Esercizi & Domande per il Compito di Elettrotecnica del 17 settembre 2003

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1 Esercizi & Domande per il Compito di Elettrotecnica del 7 settembre 003

2 ESERCIZIO v a i a i b v b R v 0 Nel circuito in figura determinare il valore di v o e i o Si ponga: R 6kΩ, R kω, e i o R v o ; i o SOLGIMENTO Il primo operazionale è in configurazione a inseguitore di tensione, per cui: v a Il secondo operazionale è un amplificatore non invertente Per le equazioni caratteristiche dell operazionale ideale: v a v b ; i a i b 0 per cui, per il partitore di tensione, si ha: v b R R R v o v 6 o quindi: 0 v o v a 0 v o 0 i o è la corrente che attraversa entrambe le resistenze, per cui: i o 3 v 0 3 o 0 6 A ma i o ma

3 ESERCIZIO v x 5A v x Ω 6 Ω Ω a Determinare l equivalente Thevenin ai morsetti a-b del circuito in figura R Th Th SOLGIMENTO Il circuito contiene un generatore dipendente Per il calcolo di R Th si passiva il circuito lasciando il generatore dipendente Si eccita poi il circuito attraverso un generatore di tensione o, disposto ai nodi a-b il circuito diventa: Calcolo di R Th : b v x i Ω a v x Ω 6 Ω b v o i i 3 i o Si otterrà: R Th v i o o i o Applicando l analisi agli anelli, si hanno le seguenti equazioni: () () (3) v x ( i i) 0 ( i i ) 6( i i3) i 6( i3 i ) i3 0 0 dove: v x i ; e i i 3 o Dalla (): i i i 0 i 0 8 i 3i 6i Dalla (): i i ) 3( i i ) i 0 i i i 3i i 0 i 3i 6i 0 ( i i 0 i 3 3i 3 3 Dalla (3): 6 i3 i3 i3 0 i3 i3 0 3 i3 A 0, 7A 6 Per cui: i o i 3 6 A ; quindi: R Th 6 i o Ω

4 Calcolo di Th : riprendiamo il circuito originario v x Th è anche la tensione ai capi della resistenza da 6Ω, per cui: 5A i 3 Ω i v x i 6 Ω Ω a Th b Applicando anche qui l analisi agli anelli, si ottiene: (') (') (3') i Th 6 i 5A ( i i ) ( i i3) vx ( i3 i ) 0 Th 0 Per la legge di Ohm alla resistenza da : v x (5 i ) 0 i Dalla (3 ): 0 8i i3 i 0 0 6i i3 0 i3 0 3i Dalla ( ): ( i 5) ( i 0 3i ) 0 Th i 0 0 8i 0 i 60 0 Th Th Th 60 Th Th 60 Th 0 Il circuito di Thevenin equivalente sarà, pertanto: 6 Ω a 0 b

5 0 90 5Ω 3Ω j -j3ω 0Ω x ESERCIZIO 3 Calcolare x, nel circuito in figura, sostituendo il generatore di tensione con uno di corrente, per mezzo della proprietà di equivalenza dei circuiti di Norton e di Thevenin x SOLGIMENTO Si trasforma il generatore di tensione in uno di corrente, ottenendo il circuito seguente: -j3ω I S 5Ω 3Ω j 0Ω x Dove: 0 90 I S j 5 A Risolvendo il parallelo 5 // (3j) : -j3ω Dove: I S Z 0Ω x 5(3 j) 5 j0 5( 5 3 j 8 j j Z ) Infine, convertendo il generatore di corrente in uno di tensione, si arriva al circuito: Z -j3ω Dove: S 0Ω x S I S Z 5( j j) ( 5 j0) Per il partitore di tensione: x S 0 0 j3 5 ( 0 5( j) 5 j) 0 j3 ( j) x,87 j,59 5,5 8

6 0 t 0 0,0F v( 3Ω i( ESERCIZIO 6Ω 0,5H Determinare i( supponendo che il circuito abbia raggiunto il regime in t 0 - i( SOLGIMENTO Per t<0 l interruttore è chiuso, il condensatore si comporta come un circuito aperto, e l induttore come un corto circuito Il circuito equivalente è: i Quindi: 0 6Ω v 0 i( 0 ) A 6 v( 0 ) i(0 ) 6 6 Per t>0 l interruttore è aperto, e il generatore di tensione è scollegato Il circuito equivalente è: i( Si tratta di un circuito RLC serie autonomo Scrivendo l equazione alla maglia, si ha: (63)Ω 0,0F v( di( 0,5H R i( L i( dt 0 dt C t Per eliminare l integrale si deriva rispetto al tempo e si ottiene: di( d i( R L i( 0 dt dt C ovvero: d i( R di( i( 0 dt L dt LC Il polinomio caratteristico è: R λ λ L LC 0 con soluzioni: λ, R R ± L L LC Per cui, sostituendo: λ 9 ± 9 9 ±, 359, j 9t La risposta è sottosmorzata, e sarà del tipo: i e [ A cos(,359 A sin(,359 ] (

7 A e A si ottengono in base alle condizioni iniziali La tensione sull induttanza è: di( v L ( L R i( v( dt di( dt t 0 L [ R i(0) v(0) ] [ 9 6] 6 A s Quindi: [ A cos(,359 A sen(,359 ] 9t i( e di( dt 9e 9t 9t [ A cos(,359 A sen(,359 ] e,359 [ A sen(,359 A cos(,359 ] Nello zero: di( i ( 0) A e 6 9[ A ],359 [ A ] dt 0 A 6 9,359 0,688 Quindi: 9t i( e [ cos(,359 0,688sen(,359 ] A

8 z j5ω z Le equazioni alle maglie forniscono: ESERCIZIO Nel circuito in figura, si ponga: Z ( 60 j00)ω Determinare l impedenza di ingresso e la I j0ω j0ω I z L corrente Z in SOLGIMENTO Z ( 30 j0)ω Z L ( 80 j60)ω I I () () I Z j0i j5i 0 j5i j0 Z Z L I Dalla (): I j5i j0 Z Z L j5i 0 j0 j j I 8 Dalla (): I 60 j00 j0 j5 j j 8 Z in I 60 5 j80 j8 Z in ( 00, 53, ) Ω 60,09 j80, I I ( 0,5 3, ) A 00, 53, Z in

9 ESERCIZIO 3 Un motore trifase può essere considerato come un carico bilanciato a stella Un motore trifase assorbe 5,6k W quando la tensione di linea è 0 e la corrente di linea è 8, A Determinare il fattore di potenza cosϕ del motore e la sua potenza reattiva Determinare inoltre la potenza reattiva necessaria per portare il cosϕ al valore di 0,95 pf Q Q SOLGIMENTO La potenza apparente è: S L 3 L I 3 0 8, 6935,3 A P 5600 P S cos ϕ 5600 W cosϕ 0, 8 S 6935,3 sinϕ 0,59 Q S sinϕ 6935,3 0,59 09 AR Q 09 AR La potenza reattiva necassaria per il rifasamento a cosϕ 0,95 è: Q P [ tg( ϕ ) tg( ϕ' )] 5600 { tg[ arccos(0,8) ] tg[ arccos(0,95) ]} Q 8 AR

10 Combinazioni dei Compiti EL Es Circuito con amplificatori operazionali Es Circuito equivalente di Thevenin Es 3 Risoluzione di circuiti con la trasformazione dei generatori Dom Passività di un bipolo EL ELETTRICI Es - Circuito RLC autonomo Es - Circuito con mutua Es 3 - cosϕ e Q nei motori trifase Dom - Risposta libera in circuiti del ordine EL ELETTRONICI Es - Circuito RLC autonomo Es - Circuito con mutua Dom - Risposta libera in circuiti del ord

11 I ) Prova Scritta di Elettrotecnica 7 settembre 003 Nome: Cognome: Mtr: tempo a disposizione: ore v a i a i b v b R v 0 Nel circuito in figura determinare il valore di v o e i o Si ponga: R 6kΩ, R kω, e i o R v o ; i o II ) v x 5A v x Ω 6 Ω Ω a Determinare l equivalente Thevenin ai morsetti a-b del circuito in figura R Th Th b III ) Ω 3Ω j -j3ω 0Ω x Calcolare x, nel circuito in figura, sostituendo il generatore di tensione con uno di corrente, per mezzo della proprietà di equivalenza dei circuiti di Norton e di Thevenin x I ) Discutere la passività di un bipolo, e dimostrare quella di un condensatore

12 Prova Scritta di Elettrotecnica 7 settembre 003 ELETTRICI Nome: Cognome: Mtr: tempo a disposizione: ore I ) 0 t 0 0,0F v( 3Ω i( 6Ω 0,5H Determinare i( supponendo che il circuito abbia raggiunto il regime in t 0 - i( II ) z j5ω z Nel circuito in figura, si ponga: Z ( 60 j00)ω Z ( 30 j0)ω Z L ( 80 j60)ω Determinare l impedenza di ingresso e la I j0ω j0ω I z L corrente I Z in I III ) Un motore trifase può essere considerato come un carico bilanciato a stella Un motore trifase assorbe 5,6kW quando la tensione di linea è 0 e la corrente di linea è 8,A Determinare il fattore di potenza pf del motore e la sua potenza reattiva Determinare inoltre la potenza reattiva necessaria per portare il pf al valore di 0,95 pf Q Q I ) Discutere la natura della risposta libera in un circuito del secondo ordine, analizzando i diversi andamenti che essa può assumere

13 Prova Scritta di Elettrotecnica 7 settembre 003 ELETTRONICI Nome: Cognome: Mtr: tempo a disposizione: ora e 30' I ) 0 t 0 0,0F v( 3Ω i( 6Ω 0,5H Determinare i( supponendo che il circuito abbia raggiunto il regime in t 0 - i( II ) z j5ω z Nel circuito in figura, si ponga: Z ( 60 j00)ω Z ( 30 j0)ω Z L ( 80 j60)ω Determinare l impedenza di ingresso e la I j0ω j0ω I z L corrente I Z in I III ) Discutere la natura della risposta libera in un circuito del secondo ordine, analizzando i diversi andamenti che essa può assumere

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