Lez.17 Bipoli in regime sinusoidale. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 17 Pagina 1

Transcript

1 Lez.17 Bipoli in regime sinusoidale Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 17 Pagina 1

2 L operatore impedenza L uso dei fasori consente di scrivere le caratteristiche dinamiche dei bipoli dotati di memoria in caratteristiche statiche nel dominio simbolico. Considerato il generico bipolo in regime sinusoidale i(t) v(t) con v(t) = V M sin(ωt + α) = 2 V sin(ωt + α) i(t) = I M sin(ωt + β) = 2I sin(ωt + β) Ad esso possiamo associare un bipolo nel dominio simbolico con V = Ve jα e I = Ie jβ, Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 17 Pagina 2

3 Con la convenzione dell utilizzatore, la sua caratteristica può essere scritta come: V = Z I V L operatore Z rappresenta l impedenza caratteristica del bipolo. Pur essendo un numero complesso, esso non è un fasore perché non rappresenta una grandezza sinusoidale nel dominio del tempo. L inverso dell impedenza è l ammettenza Y I I = Y V Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 17 Pagina 3

4 Impedenza. Z = V I = Vejα Ie jβ = V I ej(α β) = Ze jφ Z = V I e φ = α β a) Il modulo Z è pari al rapporto tra le ampiezze di tensione e corrente. b) L argomento φ è uguale alla differenza di fase tra tensione e corrente. E l angolo di ritardo della corrente rispetto alla tensione Inoltre: Z = Z(cosφ + jsinφ) = R + jx Con R =resistenza del bipolo e X reattanza del bipolo. e Z = X 2 + X 2 R = Zcosφ; X = Zsinφ φ = atan X R Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 17 Pagina 4

5 Impedenza di bipoli fondamentali Resistore Z = V = R = Re j0 = R + j0 I I V Induttore Z = V = jωl = ωle jπ 2 = 0 + jωl I V I Condensatore Z = V = 1 I = j = 1 jωc ωc ωc e jπ 2 = 0 j 1 ωc I V Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 17 Pagina 5

6 Ammettenza. Y = 1 Z = I V = Iejβ Ve jα = I V ej(β α) = Ye jφ Y = I V e φ = β α a) Il modulo Y è pari al rapporto tra le ampiezze di corrente e tensione. b) L argomento φ è uguale alla differenza di fase tra corrente e tensione. E l angolo di ritardo della tensione rispetto alla corrente Inoltre: Y = Y(cosφ + jsinφ ) = G + jb Con G =conduttanza del bipolo e B suscettanza del bipolo. e Y = G 2 + B 2 G = Ycosφ e B = Ysinφ φ = atan B G Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 17 Pagina 6

7 Ammettenza di bipoli fondamentali Resistore Y = I V = G = Gej0 = G + j0 Induttore Y = I V = 1 jωl = j ωl = 1 jπ ωl e 2 = 0 j 1 ωl Condensatore Z = I V = jωc = ωcejπ 2 = 0 + jωc Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 17 Pagina 7

8 Potenza in regime sinusoidale Per un generico bipolo in regime sinusoidale, con la convenzione dell utilizzatore, la potenza istantanea assorbita si esprime come: p(t) = v(t)i(t) = V M I M sin(ωt + α) sin(ωt + β) [W] Usando le formule di Werner: p(t) = 1 2 V MI M cos(α β) 1 cos(2ωt + α + β) 2 p(t) = 1 2 V MI M cos φ 1 2 V MI M cos(2ωt + α + β) Potenza media: P m = 1 V 2 MI M cos φ Potenza fluttuante p f (t) = 1 V 2 MI M cos(2ωt + α + β) Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 17 Pagina 8

9 La potenza media è costante nel tempo. Rappresenta il valore medio della potenza assorbita in un periodo P m = 1 T p(t) = 1 2 V MI M cosφ = VIcosφ T La potenza fluttuante è sinusoidale con pulsazione doppia rispetto a quella di tensione e corrente Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 17 Pagina 9

10 Tramite la potenza media è possibile calcolare l energia W ΔT assorbita dal bipolo in un intervallo di tempo ΔT molto lungo rispetto al periodo T, senza effettuare l operazione di integrazione della p(t). Infatti, scelto ΔT = (nt + αt) T con n intero e α < 1: W ΔT = p(t)dt ΔT = p(t)dt nt + p(t)dt αt W ΔT P m dt nt + p f (t)dt nt + p(t)dt αt W ΔT P m dt + p f (t)dt nt nt W ΔT P m ΔT Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 17 Pagina 10

11 Potenza istantanea in bipoli fondamentali Resistore p(t) = VI VI cos 2(ωt + α) [W] p(t) = RI 2 RI 2 cos 2(ωt + α) [W] Induttore p(t) = VI cos (2ωt + 2α π 2 ) [W] p(t) = ωli 2 cos (2ωt + 2α π 2 ) [W] Condensatore p(t) = VI cos (2ωt + 2α + π 2 ) [W] p(t) = ωcv 2 cos (2ωt + 2α + π 2 ) [W] Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 17 Pagina 11

12 Potenza complessa Nel dominio simbolico è possibile definire la potenza complessa come: A = 1 V I (convenzione dei valori massimi) 2 I è il coniugato del fasore I A = V I (convenzione dei valori efficaci) A = V I = Ve jα Ie jβ = VIe j(α β) = VI(cosφ + jsinφ) = VIcosφ + jvisinφ A = V I = Z I I = Z I 2 = RI 2 + jxi 2 A = V I = V (Y V ) = Y V V = Y V2 = GV 2 jbv 2 a) real(a ) = VIcosφ = P m [W] Potenza media (attiva), b) img(a ) = VIsinφ = Q [VAR] Potenza reattiva c) abs(a ) = A = VI = A [VA] Potenza apparente Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 17 Pagina 12

13 Potenza complessa in bipoli fondamentali Resistore A = VIcos(0) + jvisin(0) = RI 2 + j0 = GV 2 + j0 Induttore A = VIcos ( π 2 ) + jvisin (π 2 ) = 0 + jvi = 0 + jωli2 = 0 + j V2 ωl Condensatore A = VIcos ( π 2 ) + jvisin ( π 2 ) 0 VI = 0 jωcv2 = 0 j I2 ωc Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 17 Pagina 13

14 Osservazione: Le dimensioni di un dispositivo (es. macchina elettrica) funzionante in regime sinusoidale dipendono dalla potenza apparente, ossia dal prodotto A=VI. Per capirlo, è necessario ricordare che: a) i materiali dielettrici, nella propria configurazione di funzionamento, hanno tutti un valore limite di campo elettrico (rigidità dielettrica) che sono in grado di sostenere, superato il quale essi perdono le proprietà isolanti (scarica disruptiva). Fissata la geometria, il campo elettrico dipende dalla tensione applicata b) i materiali conduttori, nella propria configurazione di funzionamento, hanno tutti un valore limite di densità di corrente elettrica al di sopra del quale decadono le proprietà di conduzione. Fissata la geometria, la densità di corrente dipende dall intensità di corrente elettrica nel conduttore. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 17 Pagina 14

15 c) i materiali magnetici, nella propria configurazione di funzionamento, hanno tutti un valore limite di induzione magnetica oltre il quale essi perdono le proprietà magnetiche (saturazione). Fissata la geometria, l induzione magnetica dipende dall intensità delle correnti negli avvolgimenti. Fissato, allora, il valore della potenza apparente di un dispositivo, per limitare il campo elettrico, il campo densità di corrente e il campo magnetico in un componente è necessario aumentarne il peso e il volume. Infatti si deve: a) aumentare le distanze tra i punti in tensione; b) aumentare la sezione dei conduttori; c) aumentare la sezione dei materiali magnetici. Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 17 Pagina 15

16 Strumenti in regime sinusoidale L amperometro e il voltmetro in regime sinusoidale misurano, rispettivamente, il valore efficace dell intensità di corrente elettrica e il valore efficace della tensione elettrica di un bipolo I A V V Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 17 Pagina 16

17 Il wattmetro in regime sinusoidale misura la quantità: VI cos(v I ) = P + + I W V Il varmetro in regime sinusoidale misura la quantità: VI sin(v I ) = Q + + I VAR V Università di Napoli Federico II, CdL Ing. Meccanica, A.A , Elettrotecnica. Lezione 17 Pagina 17