Bipoli Elettrici. Esercitazioni aggiuntive. = i I. + i A 'B ' v A 'B ' + v R. + v E v AB. = v D. = v A 'B ' = v I C + A + D + R d V R. V i.

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1 sercitazioni aggiuntive sercizio. Tracciare la caratteristica esterna della rete in figura: V i ʼ ʼ i i i i ʼʼ D V D i D d V i D γ i V D γ i ʼ V d i D V ʼ D i D V D i i i V i g =.5 [v] d = [W] i = [kw] Si definiscano le c.r.a. per ogni bipolo; applicando le leggi di Kirchhoff si possono scrivere le seguenti relazioni: id = i = i = i ' ' i = i I i ' ' v ' ' = v D v v v = v ' ' = v I Si considerino ora i bipoli del ramo serie; si traccino le caratteristiche tensione-corrente di ciascuno di essi, poi, dato che i tre bipoli sono in serie, per ciascun valore di corrente si sommino i relativi valori di tensione, e si tracci la caratteristica equivalente.

2 V [v] V D [v] i D [] i [] V [v].5 i [] V ʼʼ [v].5.5. i ʼʼ [] Successivamente si disegni la caratteristica relativa al ramo i, che è: V i [V]. - ii []

3 esercitazioni Infine la caratteristica richiesta deriva dalla composizione in parallelo di quelle ralative al ramo serie ed al resistore i ; per ciascun valore di tensione occorre sommare le corrispondenti correnti. La caratteristica dell intera rete è qui riportata: V [v].6.5. i [] Si osservi che la pendenza del ramo corrispondente ad i è stata arbitrariamente aumentata per una maggiore chiarezza del disegno. sercizio. Dato il circuito in figura ricavare la caratteristica esterna: v = f(i ). i I I = [] = [W] Si stabiliscano le c.r. di ogni bipolo. V D i D V I i I V i pplicando le leggi di Kirchhoff si trovano le seguenti relazioni: i = id i = ii i v = vd vd v = v = vi

4 4 Si traccino le caratteristiche tensione-corrente per ciascun bipolo: V D [v] V I [v] i D [] -I i I [] V [v] i [] Dato che I ed sono in parallelo per ciascun valore di tensione si devono sommare le correnti. Si ottiene: V [v] - i [] La caratteristica v = f(i ) si ottiene componendo in serie l ultima tracciata con quella del diodo: v = vd v

5 esercitazioni 5 Si ricava V [v] - i [] sercizio. Scrivere le leggi di Kirchhoff per le correnti e le tensioni per la rete di figura: 4 D F G H I 9 La rete è composta da rami; essa contiene 9 nodi, di cui 6 impropri. Le maglie sono. Nodi:,,, D,, F, G, H, I. Maglie: FD; DFIHG; FIHGD. Nella seguente figura è riportato il grafo della rete in cui è stata eseguita l operazione di orientamento dei singoli rami che, come è noto, equivale ad assumere i versi positivi delle correnti. Se, inoltre, per comodità si decide di assumere nella rete anche le condizioni di riferimento associate per i bipoli passivi, si osserva che automaticamente vengono stabiliti anche i versi delle polarità delle tensioni come è indicato a fianco della figura successiva.

6 6 Si ottiene così il seguente schema: i i i i4 V V V 4 V4 D i i F 5 6 i7 i8 V7 7 V5 V6 8 V8 G i H i I 9 V9 V QUZIONI I NODI ) i i = ) i i = ) i4 i = D) i i5 i7 = ) i5 i6 = F) i6 i8 i4 = G) i7 i9 = H) i9 i = I) i i8 = QUZIONI LL MGLI: FD) v v v4 v6 v5 v = DFIHG) v5 v6 v8 v v9 v7 = FIHGD) v v v4 v8 v v9 v7 v = Ovviamente, come verrà espresso più chiaramente nel prossimo capitolo, nelle equazioni alle maglie sopra scritte sarebbe opportuno esprimere le tensioni di ramo in funzione delle relative correnti, ciò facendo uso delle r equazioni costitutive scritte per tutti i rami della rete, al fine di risolvere il circuito.

7 esercitazioni 7 sercizio.4 Scrivere le leggi di Kirchhoff per le correnti e le tensioni per la rete di figura: La rete è composta da 8 rami; contiene 5 nodi (di cui improprio) e maglie. nche in questo caso, nella seguente figura è riportato il grafo della rete in cui è stata eseguita l operazione di orientamento dei singoli rami che, come è noto, equivale ad assumere i versi positivi delle correnti. Se, inoltre, per comodità si decide di assumere nella rete anche le condizioni di riferimento associate per i bipoli passivi, si osserva che automaticamente vengono stabiliti anche i versi delle polarità delle tensioni come è indicato a fianco della figura successiva. Si scelga arbitrariamente, inoltre, il verso di percorrenza antiorario per tutte le maglie. Si ottiene così il seguente schema: QUZIONI I NODI: ) i i = ) i i8 i i4 = ) i i6 i5 i = D) i4 i7 i5 = ) i6 i7 i8 = V i i V V i i 4 i 5 i V 4 V 5 V 6 i 7 7 D V 7 8 i 8 V 8

8 8 QUZIONI LL MGLI ) v v v = D) v v5 v4 = D) v6 v7 v5 = D) v7 v8 v4 = D) v v5 v4 v = D) v4 v5 v6 v8 = D) v v6 v7 v4 = ) v v6 v8 = D) v v5 v7 v8 = D) v v6 v7 v4 v = D) v v5 v7 v8 v = ) v v6 v8 v = sercizio.5 Scrivere le leggi di Kirchhoff per le correnti e le tensioni per la rete di figura: D F G H 8 9 La rete è composta da rami; ha 8 nodi (di cui impropri) e 7 maglie. Procedendo ancora in maniera analoga, si assegnino arbitrariamente i versi delle correnti nei diversi rami, e si indichino i versi delle tensioni su di essi, determinati applicando le condizioni di riferimento associate (convenzioni per gli utilizzatori in questo caso). Si stabilisce arbitrariamente, inoltre, il verso di percorrenza antiorario per ciascuna maglia. QUZIONI I NODI: ) i i i5 = ) i i6 i = ) i4 i i =

9 esercitazioni 9 D) i7 i4 = ) i5 i8 i = F) i i i i i i = G) i9 i = H) i i i i7 = i V i V V V 4 i 4 i 4 D i 5 i 6 i 7 V V 6 V 7 i 8 i 9 i F G 8 9 H i V 8 V 9 i V V i V V QUZIONI LL MGLI: ) v v v = F) v v5 v8 v6 = DHGF) v v6 v9 v v7 v4 = FGH) v v9 v = DHGF) v v v6 v9 v v7 v4 = DHF) v v v6 v v7 v4 = DHGF) v v5 v8 v9 v v7 v4 = DHF) v v5 v8 v v7 v4 = DHGF) v v5 v8 v9 v v7 v4 v = DHF) v v5 v8 v v7 v4 v = DHF) v v6 v v7 v4 = FGH) v v9 v = DHF) v v v6 v v7 v4 = DHF) v v5 v8 v v7 v4 = DHF) v v5 v8 v v7 v4 v =

10 DHF) v v6 v v7 v4 = FH) v v = F) v v5 v v6 = DHGF) v v5 v v9 v v7 v4 = DHF) v v5 v v v7 v4 = DHGF) v v5 v v9 v v7 v4 v = DHF) v v5 v v v7 v4 v = DHF) v v5 v v v7 v4 = DHF) v v5 v v v7 v4 v = F) v v = 8 F) v v5 v8 v6 v = F) v v5 v v6 v = sercizio.6 Determinare il punto di lavoro della rete rappresentata in figura: i i V = 5 [v] =.5 [W] v = 5. i i v = i < Si disegnino le caratteristiche dei tre singoli bipoli sui rispettivi piani di definizione; dopo aver scritto le leggi di Kirchhoff per le tensioni e per le correnti si tracci la caratteristica composta del bipolo serie. Quindi si disegni la caratteristica del resistore non lineare sul piano (I, V ). Osservando che le due caratteristiche possono essere tracciate sullo stesso piano di lavoro in base ai principi di Kirchhoff, tarando opportunamente gli assi, la relativa intersezione rappresenta il punto di lavoro della rete individuando i valori della corrente che circola nell unica maglia e della tensione V. Lo stesso problema può essere risolto anche nel seguente modo: si assegnino i versi delle correnti e delle tensioni come in figura; si traccino la caratteristica composta della serie e quella del resistore ; si rappresenti, infine, la caratteristica i cui punti si ottengono fissando un valore di tensione, trovando le correnti ad esso corrispondenti dai due precedenti grafici, e calcolandone la somma in base al principio di Kirchhoff per le correnti. Quando, per un particolare valore di tensione, la somma delle due correnti è nulla, si è trovato il punto di lavoro.

11 esercitazioni iò si spiega, fisicamente, osservando che in una serie di bipoli il modulo della corrente, a parte le assegnazioni di verso (arbitrarie) su ciascuno di essi, deve essere uguale per ogni elemento; pertanto, avendo stabilito versi opposti per le correnti nella serie e nel resistore, in corrispondenza del punto di lavoro della rete la loro somma deve essere nulla. sercizio.7 Determinare il punto di lavoro della rete rappresentata in figura: i = 5 [v] = 8 [v] =.5 [W] = [W] v = 5. i i v = i < Si definiscano i versi delle tensioni e delle correnti secondo le condizioni di riferimento associate per gli utilizzatori per i seguenti bipoli:,,, e la serie. i V V i V i V i pplicando le leggi di Kirchhoff si trovano le relazioni: i = i = i = i i v = v = v v = v = ( ) Si disegnino le caratteristiche dei bipoli, e si compongano in serie la v f i, sommando le tensioni dei due bipoli relative a ciascun medesimo valore di corrente. Si ottiene così la caratteristica v = f i ( ). Si rappresenti ora la funzione v = f i i i ( l); essa si ottiene fissando un valore di tensione, determinando dalle caratteristiche le tre correnti, e calcolandone la somma, e ripetendo poi queste operazioni per un numero sufficiente di punti. Quando, per un dato valore di tensione, la somma delle tre correnti è uguale a zero, sono verificate contemporaneamente le due leggi di Kirchhoff, e si determina il punto di lavoro del circuito. = ( ) e la v f i

12 Si riporta di seguito il grafico della funzione v = f ( i i i ): V [v] l 4,5,5,5, Somma delle correnti [] - sercizio.8 Determinare le tensioni ai capi dei resistori per ciascuno dei tre circuiti mostrati in figura. alcolare la potenza dissipata da ogni resistore e da dove viene generata questa potenza, calcolando il contributo dovuto al generatore di tensione ed a quello di corrente. I I V I I I ) = [V]; I = []; = [W]. ) = [V]; I = []; = [W] I V I I ) = [V]; I = []; = [W]; = [W]

13 ) pplicando le leggi di Kirchhoff si ottiene: dalla relazione costitutiva del resistore si ha: i esercitazioni i i = i i = [] v = = v = [v] I v = 667 Ω =. []; quindi si ottiene: i = i i =. 667 =. [] P g = (. ) =. 667 [W] ssorbe; P = I =. [W] ssorbe; P g ) I = []; la tensione ai capi del resistore è: = IV = [W] roga. I risulta, allora: V = I = = [v] V I = 5 [v] P gi = 5 = 5 [W] P gv = [W] ssorbe; P J = = [W] ssorbe. ) pplicando le leggi di Kirchhoff si ottiene: I I = I I = [] V = [v]; la corrente su vale: I = = [] si calcola allora: I = = [] P g = [W] P = I = 4[ W] V = [v] P = = [W] VI = = V = 5 [v] = 5 [W] P gi

14 4 sercizio.9 Dato il seguente circuito: I I I calcolare il valore delle resistenze e e la fem ai capi del generatore di tensione sapendo che: = [W] P = 8 [W] P = 54 [W] P = 6 [W] Il bilancio delle potenze per il circuito dato, si esprime con la relazione: I = I I I ; risulta anche che: I = I I ; posto che: I I = 6 [W] si calcola: P 6 = = = 9 []; poiché: I = = 4 [W] si calcola la tensione del generatore: 4 = = 9 6 [v] da cui: V I = = = [] ed infine: V = 8 [W]; 8 V = = [W]; 8 = 54 [W]; 8 = = 6 [W]. 54

15 sercizio. esercitazioni 5 isolvere la rete rappresentata in figura ed effettuare il bilancio delle potenze. I I V I I = [v] = [W] I = [] Si stabiliscano su ciascun bipolo i versi delle tensioni e delle correnti secondo le condizioni di riferimento associate per gli utilizzatori e per i generatori, rispettivamente. Si scrivano le leggi di Kirchhoff per le tensioni e per le correnti, trovando le seguenti relazioni: Poi: si calcola così: V = V = V = VI I I I I = V = I V = I II = I V I = I I = = = [] I = I II = I I = = [] on riferimento alle potenze, per questo circuito si ha: P < il generatore assorbe potenza. P = i i= i= VI P = VI = I = ( )= [W] P = VI = I = = [W] i i

16 6 P > il resistore (utilizzatore) assorbe potenza. PI = VIII = I = = [W] P I > il generatore eroga potenza. Il bilancio delle potenze si può quindi scrivere come: Pi = P P PI = = [W]. i= Si noti che in quest ultima equazione P < perchè il resistore dissipa potenza. sercizio. Tracciare la caratteristica del bipolo equivalente alla rete seguente: i ʼ D V i ʼ i = 8 [W] = 6 [W] = 6 [W] = [V] i Si proceda con il metodo grafico. Si traccino le caratteristiche del resistore e del generatore : V D [v] 8 V ʼD [v] i [] i []

17 La caratteristica complessiva della serie risulta: esercitazioni 7 V ʼ [v] -.75 i [] Si ha: i = i i. La caratteristica del resistore è: V ʼ [v] 6 i ʼ [] La caratteristica del parallelo tra la serie ed risulta: V ʼ [v] i [] La caratteristica del resistore è uguale a quella di ; per tracciare la caratteristica del bipolo equivalente alla rete data basta comporre in serie l ultima ricavata con quella di :

18 8 V [v] i [] sercizio. Tracciare la caratteristica del bipolo equivalente alla rete seguente: = 6 [W] = 6 [W] = [W] = [V] Si proceda con il metodo grafico. Si segua un procedimento simile a quello relativo all esercizio precedente indicando, ad esempio, i nodi e le correnti come nel seguente schema: i ʼ i ʼ i D V i

19 sercizio. esercitazioni 9 on riferimento al seguente circuito dire se i dati sono sufficienti per valutare la corrente in,e nel caso affermativo valutare tale corrente: 4 5 Perog = Perog = 5 [W] Pass = Pass 4 = 8 [W] Pass = Pass 5 = [W] = [W] Dal bilancio delle potenze: In generale sussiste la relazione: dalle precedenti relazioni si ottiene allora: erog erog ass ass ass ass ass P P = P P P P P 4 P ass i P ass = I i i ; = 4 [W] 5 I ass P = = []. sercizio.4 Nel circuito lineare tempo invariante mostrato in figura la tensione e la corrente dei corrispondenti generatori sono rispettivamente pari a: v(t) = e - at ; i(t) = coswt, dove,, a, w sono costanti. alcolare la tensione sull induttanza L, v L (t), e la corrente sulla capacità, i (t). v(t) L i(t) i (t) L i L (t) v L (t)

20 Dalle relazioni costitutive dell induttore e del condensatore si ha: v t L di L () t L di () t L () = = = Lωsinω t [v] dt dt i t dv () t t () = = αe α [] dt