Capitolo 1 (ultimo aggiornamento 04/05/04) 1.1 Rappresentazione della grandezza a(t) funzione sinusoidale del tempo

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1 Capitolo 1 (ultimo aggiornamento 04/05/04) 1.1 Rappresentazione della grandezza a(t) funzione sinusoidale del tempo A M valore massimo Am valore medio Fig.1.1 a t A M sin t valore medio in un semiperiodo o valor medio "raddrizzato" Am T 1 T a t dt 2 0 A M 1 T/2 T/2 AM sin tdt A 0 M valore efficace K fattore di forma A eff A 1 T 0 T AM 2 sin 2 tdt A M 2 K Am A A M 2 2A M formule di Eulero e j cos j sin e j cos j sin e j /2 j e j /2 j 1 j 1

2 1.2 Trasformata di Steinmetz-fasori e rappresentazione vettoriale Si può stabilire una corrispondenza biunivoca senza eccezioni tra i punti del piano (0,r) e le funzioni sinusoidali a t A M sin t. In questo modo si possono trasformare operazioni analitiche in semplici operazioni algebriche. rappresentazione vettoriale Fig.1.2 a t ŌP ovvero A ( di modulo pari ad A M o A eff e anomalia fasori Numero complesso a t Aexp j Ae j Fig.1.3 a t Ae j A cos j sin x jy x Acos y Asin Operazione con i vettori Somma algebrica di funzioni sinusoidali: a t b t c t 2

3 somma dei vettori: Ā B C Somma dei numeri complessi: Fig.1.4 a t x jy b t z jw c t a t b t x z j y w h jk Somma dei fasori a t Ae j b t Be j dove Prodotto tra fasori a t b t c t Ae j Be j Ce j C Acos Bcos 2 Asin Bsin 2 arctg Asin Bsin Acos Bcos a t b t A M sin t B M sin t A M B M sin t sin t cos cos t sin A M B M cos sin 2 t A M B M sin sin t cos t A M B M cos 1-cos 2 t A M B M sin sin 2 t 2 2 N.B. Si è passati dal piano delle al piano delle 2. In questo caso non vi è più la corrispondenza biunivoca. 3

4 Derivazione a t A M sin t da t dt A M cos t A M cos t cos sin t sin Ricordando che: Ā A M o A : lunghezza vettore : anomalia del vettore A A M o A : lunghezza vettore : anomalia del vettore 2 si ha: e j 2 cos 2 j sin 2 a t a jb Ae j Ā D a t j a jb b j a A e j e j 2 A e j 2 Ae j 2 Fig.1.5 Integrazione a t A M sin t a jb Ae j D 1 a t a t dt 1 A M sin t d t 1 A M cos t 4

5 D 1 a t 1 j a jb A ej /2 A j ej j A ej Prodotto per uno scalare Fig.1.6 vettori: Moltiplicando il vettore Ā per uno scalare k si ottiene: kā cioè un vettore con la stessa direzione e verso ma lunghezza kā. num.complessi: Moltiplicando il numero complesso x jy per uno scalare k si ottiene: k x jy kx jky fasori: Moltiplicando il fasore Ā per uno scalare k si ottiene: C kā kae j Ce j Complesso coniugato w a jb w a jb W We j W We j 5

6 Fig.1.7 Prodotto di un vettore per una costante ż Moltiplicare un vettore Ā per una costante complessa ż x jy significa moltiplicare il modulo di Ā per lo scalare ż eruotareilvettoreā di un angolo pari a arctg y x Fig.1.8 Posto: Ā h jk e ż x jy si ha: B żā h jk x jy hx ky j kx Fasori: Ā Ae j e ż ze j B żā zae j Prodotto di un fasore per il coniugato di un secondo fasore P Ā B Ae j Be j ABe j ABe j ABcos jabsin 6

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8 1.3 Circuito elementare "RC" Fig.1.9 Con riferimento alla figura 1.9, con v t V M sin t, alla chiusura del tasto "T", l equazione della maglia sarà: v t Ri t 1 C i t dt La corrente, in transitorio, ha una legge di variazione del tipo: itrans t k 1 e t dove RC è la costante di tempo. A regime, dopo 4-5 volte, se R e C sono indipendenti dal tempo, la corrente i t sarà necessariamente del tipo i t Imsin t. 1. Risoluzione mediante sviluppo analitico V M sin t RI M sin t C 1 M cos t RI M sin t C 1 M sin t 2 RI M sin t cos... da cui si ricava: I M V M R 2 1 C 2 arctg 1 CR 2. Risoluzione con i numeri complessi V RĪ 1 j C Ī R jx Ī ŻĪ ove I V Ż R j 1 C e arctg 1 CR e R 2 1 C 2 Ī V Ż 8

9 3. Risoluzione con i vettori Fig.1.10 V V R V C ove V R RĪ e V C 1 j C Ī La corrente anticipa rispetto alla tensione! 4. Risoluzione con i fasori V RIe j C 1 Iej e j 2 R j C 1 arctg CR 1 I V R 2 1 C 2 Definizioni: X reattanza (X 0 capacitiva C 1 Y 1 Ż ammettenza Iej ZIe j Y 1 R jx R R 2 X 2 j X R 2 X 2 G jb G conduttanza R R 2 X 2 1 B suscettanza X R 2 X 2 1 dove 1 S Siemens 9

10 1.4 Circuito elementare "RL" Fig.1.11 Con riferimento alla figura 1.11, con: R resistenza X reattanza (X 0 induttiva L Ż impedenza v t Vm sin t alla chiusura del tasto "T", l equazione della maglia diviene: v t Ri t L di t dt Risolvendo l equazione integrale si avrà: i t Ī 0 e t I M sin t Con I 0 calcolato in funzione delle condizioni iniziali e L R costante di tempo del circuito. A regime, dopo 4-5 volte, se R e L sono costanti la corrente può essere determinata come segue: 1. Risoluzione mediante sviluppo analitico Vm sin t RIm sin t L di m sin t dt RIm sin t LIm sin t 2 RIm sin t cos cos t sin LIm sin t cos 2 cos t sin 2 Im Vm R 2 2 L 2 arctg L R N.B. Queste relazioni sono state ottenute eguagliando tra loro rispettivamente, ivalorimassimiel argomentodelsenoadestraeasinistradell uguaglianza. 10

11 1. Risoluzione con i numeri complessi V RĪ j LĪ R j L Ī ŻĪ Ī V Ż con Ż R jx e X L e arctg L R 2. Risoluzione con il calcolo grafico Fig.1.12 Il vettore corrente Ī ritarda rispetto alla tensione. Dal teorema di Pitagora, osservando la figura 1.12, si ha: V V 2 R V 2 L I R 2 2 L 2 da cui I V R 2 2 L 2 con arctg V L V R arctg L R 3. Risoluzione con i fasori Vexp j0 RI exp j LI exp j exp j 2 Vexp j0 RI exp j j LI exp j Vexp j0 R j L I exp j Ve j0 ŻIe j artg L R V ŻĪ Ż Ze j I V Z V R 2 2 L 2 11

12 1.5 Circuito "RLC" Fig.1.13 Nel caso di circuito RLC serie, alla chiusura del tasto "T" l equazione della maglia è: v t Ri t L di t dt C 1 i t dt La legge di variazione della corrente nel tempo è data da: i t i t trans i t perm. e costante di tempo: L R RC AregimeconR, L e C costanti, la corrente si determina come segue: V RĪ j LĪ j C 1 Ī R jx Ī con X L 1 C Ī V Ż V R jx Ī V Ż V V R V L V C In figura 1.14 la corrente anticipa rispetto alla tensione (carico capacitivo); in figura 1.15 la corrente ritarda rispetto alla tensione (carico induttivo). 12

13 1.5.1 Impedenze e ammettenze - in serie - in parallelo Fig.1.16 Ż S n i 1 Ż i 1 n 1 Y i 1 S Y i esempio caso di n 2: Fig Żp n 1 i 1 Ż i Y p n i 1 Y i Żp Ż 1 Ż 2 Ż 1 Ż 2 Y p Y 1 Y 2 Żs Ż 1 Ż 2 Y s Y 1 Y 2 Y 1 Y 2 13

14 1.6 Circuiti risonanti Serie V R j L 1 C Fig.1.18 Condizioni di risonanza: L impedenza del circuito di fig.1.14 è data dalla: Ż R j L C 1 il modulo e l argomento sono rispettivamente: Z R 2 L 1 C Ī V R V C V L RĪ j LĪ 1 j C Ī 2 ; arctg L 1 C R Il modulo e l argomento sono funzioni della pulsazione. La pulsazione 0 per la quale le due reattanze si eguagliano è la pulsazione di risonanza. 0 L 1 0 C 0 1 LC In tali condizioni il modulo dell impedenza assume il valore minimo Z R, mentre l argomento è nullo 0 elacorrentedelcircuitoèmassima. Fig.1.19 Il diagramma fasoriale in condizioni di risonanza dimostra che il circuito si 14

15 comporta come una resistenza di valore R che assorbe solo potenza attiva. Fig.1.20 Fig.1.21 Si definisce fattore di merito di un circuito RLC in serie: Q 0 1 R L C 0 L R 1 0 RC In risonanza: Q 0 0 LI RI Q 0 V L V I 0 CRI V C V In un circuito risonante in serie, per Q 0 1, la d.d.p. ai capi dei componenti reattivi è superiore a quella dell alimentazione. 15

16 1.6.2 Risonanza parallelo o antirisonanza da cui Fig.1.22 Ī Ī R Ī L Ī C Y p Y 1 Y 2 Y 3 1 R 1 j L j C Ī ĒY p Ē R Ē j L j CĒ Ī R Ī L Ī C in risonanza: Ī L Ī C j L Ē j CĒ 1 C j L 0 1 LC In antirisonanza il circuito presenta la massima impedenza. Fig.1.23 Fig.1.24 fattore di merito di un circuito RLC in parallelo Q 0 R C L 0 RC R 0 L In antirisonanza: Q 0 VR 0 LV I L I Q 0 0 RCV I C V I se Q 0 1 I L e I C I 16

17 cioè la corrente nell induttanza e nella capacità è superiore alla corrente erogata dal generatore. 1.7 Potenza elettrica In corrente continua (dc), in regime permanente, si ha: Fig.1.25 Utilizzatore: Pu RI 2 V R I V R R E E2 R Generatore: Pg EI P Joule sec Watt Watt In corrente alternata (ac), con v t V M sin t e i t I M sin t si ha: Ż R jx R j L 1 C Fig.1.26 arctg X R Ż Z R 2 X 2 p t v t i t V M sin t I M sin t p t VI cos VI cos cos 2 t VI sin sin 2 t composta dai termini : potenza attiva VI cos Watt potenza fluttuante VI cos cos 2 t VA 17

18 potenza reattiva VI sin sin 2 t VAR La potenza fluttuante e la potenza reattiva sono a valor medio nullo Algebra dei vettori per la determinazione delle potenze v t V i t Ī a) Potenza attiva: prodotto scalare P V Ī VI cos W ove cos prende il nome di fattore di potenza b) Potenza reattiva: prodotto misto Q k V Ī k Ā Ā VI sin in cui k è un versore unitario ortogonale al piano dei vettori V e Ī, Ā èun vettore con giacitura ortogonale al piano dei vettori V e Ī di modulo pari a VI sin. c) Potenza apparente Papp VI P 2 Q 2 VA d) Potenza complessa S P jq VA 1.8 Reti in regime periodico Data una funzione periodica a t a t nt con n 1,2,3... di periodo T e frequenza f 1/T, si possono avere le seguenti definizioni: valore efficace A 1 T T a t 2 dt valore medio Am T 1 T a t dt Una funzione periodica è detta alternata se Ao 0. Per una funzione alternata si definiscono: valore medio Am T 1 T a t dt 18

19 fattore di forma k f 2 2 k f per una sinusoide A Am Quando k f la funzione si definisce distorta Serie di Fourier Data una a(t), funzione periodica di periodo T e continua, anche a tratti, essa può essere rappresentata dalla sua serie di Fourier: a t A 0 n 1 AMn sin n t n A 0 n 1 a n t dove: A 0 1 T T a n t dt Am 2 T a t sin n t dt 2 T a t cos n t dt 2 a t cos n t dt n arctg T a t sin n t dt T Il valore efficace vale: A eff A2 0 n 1 A n Caratteri di simmetria a t alternata A 0 0 a t pari a t a t n 2 le armoniche sono tutti coseni! a t dispari a t a t n 0 le armoniche sono tutti seni! a t a t T cioè la funzione ha valori opposti nei due semiperiodi 2 A 0 0, A M2n 0 con n 1, 2,... cioè la serie ha solo armoniche dispari. Negli usuali calcoli, sono spesso sufficienti le prime 4 5 armoniche. Nel caso di azionamenti elettrici, però si arriva anche alla a armonica Bipoli lineari in regime periodico non sinusoidale Se u t U 0 n 1 u n t U 0 n 1 2 Un sin n t n 19

20 anche i(t) sarà: i t I 0 n 1 dove: U eff 2 In sin n t n I 0 n 1 U2 0 n 1 U n 2 i n t I eff I2 0 n 1 I n 2 con: potenza istantanea: potenza attiva: P U 0 I 0 n 1 p t u t i t P 1 T T p t dt U nin cos n P 0 n 1 con Pn UnIn cos n La potenza attiva è pari alla somma della potenze associate alle singole armoniche. potenza apparente S UI S è sempre maggiore di P per cui: U2 0 n 1 U n 2 I2 0 n 1 I n 2 P S cos che è la definizione del fattore di potenza in un sistema in cui vi è presenza di armoniche. P n 20