Esame di Teoria dei Circuiti 15 Gennaio 2015 (Soluzione)

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Vittorio Paolini
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1 Esame di eoria dei Circuiti 15 ennaio 2015 (Soluzione) Esercizio 1 I 1 R 2 I R2 R 4 αi R2 βi R3 + V 3 I 3 R 1 V 2 I 4 I R3 Con riferimento al circuito di figura si assumano ( i seguenti ) valori: 3/2 3/2 R 1 = R 2 = 1 kω, = R 4 = 3 kω, = mω 3/2 3/2 1, α = 2/5, β = 2, V 3 = 3 V, I 3 = 2 ma. Calcolare: la descrizione ) del doppio ) bipolo evidenziato in figura tramite la matrice ibrida, definita come ( I1 V 2 = ( V1 ; il circuito equivalente di hevenin alla porta 2 del doppio bipolo calcolato sopra, quando alla porta 1 vengono collegati il generatore ideale di tensione V 3, il generatore ideale di corrente I 3 ed il doppio bipolo, come indicato in figura; quanto deve valere la corrente I 4 del generatore collegato alla porta 2 di, affinché la potenza dissipata dal doppio bipolo sia 6 mw, quando alla porta 1 sono collegati i generatori V 3 e I 3 ed il doppio bipolo, come indicato in figura. Soluzione Per determinare la descrizione del sottocircuito considerato tramite matrice ibrida si supponga di collegare alla porta 1 (di sinistra) il generatore ideale di tensione e alla porta 2 (di destra) il generatore ideale di corrente. Si calcoli quindi la corrente I 1 erogata da e la tensione V 2 ai capi di. I 1 (3) R 2 I R2 R 4 I R4 αi R2 βi R3 + R 1 V 2 I R3 (a) Come prima cosa si può osservare che I R1 = /R 1 e che I R4 =. Quindi, dai nodi indicati con e si ha : α I R2 + β I R3 I R3 = 0, I R3 = α 1 β I R2 : I R4 I R2 β I R3 = 0, I R2 β α 1 β I R2 = 0 I R2 = 1 + αβ 1 β 1 = 1 β 1 β + αβ

2 15 ennaio 2015 Esame di eoria dei Circuiti I valori della corrente e della tensione cercati si possono ottenere dal bilancio delle correnti al nodo (3) e dal bilancio delle tensioni alla maglia (a). (3): I 1 = I R1 + αi R2 I R2 = 1 1 β + (α 1) R }{{} 1 1 β + αβ }{{} 11 = 1 mω 1 12 = 3 (a): V 2 = + R 2 I R2 + R 4 I R4 = }{{} β 1 β + αβ + R 4 }{{} 21 = 1 22 = 8 kω Per il secondo punto dell esercizio, si connetta il doppio bipolo e il generatore I 3 al circuito appena esaminato. Si noti che, per quanto riguarda quest ultimo, è conveniente sostituirlo con la sua rappresentazione tramite matrice, come nel circuito qui rappresentato. Per calcolare il circuito equivalente di hevenin si è connesso alla porta 2 di un generatore di corrente I, e si vuole calcolare la tensione V ai suoi capi. I I I I =I + V 3 V I3 I 3 V V V V I V Si indichino con V e I la tensione e la corrente alla porta 1 di, e con V tensione e corrente alla porta 2. Si indichino inoltre con V alla porta 1 di, e con V e I e I e I la tensione e la corrente tensione e corrente alla porta 2. È immediato notare che V = V 3 è una tensione nota, V = V = V I3, e V = V è la tensione da calcolare. Inoltre I = I. Dal bilancio delle correnti al nodo indicato con si ha : I 3 I I = 0, I 3 21 V 3 22 V I3 11 V I3 12 I = 0 V I3 = I 3 21 V 3 12 I La tensione V è determinata osservando che V = V, ovvero V = V = I 3 21 V 3 21V I I = I 22 + }{{ 11 } 22 + }{{ 11 } V (eq) = 5 V R (eq) = 2 kω Nel terzo ed ultimo punto si chiede di calcolare, quando il circuito è configurato come riportato più sotto, per quale valore di I 4 la potenza dissipata dal doppio bipolo vale P = 6 mw. I I I I + V 3 V I3 I 3 I 4 V V V V 2

3 Esame di eoria dei Circuiti 15 ennaio 2015 da cui Procedendo esattamente come nel caso precedente, si ha mentre P può essere calcolata come P = V I + V V I3 = I 3 21 V 3 12 I I 4 = I 3 21 V 3 ( )V I3 12 I = V ( 11 V + 12V ) = 11 V ( ) V 3 V I V I3 2 + V ( 21 V + 22V ) = Il modo più semplice per rispondere al quesito è quello di considerare per quale valore di V I3 la potenza P è quella cercare, e quindi determinare quale valore di I 4 fa sì che la tensione V I3 sia quella desiderata. Risolvendo in V I3 l equazione P = 6 mw, ovvero si hanno le soluzioni 22 V I3 2 + ( ) V 3 V I V mw = 0 V I3 = V 3 ± (12 ) V 3 11V mw ovvero V I3 = 1 V e V I3 = 5 V. Queste soluzioni corrispondono, rispettivamente, ai due valori I 4 = 2 3 ma 1,66 ma e I 4 = 0 ma. 3

4 + 15 ennaio 2015 Esame di eoria dei Circuiti Esercizio 2 I R1 R 1 I 1 I R2 R 2 + I V1 I R3 + V 2 αi R2 I R4 R 4 + V 3 Con riferimento al circuito di figura si assumano i seguenti valori: R 1 = R 2 =... = R 4 = 5 kω, α = 2, = 10 V, I 1 = 2 ma, = 1 ma. Si supponga inoltre che gli amplificatori operazionali siano ideali e che lavorino sempre nella zona ad alto guadagno. Determinare le tensioni V1, V2 e V3 di uscita degli amplificatori operazionali. Soluzione Si considerino i versi delle tensioni e delle correnti come indicato in figura. Si consideri inoltre che per tutti gli amplificatori operazionali la corrente agli ingressi sia nulla e che la tensione ai due ingressi sia uguale per via del corto circuito virtuale. Dall ipotesi che gli ingressi degli operazionali assorbano corrente nulla, si ha I = 0 A. Dal bilancio delle correnti al nodo si ha quindi I R4 =, da cui V R4 = R 4 I R4 = R 4 = V + 3 Dalla condizione di corto circuito virtuale agli ingressi dell operazionale 3 si può ricavare V2, che vale V2 = V3 = V 3 + = R 4 = 5 V Per l operazionale 1, si ha V + 1 = V R4 + V 0, e I R1 = I 1. La condizione di corto circuito virtuale ai suoi ingressi permette di trovare la tensione di uscita dell operazionale. V 1 = V 1 R 1I R1 = R 4 + V 0 R 1 I 1 = 5 V Inoltre, poiché V R2 = V 1, è possibile anche determinare la corrente I R2 I R2 = V R2 R 2 = R 2 A questo punto, poiché I R3 = α I R2, si ha anche = 1 ma V 2 = V 2 I R3 = V 2 α I R2 4

5 Esame di eoria dei Circuiti 15 ennaio 2015 e grazie al corto circuito virtuale agli ingressi dell operazionale 2 è possibile determinare anche la terza tensione di uscita. V 3 = V + 2 = V 2 = V 2 α I R2 = 5 V Esercizio 3 αi L1 1:n C 2 I L1 + I 1 L 1 - C 3 Con riferimento al circuito di figura si assumano i seguenti valori: L 1 = 5 m, C 2 = 500 nf, = 166,6 Ω, C 3 = 3 µf, n = 10, α = 1/10, (t) = 10 cos (ωt + π/2) V, I 1 (t) = 100 cos (ωt + π) ma, ω = 2 krad/s. Determinare la potenza complessa erogata dal generatore ideale di tensione e dal generatore ideale di corrente I 1. Soluzione Nel dominio dei fasori alla pulsazione ω = 2 krad/s i due generatori indipendenti sono rappresentati attraverso i fasori Ṽ 1 = 10 e jπ/2 V = j10 V Ĩ 1 = 100 e jπ ma = 100 ma mentre a L 1, a C 2 e alla serie di e C 3 si possono sostituire, rispettivamente, le impedenze Z 1, e Z 3 (quest ultima pari alla serie delle impedenze associate a e C 3 ) Z 1 = jωl 1 = j10 Ω = 1 jωc 2 = j1000 Ω Z 3 = + 1 jωc 3 = 166,6 Ω j166,6 Ω αi Z1 I Z1 Z1 1:n I Z2 (3) I Z3 I 0 + Z 3 (a) Si consideri il circuito di figura, in cui per coerenza con il cambio di notazione, il generatore di corrente comandato α I L1 è stato sostituito con un generatore comandato α ĨZ1. 5

6 15 ennaio 2015 Esame di eoria dei Circuiti L esercizio chiede di determinare le due potenze complesse Ñ e ÑI1, definite come Ñ = 1 2Ṽ1Ĩ, Ñ I1 = 1 2ṼI1Ĩ 1, dove Ĩ e Ĩ 1 sono i complessi coniugati delle correnti Ĩ e Ĩ1. Per la presenza del generatore comandato α ĨZ1 non è possibile risolvere il circuito mediante semplificazione con circuiti equivalenti di hevenin o Norton. Pertanto è necessario procedere con l analisi circuitale completa, indicando con Ṽ sinistra del trasformatore, e con Ṽ e Ĩ e Ĩ tensione e corrente alla porta di tensione a corrente alla porta di destra. Considerando il circuito a sinistra del trasformatore, dal nodo si ha : Ĩ 1 ĨZ1 Ĩ, Ĩ = Ĩ1 ĨZ1 mentre l induttanza L 1 è in parallelo al trasformatore, e quindi condivide la stessa tensione Ṽ = ṼZ1 = Z 1 Ĩ Z1 Nella parte a destra del trasformatore, si considerino invece i bilanci delle correnti al nodo e delle tensioni alla maglia (a) : α ĨZ1 + I Z2 Ĩ = 0, Ĩ = α ĨZ1 + I Z2 (a): Ṽ + ṼZ2 = Ṽ1, Ṽ = Ṽ1 ṼZ2 = Ṽ1 Ĩ Z2 Considerando ora le equazioni del trasformatore Ṽ = n Ṽ Ĩ = n Ĩ è possibile determinare il valore di ĨZ1 e di ĨZ2. Dalla prima equazione mentre dalla seconda Ĩ 1 ĨZ1 = n Ṽ 1 Ĩ Z2 = nz 1 Ĩ Z1, Ĩ Z2 = Ṽ1 nz 1 Ĩ Z1 (α ĨZ1 + I Z2 ), Ĩ 1 ĨZ1 = n α ĨZ1 n Ṽ1 + n 2 Z 1 Ĩ Z1 Ĩ 1 + n Ṽ1 Z I Z1 = 2 Ĩ 1 + nṽ1 1 n α + n 2 Z = 1 (1 n α) + n 2 = 200 ma Z 1 Ĩ Z2 = Ṽ1 n Z 1 Ĩ Z1 = 1 ( Z2 Ṽ 1 n α Ṽ 1 + n 2 Z 1 Ṽ 1 n Z 1 Ĩ 1 n 2 ) Z 1 Ṽ 1 (1 n α) + n 2 = Z 1 = (1 n α)ṽ1 n Z 1 Ĩ 1 (1 n α) + n 2 Z 1 = 10 ma Per determinare le potenze richieste, è sufficiente considerare che il generatore I 1 e Z 1, in parallelo, condividono la stessa tensione Ñ Z1 = 1 2 V I1I 1 = 1 2ṼZ1I 1 = 1 2 Z 1ĨZ1I 1 = j100 mva mentre il bilancio al nodo (3), osservando anche che ṼZ3 = Ṽ1, porta a (3): Ĩ = ĨZ2 + α ĨZ1 + ĨZ3 = ĨZ2 + α ĨZ1 + Ṽ1 Z 3 = j30 ma Ñ V1 = 1 2Ṽ1Ĩ = 150 mva 6

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