Esercitazione n 4: Amplificatore a doppio carico

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1 Esercitazione n 4: Amplificatore a doppio carico 1) Per il circuito in Fig.1 scegliere i valori delle resistenze di polarizzazione affinché: la potenza dissipata staticamente dal circuito sia < 10mW, V C = ½ V CC, V E = 1,2 V. Sia noto che: V CC = 12 V; R L = 100 kω; R S = 8,2 kω; C B = 10 μf; C L = 2,2 μf; C E = 470 μf; il transistore bipolare utilizzato è un BC547C (si trascuri l'effetto Early). V CC R C R F out + in R S C B B C E C L sw - R L V S R E C E Fig. 1: Amplificatore a doppio carico. Per prima cosa ricaviamo il valore del β del transistore dal datasheet del costruttore. In Fig.2 è riportata la sezione che contiene tale informazione. Consideriamo ai fini della nostra analisi il caso peggiore, ovvero β = 420. La condizione imposta sulla potenza dissipata impone un limite superiore alla corrente di emettitore (corrente totale erogata dalle alimentazioni), infatti si ha: 10 mw I E < 0,83 ma V CC 1

2 A questo punto per mantenere un minimo di margine sulla condizione imposta, scegliamo I E = 600 µa. Fig. 2: Parte del datasheet del transistore bipolare BC547C. Fig. 3: Amplificatore a doppio carico: circuito per l'analisi statica. 2

3 Per determinare il valore dei resistori della rete di polarizzazione facciamo riferimento alla parte statica del circuito in esame (Fig. 3). Scrivendo la LKT alla maglia di uscita si avrà: V CC =R C (I C +I B )+V C Da cui ricaviamo R C come (si osservi che l'elevatissimo valore di β rende I E I C ): R C = V CC V C I C (1+ 1 β ) 10 k Ω Per il resistore di emettitore si avrà: R E = V E I E =2 k Ω Il valore commerciale più prossimo risulta essere R E = 2,2 kω che porta ad un valore di V E pari a 1,32 V. Il resistore di Feedback resta vincolato dalla seguente equazione (LKT alla maglia di ingresso): V CC =R C I E + R F I B +V BE +V E Tenendo conto che V C = ½ V CC, consegue che a sua volta R C I E = ½ V CC, ottenendo: R F = V V V V /2 CC BE E CC 2,7 M Ω I B 3

4 2) Per il circuito in Fig.1 determinare il guadagno di tensione a piccolo segnale (alle medie frequenze) nell'ipotesi che l'interruttore sw resti aperto. Come prima cosa consideriamo il circuito equivalente a piccolo segnale valido per l'analisi AC alle medie frequenze: Fig. 4: Circuito equivalente a piccolo segnale valido alle medie frequenze. Prima di procedere bisogna al calcolo dei parametri differenziali del transistore bipolare nell'intorno del punto di lavoro: g m = I C V t =24mS r π = V t I B = V t I C β= β g m 8,33k Ω r o = V A I C = Risulta subito evidente la difficoltà nell'analisi del circuito introdotta dalla presenza del resistore R F. Una possibilità per ridurre la complessità del circuito ci viene fornita dal teorema di Miller riportato in Appendice 1. Possiamo, quindi, pensare di utilizzare la trasformazione di Miller per analizzare il nostro amplificatore. Per fare ciò bisogna analizzare per prima il circuito base (senza la presenza di R F ) per il calcolo del K. Per fare ciò consideriamo il seguente circuito equivalente semplificato: 4

5 Fig. 5: Circuito equivalente per il calcolo del K. Ricordiamo che il K è definito come il rapporto tra le due tensioni riferite a massa dei nodi tra cui è posta R F. Quindi bisogna valutare: K = v c v b E' facile osservare che: v b =v π +v e v c = R C R L (g m v π ) quindi si arriva alla seguente espressione: K = R C R L ( g m v π) v π +v e Scrivendo un bilancio di correnti al nodo di emettitore otteniamo: v π r π +g m v π = v e R E da cui: 5

6 v e =v π R E ( g m + 1 r π )=v π R E (β+1) r π Andando a sostituire nell'espressione di K si ottiene: K = R R ( g v C L m π) = R R g C L m v π +V e 1+ R E(β+1) r π 4,42 V V Ora è possibile calcolare le due componenti in cui si sdoppia R F : R F1 = R F 1 K =500 k Ω R F R F2 = 1 1/ K =2,2M Ω A questo punto possiamo riconsiderare il nuovo circuito equivalente: Fig. 6: Circuito equivalente dopo la trasformazione di Miller. Ora possiamo finalmente passare al calcolo del guadagno di tensione: A v = v o v s = v o v π v π v s La tensione di uscita risulta semplicemente pari a: v o = g m v π R C R L R F2 6

7 Per la tensione di ingresso bisogna valutare il trasferimento di segnale da v s all'ingresso del transistore. Valutiamo la resistenza equivalente guardando a destra di R F1 : Nel calcolo del K abbiamo trovato che: v e =v π R E ( g m + 1 r π )=i b R E (β+1) e siccome: v b =v π +v e =i b r π +i b R E (β+1)=i b (r π +R E (β+1)) Possiamo, quindi, rivedere la sezione di ingresso al seguente modo: Fig. 7: Circuito equivalente per il calcolo dell'accoppiamento di ingresso. Osserviamo che R E (β+1)+r π 450 k Ω, quindi il parallelo con R F1 varrà: R F1 (r π +R E (β+1)) (r π+ R E (β+1)) =225k Ω 2 Questa considerazione ci permette di affermare che: R s R F1 (r π + R E (β+1)) per cui possiamo semplificare i calcoli trascurando Rs. Fatte queste 7

8 dovute considerazioni avremo che il legame tra v s e v π sarà immediato a partire dalla regola del partitore di tensione: v s =v π + v π r π R E (β+1)=v π (1+ R E (β+1) r π ) Siamo finalmente giunti al punto in cui è possibile scrivere agevolmente il guadagno di tensione del nostro amplificatore come segue: A v = v o = g v m π R C R L R F2 v s v π (1+ R = β R R R C L F2 E(β+1) r ) π +R E (β+1) r π A questo punto, tenendo conto che R C, R L R F2, possiamo semplificare ancora di più il risultato ottenendo: A v β R R C L r π +R E (1+β) Questo risultato è molto importante perché ci permette di affermare che se r π R E (1+β) (cosa che si verifica quasi in tutti i casi pratici) il guadagno dell'amplificatore a doppio carico risulta parti al rapporto tra le due resistenze di collettore ed emettitore, svincolandone il valore da tutti i parametri fisici del transistore bipolare e quindi rendendolo immune alle variazioni parametriche del circuito. Nel nostro caso otteniamo: A v R R C L 4,1 V R E V 12,23dB E' interessante a questo punto verificare se le approssimazioni fatte erano ben poste e di quanto incidono sul valore finale del guadagno di tensione calcolato. A tale scopo riportiamo una simulazione SPICE del circuito in questione. 8

9 Fig. 8: Diagramma di Bode ottenuto tramite simulazione SPICE. Dal diagramma di Bode ottenuto tramite simulazione SPICE otteniamo un valore del guadagno a centro banda di 12 db, ovvero circa -3,93 V/V che è perfettamente in accordo con il valore ottenuto con il calcolo analitico approssimato. 3) Calcolare il valore della resistenza di ingresso e di uscita del circuito in Fig.1 nell'ipotesi che l'interruttore sw resti aperto. Per il calcolo della resistenza di ingresso, non dobbiamo aggiungere molto all'analisi già fatta durante il calcolo del guadagno di tensione. Infatti abbiamo appurato che l'ingresso del nostro amplificatore può essere visto come in Fig. 7, per cui risulta immediato scrivere che: R input =R F1 (r π +R E (β+1)) (r π+r E (β+1)) =225 k Ω 2 Il calcolo della resistenza di uscita risulta molto più complicato dalla presenza di R F, infatti prendiamo in considerazione il circuito equivalente utile al calcolo della resistenza di uscita: 9

10 Fig. 9: Circuito equivalente per il calcolo di Rout. In questo caso non è possibile utilizzare la trasformazione di Miller 1. Per valutare la resistenza di uscita si farà quindi uso della teoria dei sistemi reazionati. Infatti il resistore R F introduce una reazione di tipo paralleloparallelo ed il doppio bipolo che identifica il blocco β è mostrato nella Fig. 10. Il modello adatto a schematizzare il blocco β, in Fig. 11, è quello a parametri G. Applicando le definizioni dei parametri G, otteniamo: G 11 = i 1 v 1 v2=0= 1 R F G 22 = i 2 v 2 v1=0= 1 R F β=g 12 = i 1 = 1 v 2 v1=0 R F A questo punto è possibile inserire gli effetti di carico introdotti dalla rete β e calcolare il guadagno di transresistenza come: A r = v o i s 1 Infatti se togliessimo la resistenza R F tra base e collettore annulleremmo la porzione di corrente che da v x scorre attraverso R F e ripartita tra Rs ed r π crea una caduta di potenziale su r π che a sua volta impone una corrente nel generatore controllato in tensione del modello equivalente del bjt. 10

11 Fig. 10: Circuito per l'individuazione del blocco β. Fig. 11: Modello equivalente della rete β. Lasciamo al lettore la verifica delle seguenti relazioni (si faccia riferimento al circuito di Fig. 12, dove il generatore di segnale in ingresso è stato sostituito con il suo equivalente di Northon, trattandosi di un amplificatore di transresistenza ): 11

12 Fig. 12: Circuito equivalente dell'amplificatore base con gli effetti di carico. v π =i s R s R F R s R F +[r π +R E (β+1)] r π v o = g m v π R F R C R L v π v s r π r π +R E (β+1) Quindi si ottiene: A r = v o i s = v o v π v π i s 32 k Ω A questo punto è finalmente possibile calcolare la resistenza di uscita come: R o R of = 1+ A r β dove: R o = R C R F In definitiva: R of R C k Ω R F =9,88 k Ω 12

13 Ora è possibile valutare questo risultato anche con una simulazione SPICE. In Fig. 13 è riportato lo schematico realizzato in LTspice IV per la valutazione del guadagno di transresistenza, seguito (in Fig. 14) dal risultato della simulazione. Fig. 13: Schematico in LTspice IV utile alla valutazione del guadagno di transresistenza. Fig. 14: Risultato della simulazione SPICE per il calcolo del guadagno di transresistenza. 13

14 Come è possibile osservare, il risultato della simulazione è in perfetto accordo con il valore ottenuto per via analitica. Nelle figure successive (Fig ) vengono riportati rispettivamente lo schematico utilizzato per valutare la resistenza di uscita ed il risultato della simulazione SPICE. Il risultato ancora una volta conferma l'esattezza dei risultati. Fig. 15: Schematico in Ltspice IV utile alla valutazione della resistenza di uscita. Fig. 16: Risultato della simulazione SPICE per il calcolo della resistenza di uscita. 14

15 4) Determinare la risposta in frequenza dell'amplificatore in Fig.1 nell'ipotesi che l'interruttore sw resti aperto. Dal datasheet riportato in Fig.2 ricaviamo i valori di C EB0 = 11 pf, C CB0 = 1,5 pf. Questi sono i valori calcolati in determinate condizioni (sappiamo che tali capacità dipendono dal punto di lavoro del transistore) ma ai fini di una valutazione approssimata della banda passante li utilizziamo anche nel nostro caso. Per prima cosa consideriamo il circuito equivalente per l'analisi in frequenza, dove sono riportati gli elementi capacitivi interni ed esterni al transistore bipolare. Fig. 17: Circuito equivalente per l'analisi in frequenza. Cominciamo con l'analisi in alta frequenza. Utilizziamo il metodo delle costanti di tempo a circuito aperto. A tal fine consideriamo dei cortocircuiti le capacità di accoppiamento (C S e C L ) e calcoliamo le costanti di tempo associate alle capacità interne al bjt. Per la capacità C μ si utilizza la trasformazione di Miller già vista per R F. Si osservi che l'impedenza associata ad una capacità si esprime come: Z C = 1 j ωc Quindi andando a sostituire nelle espressioni di Miller otteniamo: Z 1 = Z 1 K C μ '=C μ (1 K ) 8,1 pf analogamente: 15

16 C μ ' '=C μ (1 1 ) 1,84 pf K Il circuito equivalente alle alte frequenze si ridisegna al seguente modo: Fig. 18: Circuito equivalente per l'analisi in alta frequenza dopo la trasformazione di Miller. Cominciamo con il valutare la costante di tempo associata alla capacità C π : a tal fine sostituiamo le capacità C μ ' e C μ '' con dei circuiti aperti e valutiamo la resistenza equivalente vista ai capi di C π. Il circuito da analizzare è riportato in Fig. 19: Fig. 19: Circuito equivalente per la valutazione della resistenza equivalente vista dalla capacità C π. Ricordando l'analisi fatta per il calcolo della resistenza di ingresso (fare riferimento alla Fig. 7) è facile ottenere il seguente circuito equivalente: 16

17 Fig. 20: Circuito equivalente semplificato per la valutazione della resistenza equivalente vista dalla capacità C π. A questo punto è facile valutare che: Req C π =[ R S R F1 +R E (β+1)] r π r π =8,33 k Ω Che porta a: τ C π C π r π 0,91ns Per quanto riguarda C μ ', apriamo C π ed C μ '': alla sua destra vedremo la resistenza di ingresso del bjt, mentre a sinistra vedremo il parallelo tra R F ed Rs, quindi: Req C μ ' =R S R F1 (r π +R E (β+1)) R S =8,2k Ω Quindi la costante di tempo associata a C μ ' diviene: τ Cμ ' C μ ' R S 0,66 ns C μ '' vedrà ai suoi capi la resistenza di uscita dell'amplificatore con in parallelo R L, quindi: τ Cμ ' ' C μ ' ' (R C R L ) 0,16 ns Da quanto ottenuto ci rendiamo conto che non è presente una costante di tempo dominante, quindi non possiamo stimare la frequenza di taglio superiore a 3dB. In ogni caso la frequenza di taglio che interviene per prima è quella legata alla capacità C π, equivalente ad una frequenza di 17

18 f 1 2 π τ C π =1,73MHz. Passiamo ora allo studio del comportamento in bassa frequenza. Utilizziamo il metodo delle costanti di tempo in corto-circuito. Tale metodo prevede di sostituire con dei circuiti aperti le capacità interne al transistore (C π e C μ ) e valutare le costanti di tempo associate alle restanti capacità (C S, C L ). Il circuito equivalente da considerare è riportato in Fig. 21: Fig. 21: Circuito equivalente per l'analisi in bassa frequenza. La capacità C S (quando C L è un corto-circuito) vede ai suoi capi la resistenza di ingresso dell'amplificatore più R S, quindi tenendo conto del calcolo fatto nel punto 3 si ottiene: τ CS C S (R S +R F1 (r π +R E (β+1)))=2,33 s Di contro la capacità C L (quando C S è un corto-circuito) vede ai suoi capi la resistenza di uscita dell'amplificatore: τ CL C L (R L +R C ) 0,242 s In questo caso c'è una costante di tempo dominante alle basse frequenze legata a C L, dando come risultato: f L3dB 1 2π τ CL 0,66 Hz I risultati ottenuti sono pienamente confermati da una simulazione spice, che ci permette di ottenere il diagramma di Bode già riportato in Fig. 8 precedentemente. 18

19 5) Valutare qualitativamente cosa accade se l'interruttore sw viene chiuso. Se l'interruttore sw viene chiuso, da un punto di vista statico nulla cambia. Infatti esso si trova posto in parallelo alla resistenza di emettitore, non cambiando di fatto la polarizzazione del circuito. Da un punto di vista dinamico bisogna fare un analisi di tipo asintotica. Per basse frequenze (f 0), accade che l'influenza di C E è del tutto trascurabile essendo la sua impedenza molto grande (Z CE ). Quindi il comportamento resta identico al caso in cui l'interruttore è aperto. Per frequenze molto grandi (f ; Z CE 0) succede che tale capacitore cortocircuita il resistore R E, riportando il circuito di partenza ad una ben nota configurazione ad emettitore comune. In tal caso si avranno i seguenti risultati. Il guadagno di tensione dell'amplificatore aumenta notevolmente, infatti avevamo trovato che: A v β R R C L r π +R E (1+β) Se facciamo tendere a zero R E, otteniamo la ben nota relazione: A v g m R C R L 216 V V La resistenza di ingresso diviene semplicemente: R input =R F1 r π 8,33 k Ω La resistenza di uscita resta praticamente immutata pari ad: R out R C =10k Ω In alta frequenza avremo che aumentando di un ordine di grandezza il guadagno di tensione, l'effetto Miller su C μ farà si che: C μ '=C μ (1 K ) 325,5 pf C μ ' '=C μ (1 1 ) 1,8 pf K Come conseguenza si avrà: 19

20 Req C μ = R S R F1 r π 4,1k Ω τ Cμ ' C μ ' R S r π 1,33μ s Quindi in questa configurazione il polo dominante in alta frequenza è imposto dalla capacità C μ ', con una frequenza di taglio superiore di: f H3dB khz 2 π τ Cμ ' Osserviamo che a rigore il discorso asintotico in frequenza andrebbe fatto rispetto alla costante di tempo associata alla capacità C E : infatti per frequenze molto superiori alla frequenza associata a tale costante di tempo, il circuito diviene un emettitore comune, mentre per frequenze molto inferiori rispetto a tale frequenza il circuito è assimilabile ad un doppio carico. Nel nostro caso la frequenza di taglio associata a C E si trova a frequenze bassissime, infatti si può dimostrare che: 1 f CE 2π C E R E 1 8,2 Hz g m Possiamo, quindi, riassumere i risultati ottenuti nella seguente tabella: Doppio Carico A v -4,1 V/V R in 225 kω R in 9,88 kω F L 0,66 Hz F H 1,73 MHz Emettitore Comune A v -216 V/V R in 8,3 kω R in 9,88 kω F L 8,2 Hz F H 120 khz Di seguito è riportata una simulazione SPICE per questa configurazione che conferma le considerazioni fatte su guadagno di tensione e frequenze di taglio. 20

21 Fig. 22: Diagramma di Bode ottenuto tramite simulazione SPICE con sw chiuso. Si osservi che se la frequenza di taglio associata alla capacità CE fosse stata scelta in modo tale da trovarsi a centro banda, sarebbe stato possibile individuare sul diagramma di Bode entrambe le modalità di funzionamento del circuito. Infatti se poniamo f CE = 2 khz, otteniamo: 1 C E 2π 1 1,95μ F f g CE m Fig. 23: Diagramma di Bode ottenuto tramite simulazione SPICE con CE = 1,95μF. 21

22 In una applicazione di tipo pratica, questa riconfigurazione del circuito con il semplice inserimento del capacitore C E può essere immaginata come un boost del guadagno dell'amplificatore. Ad esempio immaginando ad una applicazione audio dove il segnale proviene da un microfono, può tornare utile in alcune situazioni amplificare molto di più il segnale a causa di un suo troppo basso livello. Ovviamente c'è un prezzo da pagare per avere un maggiore guadagno di tensione. La prima conseguenza è quella che la banda passante del sistema si riduce come abbiamo potuto constatare dai calcoli precedenti. Sempre considerando una applicazione audio è pure vero che nel secondo caso la frequenza di taglio superiore è di 120 khz che va molto al di la dei 22 khz percepibili dall'orecchio umano. C'è un altro prezzo da pagare: il rumore equivalente introdotto dal circuito. Senza entrare nei dettagli, di seguito è riportato una simulazione SPICE del confronto tra il rumore generato dallo stesso circuito nelle due configurazioni. Come si vede il secondo caso è molto peggiorativo rispetto al primo caso. Fig. 24: Schematico in LTspice IV per la valutazione del rumore generato dal circuito (nel primo caso la capacità CE è assente). 22

23 Fig. 25: Simulazione SPICE della densità spettrale di rumore generata dall'amplificatore a doppio carico. Fig. 26: Simulazione SPICE della densità spettrale di rumore generata dall'amplificatore ad emettitore comune. 23

24 Appendice 1 Il teorema di Miller è un teorema sulle reti elettriche. Supponiamo di considerare una impedenza posta tra due punti di una rete elettrica: Fig. 27: Teorema di Miller. Sia V1 e V2 il potenziale di questi due punti rispetto al potenziale comune (GND). Si pone: K = V2 V1 Il teorema di Miller dice che è possibile una trasformazione che porta dal circuito di Fig. 17.a a quello di Fig. 27.b scegliendo opportunamente i valori delle impedenza Z1 e Z2. Ciò si dimostra facilmente imponendo che il regime delle correnti nella rete elettrica resti inalterato, ovvero: I Z1 = I Z I Z2 =I Z Che si traduce nelle seguenti due condizioni: V1 Z1 = V1 V2 = V1(1 K ) Z Z Z1= Z 1 K 24

25 V2 Z2 = V1 V2 V2(1/ K 1) = Z2= Z Z Z 1 1/ K Quindi a patto di scegliere secondo le precedenti relazioni i valori di Z1 e Z2 le due reti possono essere considerate equivalenti. Ci sono in ogni caso delle osservazioni da fare: 1)K non deve risentire dello spostamento dell'impedenza Z; 2)La trasformazione di Miller non si può utilizzare per il calcolo della resistenza di uscita; 3)Se K è molto grande Z1 tende a zero, così come se K è molto piccolo Z2 tende a zero. 25