elettrico induce nel materiale un vettore spostamento D prevalente rispetto alla densità di corrente J, per cui prevale il comportamento della materia come isolante che consente un accumulo di energia elettrostatica. se ωε << σ un campo elettrico induce nel materiale una densità di corrente J prevalente rispetto al vettore spostamento D, per cui prevale il comportamento della materia come conduttore con una dissipazione di energia legata alla resistività del mezzo.. Usai 6b_AI_ CAPI ARONICI NL TPO 5

26 Per esempio considerando che la tangente di perdita per la terra umida che è caratterizzata da una costante dielettrica ε r =10 e una conduttività σ che sono circa uguale 10 - [S/m]. La tangente di perdita della terra umida sarà: tan δ tan δ c c ε'' ε' σ ωε σ ωε 0 ε π f per i segnali r per i segnali con con f f 1 1GHz 1kHz 10 è un buon conduttore diventa un isolatore. Usai 6b_AI_ CAPI ARONICI NL TPO 6

27 Spettro elettromagnetico Si possono evidenziare due punti fondamentali: le equazioni di axwell e quindi le equazioni di Helmholtz sono valide per onde di frequenza qualsiasi. sse sono state verificate sperimentalmente per tutto lo spettro elettromagnetico ossia per valori della frequenza che vanno da frequenze molto basse, sino ai raggi X e gamma ( f >10 18 Hz). In un mezzo privo di perdite tutte le onde elettromagnetiche di un qualsiasi campo di frequenza, si propagano con la stessa velocità, u è un operatore scalare e dipende solo dalla natura del mezzo: u 1/ In un mezzo con perdite, u dipende anche dalla frequenza e anche dalla conducibilità del mezzo σ u è un operatore complesso: essendo μ μ' j'' e ε ε σ j ω. Usai 6b_AI_ CAPI ARONICI NL TPO 7 u 1

28 Rays X rays Ultraviolet Visible light Infrared mm wave HF SHF UHF VHF HF F LF VLF ULF SLF LF xtremely high frequency Super high frequency Ultra high frequency Very high frequency High frequency edium frequency Low frequency Very low frequency Ultra low frequency Super Low frequency xtremely low frequency. Usai 6b_AI_ CAPI ARONICI NL TPO 8

29 rays X rays Ultraviolet Visible light Infrared m wave HF xtremely high frequency SHF Super high frequency UHF Ultra high frequency VHF Very high frequency HF High frequency F edium frequency LF Low frequency VLF Very low frequency ULF Ultra low frequency SLF Super Low frequency LF xtremely low frequency VL. Usai 6b_AI_ CAPI ARONICI NL TPO 9

30 . Usai 6b_AI_ CAPI ARONICI NL TPO 30