Esercitazioni di Elettrotecnica: circuiti in regime sinusoidale

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1 Università degli Studi di assino Esercitazioni di Elettrotecnica: circuiti in regime sinusoidale ntonio Maffucci ver settembre 004

2 Maffucci: ircuiti in regime sinusoidale ver Esercizi introduttivi ES Esprimere la corrente i ( in termini di fasore nei seguenti tre casi: a) i ( = 4sin( ωt 4) b) i ( = 0sin( ωt π) c) i ( = 8sin( ωt π / ) isultato: a) I = 4exp( j4) ; b) I = 0 ; c) I = 8 j ES alutare (in coordinate cartesiane e polari) le impedenze viste ai capi dei morsetti: ( a) = 0 Ω = mh ω = 0 4 rad / s ( b) = 8 Ω, = 5 mh = 04 mf, f = 50 Hz = 00 Ω, = 0 µ F, ( c) = 6 mh ω = 5 0 rad / s isultato: a) Z & = 0 0 j = 0 exp( jπ / 4) Ω ; b) Z & = 8 54 j = 4 exp( j0965) Ω ; c) Z & = 8 0 j = 5exp( j9) Ω ; ES e seguenti coppie di fasori esprimono tensione e corrente relative ad un dato bipolo Dire, nei tre casi, se si tratta di un resistore, un condensatore o un induttore e valutare il valore dei parametri corrispondenti, o a) v ( = 5cos(400t ), i ( = sin(400t ) ; b) v ( = 8cos(900t π / ), i ( = sin(900t π / ) ; c) v ( = 0 cos(50t π / ), i ( = 5sin(50t 5π / 6) ; a) b) c) j j( π / ) = 5e, I = e Posto = I si ha che: arg( π ) = arg( ) arg( I ) = = jω = = 5 mh I ω jπ / j(π / π / ) jπ / 6 = 8e, I = e = e Posto = I si ha che: j I arg( π ) = arg( ) arg( I ) = = = = 0 8 mf ω ω jπ/ j(5π / 6 π / ) jπ / = 0e, I = 5e = 5e Posto = I si ha che: arg( Z &) = arg( ) arg( I ) = 0 = = = 4 Ω I

3 Maffucci: ircuiti in regime sinusoidale ver ES 4 - Si consideri il circuito in figura, determinando tale che la parte immaginaria dell impedenza vista ai capi dei morsetti risulti Im{ Z & } = 00 Ω = 0 µ F f = khz 'impedenza totale vista ai capi dei morsetti è j j Z & ( ω ) /( ω ) ω = = j j( ω / ω) ω, quindi basta imporre Im{} ω = = 00 = 9 mh ω ES 5 - quale di queste impedenze corrisponde la fase ϕ = π / 4? : - serie : - serie : - parallelo 4: - serie = 0 Ω = 0 Ω = 0 5 Ω = F = 0 mh = 0 mf = 0 F = H ω = 00 rad / s ω = 00 rad / s ω = 0 rad / s ω = rad / s aso : π = = = = 05( j) ϕ = tg ( ) = Y& / jω j 4 ES 6 - Dati i seguenti fasori = 0 exp( j / 6), = 0 exp( j / 6), = 5exp( j / ) : π π π a) rappresentare nel piano complesso i fasori,, ; b) calcolare i fasori:,,, ; c) rappresentare nel piano complesso i fasori valutati al punto b) d) rappresentare nel tempo le tensioni corrispondenti ai fasori dei punti a) e b), definito la trasformazione fasoriale come segue: v( = sin( ωt α) = exp( jα) M M

4 Maffucci: ircuiti in regime sinusoidale ver Equivalenza, sovrapposizione degli effetti, potenza ES - on riferimento al seguente circuito, valutare l'impedenza Z & eq vista ai capi del generatore e la potenza complessa S & erogata dal generatore j ( j( = 0sin = Ω = H = 05 F ( Passando al dominio dei fasori si avrà la rete di impedenze: J = 0, = j /( ω) = j, = jω = j, = = 'impedenza di ingresso vista dal generatore è data da: eq = //[ // ] = 08 j04 Ω a potenza complessa erogata da j( si valuta facilmente una volta nota Z & eq : ( ( (08 j04)00 & J J J = eq JJ = eq J = = 40 j0 ES - on riferimento al seguente circuito, valutare l'impedenza generatore e le correnti i ( e i ( i ( i ( e ( e( = 0 cos(000 = 0 Ω = 0 mf Z & eq vista ai capi del = 0 mh isultato: & = 5 j5 Ω ; i ( = 045cos(000t ), i ( = sin(000t Z eq ) 4

5 Maffucci: ircuiti in regime sinusoidale ver ES - pplicando il teorema di hévenin, valutare la potenza complessa e la potenza istantanea assorbita dall induttore a i ( j( = 0 sin(00t 05) j ( = 4 Ω, = mf, = mh, = 5 mh b rasformiamo preliminarmente la rete in una rete di impedenze: j05 J = 0e, Z = j, = 0 j, = 4, = 05 j 'impedenza equivalente nel circuito di hévenin si valuta risolvendo la rete seguente: eq = //( ) = 7 j985 Ω a tensione a vuoto, invece, si può calcolare a partire dalla corrente che circola in Z & c, a sua volta ottenuta con un partitore di corrente: E0 = I = J = 069 j4 Ω J isolvendo la rete equivalente ottenuta, si ha che E0 I = = 0089 j0570 = eq 0577e j76 andamento della corrente nel tempo è allora dato da: i ( = 0577 sin(00t 76) Z & Z & Z & I Z & Z & Z & E 0 a potenza complessa assorbita da sarà puramente reattiva: & = jx I = 067 j r a potenza istantanea si può valutare, in generale, dalla conoscenza di corrente e tensione: p ( = v ( i ( Si ha quindi: = I j986 = 089e v ( = 089 sin(00t 986) p ( = v ( i ( = 067cos(00t 60) W Si osservi che in questo caso particolare (elemento dinamico) la potenza istantanea può anche essere calcolata come derivata dell energia: p di ( d ( = i ( = ( ) = 067 sin(00 5) = 067 cos(00 60)W i t t t dt dt 5

6 Maffucci: ircuiti in regime sinusoidale ver ES 4 - on riferimento al seguente circuito valutare la corrente i ( j ( t ) j ( t ) i ( j ( = 0cos j ( = 0sin = Ω = mh = mf ( 000 ( 000 Passando al dominio dei fasori si avrà la rete di impedenze: J = j0, J = 0, = j Ω, = jω = j Ω, = = Ω, Questa rete può essere risolta con la sovrapposizione degli effetti Il contributo del solo generatore J si ottiene dalla rete in cui J è stato sostituito con un circuito aperto: I = J =, avendo posto = = 04-j0 8 Ω Il contributo del solo generatore J si ottiene dalla rete in cui J è stato sostituito con un circuito aperto: Si ha, quindi I = I a cui corrisponde, nel tempo la corrente I = J = j I = ( j) = 47exp( 078 j) i ( = 47sin(000t 078) ES 5 - pplicando il teorema di Norton, valutare la potenza complessa e la potenza istantanea assorbita dal parallelo - in figura e ( e( = 5 sin(000t π / ) = 0Ω, = mh = mf isultato: & = 9 7 W j768 r; p( = [ cos(000t 7)] W 6

7 Maffucci: ircuiti in regime sinusoidale ver ES 6 - on riferimento al seguente circuito valutare la reattanza da inserire in parallelo al generatore in modo che l'impedenza complessiva vista dal generatore stesso assorba la stessa potenza media di prima ma abbia un fase ϕ tale che cos ϕ = 0 9 (rifasamento) e ( e( = 00 sin( ω ω = 0 4 rad/s, = 50 Ω = 0 µ F, = mh Passando al dominio dei fasori si avrà la rete di impedenze: E 00, = 0 j Ω, = j Ω, = 50 Ω = 'impedenza equivalente vista dal generatore è eq = = 9 j8 Ω, quindi la potenza complessa erogata dallo stesso sarà ( ( EE E & = P jq = EI = ( = ( = 0 kw j7 kr Z & eq Z & eq Il fattore di potenza è pari a cosϕ = cos[ tg ( Q / P)] = 06 quindi occorre inserire un'opportuna Z & x tra l'impedenza Z & eq ed il generatore in modo che l'impedenza complessiva Z & verifichi tale richiesta ffinché tale inserzione non alteri la tensione, Z & x deve essere posta in parallelo al generatore Per lasciare invariata anche la potenza media l impedenza deve essere puramente reattiva: x = jx Per stabilire il valore di tale reattanza si può applicare il principio di conservazione delle potenze, che impone, dopo l'inserzione di Z & E Z & Z & x eq : a potenza reattiva Q = P tgϕ x P = P, Q = Q Q Q x si può quindi valutare come segue: = Ptg[cos (09)] Imponendo la condizione iderata su ϕ si ottiene una x Q x = Ptg[cos (09)] Q = 077 kr Q x negativa, il che significa che Z & x è un'impedenza capacitiva icordando l'espressione della potenza reattiva assorbita da un condensatore ai capi del quale sia nota la tensione si può valutare il valore di capacità necessario: E Qx Qx = ω = = 87 µ F ωe 7

8 Maffucci: ircuiti in regime sinusoidale ver ES 7 - on riferimento al seguente circuito, calcolare la potenza attiva P e la potenza reattiva Q assorbita dalla serie j ( t ) j ( t ) j ( = 4cos j ( = cos = = = F = Ω = H ( 4 ( 4t π / ) Passando al dominio dei fasori si avrà la rete di impedenze: j π / J = 4, J = e, = j / 8 Ω, = = 4 j Ω pplicando la sovrapposizione degli effetti, valutiamo il contributi dovuti a J ed a J Pertanto si ha I = J = 0 j00, I = J = 050 j085 I = I I = 5 j084 = 75exp( j050), quindi la potenza complessa assorbita da Z & sarà ( 4 j & = P jq = I = I = 75 = 06 W j7 r Nota: si svolga l esercizio utilizzando l equivalente di hévenin ai capi della serie considerata ES 8 - pplicando il teorema di hévenin, valutare la potenza complessa e la potenza istantanea assorbita dal condensatore j ( j( = cos(0t 0) = Ω = Ω = 0 H = 0 F isultato: & = j049 r; p( = -049 cos(40t )] W 8

9 Maffucci: ircuiti in regime sinusoidale ver ES 9 - alutare la corrente che circola nel condensatore e la potenza complessa da esso assorbita e ( i ( j ( j( = sin(πft 0), e( = 0 cos(πf, = Ω, = mf, = mh f = 50 Hz isultato: i ( = 5sin(πft 0) ; & = -j580 r ES 0 - alutare la potenza istantanea e complessa assorbita da j( = sin(πf, j ( ) t j t ft f Hz j ( t ( ) = sin(π π/ 4), = 50 ) = Ω, = 0 mf, = mh isultato: p ( = 474[ cos(4πft 08) W; & = 474 W ES - on riferimento alla seguente rete in regime sinusoidale, valutare: a) il circuito equivalente di hévenin ai capi di b) la corrente circolante in c) la potenza istantanea e complessa assorbita da e( a i j( b e( = 0 sin( ωt π/), j( = sin( ωt π/ 4), = Ω, = Ω, = 4 mf, = mh ω = 0 rad / s isultato: a) eq = 005 j97ω; E0 = 09 i076 b) i( = 07sin(000t 08) c) & = 08 W; p( = 08[ cos(000t 5)] W 9

10 Maffucci: ircuiti in regime sinusoidale ver Sistemi trifase ES - on riferimento al seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica diretta di tensioni, di valore efficace E, a) valutare l indicazione dell amperometro; b) rifasare a cos ϕ = 0 9 alla sezione -- E E E I P sinϕ E = 0 = 50 Ω P = kw sinϕ = 0554 f = 50 Hz a) indicazione dell amperometro fornisce il valore efficace I della corrente di linea I Per valutare tale valore si può preliminarmente valutare la potenza complessa totale assorbita alla sezione -- Il carico a valle dei resistori assorbe la potenza complessa P = kw, Q = Ptgϕ = Ptg[sin (0554)] = 799 kr Per valutare la potenza complessa assorbita dalla stella di resistori, basta osservare che tale carico è posto in parallelo rispetto al precedente e che la tensione su ciascun resistore è proprio la tensione stellata dei generatori Si ha, allora: E P = = 90 kw, Q = 0 pplicando la conservazione delle potenze, possiamo affermare che la potenza complessa totale assorbita alla sezione -- è data da: cioè: P = P P = 4 90 kw, Q = Q Q = 799 kr, & = P j Q = ( 490 j799) 0 icordando l espressione della potenza apparente: si ha immediatamente che = P Q = EI, I = P Q E = 56 0

11 Maffucci: ircuiti in regime sinusoidale ver b) lla sezione -- si ha un fattore di potenza pari a cosϕ = cos[ tg ( / )] = 0 88 Q P quindi occorre inserire dei condensatori per rifasare Il rifasamento porterà ad avere una potenza reattiva totale iderata pari a Q = P tgϕ = P tg[cos (09)] = 7 kr quindi il banco di condensatori dovrà assorbire una potenza reattiva totale pari a Q Q Q = 077 kr c = Inserendo i condensatori a stella, come in figura, la tensione che agisce su ciascuno di essi è quella stellata dei generatori, quindi: Q c Y E = = 6πfY E X Qc = 6πfE = 68 µf Se, invece, i condensatori vengono inseriti a triangolo, la tensione è la concatenata, quindi: Qc = 6πf = Osserviamo che 56µF Y = E E E ES - on riferimento al seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica diretta di tensioni: a) valutare la potenza complessa assorbita alla sezione --; b) rifasare a cos ϕ = 0 9 alla sezione -- P sinϕ X X = X = 80 = 0 Ω Q = 5kr cosϕ = 0 X Q, cosϕ isultato: a ) & 66 kw j666 kr, b) = 45µ F =

12 Maffucci: ircuiti in regime sinusoidale ver ES - on riferimento al seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica diretta di tensioni (con valore efficace della tensione concatenata pari a ): a) valutare l indicazione dell amperometro; b) valutare le indicazioni dei wattmetri; c) rifasare a cos ϕ = 0 9 alla sezione -- W a W b P, Q = 80 P = 0 kw Q = 7 kr = kω f = 50 Hz a) indicazione dell amperometro fornisce il valore efficace I della corrente di linea alla sezione -- Per calcolarla si può valutare la potenza complessa totale assorbita a tale sezione, sommando i contributi di tutti i carichi I resistori assorbono la potenza complessa P = = 04 kw, Q = 0, quindi alla sezione -- si ha: & = P j Q = ( P P ) j( Q Q ) = 04 kw j7 a lettura dell amperometro sarà, quindi: P Q I = = 909 b) Per il teorema di ON, essendo il sistema equilibrato, si ha: W a Wb = P Q Wb Wa = = 04 0 = 40 0 c) lla sezione -- si ha un fattore di potenza pari a Wa W b = 0 0 = 7 0 Kr cosϕ = cos[ tg ( Q / P )] = 08, quindi occorre inserire dei condensatori per rifasare Dopo il rifasamento si avrà Q = P tgϕ = P quindi, montando tre condensatori a triangolo: tg[cos (09)] = 505 kr Qc Q c = Q Q = 95 kr = 40 µf 6πf =

13 Maffucci: ircuiti in regime sinusoidale ver ES 4 - Si consideri il seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica diretta di tensioni, e si supponga che la lettura dell amperometro sia 07 a) valutare l indicazione del voltmetro; b) valutare le indicazioni dei wattmetri; c) rifasare a cos ϕ = 0 9 alla sezione -- S Z & W a jx Z & jx W b Z & jx p sinϕ p Dati: = j Ω, = kω, X = kω, p = k,sin ϕ p = 0707, f = 50Hz a) Detto I = 0 7 il valore efficace della corrente letta dall amperometro, la potenza complessa totale assorbita dalle impedenze - sarà & = ( jx ) I = 47 kw j94 kr a tensione stellata che insiste su questa stella di impedenze e sul carico posto in parallelo sarà E = = 57 k I a potenza complessa assorbita dal carico parallelo sarà & = cosϕ jsin ϕ = 849 kw j849 kr, p p p quindi la potenza complessa totale assorbita alla sezione S indicata in figura sarà & = & & = 995 kw j4 kr s p a corrente I che attraversa tale sezione sarà data da: s I = = E quindi la potenza assorbita dal carico in serie Z & sarà & = Z & I = 006 kw 00 kr j lla sezione -- di ingresso, quindi, si ha: & = & & s = P j Q = 00 kw j 46 Kr

14 Maffucci: ircuiti in regime sinusoidale ver per cui la lettura del voltmetro sarà: = P Q I = 7 k b) Per il teorema di ON, essendo il sistema equilibrato, si ha: W a Wb = P Q Wb Wa = = 00 0 = 66 0 c) lla sezione -- si ha un fattore di potenza pari a Wa W cosϕ = cos[ tg ( Q / P )] = 066, b = 70 0 = 8 0 quindi occorre inserire dei condensatori per rifasare Dopo il rifasamento si avrà Q = P tgϕ = P tg[cos (09)] = 485 kr quindi, montando tre condensatori a triangolo Qc Q c = Q Q = 660 kr = 094 µf 6πf = ES 5 - Si consideri il seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica diretta di tensioni, e si supponga che la lettura dell amperometro sia 5 a) valutare la tensione stellata dei generatori b) valutare la potenza complessa assorbita alla sezione --; jx jx jx = 0 kω X X = Ω = Ω = 90 Ω jx jx jx isultato: a) E = 560 ; b) & = 8 kw j8 kr 4

15 Maffucci: ircuiti in regime sinusoidale ver ES 6 - Si consideri il seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica diretta di tensioni a) valutare la potenza complessa assorbita alla sezione --; b) rifasare a cos ϕ = 0 9 alla sezione -- jx jx jx Z & Z & P, cosϕp P = kw, cosϕ P = 0707, = 0 Ω, X = 5 Ω, = j Ω, = 80, f = 50Hz Z & isultato: a ) & 6 kw j45 kr; b) = 94 µ F = ES 7 - Si consideri il seguente sistema trifase, alimentato da una terna simmetrica diretta di tensioni, e si supponga che la lettura dell amperometro sia 0 a) valutare il fattore di potenza del carico M; b) valutare la potenza complessa assorbita alla sezione --; c) valutare il fattore di potenza alla sezione --; jx c jx c jx c W a W b M = 0 Ω X W W a b = 00 kω = 4 kw = 0 kw isultato: a) cosϕ = 080; b) & = 000 kw j08 kr; c) cosϕ = 089; M 5

16 Maffucci: ircuiti in regime sinusoidale ver Doppi-bipoli, generatori pilotati, regime periodico ES 4 - on riferimento al seguente circuito, valutare: a) la matrice delle ammettenze Y & del doppio-bipolo visto ai capi dei generatori; b) la potenza complessa & erogata dai generatori; i ( ) i ( t e ( ) t e ( ) t e ( = 0 cos(000 e ( = 0sin(000 = Ω = mh = mf isultato: a) Y& = 05 Ω, Y& = 05 j Ω, Y& m = 0 5 j Ω ; b) & er er = 75W, & = 50W j00r ES 4 -on riferimento al seguente circuito, valutare la potenza media P assorbita dal resistore e verificare che è possibile sovrapporre le potenze medie j ( ) t i j ( ) t j ( = cos(00 j ( = sin(00 = Ω = 0 mf = mh Poiché i generatori non sono isofrequenziali, cioè ω ω, il circuito non ammette un regime sinusoidale ma un regime periodico e quindi non è possibile trasformare la rete in una rete di impedenze uttavia, essendo la rete lineare, si può applicare la sovrapposizione degli effetti e ricavare la corrente che circola in come i = i i, dove i si ricava dal circuito ausiliario I e i dal circuito ausiliario II i j ( ) t I iascuna di queste due reti può essere rappresentata da una rete di impedenze: pplicando i partitori di corrente: rete I: J =, = 00 j, = 0 j, = rete II: J, = 50 j, = 0 j, = = 6

17 Maffucci: ircuiti in regime sinusoidale ver I j = J = 0 e i ( = cos(00t ) m j I = J = e i ( = sin(00t ) Quindi la corrente che circola in sarà i ( = i ( i ( = 0 cos(00t ) sin(00t ) Nota la corrente si può calcolare la potenza istantanea assorbita da e quindi la potenza media: P = p( dt = i ( dt = i ( dt i ( dt i ( i ( dt π π = max, ω ω I primi due contributi rappresentano le potenze medie dissipate nei circuiti I e II, quindi sono: 0 i ( dt = I = W, 'ultimo contributo è nullo perché per ω ω si ha: i t dt I 0 W ( ) = = 5 0 cos( ωt α) sin( ωt β) dt = 0 α, β 0 In definitiva se ω ω è possibile sovrapporre le potenze medie: P 0 5 W ES 4 -on riferimento al seguente circuito, valutare la corrente i( E i ( j( j( = J J m =, E = = Ω, m cosωt 6 ω = 0 rad / s = mh, = mf a corrente i ( si può calcolare con la sovrapposizione degli effetti nel dominio del tempo: i = i i ( ) ( t Il contributo i è dovuto al solo generatore di tensione e si ottiene tenendo conto che, in regime stazionario, l'induttore si riduce ad un corto-circuito ed il condensatore ad un circuito aperto: i = E / / = Il contributo i ( è dovuto al solo generatore j( e si ottiene risolvendo la rete in regime sinusoidale: Posto Z & & & & J =, Z & =, a = Z // Z Z, la corrente = j0, & j0 Z = I si ottiene con un semplice partitore di corrente: 6 jπ / I = J 0 j0 j0 = 0 e i ( = 0 sin( ω a 7

18 Maffucci: ircuiti in regime sinusoidale ver ES 44 -on riferimento al seguente circuito, valutare la potenza media P assorbita dal resistore e verificare che è possibile sovrapporre le potenze medie e ( j ( j( = 4 e( = 0 cos(0 = Ω = Ω = 0 H = 0 mf isultato: P = 04 kw ES 45 -alutare l'equivalente di hévenin ai capi dei morsetti -' e( i( ri ( e( = sin( ωt π / 6) = Ω r = Ω X = 4 Ω X = Ω Passando alla rete di impedenze si avrà: E = e jπ / 6, = j, = 4 j, = Per calcolare 0 basta applicare la K alla maglia di sinistra della rete E E = I ri I = = 068 j057 r pplicando un partitore di tensione si ha, quindi: j = ri = 070 j0064 = 07e Per calcolare Z & eq occorre spegnere tutti (e soli) i generatori indipendenti, cioè E pplicando ancora la la K alla maglia di sinistra della rete: 0 = I ri I = 0 quindi nella rete per il calcolo di Z & eq risulta spento anche il generatore controllato, visto che la sua variabile di controllo è nulla, per cui in definitiva: eq = = 04( j) Ω 8

19 Maffucci: ircuiti in regime sinusoidale ver ES 46 - Il circuito seguente riproduce lo schema equivalente di un amplificatore a transistor per alta frequenza Determinare la tensione ai capi del resistore U ( v S S v in i o ( gv in U v U vs ( = 0 cos( ω 8 ω = 0 rad / s = = Ω, = 5 Ω S o = ph = nf g = 00 Ω i isultato: v U ( = 959 cos( ωt 06) k ES 47 - on riferimento al seguente circuito valutare la corrente i ( ) nel circuito primario i ( ) e ( t e( = 0 M = Ω = mh = 0 mh t sin(000 = 00 Ω = 00 mh Poiché M l'accoppiamento non è perfetto Posto =, possiamo scegliere in modo che l'aliquota verifichi le condizioni di accoppiamento perfetto = : M / = = M = M mh questo punto il circuito equivalente sarà il seguente i ( ) t a e ( a = = 0 M Per la formula del trasporto dell'impedenza in un trasformatore ideale, il circuito è anche equivalente al seguente: 9

20 Maffucci: ircuiti in regime sinusoidale ver i ( ) t e ( a rasformato il circuito in una rete di impedenze, nella quale si è introdotto il fasore l'impedenza equivalente vista dal generatore è: da cui & Z eq a jω = jω = j Ω a jω E 5 5 jπ / 4 I = = ( j) = e i ( = 5sin(000t π / 4) eq E = 0, ES 48 - on riferimento al seguente circuito valutare la potenza complessa assorbita dal condensatore j ( j( = 0 cos(00 = = mh, = 5 Ω = 4 mh M = mh, = 5 mf isultato: & = j5 r 0