ν S R B2 Prova n 1: V CC R C R B1 C C R S C S C L out R L Prove d'esame

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1 Prova n 1: Per il seguente circuito determinare: 1. R B1, R E tali che: I C = 0,5 ma; V E = 5 V; 2. Guadagno di tensione a piccolo segnale v out /v s alle medie frequenze; 3. Frequenza di taglio inferiore; 4. Potenza statica dissipata dal circuito. Siano noti: V CC = 12 V; β = 50; V A = 50V; R S = 50 Ω; R C = 4 kω; R B2 = 10 kω; C S = C C = ꝏ; C E = 10 µf; R L = 48 Ω. V CC R B1 R C R S C S B C C C ν S E C L out R B2 R E R L Soluzione: Punto 1) Applicando la legge di Ohm al resistore R E : V E R E = V E = I E I C 1 1 =9,8k Nel resistore R B1 scorre la corrente di base del bjt più la corrente di R B2. Quindi possiamo scrivere la LKT alla maglia di ingresso al seguente modo: 1

2 V CC =R B1 I C V V BE E V BE V E R B2 Ricavando R B1 si ottiene: R B1 = V V V CC BE E I C V =10,9 k BE V E R B2 (Si osservi che allo stesso risultato si sarebbe arrivati applicando l'equivalente di Thévenin alla maglia di ingresso.) Punto 2) Il circuito equivalente a piccolo segnale (alle medie frequenze) è riportato nella figura seguente: Si osservi che il collettore del bjt si trova dinamicamente a massa per la presenza di C C. Per questo motivo la r o viene a trovarsi in parallelo ad R E //R L. I parametri differenziali a piccolo segnale del bjt saranno pari a: r = V t I B =2,5 k g m = I C V t =20 ms 2

3 La tensione di uscita sarà pari a: v out = g m v v r R E R L r o Per la regola della riflessione della resistenza di emettitore in base (dimostrare) si ottiene il seguente circuito equivalente per la sezione di ingresso: Tenendo conto che (per semplicità poniamo R B =R B1 //R B2 ed R E '=R E //R L //r o ): R S R B r R E ' possiamo scrivere: r v v s R E ' r A questo punto è agevole calcolare il guadagno di tensione come: A v = v out v s = g m 1 r R E ' r r R E ' = 1 R ' E r 1 R E ' 0,457 V V Punto 3) Per la risposta in bassa frequenza utilizziamo il metodo delle costanti di tempo in cortocircuito. L'unica capacità di valore finito è C L, quindi 3

4 bisogna valutare la resistenza equivalente vista ai suoi capi. Applichiamo un generatore di test al posto di C L. Tale generatore vedrà alla sua destra la resistenza R L ed alla sua sinistra il parallelo tra R E //r o e la resistenza vista guardando al bjt dall'emettitore. Resta quindi da valutare questo ultimo contributo. Per fare ciò consideriamo il seguente circuito equivalente semplificato: Tenendo conto che: R S R B1 R B2 50 r Possiamo scrivere che: i x = g m 1 r v 4

5 osservando che: v = v x Si ottiene che il contributo dato guardando dall'emettitore il bjt è pari a: R eq ' =r 1 g m Mettendo il tutto assieme si ha la resistenza equivalente vista dalla capacità C L come: R eqcl =r 1 g m R E r o R L 98 Da cui: 1 f L3dB = 162,4 H 2 R eqcl C Z L Punto 4) La potenza dissipata staticamente dal circuito è pari al prodotto tra la tensione di alimentazione e la corrente che essa eroga quando il circuito si trova in assenza di segnale di ingresso (punto di riposo). Nel caso in esame si ottiene: P DISS =V CC I C I RB1 =V CC I C I B I RB2 =V CC I E V BE V E R B2 =13 mw 5

6 Prova n 2: Per il seguente circuito determinare: 1. Punto di lavoro statico di M 1 ed Q 1 ; 2. Frequenza di taglio superiore legata alla capacità C μ di Q 1 ; Siano noti: V CC = 15 V; β = 200; V A = 120V; K M1 1 = 5х10 3 µa/v 2 ; R S = 15 kω; V TH = 2V; R D = 2 kω; R C = 4 kω; R B = 660 kω; R G1 = 500 kω; R G2 = 820 kω; C gen = C D = C L = ꝏ; C µ = 1 pf; R L = 2 kω. Soluzione: Punto 1) In questo circuito abbiamo un amplificatore a 2 stadi accoppiati in continua. Quindi le polarizzazioni dei due stadi sono dipendenti l'una dall'altra. Un'ipotesi che possiamo fare, per semplificare l'analisi nel nostro caso, è quella di trascurare la corrente di base di Q 1 nello studio del punto di lavoro statico di M 1. A posteriori bisognerà poi verificare se tale assunzione è plausibile oppure se porta ad un errore non trascurabile. Ipotizziamo quindi: 1 K M1 = 1 2 ncox W L 6

7 I B1 I RS In tal caso è possibile scrivere le seguenti equazioni per quanto riguarda lo stadio amplificatore a MOSFET: I D = K M1 V GS V TH 2 =K M1 V G V S V TH 2 =K M1 V CC 2 R G2 I R G1 R D R S V TH G2 Questa è ovviamente una equazione di secondo grado in I D che risolta da due possibili valori per la corrente di drain. La discriminante che ci permette di scegliere il giusto valore è la condizione di funzionamento del MOSFET: V GS > V TH. Esplicitando la precedente equazione in I D e risolvendo si ottiene: I D1 =0,51 ma I D2 =0,47 ma Da cui possiamo calcolare le rispettive V GS come: V GS1 =V CC R G2 R G1 R G2 I D1 R S =1,67 V V GS2 =V CC R G2 R G1 R G2 I D2 R S =2,268V Evidentemente la soluzione da prendere in considerazione è la seconda. Inoltre è facile verificare che: V DS =V CC R S R D I D 7V > V GS V TH =0,268V Quindi M 1 è effettivamente in pinch-off. Bisogna inoltre dire che sarebbe stato possibile anche ottenere una equazione di secondo grado nell'incognita V GS, infatti: V GS =V CC R G2 R G1 R G2 R S I D =V CC R G2 R G1 R G2 R S K M1 V GS V TH 2 Esplicitando in V GS si ottengono ancora due possibili soluzioni di cui solo una rispetta la condizione V GS > V TH. 7

8 Il punto di lavoro è determinato oltre che dalla corrente di drain, dai potenziali di drain, gate e source. Quindi per completare l'analisi del punto di lavoro di M 1 bisogna valutare tali potenziali: V D =V DD R D I D 14,06V V S =R S I D 7,05V V G =V CC R G2 R G1 R G2 9,32V Ora possiamo passare all'analisi del punto di lavoro di Q 1. Scrivendo una LKT alla maglia di base otteniamo: V S =R S I D = R B I B V BE Quindi: I B = R I 0,7 S D 0,01 ma R B Essendo: I B =0,01mA I D =0,47 ma Possiamo affermare che l'ipotesi di partenza di trascurare la corrente di base di Q 1 nello studio del punto di lavoro di M 1 risulta ben posta. Per completare l'analisi del punto di lavoro di Q 1 valutiamo corrente e tensione di collettore al seguente modo: I C = I B =2mA V C =V CC R C I C =7V Punto 2) Per analizzare la frequenza di taglio legata alla capacità C μ riportiamo il circuito equivalente valido per una analisi alle alte frequenze (avendo cura di considerazione dei circuiti aperti le altre capacità interne di Q 1 ed M 1 Metodo delle costanti di tempo a circuito aperto) 8

9 Osserviamo che ai fini del calcolo della frequenza di taglio legata alla capacità C μ serve valutare la resistenza equivalente che essa vede ai suoi capi. Per fare ciò possiamo considerare al posto del primo stadio la sua sola resistenza di uscita. Quest'ultima la si valuta dal seguente circuito equivalente: E' immediato ricavare che: i x g m v gs = v x R S (bilancio di correnti al nodo di source) v gs = v x (nel parallelo tra R G1, R G2 ed R gen non scorre corrente) Quindi: R out1 = v x i x = R S 1 g m 1 g m 9

10 A tal punto tutto il circuito può essere rivisto al seguente modo ai fini del calcolo della resistenza equivalente vista da C μ (con A v1 si è indicato il guadagno a piccolo segnale del primo stadio): La capacità C μ viene a trovarsi a ponte tra la base ed il collettore di Q 1, quindi possiamo utilizzare il teorema di Miller per scomporla nei suoi due contributi tra base e GND e collettore e GND. Dalla sua definizione abbiamo che il K di Miller sarà pari a: K = v c v b = g m R ' L 104V /V avendo indicato con R' L il parallelo tra R C, R L ed r o. Di conseguenza si avrà: C ' =C 1 K 105 pf C ' ' =C 1 1 K C =1 pf In definitiva il circuito da considerare risulterà il seguente (si spengono i generatori indipendenti di tensione e corrente): 10

11 E' facile verificare che (metodo delle costanti di tempo a circuito aperto): C ' = R B 1 g m r C ' r C ' =0,262 S C ' ' R' L C Quindi la frequenza di taglio legata alla capacità C μ risulterà pari a: 1 f 2 r C ' 606kHz 11

12 Prova n 3: Per il seguente circuito determinare: 1. Punto di lavoro statico di M 1 ; 2. Guadagno di tensione a piccolo segnale; 3. Resistenza di ingresso; 4. Frequenza di taglio inferiore legata alla capacità C L ; 2 Siano noti: V DD = 12 V; R gen = 10 kω; K M1 = 10 3 µa/v 2 ; R S = 500 Ω; R F = 470 kω; V TH = 3V; R D = 4 kω; C D = C IN = ꝏ; C L = 1 µf; R L = 300 Ω. Soluzione: Punto 1) Osserviamo subito che la polarizzazione in zona attiva di M 1 è ottenuta tramite il resistore R F posto tra gate e drain. Infatti essendo la corrente di gate nulla, su tale resistore non c'è caduta di tensione: V GS = V DS, il che verifica la condizione V DS > V GS V TH. Scriviamo la LKT alla maglia di uscita (tenendo conto che V GS = V DS ): V DD =R D I D V GS R S I D 2 K M1 = 1 2 μ n Cox W L 12

13 Quindi: V GS =V DD R S R D I D Ora possiamo scrivere l'equazione della corrente di drain di M1 in pinchoff come: I D =K M1 V GS V TH 2 =K M1 V DD R D R S I D V TH 2 Questa è ovviamente una equazione di secondo grado in I D che risolta da due possibili valori per la corrente di drain. La discriminante che ci permette di scegliere il giusto valore è la condizione di funzionamento del MOSFET: V GS > V TH. Esplicitando la precedente equazione in I D e risolvendo si ottiene: I D1 =2,3mA I D2 =1,7mA Da cui possiamo calcolare le rispettive V GS come: V GS =V DD R S R D I D1 =1,65V V GS =V DD R S R D I D2 =4,35 V Evidentemente la soluzione da prendere in considerazione è la seconda. Sarebbe stato possibile anche ottenere una equazione di secondo grado nell'incognita V GS, infatti: V GS =V DD R D R S I D =V DD R D R S K M1 V GS V TH 2 Esplicitando in V GS si ottengono ancora due possibili soluzioni di cui solo una rispetta la condizione V GS > V TH. Il punto di lavoro è determinato oltre che dalla corrente di drain, dai potenziali di drain, gate e source. V D =V DD R D I D 5,2V V S =R S I D 0,85V V G =V D =5,2V 13

14 Punto 2) Consideriamo il circuito equivalente a piccolo segnale: In tale circuito si è tenuto conto del fatto che per la presenza del capacitore C D, il drain è dinamicamente a massa. Di conseguenza il resistore R F si trova tra gate e GND, quindi in parallelo all'ingresso. Per prima cosa valutiamo il parametro g m : g m =2 K M1 I D =2,6 ms La tensione di uscita si valuta semplicemente come: v o = g m v gs R S R L La tensione di ingresso v in si ripartisce tra R gen ed R F, e scrivendo una LKT alla maglia di ingresso di M 1 otteniamo: v in R F R F R gen =v gs v o Ricavando v gs da questa relazione e sostituendo nell'espressione di v o, si ottiene che: A v = v o R =g v m R S R F L 0,321 V in R F R gen V 14

15 Punto 3) Il calcolo della resistenza di ingresso è immediato: M 1 presenta una resistenza di ingresso infinita, quindi l'unico contributo è portato da R F, per cui: R in = R F =470k Punto 4) Per trovare la frequenza di taglio legata alla capacità C L dobbiamo valutare la resistenza equivalente vista ai suoi capi. Per fare ciò facciamo riferimento al seguente circuito equivalente: Applichiamo un generatore di test al posto di C L. Tale generatore vedrà alla sua destra la resistenza R L ed alla sua sinistra il parallelo tra R S e la resistenza vista guardando al MOSFET dal terminale di source. Resta quindi da valutare questo ultimo contributo. Per fare ciò consideriamo il seguente circuito equivalente semplificato: 15

16 Possiamo scrivere le seguenti relazioni: i x = v x R S g m v gs (bilancio di correnti al nodo di source) v x = v gs (In R F // R gen non circola corrente) Quindi: v x R x = v x = =R i x v S 1 x g m g R m v x S Questo è ciò che vede C L alla sua sinistra, mentre come detto alla sua destra vede R L. Tali contributi si trovano ovviamente in serie, quindi in definitiva si ottiene: R eq =R L R S 1 g m La frequenza di taglio associata a C L sarà: 1 f = 2 R eq CL 308Hz 16

17 Prova n 4: Per il seguente circuito determinare: 1. Punto di lavoro statico di Q 1 ; 2. Guadagno di tensione a piccolo segnale; 3. Frequenza di taglio inferiore; 4. Resistenza di uscita nel caso in cui V A(Q1) = 100 V. Siano noti: V CC = 9 V; β = 60; V A = ꝏ; R S = 50 Ω; R C = 5 kω; R B = 708 kω; R E1 = 200 Ω; R E2 = 1,8 kω; C B = C L = ꝏ; C E = 1 µf; R L = 10 kω. Soluzione: Punto 1) Scriviamo la LKT alla maglia di ingresso: V CC =R B I B V BE R E1 R E2 I E =R B I B V BE R E1 R E2 I B 1 Da questa relazione possiamo ottenere la corrente di base come: 17

18 I B = V CC V BE R B R E1 R E2 1 =10 A Di conseguenza si avrà che: I C = I B =600 A V C =V CC R C I C =6 V V E = R E1 R E2 I E =1,202V V B =V BE R E1 R E2 I E =1,902V Punto 2) Riportiamo il circuito equivalente a piccolo segnale valido alle medie frequenze: Si osservi subito che alle medie frequenze il capacitore C E cortocircuita il resistore R E2. I parametri differenziali a piccolo segnale di Q 1 varranno: g m = I C V t =24 ms 18

19 r = V t I B =2,5 k r o = V A I C = La tensione di uscita si esprime semplicemente come: v o = g m R C R L Per la regola della riflessione della resistenza di emettitore in base (dimostrare) si ottiene il seguente circuito equivalente per la sezione di ingresso: E' ora possibile verificare che è possibile trascurare R S, infatti: R S R B [ r R E1 1 ] Quindi possiamo scrivere che: v =v s r r R E1 1 Il guadagno di tensione potrà esprimersi come: A v = v o = g r m R C R L v s r R E1 1 = R R C L r R E1 1 13,87 V V 19

20 Punto 3) La risposta in bassa frequenza sarà imposta dalla sola capacità C E. Per trovare la frequenza di taglio legata a C E dobbiamo valutare la resistenza equivalente vista ai suoi capi. Per fare ciò facciamo riferimento al seguente circuito equivalente: Applichiamo un generatore di test al posto di C E. Tale generatore vedrà la resistenza R E2 con in parallelo la serie tra R E1 e la resistenza vista guardando Q 1 dall'emettitore. Resta quindi da valutare questo ultimo contributo. Per fare ciò consideriamo il seguente circuito equivalente semplificato: Scriviamo un bilancio di correnti al nodo di emettitore: i x v r g m v =0 i x = v 1 r g m Scrivendo invece la LKT alla maglia di ingresso si ha: 20

21 v x v r R B R S R v x v r R S R =0 v x = v R S r r In definitiva il contributo del bjt visto dall'emettitore è pari a: R eq = R S r r r 1 g m r = R S r 1 r 1 r = 1 g m Quindi la resistenza equivalente vista dalla capacità CE sarà pari a: R eqce =R E2 R E1 1 g m 212,5 da cui otteniamo una frequenza di taglio pari a: 1 f L = 738 Hz 2 R eqce C E Punto 4) Consideriamo il circuito equivalente utile al calcolo della resistenza di uscita: Osserviamo subito che R B //R S + r π si trova in parallelo ad R E1 (Per semplicità indichiamo con R' E tale valore). Inoltre la R out è pari al parallelo tra R C ed il contributo dato da Q 1 guardando dal collettore. Quindi possiamo ragionare sul seguente circuito semplificato: 21

22 Ora possiamo scrivere che: v x =v ro R ' E i x (LKT alla maglia di uscita) v ro = i x g m v r o g m v =g m R ' E i x mettendo tutto assieme si ottiene: v x =[ 1 g m R ' E r o ]i x R ' E i x è agevole a questo punto calcolare la R out come: R out = v x i x =[ 1 g m R ' E r o R ' E ] R C R C 22